Comments 112
Помнится где-то тихонечко ожидает премия в 1 млн долларов для мужчины, который сможет выносить и родить ребёнка. Выходит, математикой заниматься может быть кратно выгоднее. И ведь заслуженно!
Глядишь, так дождёмся и ответа на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого.
Спасибо за статью.
Глядишь, так дождёмся и ответа на главный вопрос жизни, вселенной и всего такого.
зачем ждать? уже давно известно что 42
Не дождёмся. Мозгов не хватит, нужна фрактальноусложняющаяся нервная система, причём бесконечно растущая.
Математик получает 3 миллиона долларов за решение одной из сложнейших задач современной математики
Это в месяц или в год?
Это в жизнь!
Это за обоснованное доказательство своего решения. А ЗП у него по тарифу универа в котором работает.
Он придирается к стилю написания. Лучше бы "Математик получил 3 миллиона долларов..."
Лучше бы "Математик получил 3 миллиона долларов..."
А можент, не надо...
С виду мужичок обыкновенный —
в пиджачке, не бомж, не наркоман —
Взял да вывел формулу Вселенной
русский математик Перельман.
Вывел скромно, мелкими шажками,
чтоб понять, как сделан этот мир.
Показал мельком старушке-маме
и пошел на кухню пить кефир.
Формула далась ему не сразу —
он к ней шёл, как ежик сквозь туман.
Целых двадцать лет её, заразу,
вывести пытался Перельман!
Формулу найти мечтал бы каждый
математик мира. Но она
Снилась Менделееву однажды
(только тот не понял ни хрена).
За нее отдать хоть жизнь, хоть почки
обещал Эйнштейн. И он был рад
Отгадать три буквы в нижней строчке —
те, где Е равно МС квадрат.
Формула же всех процессов в мире,
чтоб представить мог любой плебей —
Это где-то пятьдесят четыре
метра интегралов и дробей.
Если там подставить в логарифмы
имя, телефон, объем груди,
И ещё чего-нибудь для рифмы
вынести за скобки позади,
Сверху — GPS-координату,
снизу — подпись, и число, и год —
То она покажет каждый атом!
В смысле, что и где произойдет.
Если ж сократить ее безмерно,
указав у формулы внутри,
Что пространство, как у нас, трехмерно,
и константа Пи — примерно три,
То для частной примитивной схемы
в нашей галактической дыре
Формула рисует теоремы
хоть Ферма, а хоть Паункаре.
Этот-то пустяк по доброй воле
Перельман и скинул в интернет,
Пререкаясь с анонимным троллем
в чате «матанализ точка нет»
И пошло… Закопошилась пресса.
Крики «Гений!», «Бред!», «Моё, отдай!»
(Оказался тролль — большой профессор,
как считает весь его Китай).
И уже наутро Перельману
раздались звонки его коллег:
Мол, какие творческие планы?
Допиши-ка восемь человек
В авторы статейки по секрету.
Ты ж в науке, не в монастыре.
Мы ж все вместе доказали эту…
как там, говоришь? Пуанкаре?
Отключив мобильник от эфира,
телефону оборвав шнурок,
Перельман собрался за кефиром.
Хорошо, что посмотрел в глазок!
У него за дверью прямо в метре —
журналисты, поп, какой-то мент,
Да ещё какой-то Виктор Петрик
с транспарантом «выкуплю патент!»,
Да ещё налоговый инспектор,
и отец Кирилл, и дед Пихто,
Да студент Раскольников с конспектом
и какой-то штукой под пальто,
Контактёры, репортёры, дуры,
почтальоны с кучей барахла,
И Каспаров с шахматной фигурой
в виде двухголового орла!
Показала формула такое,
что уже и верится с трудом:
Как он с мамой где-то под Москвою
начал строить загородный дом.
Газ, водопровод, скандалы, крики,
взятки, просьбы, штрафы, местный суд.
Как его наёмные таджики
самосвалом две стены снесут.
Как ему сидеть внутри машины,
проклиная пробки по Москве.
Как враги-коллеги режут шины
в купленном для мамы БМВ.
Как в ток-шоу «Есть ли Бог и Вера?»
спорят с ним Малахов и Билан.
Как он едет в лагерь Селигера
пару лекций спеть под барабан.
