Теорема Миттаг-Леффлера: главная теорема всего комплексного анализа / Комментарии / Хабр

Как по мне название раздела "Вычеты: заряды на плоскости" неудачное, поскольку в математике обычно под зарядом понимают обобщение меры, которое может принимать отрицательные значения. Лучше было бы назвать "Вычеты: электрические заряды на плоскости".

master_program 14 часов назад

Да, так лучше. Заменю.

inakrin 12 часов назад

У этой теоремы есть родная сестра — теорема Вейерштрасса о произведениях, которая делает то же самое для нулей: любой наперёд заданный набор нулей реализуется бесконечным произведением.

Это очевидно относится и к зета функции?

master_program 11 часов назад

Да, именно из-за этого нужна гипотеза Римана, потому что через теорему Вейерштрасса можно получить связь между распределением простых чисел и нулями дзета-функции.

Могу написать об этом отдельную статью с научно-популярным подробным разбором, тут ниже под спойлер засунул базовые сведения из учебников.

Теоретическая справка.

Скрытый текст

Чтобы устранить простой полюс в точке и тривиальные нули $\zeta(s)$ в отрицательных четных числах, Риман ввел целую функцию:

$\xi(s)=\frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s / 2} \Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \zeta(s)$

Эта функция является целой (не имеет полюсов на всей комплексной плоскости) и обладает порядком роста $\rho=1$ . Её нули - это в точности нетривиальные нули $\rho_n$ $=\beta_n+i \gamma_n$ дзета-функции Римана (где $0<\beta_n<1$ ).

Согласно теореме Вейерштрасса о разложении целой функции (и её уточнению Ж. Адамаром для функций конечного порядка), функцию $\xi(s)$ можно разложить в бесконечное произведение по её нулям:

$\xi(s)=e^{A+B s} \prod_\rho\left(1-\frac{s}{\rho}\right) e^{s / \rho}$

Здесь $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ - константы, а произведение берется по всем нетривиальным нулям $\rho$ дзета-функции Римана.

Выражая $\zeta(s)$ обратно через произведение Адамара для $\xi(s)$ , математики получают явное представление дзета-функции на всей комплексной плоскости:

$\zeta(s)=\frac{\pi^{s / 2}}{2(s-1) \Gamma\left(1+\frac{s}{2}\right)} e^{B s} \prod_\rho\left(1-\frac{s}{\rho}\right) e^{s / \rho}$

Логарифмируя и дифференцируя данное выражение, получают формулу:

$\frac{\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}=B+\frac{1}{2} \ln \pi-\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2} \frac{\Gamma^{\prime}(1+s / 2)}{\Gamma(1+s / 2)}+\sum_\rho\left(\frac{1}{s-\rho}+\frac{1}{\rho}\right)$

Именно это соотношение связывает простые числа (через логарифмическую производную ζ( и её нули $\rho$ . Оно является ключевым шагом в доказательстве Адамаром и де ла Валле Пуссеном асимптотического закона распределения простых чисел $\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}$ .

inakrin 4 часа назад

Всегда задавался вопросом, а если нас интересуют именно нули, нужна ли гамма функция вообще.
Гамма никогда не равна нулю, соответственно нули определяются:

$\frac{1}{2}s(s-1)\pi^{-s/2}\zeta(s)$

Или я что-то упускаю? Что именно там гамма убирает в \xi? Функция, вроде бы так и остаётся целой. (кстати, не нравится мне перевод "entire" -> "целая". "Всеобъемлющая" возможно звучало бы лучше.)

Теорема Миттаг-Леффлера: главная теорема всего комплексного анализа

Комментарии 5

Публикации