Но только не в ваших комментариях. В них много ошибок, в них написаны выдуманные свойства и выдуманные определения, которые просто неверные.
Нельзя считать что все эти линии "прямые", лишь по признаку "кратчайшего пути".
В цикле рассмотрены специальные поверхности, которые являются моделями геометрии Лобачевского. На них - можно. Кратчайший путь очень важен, но прямые в геометрии Лобачевского определяются не только по кратчайшему пути.
В пункте 3 условности никакой нет. Прямые в круге Пуанкаре, на псевдосфере и на любой другой модели геометрии Лобачевского - прямые в обычном смысле. По аксиомам.
Я уже несколько раз пояснил почему, сослался на источники. Читайте, разбирайтесь.
Спасибо. Есть пара интересных тем, про которые я хочу написать. Может быть напишу, если найду мотивацию и время.
Каждая часть из этого цикла требует много времени: в начале созревает идея, о чем написать, на что расставить акценты. Возникают вопросы, в которых приходится разбираться. На визуализации тоже уходит много времени, и иногда идеи получаются спонтанно. Написание текста тоже занимает много времени. И на каждую часть уходит в итоге по несколько часов.
В общем, Фоменко в своих лекциях написал, что на сфере тоже прямые. Он отлично разбирается в геометрии, по этому я оставлю текст в частях про сферу без изменений.
Дело в том, что у геометрии на сфере есть изъян, про который я не писал. По этому обычно переходят к другой геометрии, которая называется эллиптической, Римановой геометрией. Иногда её называют сферической.
Дело не в углах и расстояниях, а в аксиомах геометрии.
Я в этом плохо разбираюсь, по этому лучше посоветую почитать какой-нибудь источник.
Выше в комментарии я ошибся. Радус влияет на метрику по другому, вот скриншот из книжки Иванова и Тужилина по дифф. геометрии, я на нее ссылался уже.
4 в метрике возникает из-за формул перехода в координаты на круге. Не уверен какой в ней "смысл", в четверке.
Про предельный переход вообще получается неправильно, но я почему-то так думал. Я сейчас уверен, что где-то читал об этом, но не могу вспомнить где. Возможно, там имелось в виду, что прямые начинаю выглядеть как евклидовы... Но это не точно.
Да, так можно сделать - с такой проекции начинается шестая часть.
На метрику мне кажется это не повлияет желаемым образом, и множитель в метрике связан с радиусом псевдосферы. С самого начала я решил рассматривать только псевдосферу радиуса 1, чтобы упростить формулы.
Если рассматривать пседосферу увеличивающегося радиуса, то и круг Пуанкаре будет тоже увеличиваться, и в пределе он совпадет с обычной евклидовой плоскостью.
Тем более нужно использовать "геодезическая", а не "прямая", раз уж именно "геодезическая" является обобщением.
В цикле это синонимы, кроме двух частей про сферу. В этих частях я разберусь позже и дополню текст, что это не совсем прямые, в привычном понимании.
В эти формулы можно прямо подставить координаты точек, и получить результат?
Да, можно. В формулах буквально разность координат точек на кривой.
"Прямая" соответствует линейному уравнению (членами которого являются числа, а не функции). Абсолютно строго, и здесь не может быть никаких трактовок. Кривым соответствуют другие уравнения.
Это ошибочный текст. Прямая определяется аксиомами. Вводится система аксиом, и те объекты, которые им удовлетворяют - будут прямыми.
Почему на псевдосфере есть прямые? Потому что они удовлетворяют аксиомам. И такие прямые не описываются линейными уравнениями. Точно так же и в других моделях есть прямые, уравнения которых не будут линейными.
В моделях Пуанкаре - прямые это окружности. В моделях полосы, полусферы, модели Гана - прямые тоже не задаются линейными уравнениями. Линейные уравнения задают прямую только в модели Клейна. В этой модели, однако, не выполняется свойство с длиной через координаты точек на плоскости, потому что в ней другая метрика.
