«Это самое глубокое эссе, которое я видел относительно философии науки; на самом деле, оно важно для всего нашего понимания мысли, познания или реальности.»
Из заголовка понятно, что это философский вопрос. Не буду извиняться за философию, хотя я знаю, что многие ученые, инженеры и математики не уделяют ей внимания. Вместо этого я дам этот небольшой пролог, чтобы обосновать свой подход.
Человек, насколько мы знаем, всегда задавался вопросом о себе, мире вокруг и смысле жизни. Во множестве мифов повествуется о том почему и как Бог или боги создали человека и вселенную. Это теологические объяснения. Их отличительная черта — нет смысла спрашивать почему вещи таковы, как они есть, если боги создали их такими.
Философия возникла тогда, когда человек задался вопросом о мире вне этих теологических рамок. Например, мир древние философы представляли как сочетание земли, огня, воды и воздуха. Без сомнения их убеждали в том, что мир создан богами и не нужно беспокоиться по этому поводу.
Из этих ранних попыток объяснить мир постепенно возникла философия, также как и современная наука. Не то чтобы наука объясняет «почему» вещи таковы, как они есть — гравитация не объясняет «почему» предметы падают, но наука дает нам столь детальное объяснение «каким образом» это происходит, что у нас появляется чувство, будто мы знаем «почему». Давайте проясним; море связанных между собой фактов позволяет науке сказать «почему» вселенная именно такая.
Математика — наш основной инструмент для выполнения длинных цепочек научных рассуждений. Ее можно определить как умственный инструмент для этих целей. Люди веками задавали себе вопрос, тот же, что вынесен в заголовок — «почему математика столь необоснованно эффективна?» Задавая этот вопрос, мы делаем упор на логическую, а не материальную сторону того, как вселенная устроена и работает.
Занимающиеся фундаментальной наукой математики в основном беспокоятся о самосогласованности и пределах системы. Их не заботит почему мир, кажется, допускает логическое объяснение. В этом смысле я ближе к ранним греческим философам, которых интересовала материальная сторона вопроса, и мои ответы по отношению к логике ненамного лучше чем их. Но когда-то и где-то мы должны начать объяснять феномен того, что мир логически структурирован в соответствии с законами математики, и что математика является языком науки и техники.
После того, как я обозначил главную тему, нужно понять как донести эти идеи до аудитории. Опыт показывает, что мне не всегда хорошо это удается. Мне стало ясно, что какие-то предварительные замечания смогут помочь.
В каком-то отношении эта дискуссия теоретизирована. Я должен коснуться, хотя бы слегка, основных теорий математики, также как и отдельных ее частей. Далее, есть различные прикладные теории. Так что мы будем переходить от одной теории к другой. Вас может удивить, что я буду использовать экспериментальный подход для обсуждения. Неважно каковы должны быть теории, или как вы их себе представляете, или какова точка зрения экспертов — давайте применим научный подход и все выясним. Я прекрасно понимаю, что мои слова, особенно о природе математики, будут раздражать многих математиков. Мой экспериментальный подход противоречит их складу ума и предвзятым убеждениям. Так тому и быть!
Вдохновением для этой статьи послужила статья со сходным названием «Необоснованная эффективность математики в естественных науках». (1. E. P. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Comm. Pure Appl. Math., 13 (Feb. 1960) Э.П. Вигнера. Я убрал часть названия и не повторяю его статью (я просто не смогу написать лучше). С другой стороны, я потрачу намного больше времени, объясняя вопрос из заголовка статьи. Но когда все объяснения закончатся, оставшаяся часть будет настолько велика, что наш вопрос практически останется без ответа.
В своей статье Вигнер дает множество примеров эффективности математики в физических науках. Тем не менее позвольте мне опираться на собственный опыт, который ближе к инженерии. Мой первый опыт использования математики для прогнозирования был связан с разработкой атомных бомб во время Второй мировой войны. Как получилось, что цифры, которые мы так терпеливо вычисляли на примитивных ретрансляционных компьютерах, так хорошо согласовались с тем, что произошло на первом тесте в Альмагордо? Мы не могли провести небольшой эксперимент для проверки вычислений. Позже опыт с управляемыми ракетами показал мне, что это не было случайностью — наши математические прогнозы постоянно оправдываются в реальном мире. Работая в Bell System я произвел множество вычислений для телефонии и других математических работ по таким предметам как лампы бегущей волны, выравнивание телевизионных линий, стабильность сложных систем связи, блокирование вызовов через центральный телефон — это лишь малая часть. Чтобы блеснуть знаниями я могу провести исследование транзисторов, космических полетов и компьютерное проектирование, но почти вся наука и техника использует обширный математический аппарат с ошеломительным успехом.
Многим из вас знакома история уравнений Максвелла. Из-за симметрии он использовал определенный термин, но позже радиоволны были обнаружены Герцем. Множество других неизвестных величин предсказаны математически, не будем повторять их здесь.
Вигнер отмечает фундаментальную роль инвариантности. Это основная часть математики и науки в целом. Именно отсутствие инвариантности уравнений Ньютона (потребность в абсолютной системе отсчета для скоростей) привело Лоренца, Фицджеральда, Пуанкаре и Эйнштейна к специальной теории относительности.
Вигнер также отмечает, что одни и те же математические понятия появляются в совершенно неожиданных связях. Например, тригонометрические функции, которые появляются в астрономии Птолемея, оказываются функциями, инвариантными относительно сдвига (временная инвариантность). Они также являются подходящими функциями для линейных систем. Огромная полезность одних и тех же частей математики в самых разных ситуациях не имеет рационального объяснения (пока).
Более того, простота математики долгое время считалась ключом к применению в физике. Эйнштейн в это верил. Но даже в самой математике простота замечательна, по крайней мере для меня; простейшие алгебраические уравнения, линейные и квадратичные, соответствуют простейшим геометрическим объектам, прямым линиям, кругам и коническим сечениям. Это делает возможной реализацию аналитической геометрии. Как так может быть, что простая математика, являющаяся в конце концов продуктом человеческого разума, может быть настолько полезна во многих разных ситуациях?
Из-за этих успехов математики в настоящее время существует тенденция к тому, чтобы каждая из наук была математической. Это считают целью, которую нужно достичь, если не сегодня, то завтра. Для такой аудитории я буду использовать физику и астрономию для дальнейших примеров.
Пифагор — первый человек, который заявил, что «математика — это способ понять вселенную». Сказал громко и четко: «Число — мера всех вещей».
Кеплер — еще один пример. Он страстно верил, что дело рук Бога можно понять только через математику. После двадцати лет утомительных вычислений он нашел свои знаменитые три закона планетарного движения — три сравнительно простых математических выражения, описывающих сложные движения планет.
Именно Галилею принадлежат слова: «Законы природы написаны на языке математики». Ньютон использовал результаты Кеплера и Галилея, чтобы вывести знаменитые законы движения, которые вместе с законом тяготения являются, пожалуй, самым известным примером необоснованной эффективности математики в науке. Они не только предсказали, где будут находиться планеты, но и успешно предсказали положения неизвестных планет, движения отдаленных звезд, приливов и т. д.
Наука состоит из законов, которые первоначально были основаны на небольшом, тщательно выбранном наборе наблюдений, часто не очень точно измеряемом; но впоследствии было установлено, что эти законы применяются на гораздо более широких диапазонах наблюдений и гораздо точнее, чем позволяли заключить исходные данные. Не всегда, конечно, но чаще всего достаточно для объяснения явлений.
За тридцать лет математической практики в промышленности я часто беспокоился о предсказаниях, которые я сделал. Из математических вычислений, которые я делал в своем кабинете, я уверенно (по крайней мере, другим) предсказывал некоторые будущие события — если вы это сделаете так и так, вы увидите то-то и то-то, и обычно оказывался прав. Откуда явления могли знать, что я предсказал (основываясь на человеческой математике), чтобы согласовываться с моими прогнозами? Смешно думать, что так происходит. Нет, математика каким-то образом обеспечивает надежную модель для большей части того, что происходит во Вселенной. И так как я могу использовать только сравнительно простую математику, как же может быть так, что простой математики достаточно, чтобы предсказать так много?
Я мог бы привести больше примеров, иллюстрирующих необоснованную эффективность математики, но это будет скучно. Я подозреваю, что многие из вас знают примеры, которых не знаю я. Поэтому позвольте мне предположить, что вы дадите мне очень длинный список успехов, многие из которых столь же впечатляющи, как предсказание новой планеты, нового физического явления или нового артефакта. У меня не очень много времени и я хочу потратить его на попытку сделать то, что, как я думаю, осталось в стороне от Вигнера, — дать хотя бы некоторые частичные ответы на вопрос в названии статьи.
Посмотрев на эффективность математики, нам нужно обратить внимание на вопрос: «Что такое математика?» Это название знаменитой книги Куранта и Роббинса [2. Р. Курант и Х. Роббинс, Что такое математика? Oxford University Press, 1941]. В нем они не пытаются дать формальное определение, скорее они показывают математику через определенные примеры. Точно так же я не буду давать исчерпывающего определения. Но более подробно, чем они, попробую обсудить некоторые характерные черты математики, как я их вижу.
