Комментарии 346
Надо раскуривать мат. логику. Без хорошего математического аппарата и умения жонглировать аксиоматиками, это так и останется игрой слов.
К сожалению, не могу посоветовать конкретный учебник, но копать надо явно в эту сторону:)
1. Задача остановки не разрешима. То есть нету алгоритма, который берет на вход описание алгоритма и отвечает на вопрос остановится он на пустом входе или нет. В самом деле, если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить «диагональную» функцию, которая с i-ой отличается на входе i.
2. Утверждение «алгоритм останавливается» формализуется в любой достаточно богатой системе (и это самая технически сложная часть, если использовать «минимальный необходимый» формализм, но если взять чуть более богатый, чем необходимый минимум, то это довольно просто).
3. Если есть перечислимая система аксиом, в которой были бы доказуемы все истинные утверждения этой модели, то проблема останова была бы разрешима. В самом деле — либо «эта программа останавливается на пустом входе», либо «эта программа не останавливается на пустом входе» — истинное утверждение. Если для любой программы доказуемо ровно одно из них — мы решили проблему остановки.
PS forany.xyz/a-227 — еще один достаточно хороший материал, лекция для старших школьников (кроме другой ссылки на Успенского, которую я дал ниже по дискуссии)
1. Заметим, что если умеем решать проблему остановки на пустом входе, то умеем решать на любом входе. В самом деле: пусть мы хотим узнать останавливается ли А на входе х. Рассмотрим композицию двух алгоритмов — один берет пустой вход и выдает х, а второй наш алгоритм А (который читает выход первого алгоритма и выдает то, что считает нужным выдать). Это композиция останавливается тогда и только тогда, когда останавливается А на входе х.
2. Построим диагональную всюду определенную функцию. f(A) = 1, если A не останавливается на входе А и f(A) = A(A) + 1, если останавливается.
Это какая-то вычислимая функция (если проблема остановки разрешима). Посмотрим на f(f) — это какое-то значение (так как функция всюду определенная), но если f(f) определено, то f(f) = f(f) + 1, а так не бывает.
f(f) = f(f) + 1, а так не бывает.конечно не бывает. у вас же f(f) = А(f) + 1, а не f(f) + 1.
Т.к. функция f — зацикливается сама на себе, то никакого противоречия нет.
конечно не бывает. у вас же f(f) = А(f) + 1, а не f(f) + 1.
f(A) = A(A) + 1, если подставить f в качестве аргумента: f(f) = f(f) + 1
если взять искомый оракул, и добавить ему зацикливание на самом себе, то никакого противоречия не будет.
Противоречие в том, что, согласно начальному предположению, никакого зацикливания нет. Но из того, что его нет, следует, что оно есть, т.к. f(f) = f(f) + 1 определенно зацикливается.
И этот оракул спокойно вашу задачу решает.
По-простому: в брадобреях — никаких парадоксов нет, они просто работают. Но если поставить определенные условия, то возникнет "парадокс брадобрея. То что из наличия такого парадокса — ктото строит отрицание брадобреев, это довольно странное явление ИМХО…
Например, компиляторы или статические анализаторы — они ровно из этой серии.
Для доказательства неразрешимости проблемы останова используется приведение к противоречию, но парадоксов и противоречий в самой проблеме останова никаких нет.
Для любой машины Тьюринга, пытающейся решить проблему остановки (назовём её H), существуют программы, которые не останавливаются, но H не может доказать, что они не останавливаются, и не может доказать, что они останавливаются, и не может определить когда нужно прекратить попытки доказательства. Всё. Парадоксов тут нет. Просто существуют такие странные программы для машины Тьюринга.
И такие программы есть в явном виде. См. https://www.scottaaronson.com/blog/?p=2725
Машина Тьюринга, о которой там говорится, работает вечно (если теория SRP непротиворечива), но доказать или опровергнуть это невозможно, если исходить только из ZFC.
Эм, и что? Это никак не устраняет противоречие. Какая разница, как вы модифицировали оракул? Нам важен оригинальный, немодифицированный. Возможности его модификации никак и ни на что не влияют в доказательстве.
Так модифицируйте на здоровье. Важно, можно ли из существования такой модификации сделать какой-то вывод. Из существования вашей модификации никакой вывод не делается. А из существования оригинальной модификации делается вывод, что оракула не может существовать.
И наличие каких-либо других модификаций никак на этот результат не влияет — оракула не существует и существовать не может. Конец.
извините, но нет — противоречие получается только для алгоритма, который пытаются сделать самоприменимым.
Так если алгоритм, который решает проблему остановки, существует — то он гарантированно самоприменим, просто по определению. Если же он к себе неприменим — значит, он проблему остановки не решает.
Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.
Парадоксами вы запретите только свою модификацию оракула, а не оригинал.
Потому что если оригинальный оракул вычислим, то и модифицированный (в силу того, что модификация вычислимая) — тоже вычислим.
А модифицированный оракул уже никак не может быть вычислимым по обсужденным выше причинам.
2) вычислима ли g(х) = while(х < 1){x = f(x);}? да
3) вычислима ли h(х) = while(х < 1){x = f(x) — 1;} ??? ой
и теперь из невычислимости (3) вы делаете выводы об (1)
Рассмотрим функцию двух строк S(f, x) = 1, если f (точнее, программа записанная строкой f) останавливается на входной строке x, и 0 иначе.
Это тот самый оракул, невычислимость которого мы хотим доказать.
Пусть он вычислим.
Тогда функция g(f) = f(f) + 1, если S(f,f)=1 и 0 иначе — тоже вычислимая. Алгоритм ее вычисления (с использованием оракула) очень простой:
1. Вычисли S(f,f).
2. Если S(f,f) = 1, то вычисли f(f) и верни f(f) + 1 (поскольку S(f,f) = 1 это вычисление заканчивается)
3. Если S(f,f) = 0, то верни 0.
Если оракул вычислим, то g — это тоже вычислимая функция (еще и всюду определенная). Значит, F(g,g) = 1. И g(g) = g(g) + 1. Откуда получается противоречие.
S(f,x) — вижу
g(f) — вижу
F(x,y) — не вижу…
UPD: Заранее скажу, что оракул выдает S(f, f) = 0
UPD2: причем всегда выдает 0, независимо от того, что там в реальности вычисляет f — считайте это такой хитрой оптимизацией его работы.
Откуда такое странное ограничение на оракул?
На самом деле, даже S(x, 0) не вычислимая функция, как обсуждалось раньше.
Потому что пользуясь только ею (как функцией одного аргумента) можно построить полный S(x, y): рассмотрим алгоритм x' устроенный следующим образом — он игнорирует свой вход и запускает x на входе y. Очевидно, что S(x,y) = S(x', 0). Т.е. умея вычислять S(x', 0) мы умеем вычислять полный S.
Как вы определяете вот это "кроме себя"? Это любой алгоритм который не содержит вызовы к самому себе, т.е. какие-то обертки тоже нельзя? А если такой же алгоритм но модифицированный так, что это не влияет на результат? это уже другой?
Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.
Уточню. Оракул — это черный ящик с магией внутри, который решает алгоритмически неразрешимую проблему. Например, оракул, решающий проблему остановки машин Тьюринга. Подать этот оракул на вход самому себе невозможно, потому что он принимает на вход машины Тьюринга, но сам машиной Тьюринга не является.
Существование такого оракула непротиворечиво, но неизвестно можно-ли реализовать его в нашей вселенной. Так что "Все остальные оракулы [...] существуют" означает существование в платоническом мире математических идей, а не в виде реального устройства.
единственного оракула которого не существует — самоприменимого.
Все остальные оракулы, которые могут ответить на вопрос остановки любых алгоритмов, кроме себя, — существуют.
Совсем нет. Тот факт, что программа не применяется к самой себе, сразу гарантирует, что она не применяется к огромному классу программ, с ней не совпадающих.
При этом определить применяется или нет — нельзя, это тоже алгоритмически неразрешимая задача. Соответственно, толку от такого оракула нет, он указанной задачи не решает.
берем листок в клетку, обводим квадрат 2х2 клетки.
Ставим в левом нижнем квадрате точку, из точки проводим три луча так, чтобы они пересекали остальные 3 квадрата.
Квадраты — это какие-то утверждения, лучи — это наши аксиомы и то что мы с их помощью можем доказать, а луч, пересекающий квдрат — значит «доказывает» это утверждение. (повторяю — это всё аналогия для младшего школьного возраста. Не пытайтесь применить в реальной математике :) )
Теперь смотрим — что у нас есть? В нашем квадрате 2х2 все утверждения «доказаны». Красота.
Также мы можем видеть, что куча других утверждений вне этого квадрата тоже могут быть «доказаны».
Обведем вокруг нашего квадрата квадрат 5х5. Мда, не во все клеточки этого квадрата попадают наши лучи — т.е. «существуют утверждения, про которые мы не можем доказать ни их ложь, ни их справедливость». Добавим лучей так, чтобы они проходили через эти квадраты. Снова будет красота.
Однако для квадрата 20х20 снова появятся «дырки»… в общем — я думаю не нужно быть семи пядей во лбу, чтобы понять, что какбы мы плотно не рисовали свои линии, если отойти достаточно далеко, то всегда найдется такая предательская клеточка, по которой наши линии не пройдут.
Вот Гедель это самое про аксиомы и доказал. Только строго математически.
Например, натуральные числа только с нулем и операцией +1, если я правильно помню, ровно такие.
Граница — это одна и та же определенность, соединяющая и разделяющая два нечто. Одно из этих нечто — Вселенная, а второе что? Это второе нечто также необходимо отнести к Вселенной, если последняя означает все, что нас окружает. А это значит, что границ у Вселенной нет.
Одно из этих нечто — Вселенная, а второе что?
