Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.
Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.
Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
Понижение ранга делается с помощью внутреннего произведения. Но что нужно получить здесь?
Давайте попробуем получить то же самое. Например, пусть эти A - это базисные векторы. Тогда просто нужно слева умножить на сумму базисных векторов с помощью. внутреннего произведения. А поскольку любое внешнее произведение векторов в ГА - это определитель умножить на произведение базисных векторов, то можно это использовать, чтобы определить дальше. К сожалению, так не работает в произвольном случае.
Подход должен быть другим. Вы сами эти А должны определить как базисные векторы. Алгебра Клиффорда такое позволяет - скалярное произведение можно иначе определить.
Легко убедиться, что изоморфности кватернионам нет. e1^2 = 1, а мнимая единица в квадрате дает -1. Зачем вообще вы вспоминаете кватернионы тут в этом контексте?
Из базовых правил видно, что оно линейное. Более того, все геометрические преобразования, которые описывают все мультивекторы в 3D - это линейные преобразования пространства.
В самом начале статьи. Вы в комментариях почему-то упорно пытаетесь очень простые и наглядные вещи выражать через абстрактные и сложные. А суть ведь в том, что геометрическая алгебра - это очень просто, намного проще абстракций линейной алгебры.
Умножение двух любых разных базисных векторов антисимметрично, умножение на себя дает квадрат длины, эта операция определена так, что она обратимая и линейная. При этом все действия имеют очень наглядный геометрический смысл и тут расписано это с картинками. Всё!
Не нужно никаких многомерных пространств, матриц, тензоров и прочих куда более сложных вещей. Всё, что вы тут упоминаете - намного более сложный материал для восприятия, чем тот, что я тут популярно объяснил.
Это как пойти в школу и 7-классникам школьную алгебру через квантовую механику объяснять - вот что вы предлагаете.
У меня дано универсальное правило умножения векторов, из которого далее следует, как построить умножение любых объектов и в любой размерности пространства. А эрмитовы матрицы задают правила умножения бивекторов, причем только в 3D (в большей размерности так уже не работает).
Очень хороший комментарий. Учту. Но я пока решил заняться переделкой и доделкой темы своей статьи про ОТО на хабре. Напишу отдельную статью про символы Кристоффеля - несколько разных выводов, смыслы и полное описание в ГА. Потом про тензор Римана. Затем третью про Риччи и Эйнштейна.
Я вроде про псевдоскаляр давно дописал. Но пока что мой наскок на кванты и ОТО получился далеко не таким хорошим, как должен быть. У Хестенеса там тоже далеко от идеала вышло.
Да, хорошее сравнение. Можно ещё вспомнить, например, что сила реакции опоры стола из принципе неопределённости Гейзенберга на самом деле выводится (если описывать вещество как множество зарядов двух знаков, без квантовой теории, только электромагнетизм, никаких твёрдых тел не может быть). Но при расчётах с ней достаточно механики Ньютона, или даже статики, которая была и до Ньютона.
Да, статья требует подробной расшифровки. А у Хестенеса очень длинно, но все равно не очень ясно.
Видимо, нужно цикл статей писать.
Ну тут еще речь о том, что есть разного рода философия вокруг вариационного принципа, что он имеет фундаментальных смысл, а не технический, тот же интеграл по путям Фейнмана рассматривают как основу интерпретаций квантовой механики.
Понижение ранга делается с помощью внутреннего произведения. Но что нужно получить здесь?
Давайте попробуем получить то же самое. Например, пусть эти A - это базисные векторы. Тогда просто нужно слева умножить на сумму базисных векторов с помощью. внутреннего произведения. А поскольку любое внешнее произведение векторов в ГА - это определитель умножить на произведение базисных векторов, то можно это использовать, чтобы определить дальше. К сожалению, так не работает в произвольном случае.
Подход должен быть другим. Вы сами эти А должны определить как базисные векторы. Алгебра Клиффорда такое позволяет - скалярное произведение можно иначе определить.
Потому что это разные корни из минус единицы. В другой статье написано про e12 в Cl(3,0), а тут e1234 в Cl(3,1).
Я придумал излагать через идею "а давайте попробуем ввести обратимое умножение, квадрат которого дает длину вектора". Вторая идея - это зеркала.
Обычно везде, где видел, излагают куда абстрактнее, и сходу непонятно. что это.
Если перпендикулярный, то получатся отражения Хаусхолдера известные. Они потом вводятся все же, через минус (а на практике используют мнимую единицу).
Суть то в том. что зеркало к вектору и под углом можно поставить.
"Было бы интересно увидеть, как перемножаются в общем случае эти 8-компонентные векторы. Есть ли какая-то красивая формула "
На это есть ответ. Никакой красивой формулы нет.
"8-мерное множество (не факт, что линейное пространство, но если так, то будет вообще замечательно). "
Оно не просто линейное пространство, я в статье доказал, что там все базисные элементы обратимые и причем это обращение элементарно устроено.
Но если брать не базисные элементы, а смешанные, то там есть делители нуля и тому подобные вещи.
Легко убедиться, что изоморфности кватернионам нет. e1^2 = 1, а мнимая единица в квадрате дает -1. Зачем вообще вы вспоминаете кватернионы тут в этом контексте?
Из базовых правил видно, что оно линейное. Более того, все геометрические преобразования, которые описывают все мультивекторы в 3D - это линейные преобразования пространства.
Нет тут никакого e0.
"Чему же они равны (покомпонентно) ?"
Это очень простой вопрос. Вот ответ:
e1 = e1
e2 = e2
e1*e2 = e12
В самом начале статьи. Вы в комментариях почему-то упорно пытаетесь очень простые и наглядные вещи выражать через абстрактные и сложные. А суть ведь в том, что геометрическая алгебра - это очень просто, намного проще абстракций линейной алгебры.
Умножение двух любых разных базисных векторов антисимметрично, умножение на себя дает квадрат длины, эта операция определена так, что она обратимая и линейная. При этом все действия имеют очень наглядный геометрический смысл и тут расписано это с картинками. Всё!
Не нужно никаких многомерных пространств, матриц, тензоров и прочих куда более сложных вещей. Всё, что вы тут упоминаете - намного более сложный материал для восприятия, чем тот, что я тут популярно объяснил.
Это как пойти в школу и 7-классникам школьную алгебру через квантовую механику объяснять - вот что вы предлагаете.
Если я так буду писать, то почти никто ничего не поймет, жанр статьи тут - популярная. Написано так, чтобы детям было понятно
"Так что же объект действия? Похоже, что другой вектор. Тогда получается, мы действуем над действиями? Хмм... "
А что вас тут смущает? Именно это и описано. Но действовать можно не только на векторы.
Сразу же как объект действия используется другой вектор.
У меня дано универсальное правило умножения векторов, из которого далее следует, как построить умножение любых объектов и в любой размерности пространства. А эрмитовы матрицы задают правила умножения бивекторов, причем только в 3D (в большей размерности так уже не работает).
Да, это всё бивекторы.
Так цель как раз в том, чтобы популярно и понятно изложить, а не строго и формально.
Последовательность и логика введения объектов тут как раз в центре всего.