Возможно, лучший способ подойти к вопросу о том, что такое математика, — это начать с самого начала. В далеком доисторическом прошлом, где нам следует искать начало математики, уже были четыре основных грани математики. Во-первых, существовала способность вести длинные цепочки рассуждений, которые по сей день характеризуют значительную часть математики. Во-вторых, была геометрия, ведущая через понятие непрерывности к топологии и за ее пределы. В-третьих, было число, приводящее к арифметике, алгебре и за ее пределы. Наконец, был художественный вкус, который играет столь большую роль в современной математике. Конечно, в математике есть много разных видов красоты. В теории чисел это, по-видимому, в основном красота почти бесконечных деталей; в абстрактной алгебре красота в основном в общности. Таким образом, различные области математики имеют различные стандарты эстетики.
Разумеется, самая ранняя история математики должна быть полной спекуляцией, поскольку сейчас нет и не существует каких-либо реальных убедительных ее свидетельств. Кажется, однако, что в самих основах первобытной жизни возникло ни для чего иного как для целей выживания понимание причины и следствия. Как только признак проходит от одного наблюдения до последовательности «Если это, то это, а затем далее следует, что ...» мы находимся на пути первой особенности математики, о которой я говорил, длинных цепочек рассуждений. Но мне трудно понять, как простое дарвиновское выживание наиболее приспособленных будет вести отбор по способности делать длинные цепочки рассуждений, которые, по-видимому, требуются математике и науке.
Возможно геометрия возникла из-за украшения человеческого тела в различных целях, таких как религиозные обряды, общение и привлечение противоположного пола, а также для украшения поверхностей стен, горшков, посуды и одежды. Это также подразумевает четвертый аспект, который я упомянул, эстетический вкус, и это одна из глубоких основ математики. Большинство учебников повторяют вслед за греками и говорят, что геометрия возникла из потребностей египтян, чтобы исследовать землю после каждого наводнения на реке Нил, но я приписываю гораздо больше эстетике, чем большинство историков математики, и, соответственно, меньше обращаю внимания на ее прикладные цели.
Третий аспект математики, числа, возникли из подсчета. Как однажды сказал известный математик: «Бог создал целые числа, человек сделал все остальное» [3. Л. Кронекер, п. 1634. В разделе «Математика и математики», R E Moritz.]. Целые числа кажутся нам настолько фундаментальными, что мы ожидаем найти их везде, где мы находим разумную жизнь во Вселенной. Я попытался с небольшим успехом заставить некоторых из моих друзей понять мое удивление от возможности и полезности абстракции целых чисел для подсчета. Разве не замечательно, что 6 овец плюс 7 овец составляют 13 овец; что 6 камней плюс 7 камней составляют 13 камней? Разве не чудо, что вселенная построена так, что такая простая абстракция, как число, возможно? Для меня это один из самых сильных примеров необоснованной эффективности математики. Это странно и необъяснимо.
Работая с числами, мы пришли к тому, что эти счетные числа, целые числа, были успешно использованы для измерения того, сколько раз стандартная длина может использоваться для извлечения желаемой измеряемой длины. Но, должно быть достаточно быстро случилось так, что целое число единиц точно не соответствовало измеряемой длине, а измерители были приведены к дробям — дополнительная часть, которая использовалась для измерения стандартной длины. Дроби не считаются числами; они измеряют числа. Из-за их общего использования при измерении долей, вскоре обнаружили, что они подчиняются тем же правилам манипуляций, что и целые числа, с дополнительным преимуществом, которое они сделали возможным во всех случаях (я еще не упоминал ноль). Некоторое знакомство с дробями показывает, что между любыми двумя дробями вы можете поставить столько, сколько пожелаете, и что в каком-то смысле они однородно плотны повсюду. Но когда мы расширяем понятие числа, чтобы включить дроби, мы должны отказаться от идеи следующего числа.
Это снова возвращает нас к Пифагору, первому человеку, доказавшему, что диагональ квадрата и стороны квадрата не имеют общей меры, — что они нерационально связаны. Это наблюдение, по-видимому, произвело глубокий переворот в Греции: математику. До этого времени система дискретных чисел и непрерывная геометрия процветали бок о бок с небольшим конфликтом. Кризис несоизмеримости сменился евклидовым подходом к математике. Любопытно, что ранние греки пытались сделать математику строгой, заменив неопределенность чисел тем, что они чувствовали, было более определенной геометрией (из-за Евдокса). Это было большое событие для Евклида, и в результате вы найдете в «Началах» [4. Евклид, Начала Евклида, Т. Э. Хит, Публикации Довера, Нью-Йорк, 1956.] многое, в результате чего мы теперь рассматриваем теорию чисел и алгебру, отлитыми в форме геометрии. В отличие от древних греков, сомневавшихся в существовании системы действительных чисел, мы решили, что должно быть число, которое измеряет длину диагонали единичного квадрата (хотя нам этого и не нужно), и, ни больше ни меньше, мы расширили систему рациональных чисел, включив алгебраические числа. Это было простое желание измерить длины. Как может кто-либо отрицать, что существует число для измерения длины любого сегмента прямой линии?
Алгебраические числа, которые являются корнями многочленов с целыми, дробными и, как было позже доказано, даже алгебраическими числами как коэффициентами, вскоре были под контролем, просто расширив те же операции, которые использовались в более простой системе чисел.
Однако измерение длины окружности относительно ее диаметра вскоре вынудило нас рассмотреть отношение, называемое pi. Это не алгебраическое число, так как никакая линейная комбинация степени pi с целыми коэффициентами точно не исчезнет. Одна длина, окружность, являющаяся изогнутой линией, а другая длина, диаметр, являющийся прямой линией, делает существование отношения менее определенным, чем отношение диагонали квадрата к его стороне; но поскольку кажется, что должно быть такое число, трансцендентные числа постепенно попадают в числовую систему. Таким образом, путем дальнейшего подходящего расширения более ранних представлений чисел, трансцендентные числа были последовательно введены в числовую систему, хотя немногих студентов устраивают технический аппарат, который мы обычно используем, чтобы показать последовательность.
Дальше изучение числовой системы привнесло как ноль, так и отрицательные числа. На этот раз расширение потребовало, чтобы мы отказались от деления для единственного числа на ноль. Кажется, это дополняет систему действительных чисел для нас (пока мы ограничиваемся процессом принятия ограничений последовательностей чисел и не допускаем дальнейших операций) — не так, чтобы у нас и сейчас был твердый, логичный, простой фундамент для них; но говорят, что знакомство порождает презрение, и мы все более или менее знакомы с системой действительных чисел. Очень немногие из нас считают, что конкретные постулаты, которые некоторые логики придумали, создают цифры — нет, большинство из нас считает, что реальные цифры просто есть и что это была интересная, забавная и важная игра — найти хороший набор постулатов для их учета. Но давайте не будем путать самих себя. Парадокс Зенона по-прежнему, даже после 2000 лет, слишком свеж в наших умах, чтобы обманывать самих себя тем, что мы понимаем все, что мы хотели бы сказать о взаимосвязи между системой дискретных чисел и непрерывной линией, которую мы хотим моделировать. Мы знаем, что из нестандартного анализа логики могут делать постулаты, которые ставят еще сущности на реальной линии, но пока что немногие из нас хотели пойти по этому пути. Справедливо отметить, что есть некоторые математики, которые сомневаются в существовании обычной системы действительных чисел. Несколько компьютерных теоретиков допускают существование только «вычислимых чисел».
Следующим шагом в обсуждении является комплексная система чисел. Когда я читал историю, именно Кардано первым понял их в каком-то реальном смысле. В своем «Великом искусстве» или «Правилах алгебры» [5. Г. Кардано, Великое искусство или правила алгебры, перевод. «Отложив в сторону умственные пытки, участвующие в умножении (5 + sqrt 15) на (5 — sqrt -15) с результатом 25 — (- 15) ...». Таким образом, он ясно осознал, что те же формальные операции над символами для комплексных чисел дали бы осмысленные результаты. Таким образом, система действительных чисел постепенно расширялась до системы комплексных чисел, за исключением того, что на этот раз расширение требовало отказа от свойства упорядочения чисел — комплексные числа не могут быть упорядочены в обычном смысле.
Очевидно, Коши пришел к теории комплексных переменных с задачей интегрирования вещественных функций вдоль вещественной прямой. Он обнаружил, что, перенося интегрирование в комплексную плоскость, он мог решать задачи интегрирования в действительных числах.
Несколько лет назад я имел удовольствие преподавать курс по комплексным переменным. Как всегда бывает, когда я участвую в этой теме, я снова ушел с чувством, что «Бог сделал вселенную из комплексных чисел». Ясно, что они играют центральную роль в квантовой механике. Они являются естественным инструментом во многих других областях применения, таких как электрические схемы, поля и т.д.
Подводя итог, из простого подсчета с использованием заданных Богом целых чисел мы создали различные расширения идеи числа, чтобы включить больше вещей. Иногда расширения делались по эстетическим соображениям, и часто мы отказывались от некоторого свойства более ранней системы чисел. Таким образом, мы пришли к системе чисел, которая необоснованно эффективна даже в самой математике; Это показывает, что мы решили многие проблемы теории чисел исходной системы с высокой дискретной оценкой, используя комплексную переменную.