А второе неопределяемое, у нас нет и не будет достаточной информации для размышления об этом, но в границах Вселенной все познаваемо, В Каббале, например, то что Вне обозначено приставкой Без, А любые границы-это форма содержания, Как тело человека, Вселенная и человек созданы на одних и тех же принципах. Условно говоря Гедель работает в рамках Евклида, а в замкнутой системе -его теоремы бессмысленны.
Есть очень неплохая книга: Гедель, Эшер, Бах. Там, в частности, рассматривается доказательство теоремы Геделя.
Не скажу, что очень просто, но, если захотеть, то, думаю, можно разобраться без математического образования.
Допустим, у нас есть некоторая формальная теория Т. Например, этой теорией может быть арифметика — т.е. объекты данной теории будут числами.
Далее допустим, что можно Т погрузить "саму в себя" — т.е. мы утверждения о Т и ее формулах кодируем объектами внутри самой Т. Характер кодировки при этом для нас не существенен — геделевская нумерация лишь один из возможных подходов. Важно лишь, что кодировка существует.
Теперь рассмотрим формулу "данная формула невыводима". Если такая формула в Т может быть построена — то, очевидно, эта формула будет искомой, т.к. ее выводимость либо выводимость ее отрицания приводит к противоречию.
Так вот, записать эту формулу напрямую в Т мы не можем, теория просто не имеет средств для того чтобы записать эту формулу вот в таком виде как есть. Правила, по которым строятся формулы теории, не позволяют самореференцию.
Тут-то нам на помощь и приходит наше "погружение"-кодировка. Мы рассматриваем все формулы Т с одной свободной переменной и и перенумеровываем их, т.о. каждойму числу ставится в соответствие формула, а каждой формуле — число. будем обозначать это как F(n) = x, где х — формула, а n — соответствующее число, при этом т.к. х имеет одну свободную переменную то мы можем записать подстановку как F(n)(k) = x(k), где k — некоторое число и x(k) — соответственно, уже замкнутая формула. Далее мы можем определить предикат P, который обозначает выводимость, и записать формулу ~P(F(n)(n)) (ака "формула F(n)(n) не является выводимой") — у этой формулы есть свободная переменная n, т.о. сама эта формула соответствует некоторому числу m, т.е.: F(m) = ~P(F(n)(n)), теперь мы просто подставляем в эту формулу m и получаем искомую замкнутую формулу, которой соответствует интерпретация "эта формула невыводима". Действительно, F(m)(m) = ~P(F(m)(m))
Пусть у нас есть система, в которой есть утверждения, причём эти утверждения мы умеем записывать в виде чисел (сериализовывать), и они могут быть либо истинными, либо ложными, и зависят от входного аргумента (есть операция подстановки). Мы хотим доказать, что в рамках такой системы невозможно определить утверждение G(f, x), которая берёт утверждение f, и подставляя в него x «возвращает true», если f(x) выводится из наших аксиом, как true, и false, если f(x) выводится, как false.
Например, пусть у нас есть числа, которые мы умеем складывать и сравнивать. Тогда мы можем сформилировать утверждения f0 «x+1=1+x», f1 «x=0» и f2 «x+1=2+x». Тогда G(f0, 5) будет true, G(f1, 0) будет true, G(f1, 1) будет false, G(f2, 0) тоже будет false.
Теперь сформулируем утверждение H(f) как «NOT G(f, f)». Если попытаться вычислить G(H, H), то мы получим противоречие: G(H, H) = H(H) = NOT G(H, H).
Доказательство свелось к конструированию обобщённого парадокса «это утверждение ложно».
Только не "это утверждение ложно", а "это утверждение невыводимо". Соответственно — если оно выводимо, то ложно, что противоречит корректности теории (можно вывести ложное утверждение). Если же оно невыводимо — то истинно, при этом мы и получаем истинное, но невыводимое утверждение. При этом парадокса никакого нет.
Впрочем я думаю что и парадоксальных утверждений можно создать такое же точно бесконечное количество, как и невыводимых. :)
Относился не очень, и сознательно не включил математику в список дисциплин, за которые вручают премию имени его. По слухам, из-за того, что какой-то математик успешно приударил за Нобелевской женой.
Математика хоть и царица наук, но периодически ее теории и выкладки вводят в замешательство ("Однако сказать, что „набор аксиом неполон“, это то же самое, что сказать „существует истинная формула, которую нельзя доказать“). Про А. Нобеля фраза носила скорее шутливый оттенок.
1) Изучает то, что имеется в нашей Вселенной. То чего там нет, но хочется чтобы было (торсионные поля, к примеру) изучает паранаука.
2.) Результат научного исследования проверяем и повторяем.
И с первым, и со вторым в математике плохо. Со вторым -особенно.
И с первым, и со вторым в математике плохо. Со вторым -особенно.
Что именно плохо в математике с проверяемостью и повторяемостью?
У вас результат умножения одних и тех же чисел каждый раз разный?
Если коротко, то математика стала настолько сложна, что истинность новых теоретических построений сложно проверить, если всего 2-3 человека в мире способны их понять. И у них нет ни времени, ни желания заниматься проверкой.
И получается, что истинность основана на честном слове автора.
В науке такое невозможно.
И обычно, в науке к результату можно прийти несколькими путями. В математике с эти сложно.
Некоторые считают что Наука:
1) Изучает то, что имеется в нашей Вселенной. То чего там нет, но хочется чтобы было (торсионные поля, к примеру) изучает паранаука.
Не совсем. Наука — деятельность по выработке новых достоверных знаний о действительности. Действительность включает как вещи, так и идеи.
Говорить о торсионных полях как о чём-то существующем в физической реальности — неверно, т.к. объективно их нет. Рассуждать о них как о философском или, может быть, социологическом феномене — может быть наукой. Но не надо смешивать философию и физику.
А если разделы математики про свойство 12-мерного куба не имеют применения к физике или к моделированию экономики — может в 2100 году будет иметь.
А если разделы математики про свойство 12-мерного куба не имеют применения к физике или к моделированию экономики — может в 2100 году будет иметь.
В машинном обучении многомерные (сотни и тысячи измерений) пространства активно используются уже сейчас. Может, и какая-то теоремка про 12-мерный куб найдёт применение.
А для математики нормальная ситуация.
Есть начальное состояние системы (x0,p0), есть конечное — (x1,p1). Есть принцип наименьшего действия, находим из него уравнение движения — в форме механики Лагранжа или Гамильтона.
А в квантовой у нас «начальное состояние системы» и конечное вообще не определены точно. Но если действие на траектории много больше постоянной Планка, то механика Гамильтона становится хорошим приближением нерелятивистской КМ. Также можно сказать, что классическая траектория является наиболее вероятной. Если Вы «кинете камень под углом к горизонту», то с вероятностью 99.9..9% все его атомы будут найдены в объеме «совокупность объемов камня на классической траектории + одна постоянная решетки от классического положения атомов камня».
Хотя для кого-то скажем кажется неправильной неопределенность без «скрытых параметров». И да, доказать основное уравнение КМ в принципе нельзя. Его результаты совпадают с экспериментом, дают создавать устройства с предсказуемыми параметрами. Уравнение имеет предел в виде классической механики, как ОТО имеет пределом гравитацию Ньютона. Но выводится путем некоторой специфической аналогии, ЕМНИП — с сохранением скобок Пуассона.
И да, доказать основное уравнение КМ в принципе нельзя.
Да хрен с ним, с доказательством на бумаге. Его можно проверить экспериментально. В том и суть, что в математике, в ряде случаев, не проверить никак, кроме как поверить автору на слово.
Есть проблема с тем, что не все и не всегда проверяют, но обычно (особенно если утверждение сильное) есть статья (или серия статей), в которой это утверждение доказывается.
И «мамой клянусь, правда» — это не доказательство.
в математике, в ряде случаев, не проверить никак, кроме как поверить автору на слово
Думаю это не совсем верно.
Если автор предоставил доказательство — то его можно проверить (при достаточном приложении усилий).
Если автор не предоставил доказательство, то все вытекающие заключения из этого утверждения считаем недоказанными.
Конечно можно строить теории на недоказанных утверждениях, но я не понимаю какой в этом смысл.
Если автор предоставил доказательство — то его можно проверить
Снова возвращаясь на круг — «если всего 2-3 человека в мире способны их понять. И у них нет ни времени, ни желания заниматься проверкой.»
Конечно можно строить теории на недоказанных утверждениях
Не «можно», а строят! Потому что выводы уж больно «вкусные».
И это тоже огромная проблема. И начинается цепочка. Если в первой работе укажут что использовались черновые/непроверенные/неопубликованные работы, то в работе основанной на выводах этой работы такой ссылки может и не быть. Что логично, так как работа, построенная на выводах непроверенной работы, сама по себе может быть полностью проверяемой.
если всего 2-3 человека в мире способны их понять
Вполне возможно. Вот пример статьи, про числа. И про 12-мерный куб. Правда там пункты вроде «Computer Proof of Lemma 2.2».
Отсюда требования:
1.Награждать сразу (за выдающееся достижение года);
2.Сумма премии соответствующая стоимости лаборатории;
3.Номинации в науках, требующих экспериментальной базы.
Потому и не попала в список математика. Но принципы все равно не выполнялись. Большая часть премий присуждена за теоретические работы и спустя много лет после опубликования.
Скорее это «левая скобка».
Напоминает математический ремикс парадокса всемогущества бога (парадокс камня).
«в состоянии ли всемогущее божество сотворить камень, который оно не сможет поднять?»
Правильный ответ в _моей_ интерпретации:
действительно всемогущее божество, находясь на уровне всемогущества X, несомненно может сотворить такой камень.
