Собственные значения любой такой матрицы содержатся среди корней данного многочлена : , где . При этом значение может иметь (алгебраическую) кратность как 1, так и 2, а остальные значения — корни кратности 1.

Так как — вещественная матрица, то комплексно-сопряжённые числа и одновременно являются или не являются её собственными значениями.

Остаётся понять смысл условия (3). Подпространство вида называется циклическим, а вектор — циклическим вектором этого подпространства. Когда, спрашивается, существует циклический вектор для всего пространства? Поясним идею на двух примерах.

1) Если — скалярная матрица, то циклического вектора, очевидно, нет, так как любой ненулевой вектор порождает одномерное подпространство.

2) Пусть матрица — диагональная с тремя разными собственными (вещественными) значениями и (). Считая векторами стандатного базиса, заключаем, что циклическим вектором является, например, их сумма , поскольку

Последнее равенство верно, так как указанная линейная оболочка трёхмерна: векторы линейно независимы как столбцы определителя Вандермонда.

Вообще, используя теорему о корневом разложении, несложно показать, что условие (3) равносильно следующему условию:

(4) для каждого собственного значения матрицы существует ровно одна жорданова клетка со значением .

В самом деле, пусть — циклический вектор из условия (3). Его проекция на каждое корневое подпространство является циклическим вектором этого подпространства, а это и значит, что корневое подпространство циклическое и задаётся одной жордановой клеткой. Итак, из (3) следует (4). Обратно, если выполнено (4), то в качестве можно взять сумму корневых векторов максимальной высоты, взятых по одному из каждого корневого подпространства, причём в случае комплексно-сопряжённых собственных чисел следует брать комплексно-сопряжённые корневые векторы (чтобы был вещественным).

Теперь всё готово для перебора случаев.

Случай 1. В ЖНФ матрицы есть жорданова клетка размера . Тогда ЖНФ имеет вид

Таких матриц две.

Случай 2. ЖНФ матрицы диагональная. Если — собственное значение, то ЖНФ имеет вид

— три матрицы. Если не входит в спектр, то ЖНФ есть

Итого, 6 возможных ЖНФ.

Ответ: 6.

Фактически требуется найти сигнатуру квадратичной формы с данной матрицей. Напомним, это пара положительного и отрицательного индекса инерции. Ответом является число . Пусть — ограничение формы на подпространство . задаётся матрицей, полученной из данной вычёркиванием первой строки и первого столбца. В перенумерованном базисе

форма задаётся блочно-диагональной матрицей, где каждый блок имеет вид

некоторого размера (размеры блоков могут отличаться на 1). Но матрица положительно определена по критерию Сильвестра. Действительно, раскладывая определитель по первой строке, легко получить рекуррентное соотношение

то есть — арифметическая прогрессия. Из начальных членов и получаем, что .

Итак, форма положительно определена. Это значит, что положительный индекс инерции исходной формы не меньше 2024, так как — это максимальная размерность подпространства, на котором положительно определена. Но поскольку , то отрицательный индекс инерции не меньше 1. Следовательно, и .

Ответ: .

Логично начать со случая квадратных матриц: , тем более что численный ответ от нас хотят именно в таком случае. Легко видеть, что тогда матрицы и обратимые, поэтому условия и выполнены автоматически. Тем самым, при фиксированной матрице максимизировать скалярное произведение

среди матриц единичной длины. Геометрически ясно, что в качестве следует взять отнормированную матрицу , то есть , так как скалярное произведение — это произведение длин векторов на косинус углам между ними, причём на длины мы влиять не можем, а косинус можем сделать равным 1. Формально это всё обосновывается с помощью неравенства Коши-Буняковского (которое и позволяет корректно определить угол), в данном случае принимающего вид:

При этом равенство достигается в точности тогда, когда и пропорциональны, причём чтобы убрать модуль в левой части, коэффициент пропорциональности должен быть положительным. Чтобы была единичной длины, этот коэффициент должен быть равен , если только . В тривиальном случае ясно, что — любая матрица длины 1.

Конкретно в случае и получаем
, откуда .

Теперь решим задачу в общем виде.

1. .
   Столбцы матрицы имеют вид для некоторых столбцов . Отсюда для матрицы . Очевидно.

2. .

3. Аналогично, из условия получаем, что .

4. Окончательно . Обозначим , . Это матрицы ортогональных проекторов, так как и .

5. Следовательно, подпространство

имеет вид

причём отображение

является ортогональным проектором с образом , — ортогональная проекция матрицы на .

6. Скалярное произведение

не изменится, если заменить её ортогональной проекцией . Поэтому при с учётом неравенства Коши-Буняковского имеем

и равенство достигается в точности тогда, когда:

, если ;

— любая матрица единичной длины в , если .

Ответ: .