Из вышесказанного мы видим, что одним из основных направлений математики является расширение, обобщение, абстракция — это более или менее одно и то же — известные концепции для новых ситуаций. Но обратите внимание, что в самом процессе сами определения тонко изменяются. Поэтому, что не так широко известно, старые доказательства теорем могут стать ложными доказательствами. Старые доказательства больше не покрывают вновь определенные вещи. Чудо состоит в том, что почти всегда теоремы все еще верны; это просто вопрос фиксации доказательств. Классическим примером этого исправления являются Начала Евклида [4]. Мы сочли необходимым добавить несколько новых постулатов (или аксиом, если хотите, поскольку мы больше не хотим различать их), чтобы соответствовать действующим стандартам доказательств. Но как получилось, что ни одна теорема во всех тринадцати книгах не является ложью? Ни одна теорема не оказалась ложной, хотя часто доказательства, данные Евклидом, кажутся теперь ложными. И это явление не ограничивается прошлым. Утверждается, что бывший редактор математических обзоров однажды сказал, что более половины новых теорем, опубликованных в наши дни, по существу истинны, хотя опубликованные доказательства являются ложными. Как это может быть, если математика — это строгий вывод теорем из предполагаемых постулатов и более ранних результатов? Ну, для всех, кто не ослеплен авторитетом, очевидно, что математика не то, что сказали начальствующие учителя. Это явно что-то другое.
Что это? Как только вы начнете выяснять это, вы обнаружите, что если бы вы были ограничены аксиомами и постулатами, вы могли бы вывести очень мало. Первым важным шагом является введение новых понятий, полученных из предположений, например, треугольники. Поиск правильных понятий и определений является одной из главных особенностей ведения великой математики.
Хотя классическая геометрия начинается с теоремы и пытается найти доказательство. По-видимому, только в 1850-х годах стало ясно, что противоположный подход тоже работает (его, должно быть, иногда использовали до этого). Часто доказательство порождает теорему. Мы видим, что мы можем доказать, а затем рассмотрим доказательство, чтобы увидеть, что мы доказали! Их часто называют «доказанными теоремами» [6. Имре Лакатос, Доказательства и опровержения; Cambridge University Press, 1976, p. 33.]. Классическим примером является концепция равномерной сходимости. Коши доказал, что сходящийся ряд элементов, каждый из которых непрерывный, сходится к непрерывной функции. В то же время известны ряды Фурье непрерывных функций, сходящихся к разрывному пределу. Тщательно изучив доказательство Коши, ошибка была найдена и зафиксирована, изменив гипотезу теоремы на «равномерно сходящуюся последовательность».
Совсем недавно мы интенсивно изучали так называемые основы математики, которые, на мой взгляд, следует рассматривать как вершину математики, а не основы. Это интересная область, но основные результаты математики невосприимчивы к тому, где мы находится — мы просто не откажемся от большей части математики, как бы логично это ни было в фундаментальных исследованиях.
Надеюсь, что я показал, что математика — это не то, за что ее часто принимают, что математика постоянно меняется, и, следовательно, даже если бы мне удалось определить ее сегодня, мое определение завтра было бы нецелесообразным. Подобно идее строгости — у нас есть изменяющийся стандарт. Доминирующее отношение в науке состоит в том, что мы не являемся центром вселенной, не занимаем определенное место и т. д. И поэтому мне трудно поверить, что мы достигли предельной строгости. Таким образом, мы не можем быть уверены в существующих доказательствах наших теорем. Действительно, мне кажется:
Постулаты математики это не скрижали Моисея с горы Синай.
Это необходимо отметить. Мы начинаем с неопределенной концепции в наших умах, затем мы создаем различные наборы постулатов, и постепенно мы останавливаемся на одном конкретном множестве. В строгом постулатационном подходе первоначальная концепция теперь заменяется тем, что определяют постулаты. Это делает дальнейшую эволюцию концепции довольно сложной и, как результат, замедляет эволюцию математики. Дело не в том, что постулирующий подход ошибочен, а только в том, что его свобода должна быть четко распознана, и мы должны быть готовы изменить постулаты, когда придет такая необходимость.
Математика была создана человеком и поэтому может быть изменена им. Возможно, исходные источники математики были навязаны нам, но, как в примере, который я использовал, мы видим, что при разработке столь простой концепции, как число, мы сделали выбор для расширений, которые частично контролировались необходимостью и часто, мне кажется, больше эстетикой. Мы постарались сделать математику последовательной, красивой вещью, и тем самым у нас было замечательное количество успешных ее приложений в реальном мире.
Идея о том, что теоремы следуют из постулатов, не соответствует простому наблюдению. Если бы обнаружили, что теорема Пифагора не вытекает из постулатов, мы снова бы искали способ изменить постулаты до тех пор, пока не получим истину. Постулаты Евклида исходили из теоремы Пифагора, а не наоборот. Вот уже более тридцати лет я замечаю, что, если бы вы вошли в мой кабинет и доказали мне, что теорема Коши ложна, мне было бы очень любопытно, но я считаю, что в конечном итоге мы изменили бы наши предположения, пока теорема не стала истинной. Таким образом, в математике есть много результатов, которые не зависят от предположений и доказательства.
Как мы решаем в «кризисной» ситуации, какие части математики сохранить и от чего отказаться? Полезность — один из основных критериев, но часто это польза для самой математики, а не ее приложений в реальном мире! Слишком много для нашего обсуждения математики.
Я опишу свои объяснения необоснованной эффективности математики в четырех подразделах.
1. Мы видим, что мы ищем. Никто не удивляется, тому, что через синие очки мир выглядит синеватым. Я приведу примеры того, насколько это верно в современной науке. Ради этого я снова собираюсь нарушить множество широко, тщательно охраняемых убеждений. Но выслушайте меня.
Я привел пример ученых не без причины. Пифагор, на мой взгляд, первый великий физик. Именно он обнаружил, что мы живем в том, что математики называют L2 — сумма квадратов катетов дает квадрат гипотенузы. Как я уже говорил, это не результат постулатов геометрии — это один из результатов, который формирует постулаты.
Дальше Галилей. Не так давно я пытался как-то встать на его место, чтобы почувствовать, как он пришел к открытию закона падающих тел. Я стараюсь делать подобное, чтобы научиться думать, как это делали мастера, — я намеренно пытаюсь думать так же, как они.
Итак, Галилей был хорошо образованным человеком и мастером схоластических аргументов. Он хорошо знал, как рассуждать о числе ангелов на голове булавки, или как оспорить любую сторону вопроса. В наши дни он был бы подготовлен в этих искусствах намного лучше, чем кто-либо из нас. Я представляю его, как он сидит с легким и тяжелым шаром, по одному в каждой руке, и осторожно бросает их. Он говорит, поднимая их: «Для всех очевидно, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, — во всяком случае, Аристотель так говорит». «Но предположим, — говорит он себе, рассуждая, — что при падении тело разбивается на две части. Конечно, две части немедленно замедлятся до их соответствующих скоростей. Но предположим, что они соедининлись: теперь они будут единым целым и оба ускорятся? Предположим, я связал две части вместе. Чем их соединить? Легкая струна? Канат? Клей? Когда они станут единым целым?»
Чем больше он думает об этом — и чем больше вы об этом думаете, тем более необоснованным становится вопрос о том, когда два тела являются одним. Просто нет разумного ответа на вопрос о том, откуда тело знает, насколько оно тяжелое — одна ли это часть, или две, или множество. Поскольку падающие тела движутся, единственно возможная вещь заключается в том, что все они падают с одинаковой скоростью, если только не вмешиваются другие силы. Больше им нечего делать. Возможно, он позже провел несколько экспериментов, но я сильно подозреваю, что произошло что-то вроде того, чтоя себе представлял. Позже я нашел подобную историю в книге Пойи [7. Г. Поля, «Математические методы в науке», MAA, 1963, с. 83-85.]. Галилей открыл свой закон не экспериментально, а обычным, простым мышлением, схоластическим рассуждением.
Я знаю, что учебники часто представляют собой закон притяжения тел как экспериментальное наблюдение; Я утверждаю, что это логический закон, следствие того, как мы склонны думать.
Ньютон, как вы читали, вывел закон обратных квадратов из законов Кеплера, хотя в книгах часто представляют его другим способом; из закона обратного квадрата учебники выводят законы Кеплера. Но если вы верите во что-то вроде сохранения энергии и думаете, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве, то как же иначе может исчезнуть симметричное поле центральной силы? Измерения экспоненты, проводя эксперименты, в значительной степени пытаются выяснить, живем ли мы в евклидовом пространстве, а вовсе не проверяем закон обратных квадратов.
