Я много работаю со школьниками и студентами разного уровня подготовки. Много готовил к перечневым олимпиадам в том числе и видел, как они учатся.
"без проблем разберутся и в стандартном материале, потому что он действительно не сложный "
Выпускников школ, способных на это, в стране довольно немного.
В МФТИ, например, значительная часть поступивших - это не те, кто по льготе "поступление без экзаменов" (БВИ), а те, кто стали стали призерами олимпиад по физике и по математике, которые дали им 100 баллов по математике и 100 баллов по физике вместо ЕГЭ автоматом + 10 бонусных баллов, а также хорошо написали русский. И вот среди этой второй категории крайне мало детей, которые способны на то, что вы описываете. А если брать тех, кто по ЕГЭ поступил, без олимпиад (набрали на 3 ЕГЭ под 300 баллов), там вообще обычно без шансов разобраться в матанализе - потому что олимпиадная подготовка подразумевает обучение доказательствам, а ЕГЭ нет.
Серьезное обучение доказательствам в школе успешно прошли только те дети, которые способны тянуть финал Всеросса, или там Турнир городов, ЮМШ, олимпиаду СПбГУ, то есть только самые сложные из школьных олимпиад по математике.
Фактически, к такому способу обучения, который вы рекомендуете, подготовлено менее тысячи выпускников всех школ России каждый год.
Кстати говоря, в Екатеринбурге (УрФУ) мне говорили другой аргумент, который я не слышал в МФТИ (в МФТИ говорят как вы, что всё не сложно). Что дескать вообще невозможно понимать математику на первых двух курсах, нужно просто выучить, а понимание первого семестра первого курса начинает только впервые появляться на третьем курсе, а нормально понять матан первого курса можно только в аспирантуре, начав заниматься наукой и преподавая его.
То есть там такой подход - годами учим без понимания, зубрим наизусть, тренируемся решать тысячи типовых задач до автоматизма, потом занимаемся наукой в области математического анализа, преподаем и только тогда только начинаем что-то понимать.
Для утверждения теоремы Лагранжа в учебниках и популярных изложениях иллюстрация есть, а для доказательства нет. А она ведь простая - взять теорему Ролля и повернуть координатные оси. И подобные иллюстрации есть вообще для всех доказательств в курсе матанализа, просто их не рисуют и не объясняют почти никогда. А еще многие другие доказательства можно переписать куда более понятным и наглядным способом.
Да по-моему наоборот, тут стиль настроен так, что читается легко. Часть текста здесь к тому же я сам вообще написал, выдерживая тот же стиль, без ИИ.
ИИ по умолчанию так не пишет, кстати говоря. Там нужен промпт.
Если бы не ИИ, то написание этого материала потребовало бы минимум в 10 раз больше времени, не говоря уже о картинках и куче формул. Собственно, это главная причина, почему я подобную книгу несколько лет назад не написал, идеи то уже были.
Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математикиАлександрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Не, канцелярита надо избегать. Какой конкретно имеете в виду?
Я эти релизы пишу для МФТИ, там куча требований по оформлению, нужно упоминать грант, ученых, организации, статью, цитаты у ученых брать и согласие на публикацию текста. Писать научно-популярно, но в публицистическом стиле, избегая при этом канцелярита.
Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.
Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.
Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.
А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.
Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.
В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.
Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.
"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "
У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.
Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.
Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.
А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.
И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.
Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.
Мажорирование обосновывается монотонностью.
А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.
"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.
"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.
Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.
Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.
Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.
Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.
В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.
Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как
Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.
Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.
Я много работаю со школьниками и студентами разного уровня подготовки. Много готовил к перечневым олимпиадам в том числе и видел, как они учатся.
"без проблем разберутся и в стандартном материале, потому что он действительно не сложный "
Выпускников школ, способных на это, в стране довольно немного.
В МФТИ, например, значительная часть поступивших - это не те, кто по льготе "поступление без экзаменов" (БВИ), а те, кто стали стали призерами олимпиад по физике и по математике, которые дали им 100 баллов по математике и 100 баллов по физике вместо ЕГЭ автоматом + 10 бонусных баллов, а также хорошо написали русский. И вот среди этой второй категории крайне мало детей, которые способны на то, что вы описываете. А если брать тех, кто по ЕГЭ поступил, без олимпиад (набрали на 3 ЕГЭ под 300 баллов), там вообще обычно без шансов разобраться в матанализе - потому что олимпиадная подготовка подразумевает обучение доказательствам, а ЕГЭ нет.
Серьезное обучение доказательствам в школе успешно прошли только те дети, которые способны тянуть финал Всеросса, или там Турнир городов, ЮМШ, олимпиаду СПбГУ, то есть только самые сложные из школьных олимпиад по математике.
Фактически, к такому способу обучения, который вы рекомендуете, подготовлено менее тысячи выпускников всех школ России каждый год.
Кстати говоря, в Екатеринбурге (УрФУ) мне говорили другой аргумент, который я не слышал в МФТИ (в МФТИ говорят как вы, что всё не сложно). Что дескать вообще невозможно понимать математику на первых двух курсах, нужно просто выучить, а понимание первого семестра первого курса начинает только впервые появляться на третьем курсе, а нормально понять матан первого курса можно только в аспирантуре, начав заниматься наукой и преподавая его.
