Недавно Виктор Хагани - экс-сооснователь известнейшего LTCM и автор книги «Пропавшие миллиардеры», где он исследует эргодическую экономику, написал пост "Вы действительно хотите стать миллиардером?".
"Шел семинар о принципах разумного управления личными финансами: откладывать не менее 20% дохода, учитывать комиссии и налоги, следить за поведенческими ошибками и держать основную часть инвестиций в индексных фондах.
В конце один из участников -назовём его Билли -поднял руку:
-Но если следовать этим советам, миллиардерами никогда не стать!
Несколько человек в аудитории согласно кивнули.
Возможно, Билли нашёл правильный ответ на неверно поставленный вопрос. Вместо этого стоит спросить: действительно ли нужно максимизировать вероятность стать миллиардером? А чтобы ответить, нужно понять, какую стратегию придётся выбрать и к какому распределению результатов она приведёт.
Постановка задачи
Упростим ситуацию, пожертвовав частью реализма ради ясности. Предположим, Билли рассчитывает заработать после уплаты налогов около 10 млн долларов за всю карьеру и накопить 20% этой суммы -2 млн долларов. У него есть 50 лет, чтобы превратить эти 2 млн в 1 млрд долларов, то есть увеличить капитал в 500 раз.
Теперь предположим, что у него есть следующая инвестиционная возможность: 50 раз подбросить монету, у которой вероятность орла составляет 60%. В каждом броске он может поставить любую долю своего капитала. Позже станет понятно, почему это вполне разумное -и даже щедрое -приближение к реальным инвестиционным возможностям.
Какова оптимальная стратегия и какую вероятность успеха она даёт? Задача непростая, но ещё в 1961 году её решил профессор Калифорнийского университета в Беркли Лео Брейман. Ответ таков: при оптимальной стратегии вероятность Билли стать миллиардером составит 7%.
В чём подвох
Семь процентов звучит неплохо. Лишь около 0,001% американцев -миллиардеры, а среди тех, кому удалось накопить 2 млн долларов, вероятно, лишь около 0,05% когда-либо достигают этой отметки. Вероятность в 7% кажется огромным улучшением.
Но стоит посмотреть на остальные 93% сценариев. В них Билли не просто не достигает миллиарда -он полностью разоряется.
Причина в том, что стратегия, максимизирующая вероятность достичь 1 млрд долларов, требует регулярно ставить на кон 100% капитала. А значит, регулярно вести себя к банкротству. Любой путь, который не заканчивается миллиардом, заканчивается проигрышем ва-банк. Здесь нет мягкой посадки и нет состояния «почти миллиардер».
Как будет выглядеть эта стратегия на практике? В первом же броске придётся поставить около 65% капитала. Это уже очень большой риск. Затем размер ставки будет меняться в зависимости от предыдущих результатов и числа оставшихся бросков. Но во многих случаях в какой-то момент придётся поставить весь капитал на один подброс монеты с вероятностью 60/40.
На 20 смоделированных траекториях средний размер ставки составил бы около 68% капитала. Это не инвестиционная стратегия, а рецепт разорения.
Ещё один способ увидеть странность цели «максимизировать вероятность стать миллиардером»: оптимальная стратегия не меняется даже при резком ухудшении шансов. Если вероятность орла снизится с 60% до 51%, схема ставок останется точно такой же. Изменится только итог: вероятность успеха упадёт до 0,3%, а вероятность банкротства вырастет до 99,7%.
Почему эта цель не выдерживает проверки здравым смыслом
Более разумный способ принимать решения в условиях неопределённости -максимизировать ожидаемую полезность.
Проблема максимизации вероятности достичь произвольной цели в том, что всё внимание сосредотачивается на одной точке, а всё остальное приносится ей в жертву.
При стратегии, оптимальной по вероятности, ожидаемое богатство Билли составляет 70 млн долларов: 7% вероятности получить 1 млрд и 93% вероятности получить ноль. Но ожидаемая полезность стратегии «миллиард или банкротство» фактически равна минус бесконечности. Полезность миллиарда высока, но полезность полного разорения -настолько отрицательна, насколько это вообще возможно. А банкротство наступает в 93% случаев.