Но если вам не нравятся эти два примера, позвольте мне обратиться к самому высокоразвитому закону последних времен, принципу неопределенности. Недавно я начал заниматься написанием книги по цифровым фильтрам [8. Р. У. Хэмминга, Цифровые фильтры, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1977.] и знал очень мало по этой теме. В результате я рано задал вопрос: «Зачем мне делать весь анализ с точки зрения интегралов Фурье? Почему они являются естественными инструментами для решения проблемы?» Вскоре я узнал, как многие из вас уже знают, что собственные функции трансляции являются комплексными экспонентами. Если вам нужна временная инвариантность, и, конечно же, этого и хотят физики и инженеры (эксперимент, выполненный сегодня или завтра, даст одинаковые результаты), тогда вы будете следовать этим функциям. Аналогичным образом, если вы верите в линейность, то снова появляются собственные функции. В квантовой механике квантовые состояния абсолютно аддитивны; это не просто удобная линейная аппроксимация. Таким образом, тригонометрические функции являются собственными функциями, которые необходимы как в теории цифровых фильтров, так и в квантовой механике, но это лишь два примера.
Теперь, когда вы используете эти собственные функции, вы, естественно, должны представлять различные функции, сначала как счетное число, а затем как несчетное число из них, а именно, ряд Фурье и интеграл Фурье. Итак, теорема в теории интегралов Фурье состоит в том, что изменчивость функции, умноженная на изменчивость ее преобразования, превышает фиксированную константу в записи l/2pi. Это говорит мне о том, что в любой линейной, инвариантной во времени системе вы должны найти принцип неопределенности. Размер постоянной Планка является вопросом детальной идентификации переменных с интегралами, но должно иметь место неравенство.
В качестве еще одного примера того, что часто считалось физическим открытием, но которое, как оказалось, было введено само собой, я перехожу к известному факту, что распределение физических констант неоднородно; вероятность случайной физической константы, имеющей первую цифру 1,2 или 3, составляет приблизительно 60%, а цифры 5, 6, 7, 8 и 9 составляют всего лишь около 40%. Это распределение относится ко многим типам чисел, включая распределение коэффициентов степенного ряда, имеющих только единственную особую точку в круге сходимости. Тщательное изучение этого явления показывает, что это главным образом артефакт того, как мы используем числа.
Дав четыре совершенно разных примера нетривиальных ситуаций, в которых выясняется, что исходное явление возникает из математических инструментов, которые мы используем, а не из реального мира, я готов серьезно предположить, что многое из того, что мы видим, происходит из очков, которые мы надеваем. Конечно, это противоречит большей части того, чему вас учили, но внимательно рассмотрите аргументы. Вы можете сказать, что именно эксперимент навязал нам модель, но я полагаю, что чем больше вы думаете о четырех приведенных примерах, тем некомофртнее вам становится. Это не произвольно выбранные мной теории, они являются центральными для физики, (? в оригинальном тексте запятая)
В последние годы именно Эйнштейн, провозгласивший простоту законов физики, использовал математику так, что стал известным как математик. При изучении его специальной теории относительности [9. Г. Холтон Тематическое происхождение научной мысли, от Кеплера до Эйнштейна, Издательство Гарвардского университета, 1973.] возникает ощущение, что человек имеет дело с подходом схоластического философа. Он заранее знал, как должна выглядеть теория, и он исследовал теории с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Он был настолько уверен в правильности теорий относительности, что, когда проводились эксперименты для их проверки, он не очень интересовался результатами, говоря, что они должны были либо получиться, либо эксперименты были неправильными. И многие люди считают, что две теории относительности больше базируются на философских основаниях, чем на реальных экспериментах.
Таким образом, мой первый ответ на подразумеваемый вопрос о необоснованной эффективности математики заключается в том, что мы приближаемся к таким ситуациям с интеллектуальным аппаратом, в которых мы можем понять только что мы делаем. Это одновременно просто и ужасно. То, чему нас учила наука — что эксперименты в реальном мире лишь отчасти правдивы. Эддингтон пошел дальше; он утверждал, что достаточно умный разум мог бы вывести всю физику. Я предполагаю, что можно вывести только некоторое количество. Эддингтон привел прекрасную притчу, чтобы проиллюстрировать этот момент. Он сказал: «Люди ловили рыбу сетью в море, и, изучив улов, пришли к выводу о том, какого минимального размера бывает рыба».
2. Мы выбираем тип математики для использования. Математика не всегда работает. Когда мы обнаружили, что скаляры не работают для сил, мы изобрели новую математику, векторы. Дальше мы изобрели тензоры. В книге, которую я недавно написал [10. Р. У. Хэмминг, Теория кодирования и информации, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1980.] для ярлыков используются обычные целые числа, а для вероятностей используются вещественные числа; но в остальном вся арифметика и алгебра, которые встречаются в книге, а их много, предполагают, что
1 + 1 = 0.
Таким образом, мое второе объяснение состоит в том, что мы выбираем математику, чтобы соответствовать ситуации, и просто неверно, что одна и та же математика работает везде.
3. На самом деле наука отвечает на небольшое количество вопросов. Это иллюзия, что у науки есть ответы на большинство наших вопросов. С ранних времен человек, должно быть, размышлял над тем, что такое Истина, Красота и Справедливость. Но насколько я понимаю, наука никак не способствовала ответам, и мне не кажется, что она продвинется в этом в ближайшем будущем. Пока мы используем математику, в которой целое является суммой частей, у нас вряд ли будет математика в качестве основного инструмента при рассмотрении этих известных трех вопросов.
Действительно, почти весь наш опыт в этом мире не подпадает под сферу науки или математики. Более того, мы знаем (по крайней мере, мы думаем, что знаем), что из теоремы Гёделя существуют определенные пределы того, что может сделать чистая логическая манипуляция символами, есть пределы математики. Это акт веры ученых, что мир можно объяснить простым языком математики. Когда вы посчитаете, на сколько вопросов наука не ответила, вы увидите, что наши успехи не настолько впечатляющи, как могли бы быть.
4. Эволюция человека обеспечила модель. Я уже затронул вопрос эволюции человека. Я заметил, что в самых ранних формах жизни должны быть семена нашей нынешней способности создавать и следовать длинным цепочкам рассуждений. Некоторые люди [11. H. Mohr, «Структура и значение науки», Springer-Verlag, 1977.] также утверждали, что дарвиновская эволюция, естественно, будет выбирать для выживания те конкурирующие формы жизни, которые имели лучшие модели реальности в своем сознании — «лучшие», то есть лучше всего подходящие для выживания и распространения. Без сомнения, в этом есть доля правды. Мы находим, например, что мы можем справиться с размышлением о мире, когда оно сопоставимо по размеру с нами и нашими необработанными чувствами, но когда мы переходим к очень маленькому или очень большому, то начинаются проблемы. Кажется, мы не можем адекватно думать о крайностях, выходящих за рамки обычного размера.
Так же, как есть запахи, которые могут чувствовать собаки, а мы не можем, а также звуки, которые собаки могут слышать, а мы не можем, так и есть длины волн света, которые мы не можем видеть, и вкусы, которые мы не можем попробовать. Почему тогда нас удивляет, учитывая, что наш мозг такой, как он есть, замечание «Возможно, есть мысли, о которых мы не можем думать»? Эволюция, до сих пор, возможно, заблокировала нам возможность мыслить в некоторых направлениях; могут быть немыслимые мысли.
Если вы помните, современной науке всего около 400 лет, и в течение века насчитывалось от 3 до 5 поколений, то с Ньютона и Галилея прошло не более 20 поколений. Если вы берете 4000 лет для возраста науки, как правило, тогда вы получите верхнюю границу в 200 поколений. Рассматривая эффекты эволюции, которые мы ищем с помощью небольших вариаций шансов, мне кажется, что эволюция не может объяснить больше, чем небольшую часть необоснованной эффективности математики.
Из всего этого я вынужден сделать вывод, что математика необоснованно эффективна и что все объяснения, которые я дал просто недостаточны для объяснения темы. Я думаю, что мы, — то есть в основном вы, — должны попытаться объяснить, почему логическая сторона науки — подразумеваем в основном математику, — является надлежащим инструментом для изучения Вселенной, как мы ее воспринимаем в настоящее время. Я подозреваю, что мои объяснения не так хороши, как у ранних греков, которые говорили о материальной стороне вопроса природы вселенной — что это земля, огонь, вода и воздух. Логическая сторона природы Вселенной требует дальнейшего изучения.
Я (Ларри Фрейзер, который (с разрешения Р. Хэмминга) просмотрел это и разместил его в Интернете) с удовлетворением отметил, что 58 человек прочли это эссе за последние 2 месяца. Я предполагаю, что большинство из вас находят это в указателе проектов Гутенберга.
С другой стороны, я чувствую, что прочесть это должны тысячи. Это самое глубокое эссе, которое я видел относительно философии науки; на самом деле, оно важно для всего нашего понимания мысли, познания или реальности.
Напишите мне, если у вас есть какие-либо комментарии.
Ларри Фрейзер
Reprinted From: The American Mathematical Monthly Volume 87 Number 2 February 1980
За перевод спасибо katifa. Кто хочет помочь с переводом таких же полезных текстов, пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru
Благодарю Gritsuk, Sirion, qw1, KirillGuzenko, NeKpoT и Пахомова Андрея за то, что нашли неточности перевода математических терминов и предложили свой исправленный вариант.