Я не до конца понял про среду тестирования, про то как оценивалась производительность моделей. Ведь гигачат и яндекс-гпт закрытые модели, их тестировали при помощи апи, правильно?
И ещё очень интересно, как эти модели оцениваются в сравнении с GPT-4o, который тоже очень хорошо знает русский.
Зависит. Геодезическая это обобщение прямой. Геодезические в евклидовом пространстве - это прямые. Геодезические в гиперболическом пространстве тоже прямые. На сфере геодезические не прямые, но они самые близкие к кривым, которые можно было бы назвать прямыми.
Являются ли, строго говоря, геодезические прямыми? Нет, но они их обобщают. Каждая прямая - это геодезическая.
Цитата из прошлого комментария:
Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек.
Есть кривые, для которых так можно определить длину. Кривая , длина . Арифметическое действие. Пример такой кривой - окружность , длина окружности от до равна . Окружность не является прямой, в общем случае. Замена параметризации не меняет кривую как геометрическое место точек, не меняет её длину, не меняет касательные векторы к кривой. Переход к натуральной параметризации это тоже замена параметризации. По этому предложенное определение, или способ различия прямых и кривых, неверные. Про стат-анализ кривой - никогда не слышал о таком.
Как вы получаете линии на псевдосфере. Для этого вы используете секущую поверхность.
Абсолютно неправильно. На псевдосфере ищутся геодезические - это осталось за кадром, потому что вывод их уравнений громоздкий и требует дополнительной работы. Если все же вывод уравнений геодезических интересен - предлагаю разобраться самостоятельно.
Решение уравнений геодезических дает в результате кривые, которые можно получить как пересечения поверхности псевдосферы с плоскостью. Секущая плоскость просто удобна для иллюстрации, и она не определяет геодезическую. Ещё раз напишу: геодезическую определяют уравнения, а их решение - это пересечение плосксотей с поверхностью, в случае сферы и псевдосферы.
Геодезические по определению лежат на поверхности, на плоскости Лобачевского они по по аксиомам являются прямыми, поэтому, конечно, можно судить о их параллельности.
И здесь вам следует объяснить ваш трюк
Снова большое спасибо за совет.
Есть классические источники
В комментарии не указаны ни название книги, ни авторы, ни страница. Просто картинка, скриншот страницы.
Можно ввести модель геометрии Лобачевского как на скриншоте - это хороший способ. Цель цикла в другом - в наглядном и плавном пути от привычной геометрии, к геометрии Лобачевского. Упор в этом пути сделан на длины и расстояния. Такой же путь к геометрии Лобачевского проходится в книгах по дифференциальной геометрии, на которые я ссылался. Он отличается от постулированного и существенно полагается на средства и результаты дифф. геометрии. В моем цикле я постарался дать больше понятных объяснений, не усложняя их, а также добавил графики и анимации, и некоторые объяснения, которых в этих книгах нет.
Для пути к геометрии Лобачевского через постулирование "что такое прямые", действительно, достаточно предъявить модель Клейна или модель Пуанкаре или любую другую модель и на этом закончить.
Возвращаясь к предложеному способу разделения кривых от прямых, напишу, что на скриншоте не указана метрика модели ни в каком виде. Расстояния и углы в этой модели искажены, они не евклидовы, и существенно зависят от точки (или траекории), в которой их считают. В этой модели прямые от кривых по свойству "Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек" не различить.
Мне кажется, что для любой точки кроме полюса кратчайшее расстояние все же будет вдоль прямой.
Если на поверхности есть хорошие геодезические, то кратчайшие расстояние будет имено вдоль них. Если геодезические ортогональны - то так и будет, мне кажется.
На сфере геодезические не очень хорошие, лучше рассматривать проективную плоскость, но я сейчас не готов про нее что-то написать
На самом деле разницы между классами нет. Любой мередиан можно плавно повернуть в любую другую прямую. В тексте имеется в виду, что все мередианы ортогональны экватору, и все. Между классами нет разницы, про вращение у вас правильно написано.
