Алгоритмы *

Прошлый топик, про оценку сложности алгоритмов был весьма положительно оценён хабрасообществом. Из этого я могу сделать вывод, что тема базовых алгоритмов весьма интересна. Сегодня я хочу представить вам часть, посвящённую алгоритмам сортировки. Про базовые алгоритмы писать для Хабра совсем несерьёзно, а вот про сортировки Шелла, пирамидальную и быструю рассказать всё-таки стоит. (Если кому-то интересно почитать про базовые методы, милости прошу сюда)

Иногда для понимания того, как работает та или иная вещь, лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.

Замечательный сайт www.sorting-algorithms.com позволяет увидеть, как сортируются данные разными алгоритмами. Вы сможете посмотреть анимацию в зависимости от алгоритма, исходных данных.



Все это бегает и сортируется прямо на ваших глазах!

Работает на Google App Engine, видимо, поэтому и лежит от посетителей с «Хабра».

Не так давно мне предложили вести курс основ теории алгоритмов в одном московском лицее. Я, конечно, с удовольствием согласился. В понедельник была первая лекция на которой я постарался объяснить ребятам методы оценки сложности алгоритмов. Я думаю, что некоторым читателям Хабра эта информация тоже может оказаться полезной, или по крайней мере интересной.

В моей предыдущей статье описывался алгоритм поведения роя пчёл и применение его для решения задач оптимизации и синтеза. Вооружившись С++ и OpenGL я написал программу, реализующую этот самы алгоритм в двухмерном пространстве, и отображающую роение «пчёл».

В качестве испытательной функции была выбрана следующая функция:

На Хабрахабре неоднократно обсуждался генетический алгоритм, его преимущества и недостатки. Но генетический алгоритм (а точнее целая плеяда различных его подвидов) не является единственным в своём роде. Его относят к так называемым естественным алгоритмам. К ним также принадлежат алгоритм «имитации отжига», алгоритм «поведения роя пчёл» и алгоритм «поведения колонии муравьёв» и ещё несколько почти неизвестных алгоритмов.

Я хотел бы остановиться на втором, менее популярном но не менее интересном алгоритме синтеза и оптимизации — алгоритме поведения роя пчёл — и объяснить его принцип.

Возможно, многие из читателей задавались вопросом, как людям удаётся собирать кубик Рубика 3×3 за 7 секунд. Если даже предположить, что рекордсмену сильно повезло, то таблица мирового рейтинга по среднему из пяти результатов уже не оставляет сомнений: если больше 80 человек в среднем укладываются в 12 секунд, очевидно они что-то знают. В этом кратком обзоре я постараюсь приоткрыть секреты скоростной сборки. Сразу оговорюсь, что после прочтения этой статьи вы не станете чемпионами: здесь приведены только основные моменты и ссылки на более подробную информацию. Кроме того, даже после изучения метода полностью вам потребуются долгие тренировки для достижения хороших результатов. Зато вы получите неплохое представление о том, как это делается, и при желании будете знать, куда двигаться дальше. Я думаю, при достаточной усидчивости после нескольких месяцев тренировок многие смогут достичь среднего результата в районе 30 секунд.

Здравствуйте, уважаемое хабрасообщество.
В последнее время на хабре стали появляться статьи, так или иначе связанные с анализом и обработкой сигналов и изображений (например Обнаружение устойчивых признаков изображения: метод SURF, Интегральное представление изображений от BigObfuscator), в связи с чем я хотел бы вкратце осветить такой инструмент для анализа сигналов, как wavelet-преобразование.

Для того, чтобы понять смысл вейвлет анализа начнем довольно издалека. В данной статье описывается математический смысл (простыми словами) вейвлет-преобразований, о применимости и его дискретной версии я расскажу позднее.

Спектральный анализ — это один из методов обработки сигналов, который позволяет характеризовать частотную составляющую измеряемого сигнала.

Однажды мне понадобилось решить простенькую (как мне тогда казалось) задачу – в PHP-скрипте узнать длительность mp3-файла. Я слышал о ID3 тегах и сразу подумал, что информация о длительности хранится либо в тегах, либо в заголовках mp3-файла. Поверхностные поиски в интернете показали что за пару-тройку минут решить эту задачу не получится. Поскольку от природы я довольно любопытен а время не поджимало — решил не использовать сторонние инструменты а разобраться в одном из самых популярных форматов самостоятельно.