То есть там такой подход - годами учим без понимания, зубрим наизусть, тренируемся решать тысячи типовых задач до автоматизма, потом занимаемся наукой в области математического анализа, преподаем и только тогда только начинаем что-то понимать.
Почему несовместимое? Смотрите в чем проблема
Для утверждения теоремы Лагранжа в учебниках и популярных изложениях иллюстрация есть, а для доказательства нет. А она ведь простая - взять теорему Ролля и повернуть координатные оси. И подобные иллюстрации есть вообще для всех доказательств в курсе матанализа, просто их не рисуют и не объясняют почти никогда. А еще многие другие доказательства можно переписать куда более понятным и наглядным способом.
Можно попробовать эпитеты сократить. Сравнения и метафоры тут всё-таки хорошие, цепляют - за исключением некоторых избыточных.
Попробую первую главу немного другим стилем.
А я хочу написать популярное изложение с доказательствами.
Потому что без них вся суть идей не передана.
Там, где популярно западные авторы объясняют, обычно только калькулюс, без подробных доказательств. В этом пробел.
Да по-моему наоборот, тут стиль настроен так, что читается легко. Часть текста здесь к тому же я сам вообще написал, выдерживая тот же стиль, без ИИ.
ИИ по умолчанию так не пишет, кстати говоря. Там нужен промпт.
Если бы не ИИ, то написание этого материала потребовало бы минимум в 10 раз больше времени, не говоря уже о картинках и куче формул. Собственно, это главная причина, почему я подобную книгу несколько лет назад не написал, идеи то уже были.
Картинки сделаны в Питоне все, код писал Gemini.
Нет, этим я объясняю необходимость создать вещественные числа вообще. А подробнее про подобные парадоксы будет в первой главе.
Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математики Александрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Не, канцелярита надо избегать. Какой конкретно имеете в виду?
Я эти релизы пишу для МФТИ, там куча требований по оформлению, нужно упоминать грант, ученых, организации, статью, цитаты у ученых брать и согласие на публикацию текста. Писать научно-популярно, но в публицистическом стиле, избегая при этом канцелярита.
А там на самом деле в теореме косинусов
Но написанная формула с плюсом из нее следует.
Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.
Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.
Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.
А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.
Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.
В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.
Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.
"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "
У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.
В Стюарте почти нет строгих доказательств и практического использования этого определения для доказательств.
То, что там написано, никак не помогает анализировать такие определения и делать рассуждения с кванторами.
Я в соседнем посте написал пример задачи
Курс Стюарта не поможет это решить.
Число e в курсах анализа определяется как предел по целым числам.
Это не теорема, а определение числа e, доказывать не нужно.
А доказательство второго замечательного предела заключается в том, чтобы доказать верность предела при вещественном x, то есть для функции, а не последовательности.
И именно поэтому подход Гейне к доказательству второго замечательного предела гораздо проще получается, так как в нем от последовательности к функции легче перейти.
Я рассматриваю любую последовательность, и она сходится к тому же самому. Во-первых, она сходится, потому что доказали монотонность и ограниченность. Во-вторых, ее можно мажорировать с обеих концов с помощью x_n = {1/n} - так мы доказываем, что любая последовательность сходится к одному и тому же пределу.
Мажорирование обосновывается монотонностью.
А теперь посмотрите, что происходит в обычных курсах, и сравните.
"бесконечно малые" - это последовательности и функции. Я как раз предлагаю отказаться от расписывания эпсилон-дельта доказательствах в пользу прямого использования свойств бесконечно малых. И это по духу как раз близко к определению предела по Гейне, потому что это последовательностный подход, а не окрестностный.
"бесконечно-малые" - это тоже из последовательностного подхода терминология.
Из определения Коши равномерная непрерывность без рассуждений от противного доказывается через использование леммы Гейне-Бореля. По Гейне можно сделать аналогичное доказательство по теореме Больцано-Вейерштрасса и оно намного проще доказательства по Коши.
Есть другой путь по Коши - доказывать от противного, доказательство в итоге короче, но до него сложнее догадаться.
Вообще анализ равномерной непрерывности и сходимости - это как раз область применения предела по Гейне должна быть, там с ним сильно проще.
Сейчас в учебниках существует подход на основе определения Коши, основанный на том, что вводят колебания функции в точке, и эти вспомогательные абстракции позволяют делать доказательства, похожие на те, что можно делать через предел по Гейне, просто немного более сложным способом. По сути, там без этих дополнительных абстракций сложно решать какие-либо задачи на равномерную непрерывность.
"Сходимость последовательности в одной точке не означает, что функция на её основе будет сходиться (x+3). "
Означает. Это определение предела функции по Гейне.
Непрерывность функции в точке - это равенство функции в точке ее пределу. Для простоты я пока не углублялся в этот нюанс. Здесь же речь не об этом.
У Гейне куда шире область применения. Например, переносить свойства с последовательностей на функции, как в этом примере.
В функциональном пространстве тогда останется только брать определение, что в любой окрестности, не включающей точку сгущения, конечное число членов последовательности.
Но я как раз хотел избежать такой переформулировки, так как
Она сложнее и абстрактнее, чем про единственную точку сгущения
Разбор этой формулировки дает понимание, как устроено расположение точек последовательностей на числовой прямой и геометрический смысл ряда теорем.
Использование в такой форме упрощает ряд последующих доказательств.
Тут написан набросок нового изложения, а его я допишу скоро.