Тут другая последовательность. Мы остановились на нерешаемой проблеме, и в первой главе "кирпичный завод" всё-таки придётся взорвать.
Вместо конструктивного подхода переходим на чистый аксиоматический с построением моделей внутри него. Но перед этим надо показать, зачем это нужно.
Различие в том, что тут все наоборот.
На "кирпичном заводе" делали кирпичи и доказывали их свойства. Взамен этого в анализе мы будем постулировать кирпичи и строить модели, опирающиеся на аксиомы. Модель "архитектор + инженер" сменяется на "Творец + демиург" (или другую метафору, поищу).
С дырами тут тоже борятся, но иначе - исследуем возможные миры.
Под пониманием определения предела я имею в виду конечно же умение оперировать им для доказательств и точно осознавать формулировку.
Почему студенты осознают, что не понимают - потому что у них были устные экзамены, на которых надо доказывать теоремы, а они поняли, что не понимают, почему там что и откуда, и с состоянии только выучить (а потом всё забыть) или списать. Ну и задачи теоретические не решают, только типовые могут.
А ещё потому, что идут лекции, на которых лектор даёт сплошной поток кванторов и формул, строгих определений, и на них ничего непонятно.
Отношение к ним хорошее, и по сравнению с теми же западными популярными изложениями он немного погружается в доказательства. Но, к сожалению, совсем немного. Кстати говоря, его определение предела
Оно почти такое же, как обычное, но гораздо проще воспринимается.
Я скажу, что есть очень мало оснований верить, что раньше преодолевали и осваивали. Кроме того, раньше - это когда? Если про СССР, то в СССР были намного более простые учебные программы по математике.
Я много работаю со школьниками и студентами разного уровня подготовки. Много готовил к перечневым олимпиадам в том числе и видел, как они учатся.
"без проблем разберутся и в стандартном материале, потому что он действительно не сложный "
Выпускников школ, способных на это, в стране довольно немного.
В МФТИ, например, значительная часть поступивших - это не те, кто по льготе "поступление без экзаменов" (БВИ), а те, кто стали стали призерами олимпиад по физике и по математике, которые дали им 100 баллов по математике и 100 баллов по физике вместо ЕГЭ автоматом + 10 бонусных баллов, а также хорошо написали русский. И вот среди этой второй категории крайне мало детей, которые способны на то, что вы описываете. А если брать тех, кто по ЕГЭ поступил, без олимпиад (набрали на 3 ЕГЭ под 300 баллов), там вообще обычно без шансов разобраться в матанализе - потому что олимпиадная подготовка подразумевает обучение доказательствам, а ЕГЭ нет.
Серьезное обучение доказательствам в школе успешно прошли только те дети, которые способны тянуть финал Всеросса, или там Турнир городов, ЮМШ, олимпиаду СПбГУ, то есть только самые сложные из школьных олимпиад по математике.
Фактически, к такому способу обучения, который вы рекомендуете, подготовлено менее тысячи выпускников всех школ России каждый год.
Кстати говоря, в Екатеринбурге (УрФУ) мне говорили другой аргумент, который я не слышал в МФТИ (в МФТИ говорят как вы, что всё не сложно). Что дескать вообще невозможно понимать математику на первых двух курсах, нужно просто выучить, а понимание первого семестра первого курса начинает только впервые появляться на третьем курсе, а нормально понять матан первого курса можно только в аспирантуре, начав заниматься наукой и преподавая его.
То есть там такой подход - годами учим без понимания, зубрим наизусть, тренируемся решать тысячи типовых задач до автоматизма, потом занимаемся наукой в области математического анализа, преподаем и только тогда только начинаем что-то понимать.
Для утверждения теоремы Лагранжа в учебниках и популярных изложениях иллюстрация есть, а для доказательства нет. А она ведь простая - взять теорему Ролля и повернуть координатные оси. И подобные иллюстрации есть вообще для всех доказательств в курсе матанализа, просто их не рисуют и не объясняют почти никогда. А еще многие другие доказательства можно переписать куда более понятным и наглядным способом.
Да по-моему наоборот, тут стиль настроен так, что читается легко. Часть текста здесь к тому же я сам вообще написал, выдерживая тот же стиль, без ИИ.
ИИ по умолчанию так не пишет, кстати говоря. Там нужен промпт.