Переведенные хабравчанами книги:
Пролог
Из заголовка понятно, что это философский вопрос. Не буду извиняться за философию, хотя я знаю, что многие ученые, инженеры и математики не уделяют ей внимания. Вместо этого я дам этот небольшой пролог, чтобы обосновать свой подход.
Человек, насколько мы знаем, всегда задавался вопросом о себе, мире вокруг и смысле жизни. Во множестве мифов повествуется о том почему и как Бог или боги создали человека и вселенную. Это теологические объяснения. Их отличительная черта — нет смысла спрашивать почему вещи таковы, как они есть, если боги создали их такими.
Философия возникла тогда, когда человек задался вопросом о мире вне этих теологических рамок. Например, мир древние философы представляли как сочетание земли, огня, воды и воздуха. Без сомнения их убеждали в том, что мир создан богами и не нужно беспокоиться по этому поводу.
Из этих ранних попыток объяснить мир постепенно возникла философия, также как и современная наука. Не то чтобы наука объясняет «почему» вещи таковы, как они есть — гравитация не объясняет «почему» предметы падают, но наука дает нам столь детальное объяснение «каким образом» это происходит, что у нас появляется чувство, будто мы знаем «почему». Давайте проясним; море связанных между собой фактов позволяет науке сказать «почему» вселенная именно такая.
Математика — наш основной инструмент для выполнения длинных цепочек научных рассуждений. Ее можно определить как умственный инструмент для этих целей. Люди веками задавали себе вопрос, тот же, что вынесен в заголовок — «почему математика столь необоснованно эффективна?» Задавая этот вопрос, мы делаем упор на логическую, а не материальную сторону того, как вселенная устроена и работает.
Занимающиеся фундаментальной наукой математики в основном беспокоятся о самосогласованности и пределах системы. Их не заботит почему мир, кажется, допускает логическое объяснение. В этом смысле я ближе к ранним греческим философам, которых интересовала материальная сторона вопроса, и мои ответы по отношению к логике ненамного лучше чем их. Но когда-то и где-то мы должны начать объяснять феномен того, что мир логически структурирован в соответствии с законами математики, и что математика является языком науки и техники.
После того, как я обозначил главную тему, нужно понять как донести эти идеи до аудитории. Опыт показывает, что мне не всегда хорошо это удается. Мне стало ясно, что какие-то предварительные замечания смогут помочь.
В каком-то отношении эта дискуссия теоретизирована. Я должен коснуться, хотя бы слегка, основных теорий математики, также как и отдельных ее частей. Далее, есть различные прикладные теории. Так что мы будем переходить от одной теории к другой. Вас может удивить, что я буду использовать экспериментальный подход для обсуждения. Неважно каковы должны быть теории, или как вы их себе представляете, или какова точка зрения экспертов — давайте применим научный подход и все выясним. Я прекрасно понимаю, что мои слова, особенно о природе математики, будут раздражать многих математиков. Мой экспериментальный подход противоречит их складу ума и предвзятым убеждениям. Так тому и быть!
Вдохновением для этой статьи послужила статья со сходным названием «Необоснованная эффективность математики в естественных науках». (1. E. P. Wigner, The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Comm. Pure Appl. Math., 13 (Feb. 1960) Э.П. Вигнера. Я убрал часть названия и не повторяю его статью (я просто не смогу написать лучше). С другой стороны, я потрачу намного больше времени, объясняя вопрос из заголовка статьи. Но когда все объяснения закончатся, оставшаяся часть будет настолько велика, что наш вопрос практически останется без ответа.
Эффективность математики
В своей статье Вигнер дает множество примеров эффективности математики в физических науках. Тем не менее позвольте мне опираться на собственный опыт, который ближе к инженерии. Мой первый опыт использования математики для прогнозирования был связан с разработкой атомных бомб во время Второй мировой войны. Как получилось, что цифры, которые мы так терпеливо вычисляли на примитивных ретрансляционных компьютерах, так хорошо согласовались с тем, что произошло на первом тесте в Альмагордо? Мы не могли провести небольшой эксперимент для проверки вычислений. Позже опыт с управляемыми ракетами показал мне, что это не было случайностью — наши математические прогнозы постоянно оправдываются в реальном мире. Работая в Bell System я произвел множество вычислений для телефонии и других математических работ по таким предметам как лампы бегущей волны, выравнивание телевизионных линий, стабильность сложных систем связи, блокирование вызовов через центральный телефон — это лишь малая часть. Чтобы блеснуть знаниями я могу провести исследование транзисторов, космических полетов и компьютерное проектирование, но почти вся наука и техника использует обширный математический аппарат с ошеломительным успехом.
Многим из вас знакома история уравнений Максвелла. Из-за симметрии он использовал определенный термин, но позже радиоволны были обнаружены Герцем. Множество других неизвестных величин предсказаны математически, не будем повторять их здесь.
Вигнер отмечает фундаментальную роль инвариантности. Это основная часть математики и науки в целом. Именно отсутствие инвариантности уравнений Ньютона (потребность в абсолютной системе отсчета для скоростей) привело Лоренца, Фицджеральда, Пуанкаре и Эйнштейна к специальной теории относительности.
Вигнер также отмечает, что одни и те же математические понятия появляются в совершенно неожиданных связях. Например, тригонометрические функции, которые появляются в астрономии Птолемея, оказываются функциями, инвариантными относительно сдвига (временная инвариантность). Они также являются подходящими функциями для линейных систем. Огромная полезность одних и тех же частей математики в самых разных ситуациях не имеет рационального объяснения (пока).
Более того, простота математики долгое время считалась ключом к применению в физике. Эйнштейн в это верил. Но даже в самой математике простота замечательна, по крайней мере для меня; простейшие алгебраические уравнения, линейные и квадратичные, соответствуют простейшим геометрическим объектам, прямым линиям, кругам и коническим сечениям. Это делает возможной реализацию аналитической геометрии. Как так может быть, что простая математика, являющаяся в конце концов продуктом человеческого разума, может быть настолько полезна во многих разных ситуациях?
Из-за этих успехов математики в настоящее время существует тенденция к тому, чтобы каждая из наук была математической. Это считают целью, которую нужно достичь, если не сегодня, то завтра. Для такой аудитории я буду использовать физику и астрономию для дальнейших примеров.
Пифагор — первый человек, который заявил, что «математика — это способ понять вселенную». Сказал громко и четко: «Число — мера всех вещей».
Кеплер — еще один пример. Он страстно верил, что дело рук Бога можно понять только через математику. После двадцати лет утомительных вычислений он нашел свои знаменитые три закона планетарного движения — три сравнительно простых математических выражения, описывающих сложные движения планет.
Именно Галилею принадлежат слова: «Законы природы написаны на языке математики». Ньютон использовал результаты Кеплера и Галилея, чтобы вывести знаменитые законы движения, которые вместе с законом тяготения являются, пожалуй, самым известным примером необоснованной эффективности математики в науке. Они не только предсказали, где будут находиться планеты, но и успешно предсказали положения неизвестных планет, движения отдаленных звезд, приливов и т. д.
Наука состоит из законов, которые первоначально были основаны на небольшом, тщательно выбранном наборе наблюдений, часто не очень точно измеряемом; но впоследствии было установлено, что эти законы применяются на гораздо более широких диапазонах наблюдений и гораздо точнее, чем позволяли заключить исходные данные. Не всегда, конечно, но чаще всего достаточно для объяснения явлений.
За тридцать лет математической практики в промышленности я часто беспокоился о предсказаниях, которые я сделал. Из математических вычислений, которые я делал в своем кабинете, я уверенно (по крайней мере, другим) предсказывал некоторые будущие события — если вы это сделаете так и так, вы увидите то-то и то-то, и обычно оказывался прав. Откуда явления могли знать, что я предсказал (основываясь на человеческой математике), чтобы согласовываться с моими прогнозами? Смешно думать, что так происходит. Нет, математика каким-то образом обеспечивает надежную модель для большей части того, что происходит во Вселенной. И так как я могу использовать только сравнительно простую математику, как же может быть так, что простой математики достаточно, чтобы предсказать так много?
Я мог бы привести больше примеров, иллюстрирующих необоснованную эффективность математики, но это будет скучно. Я подозреваю, что многие из вас знают примеры, которых не знаю я. Поэтому позвольте мне предположить, что вы дадите мне очень длинный список успехов, многие из которых столь же впечатляющи, как предсказание новой планеты, нового физического явления или нового артефакта. У меня не очень много времени и я хочу потратить его на попытку сделать то, что, как я думаю, осталось в стороне от Вигнера, — дать хотя бы некоторые частичные ответы на вопрос в названии статьи.
Что такое математика?
Посмотрев на эффективность математики, нам нужно обратить внимание на вопрос: «Что такое математика?» Это название знаменитой книги Куранта и Роббинса [2. Р. Курант и Х. Роббинс, Что такое математика? Oxford University Press, 1941]. В нем они не пытаются дать формальное определение, скорее они показывают математику через определенные примеры. Точно так же я не буду давать исчерпывающего определения. Но более подробно, чем они, попробую обсудить некоторые характерные черты математики, как я их вижу.