в процессе творения данного предмета(либо сразу после его сотворения), божество перейдет из состояния X в состояние X+1, в котором этот камень может быть поднят.
но, поскольку в момент сотворения камня (в состоянии X) он еще не может быть поднят — парадокс разрешен.
Может, но при этом оно перейдёт на следующий уровень всемогущества.
Может ли всемогущее божество отменить все эти уровни всемогущества?Вот так вот мы все здесь и оказались)
Всемогущее существо создает неподъемный камень, а потом просто придает себе способность поднимать такие неподъемные камни (действительно переходя на следующий уровень всемогущества)
Если всемогущее существо подняло камень, значит камень неподъёмным не был.
sudo: command not found
apt-get install sudo
Unable to lock the administration directory (...), are you root?
Создание неподъёмного для себя камня означает что божество не является всемогущим. Это очевидный вывод.
Прибавив себе уровень "всемогущество+1" и подняв камень, божество покажет что создавало его не будучи всемогущим.
Так что от введения уровней всемогущества ничего не меняется.
Точно не отправляет? Тогда подозрительно, что это последний комментарий в вашем профиле.
"это утверждение истинно"
"это утверждение состоит из нескольких слов"
Жаль, что отклик оказался слабый, непропорциональный моим затратам…
Один из частный случаев теоремы Геделя: есть диафантово уравнение (т.е. просто многочлен с целыми коэффициентами, даже не очень большой, можно явно написать все, кроме одной константы.), у которого нету корней (если арифметика Пеано непротиворечива), но доказать это (в рамках арифметики Пеано) невозможно.
Так основной результат заключается в том, что доказуемость утверждения можно сформулировать в терминах самой арифметики, не выходя за ее примеры.
Здесь вообще есть один тонкий момент — что значит "сформулировать в терминах самой арифметики". Мы устанавливаем определенное отношение между формулами теории и формулами метатеории — но штука в том, что никто не гарантирует корректности этого отношения (оно само по себе требует непротиворечивости метатеории).
По-этому, вообще говоря, как примеры теоремы Геделя можно осмысленно рассматривать только те утверждения, которые невыводимы при наличии аксиомы о непротиворечивости.
Что вкладывается в «корректность» отношения?
Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.
От увеличения аксиоматики (добавлении аксиомы о непротиворечивости) множество выводимых утверждений же только растет, разве нет?
Ну да, растет. Я и говорю, что все те утверждения, которые "добавляются" при добавлении аксиомы непротиворечивости, не могут быть примерами теоремы Геделя, т.к. они выводятся метатеоретически — будучи истинными на какой-то содержательной интерпретации.
Что вкладывается в «корректность» отношения?
То, что отношение существует и обладает заданными свойствами. Оно ведь само является вполне конкретным математическим объектом — существование которого мы в метатеории и устанавливаем. Но если метатеория противоречива — то выводимость существования такого отношения не влечет, содержательно, истинность его существования..
Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.
Эм, нет, любая теория, в которой можно выразить Х, как минимум не слабее Х.
Там же формальная грамматика, она, в некотором смысле, даже проще чисел.
Эм, нет, любая теория, в которой можно выразить Х, как минимум не слабее Х.
Любая теория, в которой можно доказать Х, не слабее Х.
Но сформулировать, конечно, можно в более слабой.
Например, после того как мы вложили логику первого порядка в числа, можно сформулировать утверждение «2 + 2 = 5» (которое очень сильное).
Вся наша метатеория — она про то, «что такое доказательство» (с синтаксической точки зрения). Строки и числа можно сопоставить не изучая вопроса «какая аксиоматика поверх чисел».
Единственное тонкое место здесь — когда мы говорим, что «если теория непротиворечива, то нельзя получить доказательств ложных утверждений в этой теории». Но это утверждение — оно про корректность наших правил вывода, они опять не зависят от кодирования. Да, если мы в метатеорию добавим некорректное правило вывода — все сломается.
Собственно, да, все возмодные выражения можно разделить на 2 категории (в скобках примеры):
- корректные (
2 + 2 = 4) - не корректные (
2 = +)
Понятие истинности применимо лишь к корректным выражениям:
- истина (
2 + 2 = 4) - ложь (
2 + 2 = 5)
А вот к не корректным понятие истинности вообще не применимо. При этом есть разные виды некорректных выражений:
- синтаксически не корректные (
2 = +) - семантически не корректные
Семантически не корректные можно разделить на:
- самоотрицание (
это утверждение ложно). Они не истинны и не ложны одновременно, а потому бессмысленны. - самоподтверждение (
это утверждение истинно). Их можно считать и истинными, и ложными одновременно, а потому они тоже бессмысленны.
Объединяет эти два типа некорректных выражений самореференция. Соответственно, любые определения вводимые с помощью самореференции — не более чем софистика, а теоремы Гёделя и Кантора — математическая мастурбация.
Давайте начнем с чего-нибудь простого: «утверждение 2+2 = 4 — истино» — это семантически корректное утверждение или нет?
А утверждение «среди утверждений длинны не более 5 слов есть ложные»?
Или утверждение «среди утверждений длинны не более 1000 слов есть истинные»
Прошу обратить внимание, что последнее утверждение — оно не выглядит саморефлексией, но, неожиданно, может рассматриваться как самоподтверждение.
Если система достаточно богатая, то это можно сформулировать формально.
Например, есть близкий аналог из теории вычислимости — теорема о неподвижной точке: для любого вычислимого преобразования алгоритмов (например, можно думать про программу, которая получает на вход корректный код на С, который читает строку на входе и что-то печатает, как результат, и дает на выходе код на С какой-то такой же программы) есть алгоритм, который не меняется этим алгоритмом (т.е. программа, полученная как результат, совпадает с программой на входе для любой строки-входа).
«утверждение 2+2 = 4 — истино» — это семантически корректное утверждение или нет?
Вполне.
последнее утверждение — оно не выглядит саморефлексией
Выглядит. Корректно оно может звучать так: «среди утверждений длинны не более 1000 слов кроме данного есть истинные»
Тогда у нас есть проблема.
Рассмотрим следующие три утверждения:
1. «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
2. «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 1000 слов.»
3. «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»
Какое из трех не является истинным?
Если мы все три объявляем истинными, то мы обязаны объявить истинным и утверждение «среди утверждений длинны не более 1000 слов есть истинные» (это просто синтаксическое следствие предыдущих трех).
«Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
Истина.
«Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 1000 слов.»
Не корректное выражение.
«Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»
Истина.
Оно само длинное, а утверждает что-то только про короткие утверждения.
Каким образом второе самореферентное?
Оно вообще про конкретные множества, а не про само утверждение или свою истинность. Или смущает, что оно само входит во второе из множеств, о которых утверждает? Давайте заменим 1000 на 11. Тогда оно уже слишком длинное, чтобы входить в него.
Откуда саморферентность в третьем? Оно опять про какие-то множества и подмножества и общее определение истинности.
Я поправил комментарий, сори.
Да, именно это и смущает. Давайте заменим, но что это даст?
Оно всё же про множества выражений. Но вот если убрать выражения и оставить только множества, то да, истина.
Тогда у нас есть:
1. «Среди утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
2. «Множество утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества утверждений длины не более 11 слов.»
3. «Если истинное утверждение содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»
И все три мы считаем истинными.
Но тогда синтаксически (см. «modus ponens» или «силлогизм», что ближе) мы должны согласиться и с утверждением, которое из них троих следует:
«Среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные.»
Я тут подумал, что можно даже проще получить то же самое:
1. «2 + 2 = 4»
2. «Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).
мы должны согласиться и с утверждением, которое из них троих следует:
«Среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные.»
А так как мы получили самоотрицающее выражение, то доказали, что приведённые выше 3 утверждения противоречивы и требуют корректировки.
«Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).
Ну и, очевидно, это ложь, так как из одного не следует другого.
А так как мы получили самоотрицающее выражение, то доказали, что приведённые выше 3 утверждения противоречивы и требуют корректировки.
Мы же вот здесь договорились, что после замены на 11 все стало хорошо и ни одно из утверждений не является рефлексивным (а значит все три истины): habr.com/en/post/512518/?reply_to=21899626#comment_21899464
«Если 2 + 2 = 4, то среди утверждений длины не более 11 слов есть истинные» (16 слов, не саморефлексия).
Ну и, очевидно, это ложь, так как из одного не следует другого.
Это, очевидно, не ложь. Для того, чтобы импликация была ложью, необходимо, чтобы посылка была истина а следствие ложью. Максимум мы можем сказать, что это выражение целиком не имеет смысла (семантически некорректно), но уже не понятно почему — оно про себя точно ничего не утверждает.
Утверждение «если 2+2 = 4, то 3+3 = 6» — тоже истинное.
И даже «если 2+2 = 5, то 3+3 = 6» истина.
Ребят, в теореме Геделя ничего нет про истинность, там речь о выводимости. И та самая формула, которая невыводима вместе с отрицанием — одновременно и истинна и ложна (просто в разных интерпретациях). И там нет никакого парадокса и внутреннего противоречия.
истинная в стандартной модели натуральных чисел, но не выводимая в этой аксиоматизации.
Только это формально бессмысленное утверждение, т.к. никто не знает, что такое "стандартная интерпретация" ;)
Правильно будет сказать, что оно истинно в какой-то интерпретации (если таковая в принципе существует — что не факт, конечно). А в какой-то другой — ложно. Именно потому и невыводимо (выводимость такой формулы нарушала бы soundness).
Хороший пример — это уравнения Матиясевича. Есть конкретное диафантово уравнение, у которого нету корней, но в стандартной арифметике Пеано этого доказать нельзя.
и существующее, если ZFC непротиворечиво
Не могу представить ситуацию, когда ряд 0, 1, 2, и т.д., полученный конечным числом применений +1 к 0 не существует. Могу представить, что он имеет свойства описываемые другим образом, если ZFC противоречива. Но, что не существует — не могу.
