Нет, обхожусь без этого. Потому что я тут не использую в определении, что для любого эпсилон, начиная с какого-то номера, они все внутри. Я просто говорю, что в любой окрестности точки их там бесконечное количество, не уточняя расположение.
Более того, точка сгущения - это частичный предел, а не предел. Определение предела тут - "единственный частичный предел". Понятие частичного предела проще, чем предела, геометрически, если определять его не как предел подпоследовательности (что требует строить еще одну сущность), а просто как точку сгущения.
Вместо кванторов обозначающие их слова - это запутывает только. Потому что это всё равно "не по-русски" написано получается.
Фихтенгольцу нужно понятие точки сгущения области, оно вообще лишнее. Просто он определяет предел сразу на произвольном числовом множестве, а если бы он использовал предел по Гейне, можно было это вообще не упоминать. В ряде современных учебников вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).
Предел последовательности xn есть x0, если она имеет единственную точку сгущения (включая случай бесконечно удаленной точки).
Вместо включения случая бесконечно удаленной точки можно также написать условие, что за пределами любой окрестности точки сгущения не более чем конечное количество точек последовательности.
Так кванторы для понимания и строгих доказательств в матанализе не нужны совсем. Они искусственно удлиняют все доказательства и скрывают смысл. А во многих задачах без Гейне вообще крайне сложно доказать. При этом подход по Гейне совершенно не нуждается в Коши, последний нигде не лучше.
Насчёт вашего примера, берём x_n = {1/n}, получается число е по определению.
Дальше надо доказать монотонность (способов много, можно через производную, можно через обобщенный бином, можно через свойства логарифма и так далее).
Отсюда следует, что она сходится (так как частичный предел есть) и предел последовательности равен е.
В обычных учебниках по матанализу делают это намного сложнее, потому что они не пользуются определением предела по Гейне, для которого достаточно любую последовательность использовать вместо оценок и неравенств.
Ваш пример - как раз отличный пример факта, который в анализе по Гейне сильно короче доказывается. Но по-настоящему сильно всё упрощается при доказательстве теорем про равномерную непрерывность и сходимость, или про обратную функцию для неявно заданной ФНП, или там, например, для теоремы о единственности в диффурах
Потому что тогда последовательность не сходится. Можно доказать эквивалентность этого определения сходимости и по Коши.
А именно, если за пределами этого интервала есть бесконечное число точек, то мы берём достаточно малое эпсилон для окрестности именно этой точки сгущения и получаем, что бесконечное число точек за пределами этой окрестности. Для этого эпсилон нельзя подобрать соответствующий номер N.
В этом и есть смысл понятия предела. Это значит, что количество точек сходящейся последовательности бесконечно на интервале тогда и только тогда, когда этот интервал включает точку сгущения.
То есть вся бесконечность точек уместилась в бесконечно малой окрестности всего лишь одной точки.
А это ключевая проблема. Ваша концепция проще, потому что она ошибочная:
«траектории целиком умещаются в шарике, который становится всё меньше, когда мы стартуем всё ближе к равновесию»
Шарик может не уменьшаться монотонно.
Чтобы аккуратно сформулировать, вам нужно рассмотреть мажорирующую подпоследовательность шаров и тогда сильно всё усложнится, станет гораздо абстрактнее.
В определении по Гейне она не нужна, так как там берётся любая последовательность начальных условий.
Ключевое для понимания устойчивости по Ляпунову - это понимание равномерной сходимости, которую на языке эпсилон-дельта понять значительно сложнее.
А как вы своим определением будете проверять, дифференцируема ли функция, является ли она непрерывно дифференцируемой? Как определите равномерную сходимость интеграла с параметром? А это ведь важно для практики применения методов.
Ну и в первую очередь всё это нужно для понимания концепций.
Не требует, здесь доказана неравномощность натуральных чисел и континуума.
Нет, обхожусь без этого. Потому что я тут не использую в определении, что для любого эпсилон, начиная с какого-то номера, они все внутри. Я просто говорю, что в любой окрестности точки их там бесконечное количество, не уточняя расположение.
Более того, точка сгущения - это частичный предел, а не предел. Определение предела тут - "единственный частичный предел". Понятие частичного предела проще, чем предела, геометрически, если определять его не как предел подпоследовательности (что требует строить еще одну сущность), а просто как точку сгущения.
Это симметричный интервал, включающий эту точку.
Точка сгущения последовательности и точка сгущения области - понятия разные.
Ну вот ценность работы в том, что они как раз аналитическое решение нашли.
Практический интерес эти модели прежде всего для моделирования движения крови человека представляют. А там частицы разного размера надо учитывать.
Насколько я понял, в той модели не учитывалось. По ссылке полный текст статьи со всеми формулами есть, можете сами посмотреть.