Если бы не ИИ, то написание этого материала потребовало бы минимум в 10 раз больше времени, не говоря уже о картинках и куче формул. Собственно, это главная причина, почему я подобную книгу несколько лет назад не написал, идеи то уже были.
Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математикиАлександрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Не, канцелярита надо избегать. Какой конкретно имеете в виду?
Я эти релизы пишу для МФТИ, там куча требований по оформлению, нужно упоминать грант, ученых, организации, статью, цитаты у ученых брать и согласие на публикацию текста. Писать научно-популярно, но в публицистическом стиле, избегая при этом канцелярита.
Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.
Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.
Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.
А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.
Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.
В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.
Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.
"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "
У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.
Тут другая последовательность. Мы остановились на нерешаемой проблеме, и в первой главе "кирпичный завод" всё-таки придётся взорвать.
Вместо конструктивного подхода переходим на чистый аксиоматический с построением моделей внутри него. Но перед этим надо показать, зачем это нужно.
Различие в том, что тут все наоборот.
На "кирпичном заводе" делали кирпичи и доказывали их свойства. Взамен этого в анализе мы будем постулировать кирпичи и строить модели, опирающиеся на аксиомы. Модель "архитектор + инженер" сменяется на "Творец + демиург" (или другую метафору, поищу).
С дырами тут тоже борятся, но иначе - исследуем возможные миры.
Производную я собираюсь определить через о-малое.
Если f(x) = f(x0) + A*(x-x0) + o(x-x0), то f(x) называется дифференцируемой в точке x0, а число A - пределом f в x0
Под пониманием определения предела я имею в виду конечно же умение оперировать им для доказательств и точно осознавать формулировку.
Почему студенты осознают, что не понимают - потому что у них были устные экзамены, на которых надо доказывать теоремы, а они поняли, что не понимают, почему там что и откуда, и с состоянии только выучить (а потом всё забыть) или списать. Ну и задачи теоретические не решают, только типовые могут.
А ещё потому, что идут лекции, на которых лектор даёт сплошной поток кванторов и формул, строгих определений, и на них ничего непонятно.
Отношение к ним хорошее, и по сравнению с теми же западными популярными изложениями он немного погружается в доказательства. Но, к сожалению, совсем немного. Кстати говоря, его определение предела
Оно почти такое же, как обычное, но гораздо проще воспринимается.
Перенос членов эквивалентен одинаковым действиям с левой и правой частью равенства. Да, это можно отдельно объяснить.
Верно, про ассоциативность и коммутативность сложения натуральных забыл дописать. Впишу завтра в статью.
"Или, хотите сказать, что студенты тупее пошли "
Я скажу, что есть очень мало оснований верить, что раньше преодолевали и осваивали. Кроме того, раньше - это когда? Если про СССР, то в СССР были намного более простые учебные программы по математике.
Я много работаю со школьниками и студентами разного уровня подготовки. Много готовил к перечневым олимпиадам в том числе и видел, как они учатся.
"без проблем разберутся и в стандартном материале, потому что он действительно не сложный "
Выпускников школ, способных на это, в стране довольно немного.
В МФТИ, например, значительная часть поступивших - это не те, кто по льготе "поступление без экзаменов" (БВИ), а те, кто стали стали призерами олимпиад по физике и по математике, которые дали им 100 баллов по математике и 100 баллов по физике вместо ЕГЭ автоматом + 10 бонусных баллов, а также хорошо написали русский. И вот среди этой второй категории крайне мало детей, которые способны на то, что вы описываете. А если брать тех, кто по ЕГЭ поступил, без олимпиад (набрали на 3 ЕГЭ под 300 баллов), там вообще обычно без шансов разобраться в матанализе - потому что олимпиадная подготовка подразумевает обучение доказательствам, а ЕГЭ нет.
Серьезное обучение доказательствам в школе успешно прошли только те дети, которые способны тянуть финал Всеросса, или там Турнир городов, ЮМШ, олимпиаду СПбГУ, то есть только самые сложные из школьных олимпиад по математике.
Фактически, к такому способу обучения, который вы рекомендуете, подготовлено менее тысячи выпускников всех школ России каждый год.
Кстати говоря, в Екатеринбурге (УрФУ) мне говорили другой аргумент, который я не слышал в МФТИ (в МФТИ говорят как вы, что всё не сложно). Что дескать вообще невозможно понимать математику на первых двух курсах, нужно просто выучить, а понимание первого семестра первого курса начинает только впервые появляться на третьем курсе, а нормально понять матан первого курса можно только в аспирантуре, начав заниматься наукой и преподавая его.