Если Вам интересно, что там внутри – добро пожаловать под кат (трафик).

От всей души рекомендую видео лекцию А. Степанова (человека создавшего STL): «о истории алгоритма нахождения наибольшего общего делителя», это популярная лекция оказалась бесконечно интересной, в ней рассказывается, на примере этого алгоритма о развитие алгоритмического знания всего человечества с эпистемологической точки зрения в разрезе истории с античных времен с Пифагора до наших дней до Кнута.


Посмотреть можно здесь:
часть1
video.yandex.ru/users/ya-events/view/129
часть2
video.yandex.ru/users/ya-events/view/128

Чтобы не откладывать в долгий ящик сразу порассказываю несколько других примеров для MapReduce, обещанные в топике "MapReduce без зауми". (Если не понимаете полностью что такое MapReduce — прочитайте тот топик сначала! Без него не разберетесь)

Поговорим тут о подсчетах национальностей в городах, средних оценках и приводах учеников, ТИЦ, PageRank, входящих ссылках, нишевых ключевых словах, словах-синонимах, социальных сетях и общих друзьях. Постараемся обойтись без математических знаков и зауми.

Однако тема сама по себе сложная и все же напрячь мозги придется. Когда поймете — будет очень просто.

Входящие ссылки

Допустим у нас есть Интернет. В Интернете есть исходящие ссылки.

Допустим на входе у нас есть такие данные об ИСХОДЯЩИХ ссылках, собранные нашим паучком:

habrahabr.ru -> thematicmedia.ru, apple.ru, microsoft.com, ubuntu.com, yandex.ru
thematicmedia.ru -> habrahabr.ru, autokadabra.ru
autokadabra.ru -> habrahabr.ru, yandex.ru

Т.е. мы знаем, что Хабр ссылается на Apple, MS, Ubuntu и Яндекс но кто ссылается на Хабр? Да, вопрос примитивный, но все же разложим на MapReduce. Дальше будет интереснее и этот пример понадобится.

Давно хотел рассказать про MapReduce, а то как ни взгляшешь на подобное — такая заумь, что просто ужас берет, а на самом деле очень простой и полезный подход для многих целей. И реализовать самому — не так уж и сложно.

Сразу скажу — топик — для тех, кто не разобрался что такое MapReduce. Для тех, кто разобрался — полезного тут ничего не будет.

Начнем с того как собственно родилась лично у меня идея MapReduce (хотя я и не знал, что он так называется, и, разумеется, пришла она мне куда позже чем Гугловсцам).

Сначала опишу как она рождалась (подход был неправильный), а потом как надо правильно делать.

Как посчитать все слова в Википедии (неправильный подход)

А родилась она, как и, наверное, везде — для подсчета частоты слов, когда обычной памяти не хватает (подсчет частоты всех слов в Википедии). Вместо слова «частота» тут скорее должно быть «количество вхождений», но для простоты оставлю «частота».

В самом простом случае мы можем завести хеш (dict, map, hash, ассоциативный массив, array() в PHP) и считать в нем слова.

$dict['word1'] += 1

Но что делать когда память под хеш кончится, а мы посчитали только одну сотую всех слов?

Базы данных изображений могут быть очень большими и содержат сотни тысяч и даже миллионы изображений. В большинстве случаев эти базы проиндексированы только по ключевым словам. Эти ключевые слова вносит в базу оператор, который также распределяет все изображения по категориям. Но изображения могут быть найдены в базе и на основе собственного содержания. Под содержанием мы можем понимать цвета и их распределение, объекты на изображении и их пространственное положение и т.д. В настоящее время алгоритмы сегментации и распознавания развиты недостаточно хорошо, тем не менее, сейчас уже существует несколько систем (в том числе коммерческих) для поиска изображений на основе их содержания.