Возможно, лучший способ подойти к вопросу о том, что такое математика, — это начать с самого начала. В далеком доисторическом прошлом, где нам следует искать начало математики, уже были четыре основных грани математики. Во-первых, существовала способность вести длинные цепочки рассуждений, которые по сей день характеризуют значительную часть математики. Во-вторых, была геометрия, ведущая через понятие непрерывности к топологии и за ее пределы. В-третьих, было число, приводящее к арифметике, алгебре и за ее пределы. Наконец, был художественный вкус, который играет столь большую роль в современной математике. Конечно, в математике есть много разных видов красоты. В теории чисел это, по-видимому, в основном красота почти бесконечных деталей; в абстрактной алгебре красота в основном в общности. Таким образом, различные области математики имеют различные стандарты эстетики.
Разумеется, самая ранняя история математики должна быть полной спекуляцией, поскольку сейчас нет и не существует каких-либо реальных убедительных ее свидетельств. Кажется, однако, что в самих основах первобытной жизни возникло ни для чего иного как для целей выживания понимание причины и следствия. Как только признак проходит от одного наблюдения до последовательности «Если это, то это, а затем далее следует, что ...» мы находимся на пути первой особенности математики, о которой я говорил, длинных цепочек рассуждений. Но мне трудно понять, как простое дарвиновское выживание наиболее приспособленных будет вести отбор по способности делать длинные цепочки рассуждений, которые, по-видимому, требуются математике и науке.
Возможно геометрия возникла из-за украшения человеческого тела в различных целях, таких как религиозные обряды, общение и привлечение противоположного пола, а также для украшения поверхностей стен, горшков, посуды и одежды. Это также подразумевает четвертый аспект, который я упомянул, эстетический вкус, и это одна из глубоких основ математики. Большинство учебников повторяют вслед за греками и говорят, что геометрия возникла из потребностей египтян, чтобы исследовать землю после каждого наводнения на реке Нил, но я приписываю гораздо больше эстетике, чем большинство историков математики, и, соответственно, меньше обращаю внимания на ее прикладные цели.
Третий аспект математики, числа, возникли из подсчета. Как однажды сказал известный математик: «Бог создал целые числа, человек сделал все остальное» [3. Л. Кронекер, п. 1634. В разделе «Математика и математики», R E Moritz.]. Целые числа кажутся нам настолько фундаментальными, что мы ожидаем найти их везде, где мы находим разумную жизнь во Вселенной. Я попытался с небольшим успехом заставить некоторых из моих друзей понять мое удивление от возможности и полезности абстракции целых чисел для подсчета. Разве не замечательно, что 6 овец плюс 7 овец составляют 13 овец; что 6 камней плюс 7 камней составляют 13 камней? Разве не чудо, что вселенная построена так, что такая простая абстракция, как число, возможно? Для меня это один из самых сильных примеров необоснованной эффективности математики. Это странно и необъяснимо.
Работая с числами, мы пришли к тому, что эти счетные числа, целые числа, были успешно использованы для измерения того, сколько раз стандартная длина может использоваться для извлечения желаемой измеряемой длины. Но, должно быть достаточно быстро случилось так, что целое число единиц точно не соответствовало измеряемой длине, а измерители были приведены к дробям — дополнительная часть, которая использовалась для измерения стандартной длины. Дроби не считаются числами; они измеряют числа. Из-за их общего использования при измерении долей, вскоре обнаружили, что они подчиняются тем же правилам манипуляций, что и целые числа, с дополнительным преимуществом, которое они сделали возможным во всех случаях (я еще не упоминал ноль). Некоторое знакомство с дробями показывает, что между любыми двумя дробями вы можете поставить столько, сколько пожелаете, и что в каком-то смысле они однородно плотны повсюду. Но когда мы расширяем понятие числа, чтобы включить дроби, мы должны отказаться от идеи следующего числа.
Это снова возвращает нас к Пифагору, первому человеку, доказавшему, что диагональ квадрата и стороны квадрата не имеют общей меры, — что они нерационально связаны. Это наблюдение, по-видимому, произвело глубокий переворот в Греции: математику. До этого времени система дискретных чисел и непрерывная геометрия процветали бок о бок с небольшим конфликтом. Кризис несоизмеримости сменился евклидовым подходом к математике. Любопытно, что ранние греки пытались сделать математику строгой, заменив неопределенность чисел тем, что они чувствовали, было более определенной геометрией (из-за Евдокса). Это было большое событие для Евклида, и в результате вы найдете в «Началах» [4. Евклид, Начала Евклида, Т. Э. Хит, Публикации Довера, Нью-Йорк, 1956.] многое, в результате чего мы теперь рассматриваем теорию чисел и алгебру, отлитыми в форме геометрии. В отличие от древних греков, сомневавшихся в существовании системы действительных чисел, мы решили, что должно быть число, которое измеряет длину диагонали единичного квадрата (хотя нам этого и не нужно), и, ни больше ни меньше, мы расширили систему рациональных чисел, включив алгебраические числа. Это было простое желание измерить длины. Как может кто-либо отрицать, что существует число для измерения длины любого сегмента прямой линии?
Алгебраические числа, которые являются корнями многочленов с целыми, дробными и, как было позже доказано, даже алгебраическими числами как коэффициентами, вскоре были под контролем, просто расширив те же операции, которые использовались в более простой системе чисел.
Однако измерение длины окружности относительно ее диаметра вскоре вынудило нас рассмотреть отношение, называемое pi. Это не алгебраическое число, так как никакая линейная комбинация степени pi с целыми коэффициентами точно не исчезнет. Одна длина, окружность, являющаяся изогнутой линией, а другая длина, диаметр, являющийся прямой линией, делает существование отношения менее определенным, чем отношение диагонали квадрата к его стороне; но поскольку кажется, что должно быть такое число, трансцендентные числа постепенно попадают в числовую систему. Таким образом, путем дальнейшего подходящего расширения более ранних представлений чисел, трансцендентные числа были последовательно введены в числовую систему, хотя немногих студентов устраивают технический аппарат, который мы обычно используем, чтобы показать последовательность.
Дальше изучение числовой системы привнесло как ноль, так и отрицательные числа. На этот раз расширение потребовало, чтобы мы отказались от деления для единственного числа на ноль. Кажется, это дополняет систему действительных чисел для нас (пока мы ограничиваемся процессом принятия ограничений последовательностей чисел и не допускаем дальнейших операций) — не так, чтобы у нас и сейчас был твердый, логичный, простой фундамент для них; но говорят, что знакомство порождает презрение, и мы все более или менее знакомы с системой действительных чисел. Очень немногие из нас считают, что конкретные постулаты, которые некоторые логики придумали, создают цифры — нет, большинство из нас считает, что реальные цифры просто есть и что это была интересная, забавная и важная игра — найти хороший набор постулатов для их учета. Но давайте не будем путать самих себя. Парадокс Зенона по-прежнему, даже после 2000 лет, слишком свеж в наших умах, чтобы обманывать самих себя тем, что мы понимаем все, что мы хотели бы сказать о взаимосвязи между системой дискретных чисел и непрерывной линией, которую мы хотим моделировать. Мы знаем, что из нестандартного анализа логики могут делать постулаты, которые ставят еще сущности на реальной линии, но пока что немногие из нас хотели пойти по этому пути. Справедливо отметить, что есть некоторые математики, которые сомневаются в существовании обычной системы действительных чисел. Несколько компьютерных теоретиков допускают существование только «вычислимых чисел».
Следующим шагом в обсуждении является комплексная система чисел. Когда я читал историю, именно Кардано первым понял их в каком-то реальном смысле. В своем «Великом искусстве» или «Правилах алгебры» [5. Г. Кардано, Великое искусство или правила алгебры, перевод. «Отложив в сторону умственные пытки, участвующие в умножении (5 + sqrt 15) на (5 — sqrt -15) с результатом 25 — (- 15) ...». Таким образом, он ясно осознал, что те же формальные операции над символами для комплексных чисел дали бы осмысленные результаты. Таким образом, система действительных чисел постепенно расширялась до системы комплексных чисел, за исключением того, что на этот раз расширение требовало отказа от свойства упорядочения чисел — комплексные числа не могут быть упорядочены в обычном смысле.
Очевидно, Коши пришел к теории комплексных переменных с задачей интегрирования вещественных функций вдоль вещественной прямой. Он обнаружил, что, перенося интегрирование в комплексную плоскость, он мог решать задачи интегрирования в действительных числах.
Несколько лет назад я имел удовольствие преподавать курс по комплексным переменным. Как всегда бывает, когда я участвую в этой теме, я снова ушел с чувством, что «Бог сделал вселенную из комплексных чисел». Ясно, что они играют центральную роль в квантовой механике. Они являются естественным инструментом во многих других областях применения, таких как электрические схемы, поля и т.д.
Подводя итог, из простого подсчета с использованием заданных Богом целых чисел мы создали различные расширения идеи числа, чтобы включить больше вещей. Иногда расширения делались по эстетическим соображениям, и часто мы отказывались от некоторого свойства более ранней системы чисел. Таким образом, мы пришли к системе чисел, которая необоснованно эффективна даже в самой математике; Это показывает, что мы решили многие проблемы теории чисел исходной системы с высокой дискретной оценкой, используя комплексную переменную.