Ортогональность в тексте имеется в виду классическая: две кривые ортогональны в точке, если они обе проходят через точку и их касательные векторы ортогональны
на поверхности сферы самой короткой линией, соединяющей две точки, будет дуга, а не прямая.
На поверхности сферы обычной евклидовой прямой и не может лежать, такая прямая только коснется сферы. Именно на сфере, а не в объемлющем пространстве, ищется геодезическая, минимизирующая расстояние между точками
Нет, не написано.
Из второй части кусочек текста: "На евклидовой плоскости понятие прямой интуитивно - это неограниченная линия со следующим свойством: если на прямой выбрать две точки A и B и начать проводить различные кривые так, что обе точки будут лежать на них, то среди всех таких кривых прямая имеет наименьшую длину". Это определяющее свойство, потому что прямые (в обычном смысле) могут лежать в евклидовом пространстве, а на поверхности они в общем случае не лежат.
Вы не дали определение "прямой"
Во второй части я сослался на то как написано в википедии: "Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий". Википедия ссылается на книгу Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry. Скриншот 4-ой страницы из этой книги, где вводятся прямые аксиоматически:
Пятый постулат обрезался, но он и не нужен сейчас. Если взять прямую в евклидовом пространстве - она удовлетворяет первой и второй аксиоме. Геодезические удовлетворяют первой аксиоме. Иногда удовлетворяют второй - на сфере не удовлетворяют, а на плоскости Лобачевского удовлетворяют.
В геометрии Лобачевского геодезические это буквально прямые. Потому что они удовлетворяют аксиомам прямых.
Геодезические обобщают понятие прямых на не-евклидовы пространства - это их полный аналог. Вот что написано в википедии про это: "в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии".
Вот из статьи про геодезические, тоже на википедии: "Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств."
Если это значимый вопрос в геометрии Лобачевского, то расскажите тогда историю ее возникновения, чтобы читателю было понятно ваше исключительное внимание к "прямым" и их "параллельности"
Спасибо большое за совет, как лучше писать текст статьи. В текущем небольшом цикле я принял решение, что последовательность должна быть другой - через анализ насущных поверхностей (сферы), с переходам к более сложным - псевдосфере и другим моделям.
Есть теория параллельных линий.
Я не разбираюсь в этой теории, по этому не пишу про нее. Если напишите - будет здорово! Про эквидистанты и орицикл - это замечательно, что они существуют, и что у них есть конкретный вид в геометрии Лобачевского.
Вы линию на границе пересечения объемного объекта с плоскостью (сечение) называете прямой, независимо от ее формы.
При пересечении сферы и плосскости, в которой лежит точка (0, 0, 0) получается геодезическая. С псевдосферой тоже практически так же. Вывод уравнений и их решение есть в книгах по дифференциальной геометрии - я находил в книге Иванова и Тужилина, в книге Фоменко. А геодезическая это обобщение понятия прямой.
Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек.
Ну это просто не верно. Можно рассмотреть кривую и ввести на ней параметр или координату , а потом перейти к на натуральной параметризации , то её длина от точки до точки будет равна как раз . Натуральную параметризацию можно ввести для всех регулярных кривых. Подробнее об этом написано в первой главе книги "Лекции по классической дифференциальной геометрии А.О.Иванов, А.А.Тужилин" , издание 2017 года.
Про какую формулу Эйлера вопрос? Про ? Она такая, какая она есть, и другой её быть не может.
Недавно я у коллеги спрашивал: "а каким был бы мир, если бы уравнение не имело решений? Как изменился бы data science?". Это уравнение - одно из определений логарифма. Без логарифма было бы ... туго. Но такая функция есть, как представить себе что её нет? Это невозможно.
Последовательность с ошибкой.
Это тоже неверно.
Но только не в ваших комментариях. В них много ошибок, в них написаны выдуманные свойства и выдуманные определения, которые просто неверные.
