Математик Деннис Гайцгори из Института математики Макса Планка в Бонне, Германия, получил престижную премию «Прорыв» в области математики в размере 3 миллионов долларов за доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — одной из самых сложных математических проблем современности. Эта гипотеза является важной частью того, что математик Эдвард Франкель назвал «великой объединённой теорией математики», призванной связать разрозненные математические области.
На протяжении всей своей карьеры исследователь Деннис Гайцгори стремился решить невероятно сложную математическую проблему, известную как геометрическая гипотеза Ленглендса. По его словам, эта задача оказалась необычайно привлекательной:
«Эта конкретная вещь оказалась очень, очень вкусной. Ты просто начинаешь выделять слюну, тебе хочется пойти и решить её».
Геометрическая гипотеза Ленглендса является важным компонентом масштабных усилий по созданию того, что было названо «Великой объединённой теорией» математики. И теперь, после трёх десятилетий работы, Деннис Гайцгори вместе со своим бывшим аспирантом Сэмом Раскиным и ещё семью математиками представили монументальное 1000-страничное доказательство этой гипотезы.
Интересный факт: когда Сэм Раскин сказал, что может доказать важную часть, они заключили пари — если Раскин действительно сможет это сделать, Гайцгори пообещал ему бутылку скотча.
«Потребовалось много времени, чтобы выяснить, какую правильную конструкцию нужно построить и какие материалы доступны», — объясняет Гайцгори. «Они построили целый мир».
Для Гайцгори этот эпический поиск начался в 1994 году, когда он впервые услышал о геометрической программе Ленглендса, будучи аспирантом:
«Я думаю, что понял примерно 15%, если не меньше, но был полностью поражён тем, как математические объекты, о которых я знал, сочетаются и приводят к этим гипотезам. В программе Ленглендса, особенно в геометрической, есть что-то чрезвычайно привлекательное».
То, что сейчас известно как программа Ленглендса, началось в 1967 году, когда математик Роберт Ленглендс написал письмо французскому теоретику чисел Андре Вейлю, описывая план соединения далеко идущих ветвей математики.
«Программа затрагивает множество разделов теории чисел, разделов физики, и в ней есть разные отсеки и разные уголки, которые действуют параллельно».
Программа Ленглендса черпает вдохновение из другой области математики — анализа Фурье, который разбивает сложные сигналы на более простые компоненты.
«Преобразование Фурье — один из тех базовых строительных блоков большей части математики. Мы упрощаем, мы пытаемся думать обо всём с точки зрения этих базовых, фундаментальных паттернов».
Рассмотрим сложные звуки окружающего мира. В основе каждого из этих очень разных звуков лежит фундаментальная коллекция: чистые тона. Каждый тон представляет собой одну частоту. Математически чистые тона — это синусоидальные волны. Эти простые колебания являются строительными блоками всех сложных звуковых волн, от радиопомех до симфоний.
В 1822 году математик Жозеф Фурье показал, что любую волну можно разложить на бесконечную сумму синусоидальных волн, используя метод, который сейчас называется преобразованием Фурье. Преобразование Фурье похоже на генератор рецептов: вы вводите сложную волну и получаете её ингредиенты — амплитуду и частоту каждой составляющей синусоидальной волны.
Анализ Фурье является неотъемлемой частью современных технологий. Его применение варьируется от сжатия JPEG и распознавания изображений до квантовой физики и МРТ. Он также открыл революционную новую структуру в чистой математике.
«Наш опыт с теорией Фурье направляет многие способы, которыми мы думаем о программе Ленглендса, то, как развивается предмет, и те явления, которые мы наблюдаем».
Теория Фурье имеет два компонента: базовые строительные блоки и метки. Представьте детский игрушечный замок. Этот замок можно разобрать на отдельные строительные блоки, и эти блоки затем можно рассортировать по цвету в корзины и пометить. Аналогично, преобразование Фурье разбирает сложную волну на отдельные синусоидальные волны. Они подобны строительным блокам. Каждая синусоидальная волна может быть помечена своей частотой или тем, как быстро она колеблется в секунду.
Метки на корзинах — это больше, чем просто способ организации вещей, они могут использоваться для восстановления исходной сложной волны и как эффективное сокращение для передачи информации. Например, когда вы отправляете голосовое сообщение, ваш телефон не передаёт всю сложную звуковую волну. Вместо этого он разбивает её и отправляет только метки или частоты составляющих синусоидальных волн. Телефон получателя затем обращает этот процесс, преобразуя метки обратно в содержимое корзин, чтобы восстановить исходную звуковую волну сообщения.
Чтобы открыть новые связи между другими далёкими математическими мирами, исследователи Ленглендса ищут аналогии теории Фурье в других контекстах. В обширном мире математических объектов — сфер, функций, простых чисел — есть ли другие базовые строительные блоки, которые могут поместиться в корзины? И если да, то что служит метками? Когда Ленглендс начал свой поиск аналогов теории Фурье, он сначала искал метки в теории чисел — ветви математики, изучающей арифметику.
«И то, что предсказал Ленглендс, это то, что метки в этой игре — это определённые объекты глубокого арифметического интереса».
