А ещё одна проблема, что не для всех пар разрез надо делать так, как я написал. Ещё придётся правило ввести условием, иначе формула даст неправильный ответ.
Квадратный корень - двулистная функция. Чтобы формула работала корректно, нужно брать разрез по лучу от 0 до +бесконечности на вещественной оси. Но тогда это значит, что в окрестности разреза результат вычислений будет неустойчивым.
Так что, получается, не для всех пар чисел такой подход хорош. Нужно эту формулу доработать до конкретного алгоритма, который устойчиво работает.
А я сейчас начал писать следующую статью, про вещественные числа. Сегодня меня в комментариях навели на курс анализа от Куранта, там очень много сделано именно так, как я хотел. Но, к сожалению, по доказательствам этот курс неполный и сильно не подробный.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.
Ну кстати хорошие книги надо еще найти, курс анализа Куранта раньше не видел. Сейчас посмотрел - конечно хороший, но для МФТИ слишком примитивный и вряд ли поможет чем-то для сдачи коллоквиума, например.
Откуда у студентов МФТИ на младших курсах есть свободное время, чтобы еще какие-то книжки читать? Тем более что перечисленное мало связано непосредственно с программой первого курса.
Там собственно правильно пишет Рауф
"студенту начинает сносить крышу — с одной стороны его мозг дико перегружен, ведь он реально много «ботал», а с другой стороны мозг остался голодным (!), потому что глубоких знаний не прибавилось (а ведь именно этого и нужно было мозгу). "
А потом, получается, что эти студенты в школе были лучшими из лучших, отличниками, победителями олимпиад, а к третьему курсу стали отстающими, не освоили материал и от науки их уже тошнит, потому что ничего непонятно и потому что есть эмоциональное выгорание, перегрузки и необходимость сдавать много предметов и заданий без понимания происходящего на них в авральном режиме.
Всё это указывает на очень низкую эффективность системы, но на попытки предложить заимствовать успешный западный опыт (например, MIT), все тут же начинают обижаться, говорить что МФТИ гораздо лучше MIT, а того, кто посмел эти вопросы вообще публично поднять (т.е. Рауфа), увольнять и никогда больше на работу не принимать.
Обращу внимание, что Рауф предложил и свое решение проблемы - скопировать успешный опыт из MIT, американском аналоге МФТИ во многих отношениях, в котором она давно была решена.
Но кафедры отрицательно к этому относятся. Принято многими из них считать, что МФТИ гораздо лучше, чем MIT, поэтому использовать опыт MIT значит заниматься разрушением образования.
Абсолютно на всех других кафедрах, кроме кафедры вышмата, прилагается огромное количество усилий для того, чтобы изложение материала сделать понятным большинству студентов и наглядным.
Даже на кафедре теормеха, курсы от которой тоже очень формальные и содержат много доказательств, используют разные демонстрации. Например, на всю жизнь ярко запомнилось, как лектор объяснял уравнения Аппеля через движение коньков на льду, а для объяснения кватернионов он даже притащил веревки и стулья. И только на кафедре высшей математики считают, что это нормально, когда студенты записывают лекции, не понимая, что они пишут
Аксиоматический метод начал Фалес использовать, а не Евклид. А строгие абстрактные доказательства - из школы Пифагора ещё, там как раз рассматривали фигуры и числа как нечто идеальное
Главное новшество Евклида - найти минимальный набор аксиом, исходя из которых можно доказать любое верное математическое утверждение. При этом помимо геометрии, он так и арифметику построил. "без разницы где именно существуют эти абстракции" - такого у Евклида не видно. Он точку определяет как то, у чего нет частей, например, прямую как линию без ширины и так далее. Строгая аксиоматизация геометрии - это самый конец 19го века.
Противопоставление идеальных фигур и реального мира в такой форме - это Аристотель. До него не было, тот же Платон считал, что наш материальный мир из маленьких многогранников состоит.
Заслугу преврашения геометрии из эмпирического знания в чисто логическое обычно приписывают Фалесу и Пифагору.
С Евклидом ещё очень важен контекст пятого постулата, во многом улучшение формализации рассуждений происходило, в том числе и у самого Евклида, за счёт попыток доказать или опровергнуть пятый постулат о параллельных прямых.
А ещё одна проблема, что не для всех пар разрез надо делать так, как я написал. Ещё придётся правило ввести условием, иначе формула даст неправильный ответ.
Квадратный корень - двулистная функция. Чтобы формула работала корректно, нужно брать разрез по лучу от 0 до +бесконечности на вещественной оси. Но тогда это значит, что в окрестности разреза результат вычислений будет неустойчивым.
Так что, получается, не для всех пар чисел такой подход хорош. Нужно эту формулу доработать до конкретного алгоритма, который устойчиво работает.
Насчет примеров, есть точные оценки сверху через константы Лебега, там в моем курсе приведены. Вы вот это пропустили как-то
Не только. Регрессия подходит, оптимизация (по разным нормам), сплайны.
Там еще метод через высшие производные есть для восстановления аналитической функции, в том же параграфе про интерполяцию.
Как это ничего не сказано про узлы Чебышева?
Там про них довольно много написано в теории, и задачи на них есть.
На моем сайте узлы Чебышева через константы Лебега вводятся.
Этим вычислительная математика занимается.
У меня есть свой курс https://toomanydigits.online/
Есть учебник Эдмунда Ландау https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads/2018/01/Landau1947ru.pdf .
Там такой подход используется и расписывается очень подробно.
В подходе Пеано это определение, а не аксиома. Потому что достаточно этих 5
Дальше надо доказать, что определение корректно (непротиворечиво), а также обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.
Я это доказательство уже вставил в статью, посмотрите, если не видели.
