Математика равновесия: как уравнение Ляпунова держит весь мир в узде

1. Устойчивость означает, что при малом возмущении начальных условий траектория меняется слабо.

2. Здесь в статье проделан вывод уравнения Ляпунова, соответственно дан ответ на вопрос, откуда оно взялось

3. Потому что это система линейных диффуров, в окрестности равновесия любая механическая система так описывается приближенно (вдали от окрестности уже нелинейная становится). Если у нас система нелинейная - надо ее линеаризовать, т.е. разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесия. И тогда получить такую систему из нелинейной, и дальше по алгоритму

   

4. Энергия в кавычках, потому что можно брать не только кинетическую энергию, а в принципе любую подходящую квадратичную функцию. Обычно берут кинетическую энергию, но в некоторых случаях удобнее что-то еще.

Материал про линеаризацию тогда чуть позже ночью добавлю и вставлю в статью.

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

Это не так. Вам нужно какой-то интеграл продифференцировать по параметру, например. И придется для этого уметь доказывать, что подынтегральная функция равномерно непрерывна.

Для каждого интеграла нужно отдельно доказывать.

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

Для применения многих методов, например, нужно уметь доказывать равномерную сходимость или равномерную непрерывность. А чтобы это сделать - нужно знать и понимать теоремы.

У исчисления Хевисайда тоже есть границы применимости.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Интересен вопрос, где такое может пригодиться.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Тут непонятно, чем это лучше просто условия. Ведь если брать 2 модуля и сравнивать if .. else..., то получается гораздо проще. По вашей формуле тоже придется условную конструкцию писать, но она гораздо сложнее. Если же этого не делать, то "меньшим" тогда считается то число, которое находится "слева" от другого относительно линии разреза функции корня на комплексной плоскости, что вообще-то совсем другое, чем выбор минимального по модулю.

То есть фактически вы делаете ровно то же самое сравнение модулей, чтобы выбрать, какой из листов функции корня использовать. Вы предлагаете:

import cmath

def complex_min_roots(x, y):
    diff_sq = (x - y)**2
    root = cmath.sqrt(diff_sq)
    res1 = 0.5 * (x + y - root)
    res2 = 0.5 * (x + y + root)
    if abs(res1) < abs(res2):
        return res1
    else:
        return res2

z1 = 3 + 4j  # Модуль 5
z2 = 5 + 12j # Модуль 13

minimum = complex_min_roots(z1, z2)
print(f"Число 1: {z1} (abs={abs(z1)})")
print(f"Число 2: {z2} (abs={abs(z2)})")
print(f"Результат формулы: {minimum}")

А не будет ли проще сделать так:

import cmath

def complex_min_roots(x, y):
    if abs(x) < abs(y):
        return x
    else:
        return y

z1 = 3 + 4j  # Модуль 5
z2 = 5 + 12j # Модуль 13

minimum = complex_min_roots(z1, z2)
print(f"Число 1: {z1} (abs={abs(z1)})")
print(f"Число 2: {z2} (abs={abs(z2)})")
print(f"Результат формулы: {minimum}"

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

Да я тут посмотрел, у Кудрявцева много доказательств по Гейне. А в книге Куранта по анализу используется тот же подход точек сгущения, и определение предела как единственной точки сгущения последовательности (за которое меня тут и в других местах некоторые комментаторы сильно обругали) для доказательства теорем про последовательности, а для теорем про непрерывные функции - совмещение этого подхода с пределом по Гейне.

Так что какие-то элементы того, что предлагаю, отыскать можно в разных местах. У Куранта, к сожалению, так доказаны только некоторые теоремы.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Пеано хорош тем, что он очень простой, Лагранжа хорош тем, что повсеместно используется в вычислительной математике.

Да, нужно мотивацию определений давать. Но когда мы говорим про вводные темы, аксиомы, основания, там мотивация в том, чтобы строго рассуждать и не ошибаться.

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

Насколько я понимаю, причины исторические, потому что когда всё это создавалось и начало проникать в вузы, все были одержимы "арифметизацией анализа" и изгнанием геометрических рассуждений ради достижения строгости. А потом люди, которым именно такое изложение нравится, стали воспроизводиться. При этом были еще куда более радикальные представители. Например, Эдмунд Ландау

https://booknik.ru/today/all/simvoly-landau/

https://disk.yandex.ru/i/Ija0BkGtHvJgMw

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Надо сказать, что на данный момент положительных отзывов на стиль изложения намного больше, чем отрицательных. Сегодня вот в личке только пришел и на фэйсбуке хвалили сильно недавно. Они идут потоком, а такие негативные единичны.

Однако я согласен с тем, что с количеством эпитетов перебор получился. Стиль будет подкорректирован в любом случае.