Как найдут внезапно кражу века
и дадут ему условный срок:
Он же взял без кассового чека
миллион, не уплатив налог.
А Басманный суд накроет муза
завести пятнадцать новых дел:
Что, читая лекции по ВУЗам,
Перельман оттуда тырил мел.
И примерно всё в таком же роде —
посадили, отобрали дом,
А затем по формуле выходит
сердце, два инсульта и дурдом…
Перельман воскликнул: «Сгиньте, гады!
Премия мне ваша не нужна!
Есть кефир, а больше мне не надо!
Быстро все пошли отсюда на..!»
© Леонид Каганов.
Шутка прост. Но немного придирка
Чудесно.. как и у меня.. когда я отдыхаю вдали от моих тем.. я страдаю.. вот это слово.. Ради этого стоит работать..
Нет, это такая метафора.
Имеется ввиду, что любой раздел математики можно преобразовать в пучки, а сами пучки имеют определённые свойства, которые можно изучать и открывать на их основе любые другие разделы. То есть задача открыть всю математику, условно говоря.
Возьмём уравнение x^3 - x^2 = y^2 + y и будем решать его по модулю какого-нибудь простого числа. Например, по модулю 3 у нас есть 4 решения: (0, 0), (1, 0), (0, 2), (1, 2)
Теперь запишем таблицу: простое число, число решений по модулю этого простого и разность первых двух столбцов
2 4 -2
3 4 -1
5 4 1
7 9 -2
11 10 1
13 9 4
Есть ли какая-то закономерность для чисел последнего столбца? На первый взгляд никакой.
А теперь возьмём вот такой ряд, раскроем скобки.
q (1-q)^2 (1-q^11)^2 (1-q^2)^2 (1-q^22)^2 (1-q^3)^2 (1-q^33)^2 ... = q - 2q^2 - q^3 + 2q^4 + q^5 + 2q^6 - 2q^7 -2q^9 - 2q^10 + q^11...
Сравним числа третьего столбца с коэффициентами ряда при простых степенях - они совпадают. Удивительно то что число решений над конечным полем напрямую связано с коэффициентами бесконечного ряда. Причём насколько я понимаю там связь один к одному: каждому такому уравнению (эллиптической кривой) соответствует свой ряд (модулярная форма) и наоборот. То есть эллиптические кривые и модулярные формы на первый взгляд выглядят как разные объекты, которые относятся к разным разделам математики, но на самом деле это один объект, который имеет два таких разных представления. В этом и заключается то самое объединение.
То что это совпадение действительно имеет место является следствием теоремы о модулярности, доказанной Уайлсом и компанией, которая тоже является частью большой программы Ленглендса.
Изучал как-то хорошую книгу Топосы, тройки, теории Барра. Когда там дошли до пучков (каковые обобщаются топосами) я закончил изучение, потому что крыша начала ехать. В общем, не спроста Гротендик рехнулся к 40-ка годам.
не спроста Гротендик рехнулся к 40-ка годам
Хм, думала, человек и вправду стал психически невменяемым, почитала био. Странно так называть пересмотр ценностей.
Если долго в уме вглядываться в математическую бесконечность, она начинает вглядываться в тебя, в твой твой ум. Но твой ум не в силах вместить бесконечность, т. к. ограничен конечным мозгом, вот ты и начинаешь сходить с ума.
Это потому что у него геометрические топосы. Надо по элементарным топосам угорать, а там всё просто и понятно.
Когда комментарий гораздо полезнее целой статьи - спасибо!
Или количество нулей аналитической функции можно записать в виде интеграла по границе области отношения значений производной и самой функции, там ещё число пи в знаменателе. Казалось бы, количество нулей и непрерывный интеграл - какая связь? А, ещё количество представлений натуральных чисел в виде суммы натуральных слагаемых - тоже коэффициенты специальных бесконечных произведений.
Вот это я понимаю. Ппосто и на пальцах. Пусть даже не абсолютно точно. И вот где в статье такое "на пальцах" объяснение?
Пучки, предпучки - это базовые объекты алгебраической геометрии. См. Р. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия".
Деннис Гайцгори вместе со своим бывшим аспирантом Сэмом Раскиным и ещё семью математиками представили монументальное 1000-страничное доказательство этой гипотезы.