В цикле рассмотрены специальные поверхности, которые являются моделями геометрии Лобачевского. На них - можно. Кратчайший путь очень важен, но прямые в геометрии Лобачевского определяются не только по кратчайшему пути.
В пункте 3 условности никакой нет. Прямые в круге Пуанкаре, на псевдосфере и на любой другой модели геометрии Лобачевского - прямые в обычном смысле. По аксиомам.
Я уже несколько раз пояснил почему, сослался на источники. Читайте, разбирайтесь.
Если вам понравился цикл - делитесь им и рассказывайте, это даст дополнительную мотивацию на написание новых статей.
Спасибо. Есть пара интересных тем, про которые я хочу написать. Может быть напишу, если найду мотивацию и время.
Каждая часть из этого цикла требует много времени: в начале созревает идея, о чем написать, на что расставить акценты. Возникают вопросы, в которых приходится разбираться. На визуализации тоже уходит много времени, и иногда идеи получаются спонтанно. Написание текста тоже занимает много времени. И на каждую часть уходит в итоге по несколько часов.
В общем, Фоменко в своих лекциях написал, что на сфере тоже прямые. Он отлично разбирается в геометрии, по этому я оставлю текст в частях про сферу без изменений.
Покажите визуализации, объясните индуцирование метрики на примере с укладыванием нитки на сферу и потом измерением её длины линейкой.
Да, объяснить все понятно не получится. Но какую-то интуицию наверно дать можно.
Дело в том, что у геометрии на сфере есть изъян, про который я не писал. По этому обычно переходят к другой геометрии, которая называется эллиптической, Римановой геометрией. Иногда её называют сферической.
Дело не в углах и расстояниях, а в аксиомах геометрии.
Я в этом плохо разбираюсь, по этому лучше посоветую почитать какой-нибудь источник.
Выше в комментарии я ошибся. Радус влияет на метрику по другому, вот скриншот из книжки Иванова и Тужилина по дифф. геометрии, я на нее ссылался уже.
4 в метрике возникает из-за формул перехода в координаты на круге. Не уверен какой в ней "смысл", в четверке.
Про предельный переход вообще получается неправильно, но я почему-то так думал. Я сейчас уверен, что где-то читал об этом, но не могу вспомнить где. Возможно, там имелось в виду, что прямые начинаю выглядеть как евклидовы... Но это не точно.
Да, так можно сделать - с такой проекции начинается шестая часть.
На метрику мне кажется это не повлияет желаемым образом, и множитель в метрике связан с радиусом псевдосферы. С самого начала я решил рассматривать только псевдосферу радиуса 1, чтобы упростить формулы.
Если рассматривать пседосферу увеличивающегося радиуса, то и круг Пуанкаре будет тоже увеличиваться, и в пределе он совпадет с обычной евклидовой плоскостью.
Хотя я не до конца уверен в этом...
Хаха, не думаю что внуки будут это читать.
Спасибо за такой отзыв, мне приятно. Читайте, задавайте вопросы. Мне кажется все части важны, а в последней самые красивые картинки
Очень жаль что вы запутались :(
В цикле это синонимы, кроме двух частей про сферу. В этих частях я разберусь позже и дополню текст, что это не совсем прямые, в привычном понимании.
Да, можно. В формулах буквально разность координат точек на кривой.
Это ошибочный текст. Прямая определяется аксиомами. Вводится система аксиом, и те объекты, которые им удовлетворяют - будут прямыми.
Почему на псевдосфере есть прямые? Потому что они удовлетворяют аксиомам. И такие прямые не описываются линейными уравнениями. Точно так же и в других моделях есть прямые, уравнения которых не будут линейными.
В моделях Пуанкаре - прямые это окружности. В моделях полосы, полусферы, модели Гана - прямые тоже не задаются линейными уравнениями. Линейные уравнения задают прямую только в модели Клейна. В этой модели, однако, не выполняется свойство с длиной через координаты точек на плоскости, потому что в ней другая метрика.
Добрый вечер. Я слышал про двойные и дуальные числа, но глубоко не разбирался.