Не совсем согласен. Стандартная интерпретация натуральных чисел — это все-таки что-то достаточно понятное
Оно было бы понятное, если бы было конструктивное. Но тогда не было бы проблем с доказательством существования.
Не могу представить ситуацию, когда ряд 0, 1, 2, и т.д., полученный конечным числом применений +1 к 0 не существует. Могу представить, что он имеет свойства описываемые другим образом, если ZFC противоречива. Но, что не существует — не могу.
Ну так с арифметикой Пресбургера и проблем нет.
Я тут подумал, понятие "выражение" самореферентно само по себе. То есть, какое бы мы выражение ни написали, оно будет подходить под это понятие. Соответственно, каждый раз, когда мы из одних выражений формируем новые, мы должны делать проверку на корректность, ибо на любом шаге можем случайно получить самореферентность. А это всё равно, что умножить обе стороны уравнения на 0.
Исправить это легко, уточнением формулировок:
- «Среди корректных утверждений длинны не более 5 слов есть истинные.»
- «Множество корректных утверждений длины не более 5 слов является подмножеством множества корректных утверждений длины не более 11 слов.»
- «Если истинное утверждение (и, как следствие, корректное) содержится в подмножестве некоторого множества, то истинное утверждение содержится и в самом множестве.»
Утверждение «если 2+2 = 4, то 3+3 = 6» — тоже истинное.
И даже «если 2+2 = 5, то 3+3 = 6» истина.
А это уже другая проблема математики: подмена причинно следственной связи на импликацию. Импликация ближе к корреляции.
Например, является ли корректным утверждение «среди корректных утверждений есть истинное»?
Нет. Если предположить, что оно корректное, то получаем самореферентность. Если предположить, что не корректное, то никаких выводов из него мы сделать не можем.
Это, кстати, ключевое отличие от понятия истинности, где из ложного утверждения можно делать выводы.
Если оно некорректно, то оно не является саморефлексевным (потому что утверждает что-то про множество корректных утверждений, в которое не входит).
А значит мы должны считать его корректным.
Вроде, у нас было два ограничения на корректность: «быть не саморефлексевным и касаться только корректных утверждений». Что я упускаю?
Я дописал, из некорректных утверждений нельзя сделать никаких выводов.
Мы же пока просто пытаемся понять является ли оно корректным, а не вывести из этого что-то.
Еще раз: Как выглядит ограничение на корректные утверждения?
Еще одна точка — «саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?
Мы же пока просто пытаемся понять является ли оно корректным
Корректным оно быть не может, значит не корректно.
«саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?
Вполне, оно же говорит про некорректные утверждения, что не мешает ему быть корректным.
А тут уже получаем самореферентность: "Корректные утверждения не саморефлективны."
«саморефлексивные утверждение некорректны» само по себе является корректным?
Вполне, оно же говорит про некорректные утверждения, что не мешает ему быть корректным.
А тут уже получаем самореферентность: «Корректные утверждения не саморефлективны.»
Тогда у нас есть беда: эти два утверждения эквивалентны (просто потому что «Все А есть не Б» и «Все Б есть не А» — это синтаксически одно и то же).
А вот семантически — нет.
Если нет корректности (т.е. синтаксически из верного утверждения можно сделать бессмысленное или неверное, делая только синтаксически-эквивалентные замены), то непонятно как вообще про какие-то доказательства можно говорить вообще.
Достаточно не использовать самореферентные термины, которые от подстановки могут менять свой смысл, и можно спокойно делать синтаксически эквивалентные преобразования без постоянной проверки корректности.
То есть мы запрещаем (фактически) все утверждения об утверждениях, это, конечно возможный способ решить проблему с самореферентностью.
Но тогда нужно запретить и утверждения про числа, например, — мы можем заменить утверждение его utf8 записью, которая является числом.
Не запрещаем, а требуем проверять корректность.
С числами всё нормально пока мы не начинаем впадать в софистику и заменять на числа сами утверждения об этих числах.
Если мы запрещаем (без дополнительной проверки) синтаксический вывод — нужно границы явно провести, где синтаксически еще можно, а где уже нельзя.
И если мы добавляем семантическую проверку, то смысл синтаксического вывода во многом теряется — если есть семантическая проверка, то и истинность можно уж заодно проверить.
В момент времени T2 неподъёмный камень сотворён, а божество перестаёт быть всемогущим, потому что в мире появился объект, который оно поднять не может.
Ответ: да, может, но сотворив такой камень оно немедленно лишится своего всемогущества.
Поддерживаю эту теорию. Задача сводится к вопросу "может ли всемогущее существо перестать быть всемогущим?". Очевидно, ответ "да", иначе оно изначально таковым не являлось. И этот ответ никакого парадокса не вызывает.
Тогда вопрос упрощается еще сильнее — "может ли существо одновременно быть и не быть всемогущим?"
¬P ∧ P → ⊥
Наглядная аналогия: на поиск уязвимости в системе могут уйти месяцы упорного труда, а вот закрывается найденное в большинстве случаев чуть ли не с закрытыми глазами правкой пары строчек в исходнике.
парадокс камня отлично разрешаетсяВаше решение основано на том, что можно рассматривать всемогущество в течении ограниченного периода времени. Однако из этого следует, что абсолютно всё, что угодно можно рассматривать всемогущим — до тех пор, пока оно не опровергнет своё всемогущество каким-либо деянием.
Отдельно можно рассмотреть вопрос, что значит «может/не может поднять». Это результат практического эксперимента или теоретического предположения? Если эксперимента — о'кей, давайте проверять. Если теоретического предположения — то каковы критерии его истинности?
Отдельно можно рассмотреть вопрос, есть ли разница между «не может» и «не хочет» и кто, собственно, эти хотения определяет.
Можно дать и другие «решения» этого парадокса — например, если сделать камень из вакуума, букв, идей и прочих объектов, к которым действие «поднять» неприменимо.
Бог, например, чтит свободу человека, и «не может» спасти человека, если не будет на то воля этого человека. Но, Он «не может», не потому, что Он не всемогущ, а потому что, нет на это Его воли. Его воля — чтить свободу человека.
«Слово крестное погибающим убо юродство есть, а спасаемым нам сила Божия есть (1 Кор. 1, 18). Ибо духовный востязует вся; душевен же человек не приемлет яже Духа (1 Кор. II, 15). Ибо оно есть безумие для тех, которые не с верою принимают и не с верою размышляют о благости и ВСЕМОГУЩЕСТВЕ Божием, но исследуют божественное при помощи человеческих и естественных рассуждений. Все же относящееся к Богу выше естества, слова и разумения. Ибо если кто станет рассуждать, каким образом Бог вывел все из небытия в бытие и ради чего, и захочет постигнуть это при помощи естественных рассуждений, тот не постигнет. Такое знание — душевное и бесовское. Если же кто, руководствуясь верою, станет размышлять о благости, всемогуществе, истине, мудрости и праведности Божиих, тот найдет все гладким и ровным и путь — прямым. Ибо без веры невозможно спастись. На вере основывается все, как человеческое, так и духовное. Ибо без веры и земледелец не проводит борозды земли, и купец не вверяет души своей малому древу на бурной глубине моря; без веры и браки не заключаются, и ничего другого в жизни не предпринимается. Верою уразумеваем, что все приведено из небытия в бытие силою Божиею; верою совершаем все, как божеские, так и человеческие дела. Вера, далее, есть согласие, без всякой придирчивой пытливости...»
Имхо, парадокс камня решается еще проще: берется любой камень и помещается в невесомость, где нет понятий «верх» и «низ», а стало быть, по определению невозможно что-либо поднять или опустить, независимо от уровня всемогущества..:)
Это фиксится просто. Если мы эти уровни назвали, то сможем сделать и неразрешимую задачу. Может ли всемогущее божество создать неподъемный камень и поднять его, оставаясь на одном уровне всемогущества?
А ведь когда-то с пом. этого парадокса религиозные умы доказывали бытие бога.
Мне нравится такой ответ: «Раньше было всё: и куры и яйца!» :-)
Этот парадокс показывает, что предположение о существовании всемогущества приводит к логическому противоречию. Это всё равно, что предположить существование непробиваемой брони и всепробивающего снаряда.
Это просто нарушение закона тождества. Субъект меняется между утверждениями.
«Бог всемогущ»
«нет ничего чего бы бог не мог» -> «нет того что бог не может»
" 'неподнимаймого' камня быть не может"
Отсюда новая формулировка парадокса всемогущества: может ли всемогущее существо построить на всей Земле коммунистическое общество из ныне живущих людей и подобных им? :-)
…
-Хорошо. Всемогущество — это способность творить всё, что угодно. Так?
-Вот именно,- кивнул Мазукта. Ключевое слово — «угодно». Угодно тебе сотворить камень — творишь камень. Не угодно его поднимать — не поднимаешь. Это и есть настоящее всемогущество.
Вопрос возник. В доказательстве используется теорема о единственности разложения на простые множители, которая сама по себе базируется на некоторых аксиомах. Т.е. данное доказательство теоремы о неполноте, по сути, является следствием тех самых аксиом, не более. Где гарантия, что выбрав другие аксиомы, все равно бы вышло доказательство теоремы? Получается как бы доказательство себя через само себя, что странно.
Есть очень хорошее объяснение (почти на пальцах) от В.А. Успенского почему теорема Геделя о неполноте — это следствие неразрешимости проблемы остановки: www.mathnet.ru/links/81edd102bbff2a65a53c6dd27f387678/rm4322.pdf
Если упустить технические детали (в статье они есть), то идея примерно такая: если язык достаточно богатый (а стандартная арифметика — богатая), то можно сформулировать утверждение «алгоритм (в статье используется ассоциативное исчисление, но можно абсолютно так же использовать, например, машины Тьюринга) за один шаг может перейти из состояния А в состояние B.»
