Пусть и при . Рассмотрим функцию . Докажем, что при .
Доказательство.
Докажем, что для функции выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям и для всех . Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям и :
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если и для всех , то . Утверждение доказано.
Упражнение 1.
Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность , которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции: .
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Мы показали, что определения по Коши и по Гейне эквивалентны друг другу, и теперь в случае необходимости будем пользоваться тем или другим. Как правило, если нам нужно доказать, что предел чему-то равен, мы будем пользоваться определением по Коши. Определение по Гейне удобно там, где нужно доказывать противоположное утверждение (что предел чему-то не равен, или вообще не существует), а также в некоторых теоретических построениях. Дополнительный бонус определения по Гейне — оно позволяет переносить на пределы функций ряд свойств, доказанных для пределов последовательностей, практически «бесплатно».
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?
Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):
Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа
На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.
Стандартная траектория (для большинства математиков)
Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.
1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.
Просто откуда энергия берется в классической механике, например. Там эта величина возникает как естественный глобальный инвариант для всей вселенной. А в уравнениях ОТО просто нет такого инварианта.
Про авторов статьи могу сказать, что это специалисты по вычислительной математике, а не по усталостному разрушению материала. Мои лично познания в этой области ограничиваются тем, что когда-то давно решал уравнение Софи Жермен-Лагранжа численно на круглой пластинке и делал оценки роста трещин в алмазном переключателе (круглая алмазная пластинка прогибается под действием электростатической силы, а потом обратно разгибается, за сколько циклов она разрушится). Я использовал простейшую модель роста трещин.
Причина есть - в Общей теории относительности нет глобального закона сохранения энергии. Обычно пишут так в книгах
энергия не сохраняется глобально в привычном смысле из-за гравитации, а сохраняется локально в каждом «маленьком» участке пространства-времени
Но это не совсем точно, скорее будет верным сказать, что введение подобной глобальной функции энергии вопрос не решенный. До сих пор выходят статьи, где пытаются его решить, но в целом это не является популярным направлением исследований, т.к. теоретики считают, что просто некорректно говорить о такой глобальной величине.
Насчет же рождения энергии из "ничего", то в ОТО он решается тем, что гравитационная потенциальная энергия вообще-то отрицательная, так как гравитация есть сила притяжения.
Похожий эффект есть в ядерной физике под названием дефект масс, который заключается в том, что масса атомного ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц, так как потенциальная энергия их притяжения < 0.
Вместо этого используется математическая модель, в которой непрерывная функция Ψ описывает усредненный эффект от микродефектов. Модель калибруется по макроскопическим данным натурных усталостных испытаний, а затем применяется для сложной геометрии и динамических нагрузок, где простого анализа и натурных испытаний уже недостаточно или они слишком дороги.
Все технические подробности в исходном тексте статьи, наверное, вы поймете лучше меня, если профессионально этим занимаетесь.
Попробуйте дать студентам доказать ту же Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции, но для интервала. Угадайте сколько они будут искать ошибку без страхующих формализмов.
Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.
А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.
У последовательности sin(n*x) при иррациональном х точками сгущения являются все точки отрезка [-1,1].
Ну вот кстати пример.
Утверждение 1.
Пусть
и 
при 
. Рассмотрим функцию 
. Докажем, что 
при 
.
Доказательство.
Докажем, что для функции
выполняется опрделение предела по Гейне. Пусть 
произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 
и 
для всех 
. Тогда согласно определению предела по Гейне, примененному к функциям 
и 
:
По теореме о пределе суммы для последовательностей, отсюда следует, что
Значит, условие определения по Гейне действительно выполняется: если
и 
для всех 
, то 
. Утверждение доказано.
Упражнение 1.
Докажите аналогично теоремы о пределе произведения и частного.
Я использую свойства пределов последовательностей. Вот что написано
Возьмём любую последовательность
, которая сходится к 3 .
По определению предела последовательности это значит, что
сходится к 0 .
Рассмотрим последовательность значений нашей функции:
.
Нам нужно доказать, что она сходится к 7 . Для этого посмотрим на разность
Смотрите, тут в принципе свойства бесконечно малых используются. В ряде изложений сначала доказываются свойства бесконечно малых последовательностей, а потом свойства пределов последовательностей, а затем свойства пределов функций.
Вообще этот пример я не сам писал даже, а из книжки скопировал, там просто писалось про преимущества предела по Гейне. Там особенность в том, что почему-то решили свойства бесконечно малых использовать, поэтому стали выделять конструкции типа (x - 3).
Наверное, зря так искусственно, потому что роль предела по Гейне тут лишь в том, что идет перенос с пределов на функции.
Вот пишут, например
Я бы сюда добавил вот что. Я давно занимаюсь олимпиадными задачами по матанализу, там предел по Коши почти бесполезен. Что-то сложное всегда по Гейне доказывается, без него не получается.
В Стюарте это сделано точно также примерно, как в российском учебнике алгебры за 11 класс для общеобразовательной школы. И приготовления примерно такие же. Не помогает примерно никому.
А что касается тех студентов, которым давал это задание на определение с тремя кванторами, они в основном с местных в матшкол, в которых математический анализ изучается 10 и 11 класс как отдельный предмет.
Им это не помогло решить задачу - написать, что будет, если в определении предела поменять кванторы всеми возможными способами (т.е. составить 7 выражений и для каждого написать, описание какой последовательности получилось). Ни один не решил.
Уже переписал в комментариях.