Конкретно эта работа теоретическая, поэтому эксперимент там не описан.
Точка, в любой окрестности которой бесконечное количество членов последовательности.
Так у Фихтенгольца еще запутаннее выходит.
Вместо кванторов обозначающие их слова - это запутывает только. Потому что это всё равно "не по-русски" написано получается.
Фихтенгольцу нужно понятие точки сгущения области, оно вообще лишнее. Просто он определяет предел сразу на произвольном числовом множестве, а если бы он использовал предел по Гейне, можно было это вообще не упоминать. В ряде современных учебников вместо этого определяют сразу предел в точке, которая не является точкой сгущения области, там получается, что он тогда равен значению функции в этой точке (например, по Иванову функция всегда непрерывна в изолированной точке, если она в ней определена).
Предел последовательности xn есть x0, если она имеет единственную точку сгущения (включая случай бесконечно удаленной точки).
Вместо включения случая бесконечно удаленной точки можно также написать условие, что за пределами любой окрестности точки сгущения не более чем конечное количество точек последовательности.
Да, именно. Именно в этом преимущество подхода Гейне, которое позволяет полностью строго и вывести доказать анализ без эпсилон и дельт.
Именно об этом и вся статья.
Предел последовательности
Так это вам сильно повезло. В вузах так не преподают, как вам читали.
В вузовских учебниках такого подхода нет.
Это не обман, а прямое применение определения предела по Гейне.
А если я действую по Коши, я не могу напрямую заменить функцию на последовательность.
В этом заключается крайнее неудобство анализа по Коши, которое приводит к чрезмерному удлинению многих доказательств.
Функция имеет предел a в точке x0, если для любой последовательности xn->x0 последовательность f(xn) - > a.
Так кванторы для понимания и строгих доказательств в матанализе не нужны совсем. Они искусственно удлиняют все доказательства и скрывают смысл. А во многих задачах без Гейне вообще крайне сложно доказать. При этом подход по Гейне совершенно не нуждается в Коши, последний нигде не лучше.
Насчёт вашего примера, берём x_n = {1/n}, получается число е по определению.
Дальше надо доказать монотонность (способов много, можно через производную, можно через обобщенный бином, можно через свойства логарифма и так далее).
Отсюда следует, что она сходится (так как частичный предел есть) и предел последовательности равен е.
В обычных учебниках по матанализу делают это намного сложнее, потому что они не пользуются определением предела по Гейне, для которого достаточно любую последовательность использовать вместо оценок и неравенств.
Ваш пример - как раз отличный пример факта, который в анализе по Гейне сильно короче доказывается. Но по-настоящему сильно всё упрощается при доказательстве теорем про равномерную непрерывность и сходимость, или про обратную функцию для неявно заданной ФНП, или там, например, для теоремы о единственности в диффурах
Потому что тогда последовательность не сходится. Можно доказать эквивалентность этого определения сходимости и по Коши.
А именно, если за пределами этого интервала есть бесконечное число точек, то мы берём достаточно малое эпсилон для окрестности именно этой точки сгущения и получаем, что бесконечное число точек за пределами этой окрестности. Для этого эпсилон нельзя подобрать соответствующий номер N.
Определение:
функция f(x) равномерно непрерывна, если для любых двух последовательностей xₙ и yₙ, из (xₙ - yₙ) → 0 всегда следует, что (f(xₙ) - f(yₙ)) → 0.
Равномерная сходимость аналогично определяется.
Оно верно. Там именно равномерная сходимость и сформулирована.
В этом и есть смысл понятия предела. Это значит, что количество точек сходящейся последовательности бесконечно на интервале тогда и только тогда, когда этот интервал включает точку сгущения.
То есть вся бесконечность точек уместилась в бесконечно малой окрестности всего лишь одной точки.
В комментариях был хороший пример Xn = {1/n}
А это ключевая проблема. Ваша концепция проще, потому что она ошибочная:
«траектории целиком умещаются в шарике, который становится всё меньше, когда мы стартуем всё ближе к равновесию»
Шарик может не уменьшаться монотонно.
Чтобы аккуратно сформулировать, вам нужно рассмотреть мажорирующую подпоследовательность шаров и тогда сильно всё усложнится, станет гораздо абстрактнее.
В определении по Гейне она не нужна, так как там берётся любая последовательность начальных условий.
Ключевое для понимания устойчивости по Ляпунову - это понимание равномерной сходимости, которую на языке эпсилон-дельта понять значительно сложнее.
А как вы своим определением будете проверять, дифференцируема ли функция, является ли она непрерывно дифференцируемой? Как определите равномерную сходимость интеграла с параметром? А это ведь важно для практики применения методов.
Ну и в первую очередь всё это нужно для понимания концепций.