Из вышесказанного мы видим, что одним из основных направлений математики является расширение, обобщение, абстракция — это более или менее одно и то же — известные концепции для новых ситуаций. Но обратите внимание, что в самом процессе сами определения тонко изменяются. Поэтому, что не так широко известно, старые доказательства теорем могут стать ложными доказательствами. Старые доказательства больше не покрывают вновь определенные вещи. Чудо состоит в том, что почти всегда теоремы все еще верны; это просто вопрос фиксации доказательств. Классическим примером этого исправления являются Начала Евклида [4]. Мы сочли необходимым добавить несколько новых постулатов (или аксиом, если хотите, поскольку мы больше не хотим различать их), чтобы соответствовать действующим стандартам доказательств. Но как получилось, что ни одна теорема во всех тринадцати книгах не является ложью? Ни одна теорема не оказалась ложной, хотя часто доказательства, данные Евклидом, кажутся теперь ложными. И это явление не ограничивается прошлым. Утверждается, что бывший редактор математических обзоров однажды сказал, что более половины новых теорем, опубликованных в наши дни, по существу истинны, хотя опубликованные доказательства являются ложными. Как это может быть, если математика — это строгий вывод теорем из предполагаемых постулатов и более ранних результатов? Ну, для всех, кто не ослеплен авторитетом, очевидно, что математика не то, что сказали начальствующие учителя. Это явно что-то другое.
Что это? Как только вы начнете выяснять это, вы обнаружите, что если бы вы были ограничены аксиомами и постулатами, вы могли бы вывести очень мало. Первым важным шагом является введение новых понятий, полученных из предположений, например, треугольники. Поиск правильных понятий и определений является одной из главных особенностей ведения великой математики.
Хотя классическая геометрия начинается с теоремы и пытается найти доказательство. По-видимому, только в 1850-х годах стало ясно, что противоположный подход тоже работает (его, должно быть, иногда использовали до этого). Часто доказательство порождает теорему. Мы видим, что мы можем доказать, а затем рассмотрим доказательство, чтобы увидеть, что мы доказали! Их часто называют «доказанными теоремами» [6. Имре Лакатос, Доказательства и опровержения; Cambridge University Press, 1976, p. 33.]. Классическим примером является концепция равномерной сходимости. Коши доказал, что сходящийся ряд элементов, каждый из которых непрерывный, сходится к непрерывной функции. В то же время известны ряды Фурье непрерывных функций, сходящихся к разрывному пределу. Тщательно изучив доказательство Коши, ошибка была найдена и зафиксирована, изменив гипотезу теоремы на «равномерно сходящуюся последовательность».
Совсем недавно мы интенсивно изучали так называемые основы математики, которые, на мой взгляд, следует рассматривать как вершину математики, а не основы. Это интересная область, но основные результаты математики невосприимчивы к тому, где мы находится — мы просто не откажемся от большей части математики, как бы логично это ни было в фундаментальных исследованиях.
Надеюсь, что я показал, что математика — это не то, за что ее часто принимают, что математика постоянно меняется, и, следовательно, даже если бы мне удалось определить ее сегодня, мое определение завтра было бы нецелесообразным. Подобно идее строгости — у нас есть изменяющийся стандарт. Доминирующее отношение в науке состоит в том, что мы не являемся центром вселенной, не занимаем определенное место и т. д. И поэтому мне трудно поверить, что мы достигли предельной строгости. Таким образом, мы не можем быть уверены в существующих доказательствах наших теорем. Действительно, мне кажется:
Постулаты математики это не скрижали Моисея с горы Синай.
Это необходимо отметить. Мы начинаем с неопределенной концепции в наших умах, затем мы создаем различные наборы постулатов, и постепенно мы останавливаемся на одном конкретном множестве. В строгом постулатационном подходе первоначальная концепция теперь заменяется тем, что определяют постулаты. Это делает дальнейшую эволюцию концепции довольно сложной и, как результат, замедляет эволюцию математики. Дело не в том, что постулирующий подход ошибочен, а только в том, что его свобода должна быть четко распознана, и мы должны быть готовы изменить постулаты, когда придет такая необходимость.
Математика была создана человеком и поэтому может быть изменена им. Возможно, исходные источники математики были навязаны нам, но, как в примере, который я использовал, мы видим, что при разработке столь простой концепции, как число, мы сделали выбор для расширений, которые частично контролировались необходимостью и часто, мне кажется, больше эстетикой. Мы постарались сделать математику последовательной, красивой вещью, и тем самым у нас было замечательное количество успешных ее приложений в реальном мире.
Идея о том, что теоремы следуют из постулатов, не соответствует простому наблюдению. Если бы обнаружили, что теорема Пифагора не вытекает из постулатов, мы снова бы искали способ изменить постулаты до тех пор, пока не получим истину. Постулаты Евклида исходили из теоремы Пифагора, а не наоборот. Вот уже более тридцати лет я замечаю, что, если бы вы вошли в мой кабинет и доказали мне, что теорема Коши ложна, мне было бы очень любопытно, но я считаю, что в конечном итоге мы изменили бы наши предположения, пока теорема не стала истинной. Таким образом, в математике есть много результатов, которые не зависят от предположений и доказательства.
Как мы решаем в «кризисной» ситуации, какие части математики сохранить и от чего отказаться? Полезность — один из основных критериев, но часто это польза для самой математики, а не ее приложений в реальном мире! Слишком много для нашего обсуждения математики.
Некоторые частичные пояснения
Я опишу свои объяснения необоснованной эффективности математики в четырех подразделах.
1. Мы видим, что мы ищем. Никто не удивляется, тому, что через синие очки мир выглядит синеватым. Я приведу примеры того, насколько это верно в современной науке. Ради этого я снова собираюсь нарушить множество широко, тщательно охраняемых убеждений. Но выслушайте меня.
Я привел пример ученых не без причины. Пифагор, на мой взгляд, первый великий физик. Именно он обнаружил, что мы живем в том, что математики называют L2 — сумма квадратов катетов дает квадрат гипотенузы. Как я уже говорил, это не результат постулатов геометрии — это один из результатов, который формирует постулаты.
Дальше Галилей. Не так давно я пытался как-то встать на его место, чтобы почувствовать, как он пришел к открытию закона падающих тел. Я стараюсь делать подобное, чтобы научиться думать, как это делали мастера, — я намеренно пытаюсь думать так же, как они.
Итак, Галилей был хорошо образованным человеком и мастером схоластических аргументов. Он хорошо знал, как рассуждать о числе ангелов на голове булавки, или как оспорить любую сторону вопроса. В наши дни он был бы подготовлен в этих искусствах намного лучше, чем кто-либо из нас. Я представляю его, как он сидит с легким и тяжелым шаром, по одному в каждой руке, и осторожно бросает их. Он говорит, поднимая их: «Для всех очевидно, что тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, — во всяком случае, Аристотель так говорит». «Но предположим, — говорит он себе, рассуждая, — что при падении тело разбивается на две части. Конечно, две части немедленно замедлятся до их соответствующих скоростей. Но предположим, что они соедининлись: теперь они будут единым целым и оба ускорятся? Предположим, я связал две части вместе. Чем их соединить? Легкая струна? Канат? Клей? Когда они станут единым целым?»
Чем больше он думает об этом — и чем больше вы об этом думаете, тем более необоснованным становится вопрос о том, когда два тела являются одним. Просто нет разумного ответа на вопрос о том, откуда тело знает, насколько оно тяжелое — одна ли это часть, или две, или множество. Поскольку падающие тела движутся, единственно возможная вещь заключается в том, что все они падают с одинаковой скоростью, если только не вмешиваются другие силы. Больше им нечего делать. Возможно, он позже провел несколько экспериментов, но я сильно подозреваю, что произошло что-то вроде того, чтоя себе представлял. Позже я нашел подобную историю в книге Пойи [7. Г. Поля, «Математические методы в науке», MAA, 1963, с. 83-85.]. Галилей открыл свой закон не экспериментально, а обычным, простым мышлением, схоластическим рассуждением.
Я знаю, что учебники часто представляют собой закон притяжения тел как экспериментальное наблюдение; Я утверждаю, что это логический закон, следствие того, как мы склонны думать.
Ньютон, как вы читали, вывел закон обратных квадратов из законов Кеплера, хотя в книгах часто представляют его другим способом; из закона обратного квадрата учебники выводят законы Кеплера. Но если вы верите во что-то вроде сохранения энергии и думаете, что мы живем в трехмерном евклидовом пространстве, то как же иначе может исчезнуть симметричное поле центральной силы? Измерения экспоненты, проводя эксперименты, в значительной степени пытаются выяснить, живем ли мы в евклидовом пространстве, а вовсе не проверяем закон обратных квадратов.