Определение равномерной непрерывности по Гейне:
Здесь не нужны эпсилоны и дельты в определении.
Доказательство намного проще, чем по Коши, оно получается практически сразу из теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Определения равномерной сходимости. устойчивости и так далее по Гейне - это как раз одна из главных мотиваций его использовать, там всё сильно проще. И доказательства сильно проще, и определения намного прозрачнее.
Просто фактически вы предлагаете сразу же всем студентам на входе поставить практически непреодолимый барьер в виде цепочек из трех кванторов, который способны одолеть в общем-то даже далеко не все победители олимпиад, списывая тем самым почти всех студентов как неспособных к учебе.
А почему бы просто не пытаться студентам на первом курсе преподавать то, что во всем мире преподают на 3-м и 4-м курсах?
Курс с доказательствами (Real Analysis/Advanced Calculus) обычно является курсом старших классов бакалавриата (Upper-Level Undergraduate Course):
Год обучения: Чаще всего изучается на 3-м или 4-м курсе (Junior или Senior year)
Предварительные требования (Prerequisites): Для записи на Real Analysis обычно требуются:
Завершение стандартной последовательности Calculus I, II, III (включая многомерный матанализ)
Курс, посвященный основам доказательств (например, Discrete Mathematics или Introduction to Proofs), чтобы студенты освоили логические рассуждения и методы построения математических доказательств до начала изучения анализа
На некоторых крутых западных матфаках на втором курсе, после года изучения теории доказательств. Но это считается как жесть, очень сложно. В Гарварде, например, так делают.
Стандартная траектория (для большинства математиков)
Эта траектория рассчитана на студентов, которые пришли в университет с хорошей, но не исключительной математической подготовкой.
1-й и 2-й курсы: Студенты проходят стандартную последовательность курсов, которые являются обязательными предпосылками (prerequisites) для "Real Analysis":
Calculus I, II, III: Основной фокус на вычислениях, методах решения задач и интуитивном понимании. Доказательства либо отсутствуют, либо даются на неформальном уровне.
Linear Algebra (Линейная алгебра): В зависимости от университета, этот курс может быть как вычислительным, так и более теоретическим.
Introduction to Proofs / Discrete Mathematics: Это ключевой "мост". На этом курсе (обычно на 2-м курсе) студентов целенаправленно учат логике, теории множеств и техникам написания строгих математических доказательств. Без него записаться на "Real Analysis" невозможно.
3-й курс: Вооружившись навыками вычислений из Calculus и умением строить доказательства, студент готов к первому по-настоящему теоретическому курсу — Real Analysis I. За ним обычно следует Real Analysis II.
Просто откуда энергия берется в классической механике, например. Там эта величина возникает как естественный глобальный инвариант для всей вселенной. А в уравнениях ОТО просто нет такого инварианта.
"В этом смысле закон сохранения и является некоторой выбранной аксиомой, которую удобнее всего взять за истину, "
Неудобно, так как такой величины как глобальной просто нет.
Еще дают его проще, как произведение g(x) на бесконечно малую функцию.
Ну тут общий обзор, я продолжу писать статьи такие же, одна статья = одна глава новой книги, и проработаю этот вопрос в соответствующей главе.
Бесконечность, наверное, всё же лучше отдельно рассматривать, так яснее.
Да, это чуть проще определение, чем кванторное.
Почему не дает? Берем f(x)/g(x) и доказываем ограниченность.
Этот же способ дает определение, что я дал.
Про авторов статьи могу сказать, что это специалисты по вычислительной математике, а не по усталостному разрушению материала. Мои лично познания в этой области ограничиваются тем, что когда-то давно решал уравнение Софи Жермен-Лагранжа численно на круглой пластинке и делал оценки роста трещин в алмазном переключателе (круглая алмазная пластинка прогибается под действием электростатической силы, а потом обратно разгибается, за сколько циклов она разрушится). Я использовал простейшую модель роста трещин.
Все рисунки взяты из статьи.
Причина есть - в Общей теории относительности нет глобального закона сохранения энергии. Обычно пишут так в книгах
Но это не совсем точно, скорее будет верным сказать, что введение подобной глобальной функции энергии вопрос не решенный. До сих пор выходят статьи, где пытаются его решить, но в целом это не является популярным направлением исследований, т.к. теоретики считают, что просто некорректно говорить о такой глобальной величине.
Насчет же рождения энергии из "ничего", то в ОТО он решается тем, что гравитационная потенциальная энергия вообще-то отрицательная, так как гравитация есть сила притяжения.
Похожий эффект есть в ядерной физике под названием дефект масс, который заключается в том, что масса атомного ядра всегда меньше суммы масс входящих в него частиц, так как потенциальная энергия их притяжения < 0.
Метод прямого подсчета дефектов не применялся.
Вместо этого используется математическая модель, в которой непрерывная функция Ψ описывает усредненный эффект от микродефектов. Модель калибруется по макроскопическим данным натурных усталостных испытаний, а затем применяется для сложной геометрии и динамических нагрузок, где простого анализа и натурных испытаний уже недостаточно или они слишком дороги.
Все технические подробности в исходном тексте статьи, наверное, вы поймете лучше меня, если профессионально этим занимаетесь.
У меня был текст статьи. Вот он https://disk.yandex.ru/i/jQMTCxhIv2fwKw .
Я думаю, нужно учить видеть, в чем тут дело, без формализмов. Потому что если человек начнет искать через формализм только, он не будет видеть сути.
А суть тут - как может вести себя функция в окрестности точек границ интервала.