Ноябрьским вечером 1999 года присяжные собрались произнести вердикт в зале Честерского суда. На скамье подсудимых – 35-летняя адвокат из Чешира по имени Салли Кларк, мать двоих умерших младенцев. За окном холодно, а внутри – мёртвая тишина. Только что эксперт-педиатр сэр Рой Мидоу спокойно сообщил ошеломляющую цифру: вероятность того, что две здоровые дети из одной благополучной семьи скончались естественной смертью, равна «примерно одному шансу из 73 миллионов». Присяжные переглянулись: такое случается реже, чем раз в столетие. Казалось, сама статистика шепчет обвинение. Через несколько часов Салли услышит слово «виновна» – и звук захлопывающейся тюремной двери на долгие годы.

Два трагических случая легли в основу процесса. В декабре 1996 года первый сын Салли, 11-недельный Кристофер, внезапно перестал дышать в своей колыбели. Врачи назвали причиной «синдром внезапной детской смерти» (СВДС), то есть непредсказуемая гибель младенца без видимых причин. Горе молодых родителей не укладывалось в голове, но они старались жить дальше. Спустя год, в январе 1998-го, случилось немыслимое: умер второй сын, 8-недельный Гарри, тоже внезапно, во сне. Два случая СВДС в одной семье – статистическая редкость. Полиция, получив сигнал от патологоанатома, заподозрила худшее. Салли и её мужа арестовали по обвинению в убийстве младенцев, хотя ни прямых улик, ни мотива, ни признаков насилия не находили. Отца вскоре отпустили, а вот мать предали суду: против неё играла сама невероятность двух несчастий подряд.

В III веке до н. э. Аполлоний из Перги задался задачей: сколько окружностей можно построить так, чтобы каждая из них касалась трёх данных окружностей ровно в одной точке. Оказалось, что таких окружностей восемь, но доказать это удалось лишь спустя почти 1800 лет.

В 1876 году Питер Гатри Тейт предложил измерять то, что он называл «запутанностью» узлов. Шотландский математик, во многом предвосхитивший современную теорию узлов, искал практический способ отличать один узел от другого — задача, мягко говоря, непростая. 

Тейт предложил такой критерий различия. Разложим узел на плоскости и посмотрим на точки самопересечения. В одной из таких точек «перевернём» пересечение: мысленно разрежем, поменяем местами верхнюю и нижнюю нити и снова «склеим». Повторяя операцию столько раз, сколько нужно, можно получить незавязанный круг. Минимальное число таких «переворотов» он назвал мерой незавязанности — сегодня это известно как число развязывания узла.

На протяжении десятилетий криптографическое сообщество опиралось на преобразование Фиата — Шамира как на надёжный инструмент для построения неинтерактивных доказательств. Эта техника позволила компьютерам "доказывать истину" без диалога, обеспечив безопасность блокчейнов, систем аутентификации и протоколов обмена ключами. Но что если сама логика этой схемы уязвима?

В новом исследовании международная группа криптографов — Рон Ротблум, Дмитрий Ховратович и Лев Суханов — вскрыла неожиданный изъян в фундаменте цифрового доверия.

Возьмём, к примеру, сложение. Одна из первых истин, которые мы усваиваем: 1 плюс 1 — это 2. Казалось бы, операция элементарная. Но даже она продолжает порождать у математиков вопросы без чётких ответов. Какие глубинные закономерности заложены в сложении? — до сих пор остаётся открытым. «Это фундаментальная операция, — отмечает Бенджамин Бедерт, аспирант Оксфорда, — и тем не менее в ней до сих пор много загадок».

В попытке разобраться в природе сложения, математики заодно пытаются установить его предельные границы. С начала XX века они изучают особый класс чисел — так называемые бессумные множества, в которых ни одна пара чисел не даёт в сумме третьего из этого же множества. К примеру, любое два нечётных числа в сумме дают чётное, значит, все нечётные образуют бессумное множество.

В 1965 году математик Пол Эрдёш задал на первый взгляд скромный вопрос: насколько часто встречаются такие бессумные множества? Ответ на него оказался крайне непростым — десятилетиями в решении этой задачи почти не наблюдалось прогресса.

Можно предположить, что трёхмерное пространство ведёт себя так же, как пространства более высоких размерностей. Добавление измерения лишь создаёт новое направление для движения, не меняя фундаментальных свойств пространства: его бесконечности и однородности. Однако каждое измерение обладает уникальным характером. Например, в размерностях 8 и 24 шары можно упаковать особенно плотно, в некоторых измерениях существуют «экзотические» сферы, которые кажутся смятыми, а в третьем измерении возможны узлы, которые в более высоких размерностях всегда можно развязать.