После этого можно сформулировать утверждение «Машина Тьюринга может (за несколько шагов) дойти до заключительного состояния (=остановиться), начиная с состояния А» (В этом месте появляется квантор по логу исполнения).
Ну и, наконец, осталось заметить, что если бы все истинные утверждения были бы доказуемы, то проблема остановки была бы разрешима — достаточно просто подождать, пока появится доказательство остановки или доказательство отрицания остановки.
А вот алгоритмическая неразрешимость проблема остановки — это уже диагональный метод в чистом виде.
что там нет понятия практики.Тогда обоснуйте чисто математически происхождение чисел. Не надо говорить, что они просто заданы, и все. Есть более общий контекст в котором они возникают. Вот относительно этого контекста математика ничего сказать не может. Это предмет изучения когнитивных наук — откуда числа берутся. Это прослежено вплоть до активности нейронных структур в мозге, как людей, так и животных. Этот нейронный механизм неплохо ложится на множественное обоснование происхождения чисел. Дальше уже вступают в силу процедуры обобщения, и натягивания чисел на новые контексты, которые, опять-же, диктуются практическими соображениями. Все сказанное относится к основаниям геометрии и логики. Это объясняет универсальность и эффективность математических методов, и их ограничения тоже)
Когнитивные науки изучают не то, откуда берутся числа, а то, откуда у людей и других животных берётся навык работы с тем, что, по совпадению, называется числамиНе… именно откуда числа берутся. А ваше утверждение, что они существуют сами по себе — только гипотеза.
как там с когнитивными навыками обработки кватернионов, кстати, или какой-нибудь вообще свободной группы на бесконечном множестве?Сразу никак) А если последовательные контексты рассматривать, то пожалуйста.
Абстракция натурального числа и счета неоднократно обобщались в процессе расширения практики их применения по ходу развития цивилизации. Целые числа обобщение натуральных и отрицательных, с добавлением нуля. Натуральные числа, включая нуль, и счет возникли на основе чувства численности (первобытные камешки и отметки для учета), происхождение отрицательных чисел связано с обобщением натуральных, как долга, или недостачи. Рациональные числа, как обобщение отношений (долей в измерениях) натуральных чисел, иррациональные, как несоизмеримых долей, например, отрезков. Дальнейшее обобщение на вещественные числа, с геометрическим представлением на оси, далее комплексные числа (исходно, как обобщение решений алгебраических уравнений) с представлением на плоскости, комплексных на кватернионы, с представлением вращения тел в пространстве. Все эти эволюционно и исторически возникшие взаимосвязи в той, или иной степени «прошиты» в мозге, и каждый раз, в той, или иной форме воспроизводятся во время роста каждого ребенка, его воспитания и последующего обучения в учебных заведениях. Этот культурный слой обеспечивает достаточно единообразное понимание смысла и использования математических знаний, не исключая индивидуальных особенностей, кот. зачастую служат источником его дальнейшего развития. В настоящее время обобщению подвергается не только расширяющаяся практика применения математических знаний, но и сами математические структуры как таковые, вне видимой связи с практическими задачами. Но порожденные таким образом новые структуры будут полезны, если найдут практическое применение, как в хрестоматийном случае с неевклидовыми геометриями. Это же относится к свободным группам и бесконечным множествам)
требовать от математики обосновать происхождение чисел — это как требовать от физики обосновать нужность Стандартной Модели в народном хозяйстве и отношение среднего человека к ней.Требуется-требуется такое обоснование… иначе не понять почему с помощью только мат. изысканий, типа теории струн, физическую теорию не построить. И откуда берутся ограничительные утверждения математики — теорема Геделя, и др. Что касается физики, то когнитивные исследования помогают понять почему не появляется теории кв. гравитации, или объединительная теория, хотя со времени создания последних успешных фундаментальных теорий — КТП и СМ прошло почти 50 лет. С чем могут быть связаны такие тормоза, и как их обойти.
И откуда берутся ограничительные утверждения математики — теорема Геделя, и др.
Теорема Геделя ничего не ограничивает. Она утверждает, всего лишь, что если у достаточно богатой теории есть модель, то у нее есть несколько моделей, которые не являются элементарно эквивалентными — т.е. можно найти формулу, которая будет ложна в одной модели и истинна в другой.
У первобытных племён нет абстрактного мышления. Не знаю, как сейчас, но я читал, что на языке индейцев и австралийских аборигенов нельзя сказать «птица сидит на дереве». Надо обязательно назвать конкретную разновидность птицы и дерева. А слов «птица» и «дерево» в их языках нет.
Сначала загибаются пальцы на руках, потом на ногахИнтересно было-бы посмотреть, как они загибают пальцы на ногах) У аборигенов есть различные варианты счета, он всегда ограничен. Это связано с тем, что он базируется на чувстве численности, кот. человеку достался от предков, оно имеется и у животных. Но человек вербализовал его. При этом вы верно заметили, в некоторых случаях они не абстрагируют счет. Известны исследования когнитивистов на индейцах Мундуку из Амазонии, для численных оценок, геометрии и статистических оценок вероятностей на индейцах Майя. Естественно, все они не обладали каким-либо образованием. Только то что заложено в генах, и передано традициями культуры. Арифметика, геометрия и элементарная статистика происходят именно из этих нативных способностей. Успеваемость в школе по в математике значимо коррелируют с ними. Если интересно можете проверить свое чувство численности на этом ресурсе. Скорее всего вам это покажется забавой) Но приблизительно 5% процентов населения Земли полностью заваливает этот элементарный тест, из-за неразвитости этого чувства по разным причинам. Если область мозга, которая отвечает за это чувство повредить, то человек теряет способность понимать, что такое числа. Т.е. он будет наизусть знать таблицу умножения и сложения, но сложить 1+2 не сможет, потому что перестает понимать смысл чисел. Как и с любыми другими чувствами — если повредить область отвечающую за цвет, человек теряет способность к ощущению цвета, и тп.
Если область мозга, которая отвечает за это чувство повредить, то человек теряет способность понимать, что такое числа.
Ну, это прекрасно объясняется тем, что арифметические навыки аппроксимируются нейросетью мозга. Нет рабочей нейросети — нет навыков. Но это не свидетельствует о том, что откуда нейросеть мозга имеет арифметические навыки — из собственной структуры (заданной ДНК) или строит эту структуру при обучении в школе (что кажется мне более вероятным).
Что касается моделирования с помощью ИНС, то они подтверждают исследования по чувству численности. Если взять сверточную сеть со структурой близкой к структуре вентрального пути зрительной системы, с которой связана область отвечающая за чувство численности, и обучить ее на изображениях с разными объектами, то в ней появляются нейроны, кот. спонтанно реагируют на число объектов в сценах. Безо всякого целенаправленного обучения распознаванию чисел и счету.
Если интересны подробности — могу привести ссылки на исследования.
Если интересны подробности — могу привести ссылки на исследования.
Приведите, если вас не затруднит.
Есть чувство численности, и структура отвечающая за него, эта структура начинает работать практически сразу после рождения. Опыты с младенцами в 6-8 месячном возрасте показывают, что они уже дискриминируют числовые признаки
Если взять сверточную сеть со структурой близкой к структуре вентрального пути зрительной системы, с которой связана область отвечающая за чувство численности, и обучить ее на изображениях с разными объектами, то в ней появляются нейроны, кот. спонтанно реагируют на число объектов в сценах.
Довольно интересно. То есть база, "чувство численности", определена структурой необученного мозга (т.е. кодируется в ДНК). Дальнейшее развитие математики — некое следствие этой базы. Но ведь чувство численности — это малая доля современной (да и не очень современной) математики… Интересно, могли ли наши предки выбрать другую математику, также основанную на этой базе. Также интересно, похожа ли математика условных инопланетян на нашу.
То есть база, "чувство численности", определена структурой необученного мозга (т.е. кодируется в ДНК)
Корреляция математических способностей и способностей оценивать количество говорит о том, что генетически задаются более общие механизмы. Если бы "чувство численности" задавалось отдельно, корреляции бы не было.
Интересно, могли ли наши предки выбрать другую математику, также основанную на этой базе. Также интересно, похожа ли математика условных инопланетян на нашу.
Вряд ли возможна какая-то другая математика. Иначе бы у предков или инопланетян расчеты не сходились бы с наблюдаемой реальностью.
Опыты с младенцами в 6-8 месячном возрасте показывают, что они уже дискриминируют числовые признаки.
6-8 месяцев получения зрительной информации более чем достаточно, чтобы получить статистику для различения ситуаций "1 объект", "2 объекта", "3 объекта", и соответственно реагирующие на эти ситуации нейроны.
со структурой близкой к структуре вентрального пути зрительной системы
Вы придаете этому слишком большое значение. Как вы себе представляете "структуру вентрального пути"?
"Вентральный путь начинается в зоне V1 и проходит через V2, но затем направляется через зрительную зону V4 к вентральной (нижней) части височной доли коры (англ. inferior temporal cortex). Вентральный путь (канал «что?») связан с процессом распознавания формы, представлением об объекте, а также с долговременной памятью."
Вентральный путь это просто описание движения информации. "Структура вентрального пути" состоит из 4 элементов. Это в принципе не может оказывать какого-то значительного влияния на результат. Не каждая система со структурой из 4 элементов может распознавать образы.
В обучении ИНС более важны приниципы работы каждого из элементов, то есть алгоритмы обучения и взаимодействия нейронов.
Второе предложение в цитате говорит о том, что любая нейросеть, которая распознает объекты и их форму, моделирует вентральный путь зрительной системы.