Можно попытаться подстраховаться: отложить 1 млн из имеющихся 2 млн и рисковать только второй половиной, чтобы в любом случае что-то осталось. Это немного улучшит ситуацию. Вероятность достичь миллиарда снизится примерно до 4,5%, а вероятность потерять половину капитала составит 95,5%.
Такой результат всё равно выглядит крайне непривлекательно. Ожидаемая полезность останется намного ниже, чем если бы Билли просто сохранил свои 2 млн долларов и вообще ничего не делал.
Однако при 50 подбросах монеты с вероятностью 60/40 можно добиться гораздо большего, чем просто ничего не делать. Более разумный вариант -каждый раз ставить постоянную и умеренную долю капитала, например 10–20%. С точки зрения ожидаемой полезности это радикально лучший выбор: при типичном уровне неприятия риска такая стратегия даёт эквивалент гарантированного капитала примерно в 1,7 раза больше первоначального.
Конечно, это работает лишь в том случае, если постоянная умеренная ставка соответствует реальным целям человека. Если единственная цель -стать миллиардером, потому что без этого жизнь не имеет смысла, -то никакая разумная стратегия не позволит достичь её без риска разорения.
«Но ведь есть Apple?»
Билли мог бы возразить: увеличить капитал в 500 или даже 1 000 раз -не такая уж невероятная история. Достаточно было достаточно рано купить акции Apple, Nvidia или примерно сотни других выдающихся компаний.
Это справедливое замечание. Но за последнее столетие на американском рынке были зарегистрированы около 30 000 компаний. Примерно 100 из них принесли инвесторам доходность в 500 раз. Это лишь 0,3% от общего числа.
Вероятность стать миллиардером, следуя оптимальной стратегии ставок на монету с шансами 60/40, составляет 7%. Это существенно выше шанса выбрать одну конкретную акцию, которая вырастет в 500 раз. Правда, неудача при попытке выбрать «акцию-ракеты» чаще всего не означает полного банкротства.
Можно пойти дальше и сказать: если использовать кредитное плечо в 2,5 раза к собственным накоплениям, достаточно найти акцию, которая вырастет лишь в 200 раз.
Но это не делает задачу лучше. Плечо создаёт сильную отрицательную асимметрию распределения доходностей. Кроме того, маржинальное финансирование акций обычно обходится заметно дороже безрисковой ставки -даже при плече, равном собственному капиталу.
Долгосрочный коэффициент Шарпа широкого фондового рынка находится примерно на уровне 0,2 -как и у монеты с вероятностью орла 60%. Поэтому 50 бросков не слишком отличаются от 50 лет инвестиций в рынок акций.
Но по мере увеличения риска сверх 100% капитала в акциях соотношение доходности к риску, вероятно, будет ухудшаться. Дополнительный риск придётся брать либо через кредитное плечо с положительной стоимостью финансирования, либо через всё более специфический и недиверсифицируемый риск отдельных активов.
Билли прав в одном: если каждый раз ставить умеренные 10% капитала, шанса стать миллиардером не будет вовсе. Даже стратегия максимального роста капитала по Келли, предполагающая ставку в 20%, даёт лишь 0,007% вероятности достичь этой цели.
Если цель действительно звучит как «миллиард или ничего», разумное инвестирование не будет ответом. Настоящий вопрос в другом: должна ли такая цель вообще быть целью?
Как всё связано
Задачи с подбрасыванием монеты интересны сами по себе, но главный вывод шире: выбранная целевая функция определяет всю последующую стратегию.
Как говорят программисты: «мусор на входе -мусор на выходе». Ошибочная цель неизбежно приводит к ошибочной инвестиционной стратегии.
Любой выбор требует критерия, по которому сравниваются варианты. Если выбрать критерий «максимизировать вероятность стать миллиардером», результатом в большинстве случаев станет банкротство. Если выбрать критерий «максимизировать ожидаемое благосостояние», то результатом станет наибольшее ожидаемое благосостояние."
Хорошего дня! заходите на тг канал https://t.me/TradPhronesis