В оригинальной формулировке программы Ленглендса в теории чисел строительными блоками являются функции. Но функции могут быть заменены сложной абстракцией, называемой «пучки» (sheaves), названные так, потому что математики визуализируют их как снопы пшеницы, растущие поверх других математических объектов.
«Изначально каждый пучок сам по себе был способом маркировки: вот класс функций, который мне нравится — непрерывные функции, дифференцируемые функции, особый класс функций. Но затем в течение десятилетий произошло что-то странное: люди начали думать о наборе всех этих наборов».
Опираясь на связи между функциями и пучками, математики переместили многие части программы Ленглендса в новую геометрическую обстановку. В геометрической программе Ленглендса особый подкласс пучков, называемый собственными пучками (eigensheaves), является строительными блоками в корзинах, аналогично синусоидальным волнам. Метки на корзинах — это то, что называется представлениями фундаментальной группы, описания петель, которые могут быть начерчены на сферах, пончиках и других формах.
Подобно тому, как преобразование Фурье разбивает сложные волны и помечает их по частотам, геометрическая программа Ленглендса разбивает пучки на собственные пучки, каждый со своей меткой. Математики могут изучать эти метки и переводить эту новую информацию обратно к собственным пучкам, а затем к самим пучкам.
В середине 2000-х годов, в разгар вспышки интереса к геометрической программе Ленглендса как со стороны физиков, так и математиков, Гайцгори наконец начал видеть путь вперёд:
«До этого момента это было в некотором смысле как ходить в темноте в лесу. С того момента я просто увидел структуру».
Гайцгори нарисовал то, что он назвал фундаментальной диаграммой — особый способ установления соответствия между пучками и их метками. Но в его диаграмме не хватало одного элемента. Ему нужно было знать, что каждый единственный собственный пучок содержится в специальном составном пучке, известном как пучок Пуанкаре.
Раскин также увлёкся этой проблемой: «Сэм стал аспирантом в году точно после этого откровения, в 2006 году». После завершения своей докторской диссертации Раскин продолжил изучать пучок Пуанкаре. Пучок Пуанкаре подобен белому свету: так же, как белый свет содержит все цвета, математики ожидали, что пучок Пуанкаре будет содержать каждый собственный пучок.
«Хотя трудно записать отдельный собственный пучок, оказывается, что вы можете очень непосредственно записать то, что происходит, когда вы объединяете их всех».
Если бы Раскин мог доказать, что составной пучок Пуанкаре содержит все собственные пучки, то он мог бы использовать это как инструмент для доступа к отдельным собственным пучкам, как призма, разбивающая белый свет на радугу. В 2022 году Раскин и его собственный аспирант наконец доказали это, завершив фундаментальную диаграмму Гайцгори.
«Они раскрыли эту тайну, после чего форма решения стала яснее».
В течение следующих двух лет Гайцгори и Раскин возглавили команду, которая написала пять статей, доказывающих геометрическую гипотезу Ленглендса.
Изначально некоторые разделы в статьях были даже названы в честь эпизодов «Звёздных войн», но позже эти названия были удалены из-за проблем с авторскими правами. Тем не менее, в одной статье всё же осталась цитата из «Звёздных войн»: «Страх будет держать местные системы в узде». По словам Гайцгори, «это было действительно уместно, потому что в этой статье нам нужно было контролировать пространство модулей местных систем».
Гайцгори подчеркивает, что доказанная им гипотеза — лишь часть гораздо большей программы: «Гипотеза, которую мы доказали, — это частный случай чего-то гораздо, гораздо большего. Она привлекла к себе много внимания, потому что это хорошо сформулированная идея. Но это всего лишь один шаг. Я был рад, что этот шаг был сделан, но впереди ещё много работы».
На вопрос о том, обсуждает ли он свою работу с друзьями и семьёй, Гайцгори ответил отрицательно: «Нет. Они не математики. Технически они не могут понять. Моя жена была рядом со мной и знает историю и развитие темы. Она знает, как все это выглядит со стороны, но я не могу описать содержание [ей]».
Когда его спросили, согласен ли он с тем, что программа Ленглендса — одна из самых сложных исследовательских тем в мире, Гайцгори дал интересный ответ:
«Вопрос в том, что вы подразумеваете под «сложным». Да, нельзя просто прийти с улицы и начать изучать это. Но то же самое относится и к тому, чем занимаются другие математики... Нужно приложить некоторые усилия, чтобы понять, как всё устроено, и тогда всё станет ясно. Но это не значит, что то, что мы делаем, по своей сути сложнее. Я думаю, что вся пограничная математика одинаково сложна. Мы все пытаемся расширить границы в разных точках».
И, возможно, самое интересное, что математика для Гайцгори — это не просто работа или даже страсть, а нечто более фундаментальное: «Это как настоящее желание. Это как аппетит. Я хочу заниматься математикой. И если я не могу, если мне мешают заниматься математикой, например, когда я на неделю уезжаю с детьми в отпуск и не могу заниматься математикой, я страдаю». На вопрос, не похоже ли это на зависимость, Гайцгори ответил: «Да, может быть. Скорее, так: человеку нужно есть, и человеку нужно заниматься математикой».
Всё это и много другое — ТГ «Математика не для всех»
