Тут есть проблема. Векторная алгебра не равно геометрия. Геометрия - это числовая модель + группа автоморфизмов.
Соответственно, если мы определяем квадрат длины вектора как сумму квадратов координат, то это равносильно теореме Пифагора, потому что в любом прямоугольном треугольнике длины катетов можно рассматривать как координаты гипотенузы.
Речь же идет о том, что если принимать во внимание группу автоморфизмов, то вообще не нужно постулировать формулу для скалярного произведения. Достаточно определить, что вектор, лежащий вдоль оси Ох, имеет длину, равную его координате (проще говоря, определить длину через длину единичного вектора). И далее теорема Пифагора отсюда получается автоматически.
На самом деле есть некоторый разрыв в школьном изложении. Как устроены длины и расстояния отчасти дают (задачи на координатной плоскости в 6-м классе, и на клетчатой доске, функции в 7-м с графиками и так далее), потом обрывают, затем снова дают уже в 9-м классе (векторы и координаты), но как-то выходит слишком резкий переход что ли. И уж точно не дают понимания, что теорема Пифагора тут ключевая.
В советском варианте учебника Киселева (использовался в основном в 30-50-х годах), например, там этот мост проделан, от теорем Фалеса и подобия, идут дальше к геометрии цепных дробей, показывают иррациональность корня из двух, в теории пределов немного с геометрической точки зрения проходят. И там рассказывается о том, что теорема Пифагора про то, как устроены длины и расстояния в нашем мире.
Потом более поздние учебники стали убирать это всё, заход во что-то метрическое остался только с теоремой Фалеса, и в целом концепция глобально изменилась. У Киселева школьный курс геометрии выглядит как введение в основы математического анализа. Там очень много посвящено действительным и рациональным числам, цепным дробям, понятию площади и длины, есть основы теории пределов.
А современные учебники по геометрии вот этого всего не содержат, и там заточено всё на то, чтобы научить школьника решать типовые задачи на ЕГЭ. И существует очень четкая и явная тенденция убирать из геометрии всякие иллюстрации и геометрические доказательства, заменять "алгоритмами".
Концепций меньше, наглядности меньше, формул и "алгоритмов" - больше. Такая вот эпоха деградации. в которую мы живем.
А дети с каждым годом геометрию знают всё хуже, в среднем.
В основном есть только изложение самых основ. Например, книга Бескина "Гравитация и астрофизика", там изложены основы ОТО в формате для физматшкольников.
Да, и я о том же. Так наоборот, метод через движения был очень популярен в 19м веке, а в учебниках 20-го века убрали его. Но мне пишут, что в хороших школах его и сейчас рассказывают, просто в учебнике он отсутствует.
Доказательство с векторами можно без векторов переделать, используя только обозначения на клетчатой бумаге (координатной сетке). Если школьникам давать, то так проще будет, видимо.
Углы нормально, разным цветом. А буквы да, перепутал. Сейчас исправлю.
Посмотрел вашу статью. Могу написать статью с разбором того, что там написано.
Вот такую сделал и добавил
Тут есть проблема. Векторная алгебра не равно геометрия. Геометрия - это числовая модель + группа автоморфизмов.
Соответственно, если мы определяем квадрат длины вектора как сумму квадратов координат, то это равносильно теореме Пифагора, потому что в любом прямоугольном треугольнике длины катетов можно рассматривать как координаты гипотенузы.
Речь же идет о том, что если принимать во внимание группу автоморфизмов, то вообще не нужно постулировать формулу для скалярного произведения. Достаточно определить, что вектор, лежащий вдоль оси Ох, имеет длину, равную его координате (проще говоря, определить длину через длину единичного вектора). И далее теорема Пифагора отсюда получается автоматически.
Я тут придумал уже, как одним рисунком сделать. Нарисую сегодня позже и вставлю.
Нет, формулы площади треугольника и площади параллелограмма не требуют ничего, кроме формулы площади прямоугольника.
Предельные переходы в доказательстве формул нужны для криволинейных фигур. Например, при доказательстве формулы площади круга.
Опыт с водой как раз физически реализует идею первого доказательства из статьи.
Можно из бумаги еще повырезать, например.
На самом деле есть некоторый разрыв в школьном изложении. Как устроены длины и расстояния отчасти дают (задачи на координатной плоскости в 6-м классе, и на клетчатой доске, функции в 7-м с графиками и так далее), потом обрывают, затем снова дают уже в 9-м классе (векторы и координаты), но как-то выходит слишком резкий переход что ли. И уж точно не дают понимания, что теорема Пифагора тут ключевая.
В советском варианте учебника Киселева (использовался в основном в 30-50-х годах), например, там этот мост проделан, от теорем Фалеса и подобия, идут дальше к геометрии цепных дробей, показывают иррациональность корня из двух, в теории пределов немного с геометрической точки зрения проходят. И там рассказывается о том, что теорема Пифагора про то, как устроены длины и расстояния в нашем мире.
Потом более поздние учебники стали убирать это всё, заход во что-то метрическое остался только с теоремой Фалеса, и в целом концепция глобально изменилась. У Киселева школьный курс геометрии выглядит как введение в основы математического анализа. Там очень много посвящено действительным и рациональным числам, цепным дробям, понятию площади и длины, есть основы теории пределов.
А современные учебники по геометрии вот этого всего не содержат, и там заточено всё на то, чтобы научить школьника решать типовые задачи на ЕГЭ. И существует очень четкая и явная тенденция убирать из геометрии всякие иллюстрации и геометрические доказательства, заменять "алгоритмами".
Концепций меньше, наглядности меньше, формул и "алгоритмов" - больше. Такая вот эпоха деградации. в которую мы живем.
А дети с каждым годом геометрию знают всё хуже, в среднем.
В основном есть только изложение самых основ. Например, книга Бескина "Гравитация и астрофизика", там изложены основы ОТО в формате для физматшкольников.
Наверное, стоит сделать что-то типа этого рисунка и вставить в статью.
Ну тут смотря как доказывать. Я имел в виду, что сдвиг происходит на длину второго катета. Вот на рисунке, что имею в виду.
Да, и я о том же. Так наоборот, метод через движения был очень популярен в 19м веке, а в учебниках 20-го века убрали его. Но мне пишут, что в хороших школах его и сейчас рассказывают, просто в учебнике он отсутствует.
А как проще написать предлагаете?
Думаю скорее корректно говорить, что у большинства людей проблемы с абстрактным мышлением и поэтому геометрический подход им понятнее.
"доказывать равенство площади параллелограмма при сдвиге надо тоже геометрическим способом "
Ну кстати им обычно и доказывается до сих пор в учебниках.
Но тут важно было указать на существование инварианта.
Вот вставил в статью в это место.
А давайте сейчас для большей ясности эту тоже в статью добавлю.
Не совсем так. В курсе планиметрии эта формула (площади параллелограмма) доказывается через теорему о перекашивании и формулу площади прямоугольника.
А это и есть "покосившийся забор".
Здесь не используются все эти свойства. Используются только те, которые к 8-му классу уже доказаны в курсе планиметрии.
Насчет сложения векторов - они опираются на свойства параллелограммов.
Вот собственно в конце статьи и получилось.
Доказательство с векторами можно без векторов переделать, используя только обозначения на клетчатой бумаге (координатной сетке). Если школьникам давать, то так проще будет, видимо.