Бывает, когда требуется что-то замерить, я прибегаю к простому методу, который не слишком быстр, не слишком точен, не рекомендуется ни в одном официальном стандарте — но, всё-таки, ни разу меня не подводил. Опишу его здесь, хотя, даже просто называя его «методом», я уже немного его приукрашиваю. Пожалуйста, не пользуйтесь им, если нужно повесить шкафчики на кухне или вообще что угодно, на что вам придётся ежедневно глядеть в течение ближайших десяти лет. Из измерительных инструментов нам понадобится только лист формата A4 — и всё.

Как и большинство разумных людей, умеющих расставлять приоритеты, я не ношу с собой линейку. Тем не менее, мне часто требуется что-нибудь срочно измерить, и обычно именно в таких ситуациях вполне допустима некоторая погрешность. Когда линейки под рукой не оказывается, я беру лист бумаги формата А4 — на самом деле, лучший эрзац линейки, к тому же, в изобилии доступный во всей моей среде обитания.

Бумага формата А4 верой и правдой служит мне в самых разных ипостасях, надо ли мне, например, отксерокопировать карту звёздного неба или набросать на листочке детали какого-либо математического доказательства. И так с самого детства. Я часто ею пользуюсь. Если иду куда-нибудь с сумкой, то там почти наверняка найдутся листы формата А4. Быть может, это распечатанная исследовательская статья или какая-то математическая задача, которую я недавно взялся решать и собрался немного подробнее покорпеть над ней, скоротать таким образом время в очередной железнодорожной поездке.

Размеры

Размеры бумаги A4 получены в результате решения простой и красивой задачи. Допустим, вам поручено разработать такой формат бумаги, чтобы, после разрезания листа надвое параллельно короткой стороне, обе получившиеся половинки имели такое же соотношение сторон, как и исходный лист. Иными словами, если длина короткой стороны листа равна x, а длина длинной равна y, то

Что эквивалентно

Можете проверить сами. Допустим, у нас y/x= √2​. Разрезаем такой лист пополам параллельно короткой стороне — и получаем две половинки, у каждой из которых короткая сторона равна x′=y/2=x√2​/2=x/√2​, а длинная сторона — y′=x. В таком случае, действительно

На самом деле, можно сколько угодно продолжать располовинивать листы по такому принципу — и у нас будут получаться всё более мелкие листочки, но соотношение сторон в √2​ останется неизменным. Резюмируя, можно сказать, что, если лист бумаги имеет соотношение сторон √2, то, при разрезании его надвое параллельно короткой стороне, обе его половинки сохраняют исходное соотношение сторон. Бумага формата A4 обладает таким свойством.

Но каковы именно размеры формата A4, и почему он называется A4? Что в данном случае означает 4? Как обычно, чтобы получить хороший ответ, для начала обсудим, что такое 0 и 1. Позвольте мне раскрыть тему.

Допустим, мы хотим сделать лист бумаги площадью 1м2, обладающий именно таким соотношением сторон, о котором шла речь выше. Каковы должны быть его размеры? Нам требуется

С соблюдением условия

Решив два этих уравнения, получаем

Откуда имеем

С точностью до трёх десятичных знаков после запятой у нас получится

x=0,841 м, y=1,189 м

Именно таковы размеры листа бумаги формата A0. Как раз такие размеры для листа А0 предписаны в соответствующем стандарте ISO. Лист слишком велик, чтобы испещрить его математическими расчётами, если, конечно, вы сами не хотите покрасоваться и подкинуть друзьям и домашним повод усомниться в вашем душевном здоровье. То есть, нам нужна бумага поменьше, с которой можно работать спокойно, не при��лекая внимания санитаров. Берём лист бумаги A0 размером 84,1 cм × 118,9 см и делим его пополам, чтобы получить лист бумаги A1 размером 59,4 см × 84,1 см. Затем и его делим пополам, чтобы получить лист бумаги A2 размером 42,0 см × 59,4 см. После следующей итерации получаем лист бумаги A3 размером 29,7 см × 42,0 см. Наконец, повторяем операцию в последний раз — и получаем лист бумаги A4 размером 21,0 см ×29,7 см. Вот и всё. Так получается формат A4. Эти размеры отпечатались у меня в памяти как таблица умножения на 1. Можно продолжать в том же духе, сделав форматы A5, A6, т.д. Теоретически, этот путь может привести нас к A∞. Кто-то стал деликатно покашливать, или мне послышалось? Думаете, нам не дойти до A∞? Кто сказал «атомы»? Хмм… Охрану! Где охрана? А, вот и вы, сударь. Не могли бы вы выставить этого джентльмена вон?