[FF D8]

Вам когда-нибудь хотелось узнать как устроен jpg-файл? Сейчас разберемся! Прогревайте ваш любимый компилятор и hex-редактор, будем декодировать это:

Специально взял рисунок поменьше. Это знакомый, но сильно пережатый favicon Гугла:

Последующее описание упрощено, и приведенная информация не полная, но зато потом будет легко понять спецификацию.

Даже не зная, как происходит кодирование, мы уже можем кое-что извлечь из файла.

[FF D8] — маркер начала. Он всегда находится в начале всех jpg-файлов.

Следом идут байты [FF FE]. Это маркер, означающий начало секции с комментарием. Следующие 2 байта [00 04] — длина секции (включая эти 2 байта). Значит в следующих двух [3A 29] — сам комментарий. Это коды символов ":" и ")", т.е. обычного смайлика. Вы можете увидеть его в первой строке правой части hex-редактора.

Сразу скажу, что этот топик интересен только с точки зрения истории криптографии, описываемый шифр малопригоден для защиты информации в современном мире. Но, тем не менее, алгоритмы, описываемые в топике, могут пригодится на специализированных олимпиадах.

Преобразование Хафа — это метод обнаружения прямых и кривых линий на полутоновых или цветных изображениях. Метод позволяет указать параметры семейства кривых и обеспечивает поиск на изображении множества кривых заданного семейства. Мы рассмотрим его применение для поиска на изображении прямолинейных отрезков и дуг окружностей.

Оглавление (на данный момент)

Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Очень сильное колдунство

После всей кучи возможностей, которые нам предоставило декартово дерево в предыдущих двух частях, сегодня я совершу с ним нечто странное и кощунственное. Тем не менее, это действие позволит рассматривать дерево в совершенно новой ипостаси — как некий усовершенствованный и мощный массив с дополнительными фичами. Я покажу, как с ним работать, покажу, что все операции с данными из второй части сохраняются и для модифицированного дерева, а потом приведу несколько новых и полезных.

Вспомним-ка еще раз структуру дерамиды. В ней есть ключ x, по которому дерамида есть дерево поиска, случайный ключ y, по которому дерамида есть куча, а также, возможно, какая-то пользовательская информация с (cost). Давайте совершим невозможное и рассмотрим дерамиду… без ключей x. То есть у нас будет дерево, в котором ключа x нет вообще, а ключи y — случайные. Соответственно, зачем оно нужно — вообще непонятно :)

На самом деле расценивать такую структуру стоит как декартово дерево, в котором ключи x все так же где-то имеются, но нам их не сообщили. Однако клянутся, что для них, как полагается, выполняется условие двоичного дерева поиска. Тогда можно представить, что эти неизвестные иксы суть числа от 0 до N-1 и неявно расставить их по структуре дерева:

Получается, что в дереве будто бы не ключи в вершинах проставлены, а сами вершины пронумерованы. Причем пронумерованы в уже знакомом с прошлой части порядке in-order обхода. Дерево с четко пронумерованными вершинами можно рассматривать как массив, в котором индекс — это тот самый неявный ключ, а содержимое — пользовательская информация c. Игреки нужны только для балансировки, это внутренние детали структуры данных, ненужные пользователю. Иксов на самом деле нет в принципе, их хранить не нужно.

В отличие от прошлой части, этот массив не приобретает автоматически никаких свойств, вроде отсортированности. Ведь на информацию-то у нас нет никаких структурных ограничений, и она может храниться в вершинах как попало.

Введение

Задача о максимальном потоке является классической и имеет множество применений. Напомню постановку проблемы. Дан взвешенный ориентированный граф с неотрицательными весами (пропускными способностями). Выделены две вершины: исток S и сток T такие, что любая другая вершина лежит на пути из S в T. Потоком назовем функцию F: V x V с такими свойствами

1. Ограничение пропускной способности. Поток по ребру не может быть больше его (ребра) пропускной способности.
2. Антисимметричность. Для каждого ребра (u, v): F(u, v) = -F(v, u).
3. Сохранение потока. Для каждой вершины (кроме S и T), количество входящего потока (отрицательного) равен количеству исходящего потока (положительного). Тоесть, алгебраическая сумма потоков для каждой вершины (кроме S и T) равна нулю.