В исследованиях про ИНС, которые вы приводили в этом и этом комментарии, слово "ventral" встречается лишь пару раз в качестве отсылки к биологическим системам, а не в качестве ключевой характеристики нейросети.
Кстати, я вспомнил, что году в 2006 сделал на флэш арифметический тест «Always 100!» на чувство числаЭто не то. У вас числа, как абстракции. А чувство численности — это интуитивное знание. В тестах на него нет никаких чисел — обычно точки разных размеров, цвета, со случайным разбросом. Нужно сказать сколько там точек за короткое время предъявления, или сравнить два таких изображения, и сказать в котором больше. Эти картинки стандартизированы обычно, чтобы можно было сравнивать результаты разных исследований.
Все эти эволюционно и исторически возникшие взаимосвязи в той, или иной степени «прошиты» в мозге, и каждый раз, в той, или иной форме воспроизводятся во время роста каждого ребенка, его воспитания и последующего обучения в учебных заведениях.
Если бы навыки математики брались из структуры мозга, то, наверно, у детей знание матана возникало бы само, безо всякого изучения? Или вы имеете в виду сроки порядка столетий-тысячелетий, за которые дикари смогут развить матан?
Почему бы не придерживаться представления, что мозг как достаточно сложная нейронная сеть лишь обучается математике (как правилам рассуждений) либо на практике (статистика своего опыта), либо по учебникам (записанный чужой опыт)?
Это примерно как огородник, выкапывающий картошку. На первый взгляд (если вы первый раз это видите) может показаться, что картошка — продукт деятельности огородника, но мы-то знаем, что огородник не создаёт картошку, а лишь обеспечивает условия. ДНК огородника не содержит ДНК картошки!
Что касается физики, то когнитивные исследования помогают понять почему не появляется теории кв. гравитации, или объединительная теория, хотя со времени создания последних успешных фундаментальных теорий — КТП и СМ прошло почти 50 лет. С чем могут быть связаны такие тормоза, и как их обойти.
И почему же не появляется теория квантовой гравитации? Когнитивные исследования уже дали ответ на этот вопрос?
И ещё один вопрос напрашивается — как теория относительности появилась через 300 лет после законов Ньютона без помощи когнитивистики?
К тому же, из вашего текста следует (если я не ошибаюсь, конечно), что для возникновения числа необходимо «обобщение», а это само по себе предварительное условие, которое также требует изучения механизма и принципов своего осуществления.
Это прослежено вплоть до активности нейронных структур в мозге, как людей, так и животных. Этот нейронный механизм неплохо ложится на множественное обоснование происхождения чисел.
Нейронные механизмы людей, животных, или инопланетян не связаны с существованием чисел и закономерностям между ними. Они связаны только с происхождением нашей способности использовать числа. Теорема Пифагора верна для любых существ во Вселенной, и была верна до того, как Пифагор открыл эту закономерность. Для иноплатнетян квадрат гипотенузы всегда будет равен сумме квадратов катетов, даже если их строение значительно отличается от людей. Иначе они просто не смогут ничего построить.
Нейронные механизмы людей, животных, или инопланетян не связаны с существованием чиселЖивотные и младенцы докладывали вам о числах, тем более инопланетяне)
Они связаны только с происхождением нашей способности использовать числа.Наши математические способности связаны с чувством числа, а не наоборот
Теорема Пифагора верна для любых существ во ВселеннойОна не верна даже на Земле, если точно измерить длины сторон треугольника размером в несколько тысяч км. на ее поверхности. Пифагор был бы сильно удивлен такому результату)
Животные и младенцы докладывали вам о числах, тем более инопланетяне
Извините, я не вижу логической связи с процитированным. Формулируйте противоречие словами, пожалуйста.
Наши математические способности связаны с чувством числа, а не наоборот
"Связь" по определению двухстороннее понятие, если A связано с B, то B связано с A.
Даже если даже если предположить, что вы имеете в виду причину и следствие, я все равно не понимаю сути возражения. Формулируйте противоречие словами, пожалуйста.
Она не верна даже на Земле, если точно измерить длины сторон треугольника размером в несколько тысяч км. на ее поверхности
Не надо подменять понятия. Теорема Пифагора не говорит о треугольниках на поверхности Земли. И если вы не в курсе, в нашей физической реальности ничего нельзя измерить точно, всегда есть погрешность измерения. И на этот счет есть свои теоремы, которые показывают, как применять теоремы про идеальные числа к неидеальным результатам измерений.
Хотя, мое рассуждение верно только в том случае, если вы не вкладываете в понятие «существо» что-то определенное, отличное от «того-что-может-существовать».
У собак например представления о числах тоже нет. Но у них и математики нет. У такого существа она тоже вряд ли будет. Понимание той же теоремы Пифагора требует фиксировать наличие треугольника.
Впрочем, мне кажется, что теорема Гёделя отчасти об этом.
то существует тождество, хотя в пространстве/времени не может быть ничего тождественного
Пространство-время математикой не занимается. А для целенаправленной деятельности просто необходимо выкидывать все несущественные свойства предметов. Так и получаются какие-нибудь "три стрелы", хотя количество волосков в оперении у них разное. И если выстрелить две, то останется одна, каким бы странным не был стрелок и стрелы.
«математика есть только у тех существ, у которых есть математика»
Не совсем. Если у существ есть математика, значит в ней есть числа, такие же как у нас, с теми же взаимосвязями. От нейронных структур это не зависит, а значит они не могут являться причиной появления чисел. Появление чисел идет из реальности, из существования объектов, которые можно разделить по некоторому признаку, то есть их будет несколько.
то у такого существа может и не быть представления о числах в нашем понимании.
Будет, почему же нет?
Ещё один вариант изложения теоремы о неполноте: в рамках системы формальных правил нельзя доказать ее полноту, так как для этого нужно проверить условие, выходящее за рамки заданной системы.
Естественные науки используют математические теории для своих нужд. Но уже давно не «заказывают музыку».
После того как игра ума математиков в комплексные числа вдруг оказалась крайне удобным инструментов электротехников, все смирились с тем, что математики творят, что им вздумается, а уже дело естественников искать в куче натворенного полезное для себя.
Алгоритм отвечающий на вопрос, остановится ли передающийся ему алгоритм не может сказать остановится ли алгоритм определяющий остановится ли другой алгоритм, если неизвестно какой именно алгоритм ему будет передан.
Всё. Рекурсия разваливается, никакого Гёделя.
Поскольку все математики за 90 лет не могли этого не заметить, значит я чего-то не понимаю. И единственное чего я не знаю — чего именно я тут не понимаю. :(
Если бы такой алгоритм существовал, то можно было бы построить диагональную функцию: она на входе f смотрит на то, останавливается ли f(f), если не останавливается — возвращает 0, если останавливается — возвращает f(f) + 1.
Чуть подробнее вот тут: habr.com/en/post/512518/#comment_21901770
Если бы такой алгоритм существовал..
… то на таком алгоритме он выбрасывал бы исключение.
Если на вход подано что?
На вход передан не корректных код.
На вход поданы два аргумента — код программы и строка, на которой нужно предсказать остановку.
Какой из входных параметров некорректен?
Алгоритм, который выводит результат своей работы из… результата своей работы.
Или, даже, скомпилировать gcc с помощью gcc.
Что именно не так?
Ни антивирус, ни gcc не занимаются самоотрицанием.
Представьте, что это еще одна диагностика компилятора «программа, которую вы пытаетесь скомпилировать, никогда не остановится (для простоты давайте считать, что она не должна читать ничего с входа, только что-то напечатать на выход и сразу после печати остановиться)».
Между прочим, очень полезная диагностика.
Теорема о неразрешимости проблемы остановки говорит, что как бы мы эту диагностику не реализовали, есть такой код, на котором эта диагностика ошибается (либо ругается на программу, которая останавливается, либо пропускает программу, которая на самом деле зацикливается).
Алгоритм, используемый для "доказательства" теоремы как раз именно этим и занимается. Именно поэтому такой алгоритм должен вызывать ошибку "этот алгоритм не корректен", а не сообщение "этот алгоритм корректен и останавливается" или "этот алгоритм корректен и не останавливается".
Мы же не объявляем gcc некоректным, только потому, что он может скомпилировать сам себя?
Рассмотрим чуть более сложную диагностику — пусть эта диагностика берет на вход код программы (которая уже читает максимум одну строку на вход) и тестовый вход. А на выходе должна сказать останавливается эта программа на этом входе или нет.
Эта диагностика еще корректна, или уже нет?
Если улучшенная диагностика корректная (и есть алгоритм, который ее выполняет), то можно написать следующую программу:
прочитай вход
вызови улучшенную диагностику, интерпретируя свой вход и как алгоритм, и как его вход.
Если улучшенная диагностика сказала, что алгоритм остановится, то вызови этот алгоритм, дождись результата, припеши к результату 1.
Если улучшенная диагностика сказала, что алгоритм не остановится — напиши «алгоритм не останавливается» и закончи работать.
Этот алгоритм уже не корректен? В каком месте?
Если в результате компиляции самого себя он будет каждый раз давать разные результаты, то это не корректный компилятор.
Этот алгоритм не корректен вцелом, а не в каком-то месте. Вы получили уроборос и спрашиваете, где у него начало. Нет у него ни начала, ни конца. Он противоречивый сам по себе.
Он просто делает не то, что должен был бы делать (потому что если бы делал — то не мог бы).
Из этого и получается, что диагностика «никогда не останавливается на своем входе» не реализуема никаким алгоритмом.
Этот алгоритм не корректен вцелом, а не в каком-то месте. Вы получили уроборос и спрашиваете, где у него начало. Нет у него ни начала, ни конца. Он противоречивый сам по себе.