Почему всё, что мы знали о прочности яйца — оказалось ошибкой

Если вы когда-то участвовали в «яичном челлендже» — где нужно сбросить яйцо с высоты так, чтобы оно не разбилось — скорее всего, вы держали его вертикально. За острый конец. Почти все так делают. Почему? Потому что считается, что в этой ориентации яйцо прочнее. Так говорят учителя, блогеры, популярные научные журналы. Мол, купольная форма, как у соборов или арок, отлично держит вертикальные нагрузки. Звучит логично.

Но оказалось, что это неправда. И не просто немного — а принципиально.

Математик Деннис Гайцгори из Института математики Макса Планка в Бонне, Германия, получил престижную премию «Прорыв» в области математики в размере 3 миллионов долларов за доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — одной из самых сложных математических проблем современности. Эта гипотеза является важной частью того, что математик Эдвард Франкель назвал «великой объединённой теорией математики», призванной связать разрозненные математические области.

Во многих уголках мира, где искусственный интеллект стал реальностью, существует мнение, что к моменту окончания школы моими детьми мы будем существовать в условиях роскошного, полностью автоматизированного космического коммунизма. Автоматизация затронет не только отдельные задачи, но и целые профессии – как существующие, так и те, о которых мы только можем помыслить. «Целые дата-центры, заполненные нобелевскими лауреатами» – так выразился Дарио Амодей, один из основателей Anthropic.

В истории вычислительной техники существует замечательная и часто упускаемая из виду глава: разработка аналоговых водяных компьютеров в Советском Союзе. Среди этих инноваций гидравлический интегратор Владимира Сергеевича Лукьянова представляет собой пионерское достижение, которое опередило сложные математические расчеты почти на полвека. Благодаря этой чудо-машине был построен БАМ, Саратовская ГЭС и огромное количество других масштабных проектов.

Чемпионат мира по фигурному катанию 1995 года в Бирмингеме стал не просто спортивным событием, а настоящей математической загадкой. Четыре фигуристки, три программы и одна система подсчёта очков, которая нарушила все ожидания. Когда Мишель Кван заняла третье место в произвольной программе, это неожиданно изменило судьбу подиума: Сурия Бонали, которая уже завершила свои выступления, оказалась на втором месте, обойдя Николь Бобек. Но самое удивительное — Бонали отказалась подниматься на пьедестал, считая, что серебро ей не принадлежит. Как математика перевернула итоги соревнований? Почему система ранжирования нарушила принцип независимости от посторонних альтернатив? И как этот случай навсегда изменил фигурное катание? Погрузитесь в историю, где лёд, слёзы и теорема Эрроу слились воедино, создав один из самых парадоксальных моментов в истории спорта.

Представьте карандаш на столе. Задача: повернуть его так, чтобы он указал в каждом возможном направлении ровно один раз, минимально соприкасаясь со столом. Можно вращать карандаш круговым движением вокруг середины, но существуют более эффективные способы.

По словам Джонатана Хикмана из Эдинбургского университета, эта проблема, хоть и кажется простой задачей о пересечении прямых, содержит удивительное богатство связей с другими математическими задачами.

Математики полвека искали оптимальное решение для трехмерной версии этой задачи: как направить карандаш во все стороны в пространстве, минимизируя объем, через который он проходит. Эта проблема не поддавалась решению даже выдающимся математикам и связана со многими нерешенными вопросами.

В 1694 году в Кембриджском университете Исаак Ньютон и астроном Дэвид Грегори завели разговор о природе звёзд. В ходе беседы они наткнулись на математическую загадку, которая оставалась нерешённой на протяжении веков. Детали их обсуждения сохранились плохо и, возможно, частично вымышлены, но суть сводилась к тому, как звёзды разного размера вращаются вокруг центрального светила. Этот разговор вдохновил на более общий вопрос: если есть центральная сфера, сколько одинаковых сфер можно разместить вокруг неё так, чтобы они касались её, но не пересекались друг с другом?

В трёхмерном пространстве легко расположить 12 сфер вокруг центральной, каждая из которых будет касаться её в одной точке. Однако при таком расположении между сферами остаются зазоры. Возникает вопрос: можно ли добавить 13-ю сферу, чтобы она тоже касалась центральной? Грегори считал, что это возможно, а Ньютон был уверен, что нет.