В математике издревле критериями истинности были простота и красота
1000 страниц - это не простота
Издревле, не значит истинно. Люди издревле тоже считали, что земля плоская, но оказалось, что это не так Древность чего-то не является аргументом
Древность чего‑то не является аргументом
Особенно когда «изначальная посылка» неверна: «в древности» землю плоской не считали.
"Издревле" - значит Пифагор, Архимед, Ньютон. Математические формулы основных мировых законов и теорий - просты и красивы
А у вашей плоской земли какие апологеты?
Доказательство Уайлсом Великой теоремы Ферма не принимается многими математиками именно потому, что он не просто и не красиво
Если нечто просто и красиво это не значит что оно истинно. Вот, к примеру чудесная, простая и красивая закономерность:
Продолжите ряд самостоятельно? Какое будет следующее число для шести точек?
Очевидно, что…
Математические формулы основных мировых законов и теорий - просты и красивы
Ньютон
И ограничены. Представленное им описание соответствующего мирового закона довольно быстро ломается когда мы выходим за рамки бытовых применений.
На эту тему Сабина недавно неплохое видео сделала которое сводится к тому, что идеи красоты констант и представлений о том, как оно должно быть, себя не оправдывают.
Вспомнить хотя бы незначительную ошибку в 120 порядков при оценке значения космологической постоянной.
Физика такая, какая она есть и вообще «заткнись и считай». А все попытки исправить работающую часть стандартной модели общими представлениями о красоте математики решают только задачу освоения грантов.
Возможно, "простое и красивое" доказательство самого Ферма было ошибочным.
Пифагора корёжило от иррациональных чисел. Доживи он до доказательства невозможности решить задачи про удвоение куба, трисектрисы угла и квадратуры круга, он бы точно помер. Хотя возможно это бы случилось раньше, на комплексных или трансцендентных числах. А другим людям эти факты кажутся красивыми.
не принимается многими математиками именно потому, что он не просто и не красиво
Их проблемы. Как минимум, хотелось бы получить от этих математиков строгие и универсальные критерий красоты и простоты.
Когда то думали что земля в центре вселенной, потом сказали солнце, а сейчас опять земля в центре наблюдаемой вселенной. Так что еще окажется что земля или даже вселенная плоская только в сферической замкнутой геометрии например. Тарапится не надо.
Если совсем просто, то вот: "математика - это фрактальное поле фракталов во фрактальной размерности фрактальных измерений(систем отсчета)".
Теперь попробуй визуализировать это в своей голове, а потом описать одним диф. уравнением хотя бы.
Мне кажется, эти тезисы про "просто" и "красиво" придумали в современных школах, что бы заставить детей учить математику. И действительно, многие фундаментальные формулы можно представить и нарисовать в форме приятной глазу.
Но теперь выросшие школьники считают, что "просто" и "красиво" - значит единственно правильно.
В математике издревле критериями истинности были простота и красота
Как можно всерьез писать такую ерунду, да еще аргументировать ей? Можно написать примерно 100500 простых и красивых формул, которые будут полной галиматьей, хотя по этому правилу должны бы быть истинными.
Что-то подсказывает, что доказательство в 1000 страниц не может не содержать ошибок.
Я честно не понял сложности задачи, но понял, что приз дали за 1000 страниц. Насколько я понял, утверждается соответствие некоторых множеств, функций, их связывающих, ну и структур, порожденных этими функциями, причем идет попытка выделить ключевые параметры, способные описать и те, и другие, и третьи.
Это сложно на три ляма бачей?! Блин, мне хватило бы пары страниц.
То что я понял из статьи:
Гайцгори и Ко описали все принятые разделы математики от сложения-вычетания до степенного перемножения матриц (геометрических массивов) векторов через другие разделы математики, вывели закономерности, через которые "запучковали" их и проанализировав выявили алгоритм для дальнейшего познания пограничной математики. Т. е. пограничные исследователи математики, которые "вкурят" на 100% его работу смогут сдвинуться с мёртвых точек.
Блин, да это шляпа вообще, я всю эту тему могу расписать в трех словах вообще без упоминания математики, причем это описание будет удовлетворять как лингвистическим, так и цифровым вычислениям. Ну и три ляма за все за это...