Так в этом и смысл доказательства — если предположить, что такой алгоритм существует, то мы приходим к противоречию. Следовательно — его не существует.
Там два предположения:
- что алгоритм корректный
- что алгоритм останавливается на любом входе
Доказательство от противного работает только при единственном предположении.
Там одно предположение — алгоритм существует.
что алгоритм корректный
Что значит "некорректный" алгоритм?
Код, который невозможно выполнить.
Компьютер, который выполняет этот код, растворится в воздухе в процессе?
Fatal error.
У нас же простой вычислитель, у которого не может быть проблем ни с памятью (она вся инициализирована нулями и позволяет любую адресацию), ни с вычислениями (из любого состояния написано куда переходить в зависимости от того, что находится в той ячейки памяти, которую он сейчас читает).
Максимум он может никогда не остановиться, но это не fatal error.
Это один из нормальных сценариев завершения.
Ну-ну, пойтуть эте выполт алнипробог оритм.
Не всякий набор букв является алгоритмом.
Но когда мы говорим «существует алгоритм делающий что-то» — мы имеем в виду «есть такой набор букв, являющийся алгоритмом, что если его исполнить что-то будет сделано».
Ну вот и "набор букв" эффективно ссылающийся на результат своей работы — это тоже "не алгоритм".
Компилятор, который себя может скомпилировать ссылается на себя или нет?
Или программа на C, печатающая свой собственный текст?
Если одно число на вход подаём — алгоритм, а другое — уже не алгоритм? Это не соответствует определению алгоритма. Можете назвать это nin-алгоритмом.
Я не проследил, это контр пример к какой фразе?
Это же одно и то же предположение.
Предположение "Алгоритм с заданной областью значений существует" уже предполагает что он не выдает fatal eror или другой мусор.
Если в результате компиляции самого себя он будет каждый раз давать разные результаты, то это не корректный компилятор.
так и есть, т.к. есть например рандомизация адресов. Вообще две разные программы могут работать одинаково для всех входов.
«тем не менее, мы определённо можем перевести наше метаматематическое утверждение, „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“, в формулу с уникальным номером Гёделя.»
Если я правильно понял, чтобы формула имела номер Гёделя, одна должна быть записана через 12 элементарных символов из таблицы.
Действительно ли утверждение „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“ может быть выражена в виде формулы через эти 12 табличных символов?
Можно ли это доказать, и как она будет выглядеть, кто-нибудь знает?
Действительно ли утверждение „формулу с номером Гёделя sub(y, y, 17) нельзя доказать“ может быть выражена в виде формулы через эти 12 табличных символов?
Это делается, по факту, в два шага. Сперва мы берем формулу Х и переводим ее в номер sub(y, y, 17). Теперь утверждение о формуле с номером sub(y, y, 17) заменяется утверждением о самом номере, т.е. о некотором натуральном числе. А любое утверждение о натуральном числе — является арифметической формулой, у которой, в свою очередь, гарантированно есть свой номер (то, что мы можем закодировать номером любую формулу арифметики, доказывается выше).
Но утверждение о доказуемости — является.
Все-таки не любое утверждение о натуральном числе является арифметическим (как минимум из соображений мощности — утверждений о натуральных числах континуум, а формул — лишь счетное количество)
Так утверждение — это и есть формула, по-этому их одинаковое число.
С-но, закодировав все формулы — мы закодировали все утверждения.
Что такое "невыразимое увтердение"? Если оно невыразимо — оно и не утверждение, а непонятно что.
В логике второго порядка можно сформулировать строго больше, чем в логике первого, например.
Ну, во-первых — их все равно счетно, если сигнатура счетная. Во-вторых — у вас тут возникнет проблема с интерпретацией. Допустим, вы сформулировали какое-то утверждение о числах, которое не формулируется в самой арифметике. Но что значит это утверждение? И почему его можно считать в каком-то смысле «утверждением о числах»?
Если рассматривать все возможные предикаты на числах — их уже не счетно. Странно не считать какой-то из предикатов «утверждением о числе».
Соображение о расширении сигнатуры (например, разрешить логику второго порядка, а не первого) — просто один из способов объяснить, откуда такие предикаты могут взяться (и почему они по-прежнему могут иметь смысл).
Да, когда мы говорим про логику второго порядка мы неявно предполагаем, что теория не более чем счетных множеств не противоречива сама по себе (как мы предполагаем непротиворечивость правил вывода для логики первого порядка или даже логики высказываний).
Если рассматривать все возможные предикаты на числах — их уже не счетно.
Предикатов — несчетно, но говорить вы можете только о счетном подмножестве. Парадокс Скулема. Аналогично с действительными числами — множество несчетно, но доказать можно существование не более чем счетного числа действительных чисел. Остальные как бы существует, но вы их не можете напрямую "пощупать" и использовать в рассуждениях.
Аналогично с действительными числами — множество несчетно, но доказать можно существование не более чем счетного числа действительных чисел.
Откуда тогда уверенность в несчётности этого множества?
Откуда тогда уверенность в несчётности этого множества?
Оттуда, что предположение о счетности приводит к противоречию.
Да, в логике первого порядка (как и второго) поверх не более чем счетной сигнатуры выразимо не более чем счетное число предикатов.
А метатеория, в рамках которой вы формулируете свою теорию с несчетной сигнатурой, все равно может иметь счетную модель.
На самом деле счетные множества же не отличаются от несчетных множеств "количеством элементов". Просто между ними нету биекции.
Теорема Сколема об уменьшении мощности модели — она до размера сигнатуры, а не до счетного множества.
Да, конечно, у ZFC есть счетная модель, но какие-то ее элементы нужно считать континуальными и выше множествами.
Теория с континуальным количеством различных констант не может иметь счетной модели.
Счетную модель имеет _мета_теория. Вы же теорию описываете в рамках метатеории. И говорите "вот это множество констант являтеся несчетным в моей метатеории". Но для вашей метатеории найдется модель, в которой это несчетное множество представлено счетным.
Т.е. с этими константами та же проблема — вы можете доказать в метатеории, что это множество несчетно, но при этом можете "потрогать" не более чем счетное число объектов из этого множества.
Ну и, соответственно, с точки зрения мета-метатеории ваша модель, которая в метатеории была несчетной, будет уже счетной :)
Да, конечно, у ZFC есть счетная модель, но какие-то ее элементы нужно считать континуальными и выше множествами.
Они континуальны с точки зрения самой ZFC. Т.е., внутри ZFC нету нужной биекции.
nin-jin
Я вас не понял.
То есть в интерпретации (любой, в частности счетной) есть элементы (=множества в ZFC), которые континуальны (=равномощны 2^N).
Это они в ZFC континуальны, но при этом в модели это множество может быть счетным.
Доказательство неравномощности в ZFC говорит лишь о том, что в вашей модели не окажется подходящей биекции — но это не значит, что таковая биекция в не существует в метатеории.
Почему носитель модели — это множества?
Если мы ссылаемся просто на Сколема — то он всего лишь утверждает, что на числах можно ввести (бинарный) предикат принадлежности так, чтобы аксиомы zfc были выполнены.
И тогда «множество в модели» — это всего лишь число. Биекции между числами — это что-то странное, не так ли?
Существование более чем счётного числа — это как бы определение несчётности.
Получим совокупность F(Q), а ещё попробовали взять только те функции F(x), у которых в ряде Тейлора коэффициенты из рациональных чисел. Но функций таких много, к ним относятся все числа F(G(Q)), F(G(H(Q))) и т.д.
Да, в логике первого порядка (как и второго) поверх не более чем счетной сигнатуры выразимо не более чем счетное число предикатов.
Запилил, наконец, разбор теорем Гёделя, доказательства Кантора, теоремы Тьюринга и, конечно, парадоксов лжеца и брадобрея:
О тут все более менее последовательно изложено, потому что из комментариев ранее было не понятно что Вы хотите сказать. Но Ваш подход не дает ответ на вопрос, потому что если выкинуть бесконечности, то и проблем нет. Только на практике толку от этого мало, потому что даже "конечные" числа настолько большие что нам времени не хватит чтобы их все перебрать:)
Но Ваш подход не дает ответ на вопрос
Какой вопрос?
Какой вопрос?
"Что это все даёт?"
Прежде всего понимание как на самом деле работает доказательство от противного и почему оно не работает в известных теоремах.
Окей. Почему вы аксиому выдаёте за дополнительное предположение не понятно.
Вы про какую аксиому?
Например рассмотрение бесконечной памяти в машине Тьюринга или предположение о том что построение противоречивого вещественного числа методом Кантора корректно. Оно тоже требует бесконечно долгий процесс.
Так я об этом и говорю. В зависимости от того, какой тезис вы возьмёте за аксиому у вас получатся разные математики. Одна продуктивная, а другая абсурдная.
Согласен. Осталось выяснить какая из них абсурдная. Или другими словами "что это всё дает?". Под "это" я имею ввиду альтернативную аксиоматику. Например на Хабре не так давно было про конструктивизм, это тоже самое или нет?
Абсурдная — так, которая основана на абсурдных аксиомах типа "действительное число, которое не равно любому действительному числу, существует".
Конструктивизм не совместим с абсурдом, да, ибо требует предъявить это число, "иначе не было".
действительное число, которое не равно любому действительному числу, существует
Такой аксиомы не заявляется. Предположение там такое: если алгоритм построения числа существует, то и число тоже существует.
Возможно у вас в голове какое-то определённое доказательство. Потому что вариантов там несколько.
Это эквивалентные аксиомы. Подставьте "алгоритм построения числа не равного никакому числу" вместо "алгоритм построения числа"
Разговор перестает быть предметным, потому что ни в видео не в комментариях вы не пишите полностью от начала до конца. А мне за вас додумывать не получается, потому что вы думаете как то по своему.
