Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.
Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные
Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.
Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.
В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.
Теперь насчет использования точек сгущения напрямую
Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения. Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
Шаг 2: Докажем, что других нет. Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2). Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2). Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются. Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения. Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.
Ограниченность обычно доказывается по индукции.
Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.
Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.
Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.
Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.
А по Коши надо идти более громоздким путем.
Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.
прямое следствие доказательства того что мощность множества действительных чисел больше мощности счетного множества, потому какое (конечное или бесконечное) семейство (множество множеств) счётных множеств (последовательностей то есть) вы не возьмите говорить о поведении функции на действительном множестве по ним нельзя.
вот в чем проблема.
Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.
" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.
Не может перекрываться разве что в одноэлектронном приближении. Но чисто терминологически, да, корректнее говорить либо о перекрытии электронных состояний, либо о перекрытии орбиталей, тут конечно речь про первое.
Просто электронное состояние можно упрощенно описывать как орбиталь, тут это имеется в виду. Но когда мы говорим о перекрытии электронных состояний, то, конечно же, за рамки этого упрощения выходим уже.
Речь о равномерной сходимости последовательности траекторий. Это то же самое, что говорить о максимальном отклонении траектории, потому что в слове максимальный здесь заключено, что максимум берется по множеству траекторий, т.е. добавляется параметр, по которому сходимость должна быть равномерной.
Попробуйте формализовать понятие сгущения. Вот Вы берёте некую окрестность точки сгущения. Вы обнаруживаете там бесконечно много точек рассматриваемой Вами последовательности. Если точек конечное число, то, очевидно, у Вас нет никакой "точки сгущения" (сгущаться нечему, дискретное множество попросту ооочень дырявое множество))). Потом, Вы берёте меньшую окрестность и, о радость, опять обнаруживаете бесконечное количество точек данной Вами последовательности. Вы бесконечно продолжаете этот процесс, и вот это бесконечное продолжение и становится основанием для определения точки сгущения
Зачем здесь нужен этот бесконечный процесс?
Я просто определяю точку сгущения как точку, в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности. Никакой другой формализации не нужно.
Именно поэтому, нет никакого подхода к сходимости и непрерывности по Гейне., а есть различные формулировки одного и того же
Это не так, определение предела по Гейне сильно отличается от определения по Коши, а и в некоторых пространствах, например, они вообще не эквивалентны.
а есть различные формулировки одного и того же — на различных языках: на общечеловеческом языке и на формализованном языке
Это тоже не так. Определения по Гейне даются на формализованном языке.
Классическая точка зрения заключается в том, что оперирование бесконечностью законно, а это значит, что мы можем определить понятие мощности множества через существование взаимнооднозначного соответствия.
Я тут ее и использую, потому что выход за ее пределы к анализу не имеет никакого прямого отношения.
Только зачем здесь его вводить? Эта конструкция, во-первых, логически намного проще, чем у Коши, во-вторых никакого конкретного эпсилон вводить не нужно.
Все эти понятия уже были определены в тексте. Понятие интервала гораздо проще, чем вот это, его в 5-6-м классе изучают, примерно когда проходят числовую прямую
Да, верно. А еще кватернионы поворачивают векторные кватернионы, а не векторы. Это работает за счет дуализма векторов и бивекторов в 3D.
А зачем делить на приращение в определении? Я просто говорю, что А - это производная.
Выводить формулы по-разному можно, для некоторых не нужно делить, так работает даже лучше (например, через бином Ньютона).
Ну через о-малое - это и есть порядки близости. Просто можно сделать такой подход сразу же, и без потери строгости.
Ну у меня фактически примерно то же самое выходит, через "о-малое". Такое определение хорошо своей простотой, но у меня суть идеи в том, чтобы свойства символа "о-малое" потом использовать для доказательства множества теорем.
Пункт 1 более слабое утверждение. Ведь надо еще доказать, что других точек сгущения нет. Но да, в данном случае это короче будет, чем пункт 2.
Дифференциал обычно определяют как линейную часть приращения.
Равенство с "о-малым" не приближенное, а асимптотическое.
Так смысл этих определений из анализа как раз и заключается в асимптотических приближениях в окрестности.
f(x) = A*x + o(x)
Тогда A - это производная в точке х = 0. Тут весь предельный переход в свойствах символа о-малое, ведь о-малое определяется через предел же.
Преимущество в том, что обоснования предельного перехода можно заменить во многих случаях на алгебраические манипуляции и оценку асимптот.
Для доказательства существования предела последовательности есть много способов, и только 2 из них по Коши: это по определению и через критерий фундаментальности. Давайте посмотрим на некоторые остальные
Лемма о двух милиционерах
Монотонность и ограниченность
Сжимающие отображения
Эквивалентные последовательности.
Еще один довольно эффективный способ, который позволяет решать олимпиадные задачи и сложные, но редко излагается, заключается в том, чтобы представить последовательность рекуррентно и исследовать неподвижные точки отображения.
В целом да, доказательство сходимости последовательностей, рядов, пределов функций - это целая отдельная теория. Но разрыва нет, она просто вырастает из базовой теории.
Теперь насчет использования точек сгущения напрямую
Пример: Доказать, что lim (n→∞) (2n+1)/(n+1) = 2.
Шаг 1: Докажем, что L = 2 — точка сгущения.
