Habrah May 13 at 18:56

Трисекция. Нельзя, но очень хочется

1 min

11K

Mathematics*Popular scienceReading room

Comments 28

randomsimplenumber May 13 at 19:05

Если хорошо увеличить картинку - ошибка видна невооружённым глазом. А на этой ошибке все ваши рассуждения построены.

DenisSDK May 13 at 20:54

Особенно, если делить прямой угол. Будет еще нагляднее

Sirion May 13 at 23:19

Похожий способ я изобрёл в 7 классе. Ностальгия)

randomsimplenumber May 14 at 03:38

Все, кто слышали про нерешённую проблему три секции, пытались ее по быстрому решить ;) Мы же умнее древних греков, или как? ;)

Serge3leo May 14 at 00:30

Надо только иметь хороший циркуль и уметь им пользоваться.

Насчёт циркуля - это ж заблуждение и ошибка. А вот без циркуля, просто аккуратно перегибая бумагу (оригами по правилам/аксиомам Фудзиты) вполне строго возможно. 😉

Quarc May 14 at 02:12

Пусть α – исходный угол, а β – предполагаемая "трисекция" α, тогда:

$\tan {β} = \frac{1}{3} \tan {α}$

Отсюда, для получаем (, опустим).

Samhuawei May 14 at 05:03

Почему нельзя получить квадрат равный по площади площади круга

Вот и я думаю, почему. R = 1. S = 3.14. √S = 1.77. Квадрат со стороной 1.77 будет иметь ту же площадь что круг со стороной 1.

randomsimplenumber May 14 at 05:58

круг со стороной 1

wat ? ;)

R = 1. S = 3.14

Ошибаетесь. S=3.1416. ;)

Скрытый текст

и этот ответ неверный

S=3.1415926

Скрытый текст

и этот ответ тоже неверный

Enedwait May 14 at 06:36

Да скажите уже прямо, что Пи иррационально)

Tim_L May 15 at 20:59

Стесняются наверное)))

surly May 14 at 05:36

Всегда вызывали у меня недоумение все подобные поиски доказательств возможности, невозможности, алгоритмы построений. К чему это, когда можно просто измерить исходную фигуру, выполнить нужные расчёты и построить требуемую новую фигуру, пользуясь измерительными инструментами.

randomsimplenumber May 14 at 05:53

Это челлендж такой. Построение с помощью циркуля и линейки без делений.

Naf2000 May 14 at 05:57

Этим и отличается теоретическая математика от практической инженерии. Данным способом вы построите объект с погрешностью, которая возможно вас удовлетворит, но погрешность останется.

surly May 14 at 06:53

Черта от циркуля или карандаша даст меньшую погрешность?

Naf2000 May 14 at 07:49

у математического циркуля нет черты )))

Serge3leo May 14 at 13:31

Да, существенно меньшую. И это неплохо заметно на глаз. К примеру, ошибка транспортира, в лучшем случае, 0,5°, что приводит к ошибке более 1 мм на расстоянии всего 115 мм.

Shadow_ru May 14 at 08:57

Потому что исходно нет никаких измерений, требуется построить гладкой линейкой, без делений.

VT100 May 14 at 06:27

Трисектор

samsergey May 14 at 07:33

Построим аккуратный чертёж (точка C подвижная). Сразу видно, что три вспомогательные окружности, построенные по методу автора заметки, не делят дугу на три части. Давайте всё же проведём анализ, для полноты картины.

В основе метода лежит пропорциональность отрезков и . На чертеже , но мы будем анализировать общий случай: , где n = 2,3,4,5...

Для угла $\angle CAB = 2\alpha$ радиус вписанной окружности , проходящей через точку выражается через синус: $r = \sin \alpha$ . Построим окружность с центром в точке c радиусом , и окружность с радиусом с центром в точке . Точка пересечения этих окружностей является центром первой из вспомогательных окружностей. На рисунке .