Леди и джентльмены, извините за такую заминку. Ха! Ну и тип! Какие такие атомы? Ну серьёзно. Мы тут с вами занимаемся чистой математикой, какое нам дело до атомов. Мы могли бы при желании даже чаю из пончика выпить. Мы же не позволим каким-то атомам испортить нам обедню, верно?

Итак, как я уже говорил, деля лист бумаги пополам по описанному принципу, можно в итоге получить формат A∞. По этому поводу мне вспомнилось вот что. Сижу я недавно в одном баре в Хокстоне и вижу — в него заходит бесконечное множество математиков. Затем первый из них обращается к бармену: «Извините за беспокойство, а не найдётся ли у вас листа бумаги A0? Мне просто нужно на чём-то набросать кое-какие уравнения. Тогда второй говорит: «Послушайте, а не найдётся ли у вас для меня лишнего листа А1?». А третий добавляет: «Меня бы совершенно устроил один лист формата A2, спасибо заранее». Четвёртый тоже хотел что-то спросить, но бармен оказался быстрее — юркнул в подсобку, а спустя мгновение вернулся оттуда с двумя листами бумаги формата A0 и сказал: «Вот. На всех должно хватить. Бумагу между собой разделите самостоятельно».

В общем случае лист формата An имеет размеры

Если подставить в эту формулу n=4, то в точности получатся размеры бумаги A4:

0,210 м × 0,297 м

Измеряем что угодно

Вернёмся к тому, чем хотели заняться изначально — будем измерять. Как я уже упоминал выше, размеры листа A4 я помню как «Отче наш». Там, где я обычно бываю, не составляет труда раздобыть лист бумаги формата A4. С годами по поводу этого формата у меня накопилось множество баек, позвольте расскажу вам одну свежую историю. Как-то после обеда я приятно проводил время в компании не менее яйцеголовых ребят, чем я сам. И вот, слово за слово, разговор вдруг коснулся стоявшего в комнате компьютерного монитора, который в тот момент бы выключен. Тут кто-то из собеседников уверенно заявляет, что диагональ этого монитора – 27 дюймов. Выглядит правдоподобно, но мы решили проверить. Тогда я достаю мой верный измеритель: лист формата А4. Далее дело пошло ни быстро, ни слишком точно, но сформулированный выше тезис мы проверили более чем надёжно.

Прикладываю лист A4 к той стороне монитора, которая шире. Эту длину берём за 1. Затем перекладываю лист и измеряю вторую сторону. Экран краешком немного выглядывал из-за листа. На глаз (опираясь на многолетний опыт, приобретённый за измерением всевозможных штук) я оценил, что оставшийся отрезок экрана составляет около 1 см. Таким образом, суммарная ширина составляет 29,7 см + 29,7 см +1,0 см =60,4 см.

Округлим до 60 см. Что касается высоты, я решил приравнять её к короткому краю. Полный 21 сантиметр влезает легко. Чтобы измерить остаток, я сложил бумагу вдвое, получив таким образом прямоугольник формата  A5 со сторонами 14,8 см×21,0 см. Далее, взяв основу сторону длиной 14,8 см, я выяснил, что она немного вылезает за край экрана. Опять же, на глаз я оценил этот избыток примерно в 2 см. В итоге имеем

21,0 см +14,8 см – 2,0 см = 33,8см.

Округлим до 34 см. Получается соотношение 60/34≈1,7660/34≈1,76, что довольно близко к 16/9, как раз такое соотношение сторон популярно в современных дисплеях. На данном этапе замеры выглядели красиво. Как говорится, бумага стерпит всё. Обратившись к пифагорейской мудрости, можем оценить диагональ как

Последний штрих — остаётся преобразовать единицы измерения. Дюйм равен 2,54 см, эта цифра тоже вбита у меня на подкорке. Разделив 68,9 на 2,54, получаем примерно  27,2 дюйма. Действительно. Это был 27-дюймовый монитор. На этом моё показательное выступление с листом A4 подошло к концу. Никто ничего не сказал. Смотрели куда-то, потупив взгляд. Я решил, что они размышляют. Или, пожалуй… нет, нет. Они определённо были впечатлены. Я уверен.

Но подождите. Кто-то меня снова перебивает. Говорите, уже есть мобильные приложения для подобных экспресс-измерений. Правда? В самом деле. Охрана! Где охрана?