Рассмотрим любой интервал (2-ε, 2+ε). Нам нужно, чтобы |(2n+1)/(n+1) - 2| < ε. Мы уже знаем, что это эквивалентно 1/(n+1) < ε или n > 1/ε - 1. Для любого ε существует бесконечно много таких номеров n. Значит, 2 — точка сгущения.
Шаг 2: Докажем, что других нет.
Возьмём любую другую точку M ≠ 2. Пусть расстояние между ними d = |M - 2| > 0. Давайте построим вокруг M "изолирующую" окрестность радиусом d/2, то есть интервал (M - d/2, M + d/2).
Мы знаем, что все члены нашей последовательности, начиная с номера N = ceil(1/(d/2)), попадают в интервал (2 - d/2, 2 + d/2).
Поскольку d = |M-2|, эти два интервала не пересекаются.
Это означает, что в "изолирующую" окрестность точки M может попасть лишь конечное число членов (те, что с номерами до N). А раз так, M по определению не является точкой сгущения.
Вывод: Мы доказали, что 2 — точка сгущения, и других нет.
Ограниченность обычно доказывается по индукции.
Если монотонности или пары сжимающих последовательностей нет, то можно еще доказать, что разность соседних двух членов последовательности -> 0. Если доказана ограниченность, то это работает. Это альтернатива критерию фундаментальности.
Отдельный вопрос - предел функций по Гейне.
Тут, действительно, можно доказывать, что работает для любой сходящейся последовательности. Не нужно перебирать все возможные, нужно выводить это из свойства сходимости - а всё что угодно иное там может быть нарушено. Окрестность точки сгущения x должна отображаться на окрестность предела функции.
Удобство Гейне именно в том, что при доказательстве предела функции как в примере я просто сразу могу заменить функции на последовательности. Подход Гейне именно в этом и заключается.
А по Коши надо идти более громоздким путем.
Более того, по Коши нужно свойства пределов функций доказывать отдельно от свойств пределов последовательностей.
Равномерная сходимость (как и непрерывность) от обычной отличается всего лишь наличием дополнительного параметра.
Так поэтому и пишу, что терминологически вещи разные. Из разных моделей: одноэлектронное и многоэлектронное приближение.
За эти вопросы в целом спасибо, так понятнее, что разбирать следует, если излагать моим способом.
А тут
вот в чем проблема.
Множество всех последовательностей, сходящихся к одной данной точке, является несчетным.
Отвечу в виде пунктов.
" Какой функциональный смысл оно несёт " - так просто понятнее. "чем сколько угодно малый лучше сколько угодно большого " - а нам как раз тут не нужны любые конечные, и большие тем более, вот для акцента на этом и дано.
"На практике для вычисления/доказательства любого предела вам придется опираться на классическое определение " - оно не нужно. "общего способа доказать что в окрестности содержится " - достаточно доказать, что существует конкретная окрестность, в которой нет ни одной точки. И смысл этого намного яснее. Потому что если такой окрестности нет, то в любой их бесконечно много, и наоборот - если есть такая, в которое конечное, то есть и такая, в которой их нет (случай совпадения точек последовательности с пределом можно отдельно рассмотреть).
"так ещё и не дано доказательство его эквивалентности классическому определению " - это доказательство элементарно и есть в любом учебнике по матанализу (эквивалентность определений по Коши и по Гейне).
Определение предела последовательностей через точки сгущения - топологическое. А вот определение предела функции тут берется другое.
Предел по базе нужен только для того, чтобы унифицировать понятие предела в точке и на бесконечности. Ради такой мелочи нет смысла резко повышать уровень абстракции, к тому же опыт преподавания самим Зоричем на мехмате МГУ такого определения предела очень печален - студенты его совсем не понимают.
Не может перекрываться разве что в одноэлектронном приближении. Но чисто терминологически, да, корректнее говорить либо о перекрытии электронных состояний, либо о перекрытии орбиталей, тут конечно речь про первое.
Просто электронное состояние можно упрощенно описывать как орбиталь, тут это имеется в виду. Но когда мы говорим о перекрытии электронных состояний, то, конечно же, за рамки этого упрощения выходим уже.
Вот, например, какой-то конспект из МГУ http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0609.html , тут даже не постулируют, а доказывают как теорему, что функция непрерывна в изолированной точке.
Ну в МФТИ сейчас на лекциях по матанализу, например, учат, что функция непрерывна во всех изолированных точках своей области определения.
Не знаю, где еще так тоже, но учебники таковые имеются.
Речь о равномерной сходимости последовательности траекторий. Это то же самое, что говорить о максимальном отклонении траектории, потому что в слове максимальный здесь заключено, что максимум берется по множеству траекторий, т.е. добавляется параметр, по которому сходимость должна быть равномерной.
Зачем здесь нужен этот бесконечный процесс?
Я просто определяю точку сгущения как точку, в любой окрестности которой бесконечно много точек последовательности. Никакой другой формализации не нужно.
Это не так, определение предела по Гейне сильно отличается от определения по Коши, а и в некоторых пространствах, например, они вообще не эквивалентны.
Это тоже не так. Определения по Гейне даются на формализованном языке.
Я тут ее и использую, потому что выход за ее пределы к анализу не имеет никакого прямого отношения.
Только зачем здесь его вводить? Эта конструкция, во-первых, логически намного проще, чем у Коши, во-вторых никакого конкретного эпсилон вводить не нужно.
Все эти понятия уже были определены в тексте. Понятие интервала гораздо проще, чем вот это, его в 5-6-м классе изучают, примерно когда проходят числовую прямую