Первичные понятия/пространства первичных понятий/структуры пространств первичных понятий/логика структур пространств первичных понятий/вычисление логики структур пространств первичных понятий/межвзаимодействие вычислений логики структур пространств первичных понятий.
Причем под всем этим будет не менее зубодробительная база.
Надо заняться короче, сейчас это все довольно просто.
Займитесь, вот вам даже сам текст работ. https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
Только слово в слово не переписывайте.
Я уже просмотрел это вчера частично. Новость о награждении и работе попалась мне чуть раньше, чем я увидел статью на Хабре.
Держу пари, вся эта "зубодробительная" математика на деле окажется просто пшиком, как и это наше программирование. Достаточно кинуть на проблематику вычислительный потенциал и туман тут же рассеивается, а с ним и зарплаты, гранты, etc. Не более, чем удобный способ пудрить мозги.
В процессе.
О, новое поколение фермистов подрастает.
Можно начать с малого - доказать теорему о модулярности в трёх словах. Ведь это часть большой программы объединения.
А заминусили то зря на самом деле, все связки верно описаны. Ну да ладно. Хабр такой хабр. Чукча не читатель, чукча писатель.
Вероятностные пространства и нечеткие множества, их логика/множества, их логика/комбинаторика/функции/структуры/логика структур топология гомология/вычисление логики структур/сетевые взаимодействия дискретка. Вот и все описание. Что там с теорией чисел и алгебраической геометрией сложного?! Структуры на множествах по алгебре?! Матричные операции?! Многомерные пространства?! В чем сложность то?!
Лингвистическое/цифровое программирование-суть разные карты одной территории. Кодировка.
Итак, что же мы узнали из этой статьи:
а) существовал математик с фамилией "Ленглендс";
б) он сформулировал гипотезу настолько сложную, что автор статьи не смог даже примерно рассказать её суть;
в) тем не менее нашёлся другой математик, который эту суть понял и нашёл её достаточно привлекательной, чтобы пускать слюни;
г) доказательство заняло 1000 страниц и 8 дополнительных математиков;
д) другие математики на более высоких должностях сочли это доказательство достаточно интересным, чтобы выдать за него приз в $3000000;
е) преобразование Фурье имеет ко всему этому какое-то отношение;
ё) автор статьи любит пшеницу.
чтобы выдать за него приз в $3000000
маленькое уточнение - получает... такое ощущение, что это нечто периодическое. Было бы "получил" или "получит" - тогда да, есть финальная сумма. А тут видимо даже сумма не определена.
Шикарный заголовок и не менее шикарная статья
Просто математики наконец вычислили как попилить 3 ляма
Вот поэтому я большинство статей читать начинаю с комментариев, и по первым нескольким обычно понятно, нужно ли читать саму статью)
Математик получает 3 миллиона долларов
когда Сэм Раскин сказал, что может доказать важную часть, они заключили пари — если Раскин действительно сможет это сделать, Гайцгори пообещал ему бутылку скотча
Что-то математика не сходится у математиков
Из статьи совершенно непонятно, что из себя представляет программа Ленглендса и чем она важна, поэтому оценить достижение можно так:
- вау, круто, математик получил 3 млн долларов непонятно за что.
и так:
- 3 млн долларов - это неплохо, но слишком мало за такое достижение.
но большинство пройдет мимо, пожав плечами, - "ну получил и получил".
Нужна какая-то отдельная нормальная статья или цикл статей - "Введение в программу Ленглендса".
Действительно, Математика не для всех, когда налита генеративная чушь.
Пришлось залезть в Википедию, чтобы прочесть, что
Программа Ленглендса — сеть далеко идущих математических гипотез
о связях между теорией чисел и геометрией,
предложенная Робертом Ленглендсом в 1967-1970 гг.
Основная цель —
связать группы Галуа в алгебраической теории чисел
с автоморфными формами и теорией представлений алгебраических групп
над локальными полями и аделями.
Считается одним из крупнейших математических исследовательских
проектов XX века, отмечалась Эдвардом Френкелем
как «теория великого объединения математики»Автор, вы бы начинали с самой сути, а то за огурцами и помидорами не видно почвы и огорода.