Вещественные числа существует сами по себе. Они определены произвольной десятичной записью. Грубо говоря.
Попытка их пронумеровать приводит к противоречию. В самой предпосылке нету противоречия. Противоречие именно в комбинации двух.
Разные десятичные записи могут описывать одно и то же число. Пример: 1.(0) = 0.(9) = 1.(0)1
Так что даже генерация уникальной десятичной записи вовсе не обеспечивает создание нового числа. Диагональный метод только запутывает. Лучше гляньте на доказательство несчётности множества всех подмножеств натуральных чисел — там используется абсурдное определение в чистом виде.
Разные десятичные записи могут описывать одно и то же число.
Это не проблема, т.к. одних и тех же записей числа счётное количество. Выражение "1.(0)1" не имеет смысла в принципе.
На самом деле это не важно получились вещественные числа или "немного больше" чем вещественных. Концепция счётные или не счётные остается.
Upd. Посмотрел видосик. Там тоже диагональный метод, только завуалированный ;)
Тогда можно не ссылаться на счетность рациональных чисел, а явно строить новое число.
Выражение "1.(0)1" не имеет смысла в принципе.
Имеет. Это предел суммы ряда 2 - 0.9 - 0.09 - 0.009 ..., как и 0.(9) — это предел суммы ряда 0.9 + 0.09 + 0.009 ....
Предел обоих рядов это ровно 1.
Предел не имеет отношение к записи десятичной дроби. Запись десятичной дроби говорит о том как её записать.
Другими словами
while (true) {
print(0)
}
print(1)Какой будет ответ этой программы?)
Численно равно, а записи разные.
В принципе мне больше нечего добавить к тому, что я уже сказал.
Первая запись не добавляет новых строк, зачем ее вообще использовать?
Запись 1.(0)1 и 1.(0) — это запись одной и той же строки
"1.(0)1" — это строка, "1.(0)" — тоже строка, и они, очевидно, разные. При этом две эти разные строки являются записями одного и того же числа (не строки, это и так строки — сами по себе).
Так вот обе записи 1.(0)1 и 1.(0) соответствуют одной и той же бесконечной строке:«1.0000...0000...»
Любое строковое представление числа — это не более чем короткая запись разложение в ряд. Строковое представление само по себе числом не является. Так что эти записи — не более чем короткие записи разложения в разные ряды.
Каждой такой записи соответствует одно и ровно одно число, десятично-рациональным числам (тем, у которых есть запись с бесконечным хвостом нулей) кроме нуля — ровно две записи (с нулями и с девятками в конце), всем остальным действительным числам — ровно одна такая запись.
Запись со скобочками — это другой способ записать вот эту вот бесконечную каноническую запись.
Например, 1.(3) — это запись для строки 1.3333… (и эта строка соответствует рациональному числу 4/3).
Вы подменяете причину и следствие. Значение циферок на каждой позиции определяется исключительно разложением в тот или иной ряд.
Предел какого-то ряда a + b/10 + c/100 + d/1000 ...?
Чем это отличается от того, чтобы просто сказать, что число задается последовательностью (a, b, c, d, ...), которую удобно записывать как a.bcd…
Число — это число. Предел суммы ряда — это запись со скобочками типа 0.(9)
Как мы тогда вводим ряды?
Или тоже просто говорим, что ряд — это ряд?
"0.(9)" это не предел суммы ряда. Это сам ряд, из одного нуля и девяток.
Upd. Проблема в том что чем дальше вы уходите в альтернативную реальность, тем больше Вам надо писать про все Ваши обозначения. Иначе никто не поймёт ничего.
Не стоит путать математический ряд и ряд символов в строке. Это совершенно разные сущности.
Есть отображение из такой «короткой» записи со скобочками в бесконечные строки
Строки бывают только конечные. Указанная запись соответствует некоторому числу, Ю. которое строкой непредставимо. Но не какой-то "другой строке".
Десятичную запись (бесконечную вправо ровно с одной точкой и опциональным минусом впереди) считают канонической для действительных чисел.
Не для действительных, а для рациональных. Действительные числа, в общем, просто не записываются.
Чем это отличается от того, чтобы просто сказать, что число задается последовательностью (a, b, c, d, ...), которую удобно записывать как a.bcd…
Тем, что последовательности надо еще складывать и перемножать. Когда ты задаете числа как пределы фундаментальных последовательностей — это все происходит из коробки, т.к. фундаментальные последовательности можно умножать/складывать и их пределы точно так же умножаются/складываются.
И в чём же разница кроме знака суммы?
В математическом ряду у вас бесконечное число членов, а в соответствующем ряду символов — всего 5. Очевидная разница, нет?
Строки бывают только конечные. Указанная запись соответствует некоторому числу, Ю. которое строкой непредставимо. Но не какой-то «другой строке».
Это терминологический вопрос.
Я привык к тому, что слова — это всегда конечные строки, а вот строки бывают уже и конечными и бесконечными.
Термин «бесконечная строка» точно довольно часто используется. В других терминах — это «сверхслово» или «бесконечная последовательность из цифр и символов '-.' », или даже отображение из натуральных чисел в эти цифры и символы.
Десятичную запись (бесконечную вправо ровно с одной точкой и опциональным минусом впереди) считают канонической для действительных чисел.
Не для действительных, а для рациональных. Действительные числа, в общем, просто не записываются.
Конечной записью со скобочками — записываются рациональные числа и только они.
Бесконечная десятичная запись — это все вещественные числа и только они (с точностью до того, что двоично-рациональные числа имеют две записи).
Если вводить действительные числа как пределы фундаментальных последовательностей — то для каждой «десятичной записи» есть фундаментальная последовательность (даже монотонная и заранее фиксированной скоростью сходимости), и наоборот — для каждой фундаментальной последовательности есть десятичная запись (ровно две, если предел двоично-рациональный отличный от нуля, иначе ровно одна).
В математическом ряду у вас бесконечное число членов, а в соответствующем ряду символов — всего 5. Очевидная разница, нет?
Мы же только что обсуждали, что эти пять символов — это сокращенная запись бесконечно длинного ряда, разве нет?
Бесконечная десятичная запись — это все вещественные числа и только они
Да нету у них никакой записи. Если только под "записью" не подразумевать какую-то, мм, странную вещь, которую обычно люди под этим не подразумевают. И дело даже не в бесконечности — дело в том, что среди всех действительных чисел только для бесконечно малого подмножества можно такую запись получить.
Мы же только что обсуждали, что эти пять символов — это сокращенная запись бесконечно длинного ряда, разве нет?
Это сокращенная запись числа. числа, а не его десятичного представления.
Вам в любом случае нужна бесконечная последовательность которую можно нумеровать, типа a1, a2, a3 и так далее.
И?
Бесконечная десятичная запись — это все вещественные числа и только они
Да нету у них никакой записи. Если только под «записью» не подразумевать какую-то, мм, странную вещь, которую обычно люди под этим не подразумевают. И дело даже не в бесконечности — дело в том, что среди всех действительных чисел только для бесконечно малого подмножества можно такую запись получить.
Что Вы вкладываете в слово «получить запись числа»?
Если какую-то эффективность (=вычислимость), то та же история и с самими числами — мы не можем описать более чем счетное число вещественных чисел (вне зависимости от способа описания). Мы же после этого не говорим, что «вещественных чисел нету, потому что мы можем описать только малое их подмножество»?
Любое десятично-нерациональное число (заданное оракулом, который дает рациональное приближение любой точности) можно перевести в такую запись алгоритмически.
Что Вы вкладываете в слово «получить запись числа»?
То, что подразумевает любой человек под "запись" — т.е. садитесь и записываете. Для конечных чисел — понятно, это процесс конечный, для бесконечных — сел и пишешь бесконечно, все точнее и точнее отражая число. Очевидно, что почти для всех вещественных чисел так не делается, т.к. они почти все невычислимы. С-но, никакого "записи" для них не существует.
Мы же после этого не говорим, что «вещественных чисел нету, потому что мы можем описать только малое их подмножество»?
Потому что существование числа никак не связано с существованием записи этого числа, очевидно.
Любое десятично-нерациональное число (заданное оракулом, который дает рациональное приближение любой точности) можно перевести в такую запись алгоритмически.
Но такого оракула нет. С-но, непонятно в каком конкретно смысле существует какая-то "запись числа". Т.е., ясно, что можно определить понятие "записи" соответствующим образом, но оно не будет интуитивно соответствовать тому понятию, которое любой разумный человек бы готов был в это слово вложить.
Очевидно, что почти для всех вещественных чисел так не делается, т.к. они почти все невычислимы.
Зачем мне вычислять? Я просто пишу из головы. Что угодно. и получу какое-то число.
Для этого нужно принять аксиому (счётного) выбора.
Зачем? Произвольная десятичная запись ничем не отличается от произвольной последовательности Коши, с точки зрения приколов из теории множеств.
И?
Очевидно что 0.999… это одна из таких последовательностей. Все такие последовательности взаимно однозначно соответствуют рядам вида a/10 + b/100 + c/1000 и так далее. Где а,b,c это цифры. Дальше можно построить соответствие между пределам этих последовательностей, т.е. рядов и вещественными числами. Потому что все они складываются умножаются и т д.
Вам в любом случае нужна бесконечная последовательность которую можно нумеровать, типа a1, a2, a3 и так далее.
Мы не используем никаких хитрых или бессмысленных записей в диагональном методе. Мы пишем явно строки, которые состоят из нулей и единиц, без скобочек.
Upd. или десятичных цифр, но в бинарной записи имхо проще.
В том смысле, что для любой нумерации действительных чисел можно (конструктивно) предъявить действительное число не входящее в эту нумерацию.
Как работает доказательство Гёделя