Про финслерову геометрию только читал в художественной книжке, и даже не уверен что речь была именно про то.
Одним словом - не знаком.
Спасибо за исследование!
Я не до конца понял про среду тестирования, про то как оценивалась производительность моделей. Ведь гигачат и яндекс-гпт закрытые модели, их тестировали при помощи апи, правильно?
И ещё очень интересно, как эти модели оцениваются в сравнении с GPT-4o, который тоже очень хорошо знает русский.
Зависит. Геодезическая это обобщение прямой. Геодезические в евклидовом пространстве - это прямые. Геодезические в гиперболическом пространстве тоже прямые. На сфере геодезические не прямые, но они самые близкие к кривым, которые можно было бы назвать прямыми.
Являются ли, строго говоря, геодезические прямыми? Нет, но они их обобщают. Каждая прямая - это геодезическая.
Цитата из прошлого комментария:
Есть кривые, для которых так можно определить длину. Кривая
, длина 
. Арифметическое действие. Пример такой кривой - окружность 
, длина окружности от 
до 
равна 
. Окружность не является прямой, в общем случае. Замена параметризации не меняет кривую как геометрическое место точек, не меняет её длину, не меняет касательные векторы к кривой. Переход к натуральной параметризации это тоже замена параметризации. По этому предложенное определение, или способ различия прямых и кривых, неверные. Про стат-анализ кривой - никогда не слышал о таком.
Абсолютно неправильно. На псевдосфере ищутся геодезические - это осталось за кадром, потому что вывод их уравнений громоздкий и требует дополнительной работы. Если все же вывод уравнений геодезических интересен - предлагаю разобраться самостоятельно.
Решение уравнений геодезических дает в результате кривые, которые можно получить как пересечения поверхности псевдосферы с плоскостью. Секущая плоскость просто удобна для иллюстрации, и она не определяет геодезическую. Ещё раз напишу: геодезическую определяют уравнения, а их решение - это пересечение плосксотей с поверхностью, в случае сферы и псевдосферы.
Геодезические по определению лежат на поверхности, на плоскости Лобачевского они по по аксиомам являются прямыми, поэтому, конечно, можно судить о их параллельности.
Снова большое спасибо за совет.
В комментарии не указаны ни название книги, ни авторы, ни страница. Просто картинка, скриншот страницы.
Можно ввести модель геометрии Лобачевского как на скриншоте - это хороший способ. Цель цикла в другом - в наглядном и плавном пути от привычной геометрии, к геометрии Лобачевского. Упор в этом пути сделан на длины и расстояния. Такой же путь к геометрии Лобачевского проходится в книгах по дифференциальной геометрии, на которые я ссылался. Он отличается от постулированного и существенно полагается на средства и результаты дифф. геометрии. В моем цикле я постарался дать больше понятных объяснений, не усложняя их, а также добавил графики и анимации, и некоторые объяснения, которых в этих книгах нет.
Для пути к геометрии Лобачевского через постулирование "что такое прямые", действительно, достаточно предъявить модель Клейна или модель Пуанкаре или любую другую модель и на этом закончить.
Возвращаясь к предложеному способу разделения кривых от прямых, напишу, что на скриншоте не указана метрика модели ни в каком виде. Расстояния и углы в этой модели искажены, они не евклидовы, и существенно зависят от точки (или траекории), в которой их считают. В этой модели прямые от кривых по свойству "Кривые отличаются от прямых тем, что длину таких линий нельзя определить просто через арифметическую разность координат точек" не различить.
Мне кажется, что для любой точки кроме полюса кратчайшее расстояние все же будет вдоль прямой.
Если на поверхности есть хорошие геодезические, то кратчайшие расстояние будет имено вдоль них. Если геодезические ортогональны - то так и будет, мне кажется.
На сфере геодезические не очень хорошие, лучше рассматривать проективную плоскость, но я сейчас не готов про нее что-то написать
На самом деле разницы между классами нет. Любой мередиан можно плавно повернуть в любую другую прямую. В тексте имеется в виду, что все мередианы ортогональны экватору, и все. Между классами нет разницы, про вращение у вас правильно написано.