Поскольку эту статью читают много математиков, рискну задать здесь интересующий меня вопрос: существует ли такой способ нумерации несократимых обыкновенных дробей, чтобы по порядковому номеру можно было быстро восстановить каждую дробь? Для всех обыкновенных дробей такой способ известен: в клетки квадратной таблицы (матрицы) выписываются дроби, в числителе которых стоит номер строки, а в знаменателе — номер столбца, после чего клетки нумеруются из левого верхнего угла по «дополнительным диагоналям» (если можно так выразиться) или «змейкой». Но есть ли способ «автоматически» исключить из нумерации сократимые дроби: 2/4, 3/6 и т. д.? Интуитивно кажется, что эта задача связана с поиском простых чисел, которая «вычислимого» решения не имеет (а имеет только сложное алгоритмическое решение). Так ли это?
Обязательно нужно именно взаимно однозначное соответствие N на Q? Потому что если в нумерации допустимы пропуски, то вариантов можно придумать много разных. Начиная с той же "змейки", в которой номера сократимых дробей просто игнорируются, и заканчивая всякими схемами типа записи числителя и знаменателя "вперемешку" внутри числа (скажем, в двоичном представлении зарезервировать чётные биты для числителя, нечётные для знаменателя).
Просто возникла не до конца оформившаяся мысль: а не будет ли удобно представлять вещественные числа в цифровых системах в виде обыкновенных дробей (в качестве альтернативы IEEE 754)?
Привлекает эффективность выполнения операции деления: достаточно «перевернуть» делитель, после чего умножить на делимое. Кроме того, решается проблема точности записи величин типа 1/3, которая присуща десятичным дробям «по построению».
Но чтобы использовать обыкновенные дроби в качестве «базового» типа данных, надо изобрести способ их эффективного представления на ограниченной разрядной сетке — конечном подмножестве |N.
Упомянутая «змейка» идеально подошла бы на эту роль, потому что:
покрывает как целую, так и дробную области;
диапазон представления равномерно возрастает с увеличением предоставляемой разрядной сетки;
отсутствуют «скачки» в точности представления, характерные для формата IEEE 754 при переходе к новому порядку числа (может оказаться интересным с точки зрения устойчивости реализуемых численных методов).
Единственный недостаток «змейки», который я вижу, — это низкая эффективность использования разрядной сетки, потому что одному значению из |Q соответствуют несколько (на самом деле очень много) значений из |N. Речь как раз о том, что в нумерацию включаются сократимые дроби.
Ну реализации рациональных чисел существуют во многих языках а там где нет есть библиотеки https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_data_type.
Они скорее всего медленные, там где было аппаратное сложение битов в IEEE 754 теперь нужно считать наименьший общий знаменатель, домножать числители и даже в случае простого умножения дробей вместо одного умножения нужно делать два. Ну и осмысленность этого резко пропадает учитывая то что работать с величинами типа 1/3 нужно редко а всякая тригонометрия и корни всплывают постоянно.
Короче смысла в этом видится крайне мало за пределами символьных вычислений / математических пруверов.
Согласен в том, что обыкновенные дроби не являются «серебряной пулей», как, впрочем, и представление с плавающей точкой. Там тоже хватает вспомогательных действий наподобие выравнивания порядков. Но для выполнения арифметических операций с обыкновенными дробями нет необходимости выходить за рамки целочисленной арифметики. Это может оказаться интересным с точки зрения экономии аппаратных ресурсов.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Дерево_Штерна_—_Броко
Вот алгоритм на python, который по порядковому номеру возвращает несократимую дробь с этим номером за константную память и логарифмическое время:
def stern_brocot_fraction(n):
n += 1
left, right, current = (0, 1), (1, 0), (1, 1)
while n >= 2:
if n % 2:
right, current = current, (
current[0] + left[0],
current[1] + left[1],
)
else:
left, current = current, (
current[0] + right[0],
current[1] + right[1],
)
n = n // 2
return currentНа самом деле эта задача связана не с поиском простых чисел, а с обращением алгоритма Евклида.
Также в английской Википедии можно прочитать, что есть почти однозначное соответствие между несократимыми дробями и конечными массивами натуральных чисел (то есть с цепными дробями), которые тоже не сложно перенумеровать.
Спасибо за сообщение. Мне потребуется некоторое время, чтобы разобраться с этими материалами. Пояснение, откуда появился мой вопрос, я дал выше в ответе CaptainFlint.