А я сейчас начал писать следующую статью, про вещественные числа. Сегодня меня в комментариях навели на курс анализа от Куранта, там очень много сделано именно так, как я хотел. Но, к сожалению, по доказательствам этот курс неполный и сильно не подробный.
Здесь показан подход, в котором эти определения конструируются, а их свойства (которые обычно являются аксиомами) потом доказываются. Это такой конструктивный путь к построению теорий.
В анализе его оказывается недостаточно, его хватает только на дискретную математику. Поэтому происходит переход на аксиоматический подход, в котором вопрос обоснования корректности системы аксиом выносится за пределы предмета (во-первых потому, что этим уже занимается отдельная наука, теория множеств, во-вторых потому, что часть аксиом - это аксиомы поля, кольца и группы, а их непротиворечивость и корректность уже не надо доказывать в курсе анализа).
Я думаю использовать аксиому счетного выбора. Ее достаточно для почти всех теорем анализа, а аксиома полного выбора в курсах анализа обычно нужна только для построения множеств, неизмеримых по Лебегу (с аксиомой счетного выбора таких множеств не существует).
Преимущество аксиомы счетного выбора в том, что она очень наглядная. https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиома_счётного_выбора
За наводку на Куранта спасибо, вот то что нужно, я на это сошлюсь. Но я собираюсь через этот принцип доказать гораздо больше теорем, чем там доказано.
А еще есть ряд еще других упрощающих идей, которых у него в книге нет.
Ну кстати посмотрел сейчас Куранта, там много вещей, которые я сам хотел сделать в курсе, только он ограничивается лишь небольшим количеством вещей.
Про пределы он там через точки сгущения излагает, например, для доказательства теорем анализа и как раз у него очень простые доказательства, как я и хотел. Но проблема в том, что он там совсем немного из курса так излагает.
Кстати сейчас пересмотрел Кудрявцева, оказывается там тоже есть много моих идей, например куча теорем через предел по Гейне доказана, вследствие чего его изложение этих теорем куда короче, чем у других авторов.
Так что видимо с Курантом и Кудрявцевым можно сверяться тоже в ряде мест.
Ну кстати хорошие книги надо еще найти, курс анализа Куранта раньше не видел. Сейчас посмотрел - конечно хороший, но для МФТИ слишком примитивный и вряд ли поможет чем-то для сдачи коллоквиума, например.
Откуда у студентов МФТИ на младших курсах есть свободное время, чтобы еще какие-то книжки читать? Тем более что перечисленное мало связано непосредственно с программой первого курса.
Там собственно правильно пишет Рауф
А потом, получается, что эти студенты в школе были лучшими из лучших, отличниками, победителями олимпиад, а к третьему курсу стали отстающими, не освоили материал и от науки их уже тошнит, потому что ничего непонятно и потому что есть эмоциональное выгорание, перегрузки и необходимость сдавать много предметов и заданий без понимания происходящего на них в авральном режиме.
Всё это указывает на очень низкую эффективность системы, но на попытки предложить заимствовать успешный западный опыт (например, MIT), все тут же начинают обижаться, говорить что МФТИ гораздо лучше MIT, а того, кто посмел эти вопросы вообще публично поднять (т.е. Рауфа), увольнять и никогда больше на работу не принимать.
В интернете легко находится много современных материалов с МКН СПбГУ, там очень сложные курсы, сложнее НМУ.
А вот чистому матмеху нагуглить такое смог http://www.add3d.ru/?page_id=18766 .
Да, это теоретическая работа.
А вот кстати его пост с более подробным описанием проблемы
Когда начинает тошнить от учебы? Типичный пример.. | Рауф Мухарамов
Обращу внимание, что Рауф предложил и свое решение проблемы - скопировать успешный опыт из MIT, американском аналоге МФТИ во многих отношениях, в котором она давно была решена.
Но кафедры отрицательно к этому относятся. Принято многими из них считать, что МФТИ гораздо лучше, чем MIT, поэтому использовать опыт MIT значит заниматься разрушением образования.
Абсолютно на всех других кафедрах, кроме кафедры вышмата, прилагается огромное количество усилий для того, чтобы изложение материала сделать понятным большинству студентов и наглядным.
Даже на кафедре теормеха, курсы от которой тоже очень формальные и содержат много доказательств, используют разные демонстрации. Например, на всю жизнь ярко запомнилось, как лектор объяснял уравнения Аппеля через движение коньков на льду, а для объяснения кватернионов он даже притащил веревки и стулья. И только на кафедре высшей математики считают, что это нормально, когда студенты записывают лекции, не понимая, что они пишут
Есть проблема в том, что это не совсем так.
Аксиоматический метод начал Фалес использовать, а не Евклид. А строгие абстрактные доказательства - из школы Пифагора ещё, там как раз рассматривали фигуры и числа как нечто идеальное
Главное новшество Евклида - найти минимальный набор аксиом, исходя из которых можно доказать любое верное математическое утверждение. При этом помимо геометрии, он так и арифметику построил. "без разницы где именно существуют эти абстракции" - такого у Евклида не видно. Он точку определяет как то, у чего нет частей, например, прямую как линию без ширины и так далее. Строгая аксиоматизация геометрии - это самый конец 19го века.
Противопоставление идеальных фигур и реального мира в такой форме - это Аристотель. До него не было, тот же Платон считал, что наш материальный мир из маленьких многогранников состоит.
Заслугу преврашения геометрии из эмпирического знания в чисто логическое обычно приписывают Фалесу и Пифагору.
С Евклидом ещё очень важен контекст пятого постулата, во многом улучшение формализации рассуждений происходило, в том числе и у самого Евклида, за счёт попыток доказать или опровергнуть пятый постулат о параллельных прямых.