В этом посте вы можете ознакомиться с реализацией поставленной проблемы.

Перейдем непосредственно к типичным задачам, которые сводятся к алгоритму нахождения максимального потока в сети. Часто выявить в таких задачах поток очень не просто.

Во вчерашней серии футурамы поставили довольно интересную задачку — не мог не удержаться и не разобрать ее тут.

Оглавление (на данный момент)

Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Тема сегодняшней лекции

В прошлый раз мы с вами познакомились — скажем прямо, очень обширно познакомились — с понятием декартового дерева и основным его функционалом. Только до сих мы с вами использовали его одним-единственным образом: как «квази-сбалансированное» дерево поиска. То есть пускай нам дан массив ключей, добавим к ним случайно сгенерированные приоритеты, и получим дерево, в котором каждый ключ можно искать, добавлять и удалять за логарифмическое время и минимум усилий. Звучит неплохо, но мало.

К счастью (или к сожалению?), реальная жизнь такими пустяковыми задачами не ограничивается. О чем сегодня и пойдет речь. Первый вопрос на повестке дня — это так называемая K-я порядковая статистика, или индекс в дереве, которая плавно подведет нас к хранению пользовательской информации в вершинах, и наконец — к бесчисленному множеству манипуляций, которые с этой информацией может потребоваться выполнять. Поехали.

Ищем индекс

В математике, K-я порядковая статистика — это случайная величина, которая соответствует K-му по величине элементу случайной выборки из вероятностного пространства. Слишком умно. Вернемся к дереву: в каждый момент времени у нас есть декартово дерево, которое с момента его начального построения могло уже значительно измениться. От нас требуется очень быстро находить в этом дереве K-й по порядку возрастания ключ — фактически, если представить наше дерево как постоянно поддерживающийся отсортированным массив, то это просто доступ к элементу под индексом K. На первый взгляд не очень понятно, как это организовать: ключей-то у нас в дереве N, и раскиданы они по структуре как попало.

Оглавление (на данный момент)

Часть 1. Описание, операции, применения.
Часть 2. Ценная информация в дереве и множественные операции с ней.
Часть 3. Декартово дерево по неявному ключу.
To be continued...

Декартово дерево (cartesian tree, treap) — красивая и легко реализующаяся структура данных, которая с минимальными усилиями позволит вам производить многие скоростные операции над массивами ваших данных. Что характерно, на Хабрахабре единственное его упоминание я нашел в обзорном посте многоуважаемого winger, но тогда продолжение тому циклу так и не последовало. Обидно, кстати.

Я постараюсь покрыть все, что мне известно по теме — несмотря на то, что известно мне сравнительно не так уж много, материала вполне хватит поста на два, а то и на три. Все алгоритмы иллюстрируются исходниками на C# (а так как я любитель функционального программирования, то где-нибудь в послесловии речь зайдет и о F# — но это читать не обязательно :). Итак, приступим.

Введение

В качестве введения рекомендую прочесть пост про двоичные деревья поиска того же winger, поскольку без понимания того, что такое дерево, дерево поиска, а так же без знания оценок сложности алгоритма многое из материала данной статьи останется для вас китайской грамотой. Обидно, правда?

Следующий пункт нашей обязательной программы — куча (heap). Думаю, также многим известная структура данных, однако краткий обзор я все же приведу.
Представьте себе двоичное дерево с какими-то данными (ключами) в вершинах. И для каждой вершины мы в обязательном порядке требуем следующее: ее ключ строго больше, чем ключи ее непосредственных сыновей. Вот небольшой пример корректной кучи:

На заметку сразу скажу, что совершенно не обязательно думать про кучу исключительно как структуру, у которой родитель больше, чем его потомки. Никто не запрещает взять противоположный вариант и считать, что родитель меньше потомков — главное, выберите что-то одно для всего дерева. Для нужд этой статьи гораздо удобнее будет использовать вариант со знаком «больше».

Сейчас за кадром остается вопрос, каким образом в кучу можно добавлять и удалять из нее элементы. Во-первых, эти алгоритмы требуют отдельного места на осмотр, а во-вторых, нам они все равно не понадобятся.