P. S. О цепных дробях есть прекрасная книга В. И. Арнольда «Цепные дроби», но я почему-то не увидел в ней ответа на свой вопрос. Возможно, надо перечитать более внимательно.
Пока что кажется, что дерево Штерна-Броко действительно даёт наилучший способ нумерации несократимых обыкновенных дробей. Приятный бонус в том, что ряд дробей ещё и упорядочен по возрастанию. Значит, для сравнения представленных таким образом чисел достаточно сравнить их битовые представления как целые числа.
Существующие реализации рациональных чисел обходятся без сквозной нумерации. Зачем она вам? А чтобы преобразовать double в rational есть специальные алгоритмы, например.
Вопрос не в преобразовании десятичной дроби в обыкновенную, а в использовании обыкновенных дробей в качестве базового типа для работы с вещественными числами. Некоторые аргументы в пользу такого подхода я привёл выше. Кроме того, может, я тоже хочу получить три миллиона долларов? ;-)
Если вы хотите получить денежное вознаграждение, то нужно решать "задачи тысячелетия", а не то, что вам интересно. "Аргументы выше" не отвечают на вопрос - какие конкретные задачи решает сквозная нумерация. Произвольное вещественное число представить рациональным числом нельзя, можно только аппроксимировать. IEEE 754 - это не вещественное число.
Произвольное вещественное число представить рациональным числом нельзя, можно только аппроксимировать.
Именно так. Поэтому вопрос: почему бы не попробовать в качестве такой аппроксимации наиболее естественное представление вещественных чисел — обыкновенные дроби?
Единственно возможное представление произвольного вещественного числа — это его аналитическое описание. 
, 
, 
и так далее.
Цели представить произвольное вещественное число нет. Есть мысль разработать альтернативу общепринятому представлению вещественного числа с плавающей точкой. Преимущества использования для этого обыкновенных дробей я описал выше. Недостатки у обыкновенных дробей на конечной разрядной сетке тоже будут, но уже другие.
Прежде чем придумывать что-то новое - нужно как следует разобраться со старым и не путать понятия как минимум. Число с плавающей точкой - не вещественное! Оно тоже рациональное, просто представлено в другой форме и не требует приведения к несократимой дроби, а результаты арифметических операций между ними всегда округляются на логарифмической сетке.
когда я на неделю уезжаю с детьми в отпуск и не могу заниматься математикой, я страдаю
Зачем тогда она ему были нужны? Чтобы девушку не потерять?
которые могут быть начерчены на сферах, пончиках и других формах.
Либо шарики и пончики, либо сферы и тороиды :)
На мой взгляд, подробное раскрытие физического смысла Фурье-преобразования пошло в ущерб остальной части статьи. Видно, что автор вначале очень добросовестно пытался раскрыть тему в стиле научпопа, но на пучках, видимо, сломался из-за нехватки времени и решил, что пусть будет хоть так.
В любом случае - спасибо, было интересно. Хотя пару структурных картинок с областями математики и их взаимосвязями было бы полезно в статье привести. Все-таки:
Эта гипотеза является важной частью того, что математик Эдвард Франкель назвал «великой объединённой теорией математики», призванной связать разрозненные математические области.
И еще вижу ошибку или, по крайней мере, двусмысленность в статье. Фурье-преобразование, помимо частотной, использует и временную область (фазовый сдвиг). Так что этот абзац не применим даже к спектроанализатору (амплитуды же), и уж точно не к телефонии:
Например, когда вы отправляете голосовое сообщение, ваш телефон не передаёт всю сложную звуковую волну. Вместо этого он разбивает её и отправляет только метки или частоты составляющих синусоидальных волн. Телефон получателя затем обращает этот процесс, преобразуя метки обратно в содержимое корзин, чтобы восстановить исходную звуковую волну сообщения.
Или автор так пытался алгоритм сжатия сигнала типа MPEG пояснить... но сразу это не поймешь :) Стоит прописать более четко или выкинуть совсем.
Извините если не прав но какое-то прямо таки каноничный пример текста от нейросети.
Вроде все по теме, но куча воды и никакого смысла.
Ни описания задачи, ни хотя бы описания процесса решения. О чем статья то в итоге?
С древних времен человек любил смотреть на звезды?
Математик получает 3 миллиона долларов за решение одной из сложнейших задач современной математики