Ортогональность в тексте имеется в виду классическая: две кривые ортогональны в точке, если они обе проходят через точку и их касательные векторы ортогональны
Ееее, спасибо!
На поверхности сферы обычной евклидовой прямой и не может лежать, такая прямая только коснется сферы. Именно на сфере, а не в объемлющем пространстве, ищется геодезическая, минимизирующая расстояние между точками
Из второй части кусочек текста: "На евклидовой плоскости понятие прямой интуитивно - это неограниченная линия со следующим свойством: если на прямой выбрать две точки A и B и начать проводить различные кривые
так, что обе точки будут лежать на них, то среди всех таких кривых прямая имеет наименьшую длину". Это определяющее свойство, потому что прямые (в обычном смысле) могут лежать в евклидовом пространстве, а на поверхности они в общем случае не лежат.
Во второй части я сослался на то как написано в википедии: "Пряма́я — одно из фундаментальных понятий евклидовой геометрии. При систематическом изложении геометрии прямые линии обычно принимаются за одно из исходных (неопределяемых) понятий". Википедия ссылается на книгу Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry. Скриншот 4-ой страницы из этой книги, где вводятся прямые аксиоматически:
Пятый постулат обрезался, но он и не нужен сейчас. Если взять прямую в евклидовом пространстве - она удовлетворяет первой и второй аксиоме. Геодезические удовлетворяют первой аксиоме. Иногда удовлетворяют второй - на сфере не удовлетворяют, а на плоскости Лобачевского удовлетворяют.
В геометрии Лобачевского геодезические это буквально прямые. Потому что они удовлетворяют аксиомам прямых.
Геодезические обобщают понятие прямых на не-евклидовы пространства - это их полный аналог. Вот что написано в википедии про это: "в римановой геометрии роль прямых играют геодезические линии".
Вот из статьи про геодезические, тоже на википедии: "Геодези́ческая (также геодезическая ли́ния) — кривая определённого типа, обобщение понятия «прямая» для искривлённых пространств."
Спасибо большое за совет, как лучше писать текст статьи. В текущем небольшом цикле я принял решение, что последовательность должна быть другой - через анализ насущных поверхностей (сферы), с переходам к более сложным - псевдосфере и другим моделям.
Я не разбираюсь в этой теории, по этому не пишу про нее. Если напишите - будет здорово! Про эквидистанты и орицикл - это замечательно, что они существуют, и что у них есть конкретный вид в геометрии Лобачевского.
При пересечении сферы и плосскости, в которой лежит точка (0, 0, 0) получается геодезическая. С псевдосферой тоже практически так же. Вывод уравнений и их решение есть в книгах по дифференциальной геометрии - я находил в книге Иванова и Тужилина, в книге Фоменко. А геодезическая это обобщение понятия прямой.
Ну это просто не верно. Можно рассмотреть кривую и ввести на ней параметр или координату
, а потом перейти к на натуральной параметризации 
, то её длина от точки 
до точки 
будет равна как раз 
. Натуральную параметризацию можно ввести для всех регулярных кривых. Подробнее об этом написано в первой главе книги "Лекции по классической дифференциальной геометрии А.О.Иванов, А.А.Тужилин" , издание 2017 года.
Про какую формулу Эйлера вопрос? Про
? Она такая, какая она есть, и другой её быть не может.
Недавно я у коллеги спрашивал: "а каким был бы мир, если бы уравнение
не имело решений? Как изменился бы data science?". Это уравнение - одно из определений логарифма. Без логарифма было бы ... туго. Но такая функция есть, как представить себе что её нет? Это невозможно.
Понимаю.
То что углы проходят четыре и два оборота не должно влиять на визуализацию, просто некоторые точки дважды отрисовывались.
А перезапись конечно важна. А для какой цели эта сфера рисуется в C?