Если точку поместить в начало координат, а отрезок сделать единичным, то окружности будут иметь уравнения $C_n: y^2+x^2=n^2, \ C'_1: (x-n)^2+y^2=r^2$ . Координаты точки будут такими:

$P: \left(\frac{2n^2-r^2}{2n},\frac{\sqrt{4n^2-r^2}}{2n}\right)$

Тогда угол $\angle PAB$ , будет таким:

$\angle PAB = \mathrm{arctg}\frac{\sqrt{4n^2-r^2}}{2n^2-r^2}=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{4n^2-\sin^2\alpha}}{2n^2-\sin^2\alpha}$

Если $\alpha$ сделать очень маленьким, то в пределе мы получим:

$\lim_{\alpha \to 0} \angle PAB = \mathrm{arctg}\frac{\sin(\alpha)}{n} = \frac{\alpha}{n} + \frac{(n^2 + 2) \alpha^3}{6 n^3} + O(\alpha^4).$

То есть метод работает только для малых углов. Например, для $\alpha = \frac{\pi}{6}$ отличие полученного угла от ожидаемого не превысит 0.01.

randomsimplenumber May 14 at 07:48

метод работает только для малых углов

для бесконечно малых углов, у которых sin(a)=a, конечно же работает;) дуга становится прямой, а отрезок прямой мы можем делить как угодно.

Vendings May 14 at 11:35

Тоже сразу полез в Geogebra, чтобы получить такой же чертёж))

Krasnoarmeec May 14 at 16:38

нельзя получить квадрат равный по площади площади круга, удвоить квадрат

Удвоить квадрат - легко.

Вы, наверное, имели в виду удвоение куба?

accurate_random May 15 at 05:10

На сетке координат без проблем можно поделить угол на три, правда дополнительные построения будут, но без циркуля, хватит и линейки даже без делений, при условии что вы можете определить координаты любой точки на эскизе и поставить точку в любых требуемых координатах. Вычислять тоже прийдется, не только построения делать. Только разумеется это не будет соответствовать общему видению идеального решения трисекции угла, а сделать такое решение способен если не каждый, то наверное каждый третий. Так что можно было-бы посоревноваться в такой постановке задачи - определяются координаты любой точки, можно поставить точку в любых требуемых координатах, из инструментов - линейка. Только это наверное становится тогда просто и не интересно.

Мне видится картина так - если в басне лисе был явный смысл уговаривать ворону, то в случае с трисекцией ворона глухая, и все это знают, но никто не верит в это и продолжают её уговаривать. Можно было-бы даже условно обозначить явление всяких ВД и всего прочего теорией о глухой вороне, но с вороной тоже может произойти всякое...

O1username May 15 at 06:05

Тоже недавно размышлял на тему построения циркулем и линейкой иррациональных пропорций и кажется, нашёл уязвимость в этом утверждении. С одной стороны иррациональное число не может быть представлено в виде дроби и кажется, что это однозначно указывает на бессмысленность всех попыток. С другой стороны, вообще-то иррациональные числа бес проблем можно представлять суммой ряда, в котором каждый член вполне рационален. Получается, что нельзя построить именно за конечное число операций. За бесконечное - пожалуйста. Тогда, правда и ошибка от построения будет копиться бесконечно, но это детали)

randomsimplenumber May 15 at 08:21

С одной стороны иррациональное число не может быть представлено в виде дроби и кажется, что это однозначно указывает на бессмысленность всех попыток

Однако sqrt (2) иррациональное, но квадрат двойной (и половинной) площади строится тривиально.

knstqq May 15 at 08:08

Задача разделения угла с точностью < Ɛ где епсилон - любое, сколь угодно малое число - тривиально разрешима. Прям вот буквально, хотите - с точностью 1%. Хотите - 0.1%. Хотите - с точностью 1/10000000000000000000000000000000. И для каждого epsilon потребуется целое конечное число шагов.

Тоже самое с построением квадрата и круга с площадью, отличающейся не более чем на Ɛ.

Проблема в том, что для Ɛ = 0 внезапно требуется бесконечное число шагов.

для практического применения методы подходят, в инженерии, физике, и других практических областях никому в голову не придёт использовать линейку без делений или циркулем размечать углы

Zakatalah May 16 at 05:16

Очередное подтверждение что большинство "математиков" обыкновенные дармоеды занимающиеся никому не нужной херней.

vanderPon May 17 at 09:56

Очередное подтверждение того, что большинство людей считают, что ценность чего угодно определяется, можно ли это сожрать или в крайнем случае купить :)