То есть там такой подход - годами учим без понимания, зубрим наизусть, тренируемся решать тысячи типовых задач до автоматизма, потом занимаемся наукой в области математического анализа, преподаем и только тогда только начинаем что-то понимать.
Почему несовместимое? Смотрите в чем проблема
Для утверждения теоремы Лагранжа в учебниках и популярных изложениях иллюстрация есть, а для доказательства нет. А она ведь простая - взять теорему Ролля и повернуть координатные оси. И подобные иллюстрации есть вообще для всех доказательств в курсе матанализа, просто их не рисуют и не объясняют почти никогда. А еще многие другие доказательства можно переписать куда более понятным и наглядным способом.
Можно попробовать эпитеты сократить. Сравнения и метафоры тут всё-таки хорошие, цепляют - за исключением некоторых избыточных.
Попробую первую главу немного другим стилем.
А я хочу написать популярное изложение с доказательствами.
Потому что без них вся суть идей не передана.
Там, где популярно западные авторы объясняют, обычно только калькулюс, без подробных доказательств. В этом пробел.
Да по-моему наоборот, тут стиль настроен так, что читается легко. Часть текста здесь к тому же я сам вообще написал, выдерживая тот же стиль, без ИИ.
ИИ по умолчанию так не пишет, кстати говоря. Там нужен промпт.
Если бы не ИИ, то написание этого материала потребовало бы минимум в 10 раз больше времени, не говоря уже о картинках и куче формул. Собственно, это главная причина, почему я подобную книгу несколько лет назад не написал, идеи то уже были.
Картинки сделаны в Питоне все, код писал Gemini.
Нет, этим я объясняю необходимость создать вещественные числа вообще. А подробнее про подобные парадоксы будет в первой главе.
Кто-то и начнет читать. Есть много примеров, как люди начинали на 3-4-м курсах МФТИ и позже заново изучать материал первого курса, чтобы понять, что же это было.
По отзывам знакомых, для такой цели идеально подходит Энциклопедия элементарной математики Александрова. Но там не сделано достаточно геометрично и наглядно, там просто всё очень подробно и понятно расписано, без пропусков.
Кстати говоря, они там предел последовательности определили точно также, как я в прошлой статье!
Сначала ввели предельные точки (я их называл точками сгущения). Предел определили как единственную предельную точку.
Не, канцелярита надо избегать. Какой конкретно имеете в виду?
Я эти релизы пишу для МФТИ, там куча требований по оформлению, нужно упоминать грант, ученых, организации, статью, цитаты у ученых брать и согласие на публикацию текста. Писать научно-популярно, но в публицистическом стиле, избегая при этом канцелярита.
А там на самом деле в теореме косинусов
Но написанная формула с плюсом из нее следует.
Так я пытаюсь построить другую альтернативу. Калькулюс пытается просто дать анализ без доказательств. Я предлагаю дать анализ со строгими доказательствами, но так, чтобы их было намного проще воспринимать и понимать.
Эта альтернатива актуальна для России, потому что в России явно не планируется переход на западную модель.
Первый замечательный обычно через лемму о трех милиционерах. Тут определение предела не влияет.
А так тут ситуация следующая, если я докажу монотонность f(x) в окрестности нужной точки, то мажорированием получается, что у любой последовательности предел один и тот же. А дальше можно взять любую удобную. По сравнению с Коши удобство в том, что по Коши придётся брать произвольные значения х в окрестности , а тут достаточно только одну {Xn} сходящуюся рассмотреть.
Так что, видимо, стоит этот факт про связь монотонности и эквивалентности сходимости разных {Xn} доказать, а потом использовать.
В курсах матанализа этого факта нет обычно. В общем хорошо, что обсудили, видимо я тут нащупал самый простой способ.
Что же касается функций, не монотонных ни на какой окрестности нужной точки, например x*sin(1/x), то тут можно сначала оценивать по модулю отклонения. : |x*sin(1/x)| <= |x|.
"Будем ждать в следующих статьях раздела с результатами апробации вашей методики. "
У меня большой опыт преподавания анализа индивидуально как репетитора. Студенты эти слабые, но обычно всё понимают, если давать геометрическим подходом.