Эта задача, известная как проблема «поцелуев» (отсылка к касанию шаров, как в бильярде), оказалась важной для многих областей, включая изучение атомных структур и создание кодов с исправлением ошибок. Однако её решение было крайне сложным. Лишь в 1952 году математики смогли доказать, что Ньютон был прав: в трёхмерном пространстве максимальное число сфер, которые могут касаться центральной, равно 12.

Калькулятор должен показывать результат математического выражения, которое вы ввели, и это намного, намного сложнее, чем кажется. То, что я собираюсь вам рассказать, — это величайшая история о разработке приложения-калькулятора. Взгляните на калькулятор iOS. Что-нибудь заметили? Он показывает неверный результат. (10^100) + 1 − (10^100) равно 0, а не 1. В Android всё правильно. И история о том, как это произошло, совершенно безумна.

Почему даже самые передовые языковые модели, такие как GPT-4, справляются с умножением четырёхзначных чисел только в 4% случаев и дают правильный ответ в сложной головоломке лишь в 10% случаев? Исследования показывают, что трансформеры сталкиваются с фундаментальными математическими ограничениями. Учёные ищут способы расширить их возможности — от встроенной позиции чисел до подсказок цепочки мыслей.

Изобретатель Джо Вудленд нарисовал первый штрихкод на песке в Майами-Бич за несколько десятилетий до того, как технологии позволили воплотить его идею в жизнь

В разведке, где информация является ключевым фактором успеха, важнейшей задачей всегда была оценка потенциала и возможностей противника. Традиционные методы, основанные на сборе информации от шпионов, анализе открытых источников и допросах пленных, зачастую оказывались неэффективными, предоставляя неполные, неточные и противоречивые данные.Во время Второй мировой войны перед Союзниками встала острая необходимость определить реальные масштабы производства военной техники в нацистской Германии.

Решением этой проблемы стал нетрадиционный подход, основанный на применении статистического анализа к, казалось бы, незначительным деталям — маркировке на захваченном немецком оборудовании. Этот метод, известный как «Германская танковая проблема», позволил получить удивительно точные оценки производства немецких танков, превосходящие по точности данные, полученные традиционной разведкой. История германской танковой проблемы демонстрирует, как статистические методы способны превратить, казалось бы, хаотичную информацию в ценные разведывательные данные, играя решающую роль в стратегическом планировании и ведении боевых действий. Однако, статистическим анализом производства танков всё не ограничивалось.

Осенью 2021 года Малорс Эспиноза решил создать особенную математическую задачу. Она должна была быть достаточно сложной, чтобы стимулировать размышления и вызывать интерес к её решению, но при этом оставаться доступной для старшеклассников. Малорс, будучи аспирантом по математике в Университете Торонто, столкнулся с этим дополнительным вызовом.

В течение нескольких лет он организовывал летние семинары для местных школьников, знакомя их с основами математических исследований и обучая писать доказательства. Некоторые ученики проявляли интерес к более глубокому пониманию математики — к задачам, где нет очевидного ответа. Им требовался правильный вопрос, чтобы направить их интерес.

Такой вопрос Малорс нашёл, изучая учебник по теории хаоса. Там он наткнулся на знакомый объект — фрактал под названием «губка Менгера». Этот самоподобный объект строится по простому, но изящному принципу: сначала куб делится на части, подобные кубику Рубика. Затем удаляется центральный куб и центральные части каждой из шести граней. Этот процесс повторяется для оставшихся кубов снова и снова. С каждой итерацией структура становится всё более пористой, что и делает её похожей на губку.

Данные часто бывают неполными. В клинических испытаниях пациенты могут выбывать, респонденты пропускать вопросы в опросах, а школы и правительства — скрывать определённые результаты. Когда отсутствуют данные, стандартные статистические методы, такие как вычисление средних, становятся неэффективными.

В изучении Вселенной ученые часто обращаются к ее самым экстремальным проявлениям, стремясь раскрыть фундаментальные законы природы. Черные дыры, одни из самых загадочных объектов во Вселенной, уже десятилетиями служат инструментом для исследования границ наших представлений о гравитации, пространстве и времени. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, внутри черной дыры материя сжата настолько плотно, что ничто не может покинуть ее пределы.

Однако даже среди черных дыр существуют экстремальные случаи. Экстремальные черные дыры — это особый класс объектов, достигающих максимально возможного заряда или скорости вращения для своей массы. Их уникальное свойство заключается в том, что их поверхностная гравитация на горизонте событий равна нулю. Это означает, что объекты на поверхности такой черной дыры не испытывают гравитационного притяжения, но малейший импульс в направлении центра приведет к их падению внутрь.