Это всё в первую очередь вопрос тонкой настройки промпта + самостоятельной вычитки и коррекции получившегося. ИИ выступает тут как ускоритель работы (по сути - бесплатный ассистент). Идеи мои, настройки промптов мои, я пишу ИИ что надо писать, он оформляет хорошо, иллюстрации делает, текст генерирует и структурирует, и тому подобное.

А еще эти тексты уже принесли доход. Ко мне обратились 2 человека как клиенты на репетиторство, и написали, что им очень нравится стиль, вдохновляет, мечтают, чтобы вот все учебники так писали, и чтобы так преподавали.

Как математики решают обратную задачу для строительства в Арктике

Потому что приближенное решение - это тоже решение. Во многих задачах подобные методы называются решением.

Это тоже самое, что пытаться как-то подобрать икс в уравнении, а потом говорить что нашел решение.

Ну не совсем, тут не как-то, а гарантированно сходимся к решению с некоторой точностью. Уравнение с иксом можно тоже дихотомией решать, например. И это будет решением в том же самом смысле.

Как математики решают обратную задачу для строительства в Арктике

Итерациями решать много раз прямую задачу - это один из часто используемых методов решения обратной задачи.

Сложность решения обратных задач в том, что обычно вообще нет никаких формул, которые их решают непосредственно.

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

Спасибо за столь обстоятельный ответ.

Сейчас репетиторство очень сильно распространено во всех возрастных нишах и студенты не исключение. Основные мои клиенты в последние годы - это дети, сдающие ЕГЭ по информатике, и дети из матшкол, которым нужна помощь по программе (обычно с геометрией проблемы или олимпиадной математикой).

Студенты МФТИ каждый год обращаются. В подавляющем большинстве случаев - из-за математического анализа, еще немного с физикой и теормехом бывают.

У меня математический анализ лекции вел Иванов и семинары тоже он. На лекциях он просто писал огромный лес из кванторов на всю доску, один в один со своего учебника. Но семинары вел иначе - очень доходчиво объяснял всю теорию и задачи.

Впоследствии я понял, что такие лекции просто бессмысленные, а заниматься переписыванием чужого леса из кванторов довольно бесполезно, даже если тебе более-менее понятно, что происходит. В МФТИ сложнее воспринимать математический анализ, чем студентам мехмата МГУ, насколько я понимаю, потому что

1) курс ничуть не проще мехматовского

2) мало задач на доказательства, а теорию спрашивают на всех сдачах. Очень сложно усвоить абстрактную теорию, не доказывая самостоятельно.

Насчет этого

 В начале первого семестра было порядка двух месяцев введение в теорию множеств и математическую логику, так что кванторы нам были достаточно понятны и не только. 

Это очень хороший подход. К сожалению, сейчас такого нигде не встретить, студентам практически сразу везде дают определение предела, состоящее из трех кванторов.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

В формуле написан.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Это Gemini глючит, он же накодил. Вернусь домой, переделаю код графика сам.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Если f(x)*f(-x) = 1, и f(x) аналитическая функция, то ничего кроме экспоненты быть не может (можно доказать, расписав ряды).

Если это не аналитическая функция, то может быть что угодно.

Элементарные функции — это функции, которые можно получить из основных элементарных функций (степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические) с помощью конечного числа арифметических операций (+, -, *, /) и операций суперпозиции (вложения одной функции в другую).

Элементарные являются подвидом аналитических.

Значит f(x) нельзя выразить в аналитических функциях.

Единственный подвох, который тут может быть. связан с многолистностью части элементарных функций.

Путеводитель по матанализу, который скрывали от вас в вузе

В МФТИ растет нагрузка, больше предметов становится, содержание больше. Можно сравнить с задавальником 1993-го года, намного сложнее стало. Да и даже я вот учился в конце нулевых, и смотрю задавальники сейчас, у нас проще было и немного меньше материала в программы засовывали.

В плане математического анализа сейчас у многих основной учебник Иванова, и по нему соответственно сдавать, а это куда более сложное изложение, чем по Кудрявцеву, например.

Кроме того, я у Неретина читал про схожие процессы на мехмате МГУ, что за 30 лет там программа увеличилась где-то в 2 раза, а студенты сильнее не стали, скорее наоборот.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Тогда есть проблема, это не может быть аналитической функцией. А значит нельзя точно выразить в элементарных функциях, потому что элементарные - аналитические. Но приближенно можно, вопрос только какую систему функций лучше взять. Для этого можно протестировать разные гипотезы.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Можно добавить кстати, раньше не встречал. Почитал сейчас, вроде полезная штука. По крайней мере студентам полезно показать, что такое вообще есть. А в учебниках по вычислительной математике совсем не видел.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Я думаю, под невозможностью имеется в виду то, что это не аналитическая функция.

Вводная глава учебника по матанализу нового типа

Это зависит от того, какими функциями приближать.

Ваша форма указывает на то, что это показательные функции.

Значит ищем в виде A*exp(kx), если плохо приближает, добавим B*exp(m*x) и так далее. Параметры по МНК находим.