Но если вам не нравятся эти два примера, позвольте мне обратиться к самому высокоразвитому закону последних времен, принципу неопределенности. Недавно я начал заниматься написанием книги по цифровым фильтрам [8. Р. У. Хэмминга, Цифровые фильтры, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1977.] и знал очень мало по этой теме. В результате я рано задал вопрос: «Зачем мне делать весь анализ с точки зрения интегралов Фурье? Почему они являются естественными инструментами для решения проблемы?» Вскоре я узнал, как многие из вас уже знают, что собственные функции трансляции являются комплексными экспонентами. Если вам нужна временная инвариантность, и, конечно же, этого и хотят физики и инженеры (эксперимент, выполненный сегодня или завтра, даст одинаковые результаты), тогда вы будете следовать этим функциям. Аналогичным образом, если вы верите в линейность, то снова появляются собственные функции. В квантовой механике квантовые состояния абсолютно аддитивны; это не просто удобная линейная аппроксимация. Таким образом, тригонометрические функции являются собственными функциями, которые необходимы как в теории цифровых фильтров, так и в квантовой механике, но это лишь два примера.
Теперь, когда вы используете эти собственные функции, вы, естественно, должны представлять различные функции, сначала как счетное число, а затем как несчетное число из них, а именно, ряд Фурье и интеграл Фурье. Итак, теорема в теории интегралов Фурье состоит в том, что изменчивость функции, умноженная на изменчивость ее преобразования, превышает фиксированную константу в записи l/2pi. Это говорит мне о том, что в любой линейной, инвариантной во времени системе вы должны найти принцип неопределенности. Размер постоянной Планка является вопросом детальной идентификации переменных с интегралами, но должно иметь место неравенство.
В качестве еще одного примера того, что часто считалось физическим открытием, но которое, как оказалось, было введено само собой, я перехожу к известному факту, что распределение физических констант неоднородно; вероятность случайной физической константы, имеющей первую цифру 1,2 или 3, составляет приблизительно 60%, а цифры 5, 6, 7, 8 и 9 составляют всего лишь около 40%. Это распределение относится ко многим типам чисел, включая распределение коэффициентов степенного ряда, имеющих только единственную особую точку в круге сходимости. Тщательное изучение этого явления показывает, что это главным образом артефакт того, как мы используем числа.
Дав четыре совершенно разных примера нетривиальных ситуаций, в которых выясняется, что исходное явление возникает из математических инструментов, которые мы используем, а не из реального мира, я готов серьезно предположить, что многое из того, что мы видим, происходит из очков, которые мы надеваем. Конечно, это противоречит большей части того, чему вас учили, но внимательно рассмотрите аргументы. Вы можете сказать, что именно эксперимент навязал нам модель, но я полагаю, что чем больше вы думаете о четырех приведенных примерах, тем некомофртнее вам становится. Это не произвольно выбранные мной теории, они являются центральными для физики, (? в оригинальном тексте запятая)
В последние годы именно Эйнштейн, провозгласивший простоту законов физики, использовал математику так, что стал известным как математик. При изучении его специальной теории относительности [9. Г. Холтон Тематическое происхождение научной мысли, от Кеплера до Эйнштейна, Издательство Гарвардского университета, 1973.] возникает ощущение, что человек имеет дело с подходом схоластического философа. Он заранее знал, как должна выглядеть теория, и он исследовал теории с помощью математических инструментов, а не реальных экспериментов. Он был настолько уверен в правильности теорий относительности, что, когда проводились эксперименты для их проверки, он не очень интересовался результатами, говоря, что они должны были либо получиться, либо эксперименты были неправильными. И многие люди считают, что две теории относительности больше базируются на философских основаниях, чем на реальных экспериментах.
Таким образом, мой первый ответ на подразумеваемый вопрос о необоснованной эффективности математики заключается в том, что мы приближаемся к таким ситуациям с интеллектуальным аппаратом, в которых мы можем понять только что мы делаем. Это одновременно просто и ужасно. То, чему нас учила наука — что эксперименты в реальном мире лишь отчасти правдивы. Эддингтон пошел дальше; он утверждал, что достаточно умный разум мог бы вывести всю физику. Я предполагаю, что можно вывести только некоторое количество. Эддингтон привел прекрасную притчу, чтобы проиллюстрировать этот момент. Он сказал: «Люди ловили рыбу сетью в море, и, изучив улов, пришли к выводу о том, какого минимального размера бывает рыба».
2. Мы выбираем тип математики для использования. Математика не всегда работает. Когда мы обнаружили, что скаляры не работают для сил, мы изобрели новую математику, векторы. Дальше мы изобрели тензоры. В книге, которую я недавно написал [10. Р. У. Хэмминг, Теория кодирования и информации, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ., 1980.] для ярлыков используются обычные целые числа, а для вероятностей используются вещественные числа; но в остальном вся арифметика и алгебра, которые встречаются в книге, а их много, предполагают, что
1 + 1 = 0.
Таким образом, мое второе объяснение состоит в том, что мы выбираем математику, чтобы соответствовать ситуации, и просто неверно, что одна и та же математика работает везде.
3. На самом деле наука отвечает на небольшое количество вопросов. Это иллюзия, что у науки есть ответы на большинство наших вопросов. С ранних времен человек, должно быть, размышлял над тем, что такое Истина, Красота и Справедливость. Но насколько я понимаю, наука никак не способствовала ответам, и мне не кажется, что она продвинется в этом в ближайшем будущем. Пока мы используем математику, в которой целое является суммой частей, у нас вряд ли будет математика в качестве основного инструмента при рассмотрении этих известных трех вопросов.
Действительно, почти весь наш опыт в этом мире не подпадает под сферу науки или математики. Более того, мы знаем (по крайней мере, мы думаем, что знаем), что из теоремы Гёделя существуют определенные пределы того, что может сделать чистая логическая манипуляция символами, есть пределы математики. Это акт веры ученых, что мир можно объяснить простым языком математики. Когда вы посчитаете, на сколько вопросов наука не ответила, вы увидите, что наши успехи не настолько впечатляющи, как могли бы быть.
4. Эволюция человека обеспечила модель. Я уже затронул вопрос эволюции человека. Я заметил, что в самых ранних формах жизни должны быть семена нашей нынешней способности создавать и следовать длинным цепочкам рассуждений. Некоторые люди [11. H. Mohr, «Структура и значение науки», Springer-Verlag, 1977.] также утверждали, что дарвиновская эволюция, естественно, будет выбирать для выживания те конкурирующие формы жизни, которые имели лучшие модели реальности в своем сознании — «лучшие», то есть лучше всего подходящие для выживания и распространения. Без сомнения, в этом есть доля правды. Мы находим, например, что мы можем справиться с размышлением о мире, когда оно сопоставимо по размеру с нами и нашими необработанными чувствами, но когда мы переходим к очень маленькому или очень большому, то начинаются проблемы. Кажется, мы не можем адекватно думать о крайностях, выходящих за рамки обычного размера.
Так же, как есть запахи, которые могут чувствовать собаки, а мы не можем, а также звуки, которые собаки могут слышать, а мы не можем, так и есть длины волн света, которые мы не можем видеть, и вкусы, которые мы не можем попробовать. Почему тогда нас удивляет, учитывая, что наш мозг такой, как он есть, замечание «Возможно, есть мысли, о которых мы не можем думать»? Эволюция, до сих пор, возможно, заблокировала нам возможность мыслить в некоторых направлениях; могут быть немыслимые мысли.
Если вы помните, современной науке всего около 400 лет, и в течение века насчитывалось от 3 до 5 поколений, то с Ньютона и Галилея прошло не более 20 поколений. Если вы берете 4000 лет для возраста науки, как правило, тогда вы получите верхнюю границу в 200 поколений. Рассматривая эффекты эволюции, которые мы ищем с помощью небольших вариаций шансов, мне кажется, что эволюция не может объяснить больше, чем небольшую часть необоснованной эффективности математики.
Вывод
Из всего этого я вынужден сделать вывод, что математика необоснованно эффективна и что все объяснения, которые я дал просто недостаточны для объяснения темы. Я думаю, что мы, — то есть в основном вы, — должны попытаться объяснить, почему логическая сторона науки — подразумеваем в основном математику, — является надлежащим инструментом для изучения Вселенной, как мы ее воспринимаем в настоящее время. Я подозреваю, что мои объяснения не так хороши, как у ранних греков, которые говорили о материальной стороне вопроса природы вселенной — что это земля, огонь, вода и воздух. Логическая сторона природы Вселенной требует дальнейшего изучения.
Я (Ларри Фрейзер, который (с разрешения Р. Хэмминга) просмотрел это и разместил его в Интернете) с удовлетворением отметил, что 58 человек прочли это эссе за последние 2 месяца. Я предполагаю, что большинство из вас находят это в указателе проектов Гутенберга.
С другой стороны, я чувствую, что прочесть это должны тысячи. Это самое глубокое эссе, которое я видел относительно философии науки; на самом деле, оно важно для всего нашего понимания мысли, познания или реальности.
Напишите мне, если у вас есть какие-либо комментарии.
Ларри Фрейзер
Reprinted From: The American Mathematical Monthly Volume 87 Number 2 February 1980
За перевод спасибо katifa. Кто хочет помочь с переводом таких же полезных текстов, пишите в личку или на почту magisterludi2016@yandex.ru
Благодарю Gritsuk, Sirion, qw1, KirillGuzenko, NeKpoT и Пахомова Андрея за то, что нашли неточности перевода математических терминов и предложили свой исправленный вариант.
Переведенные хабравчанами книги:
