There are a lot of different articles on Kalman filter, but it is difficult to find the one which contains an explanation, where all filtering formulas come from. I think that without understanding of that this science becomes completely non understandable. In this article I will try to explain everything in a simple way.

Kalman filter is very powerful tool for filtering of different kinds of data. The main idea behind this that one should use an information about the physical process. For example, if you are filtering data from a car’s speedometer then its inertia give you a right to treat a big speed deviation as a measuring error. Kalman filter is also interesting by the fact that in some way it is the best filter. We will discuss precisely what does it mean. In the end of the article I will show how it is possible to simplify the formulas.

Сегодня православная пасха. В этом году получилась разница в пять недель с католической. А вы никогда не задумывались, почему эта разница варьируется из года в год, а иногда даже обе пасхи совпадают? Если в двух словах, то ответ такой:
пасха во всех христианских церквях празднуется в первое воскресенье после первого полнолуния после дня равноденствия.
И самое интересное, дни равноденствия и полнолуния церковь считает по канонизированным таблицам, а не по реальным астрономическим наблюдениям. У католической церкви таблицы достаточно точны и до сих пор дают правильные результаты, потому что они в 1582 году перешли с юлианского календаря на более точный григорианский. Православная церковь так и не перешла на григорианский и до сих пор живет по юлианскому календарю, который на 13 дней сдвинут и дальше будет сдвигаться на 3 дня за 400 лет. Более того, церковь, чтобы определить, есть ли полнолуние на небе, не смотрит на небо, а смотрит в канонизированные таблицы. Они еще нормально работают у католической церкви, а у православной ошибаются на день примерно за 310 лет и уже накопили достаточно большую ошибку. Вот собственно и вся причина, почему пасхи попадают в разные дни. Для более глубокого понимания давайте разберемся во всех этих календарях.

Вольный перевод одного из ответов с mathoverflow. Ответ, в принципе, такой самодостаточный и интересный, что вполне может быть прочитан и без усвоения сути вопроса. Поэтому, если по каким-либо причинам вы застопорились на прочтении вопроса, я вам советую перейти сразу к ответу.

Вопрос

Иногда в жизни бывают ситуации, которые описываются предложениями типа: «я знаю, что ты знаешь, что я знаю… что-то». Представьте себе, что вы испекли вишневый пирог и положили его остывать на подоконнике, а я потом втихаря его съел. Приведем список все более и более сложных предложений, которые все ближе и ближе подводят нас к полному знанию о происходящем. Например,

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; но вы не знаете, что я знаю». В таком случае, если я съем пирог, то об этом скорее всего никто и не узнает.

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; но я не знаю, что вы знаете, что я знаю». Если я съем пирог, то это может привести к довольно к щекотливой ситуации для меня.

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; я знаю, что вы знаете, что я знаю; но вы не знаете, что я знаю. что вы знаете, что я знаю». В таком случае после того как я съем пирог у меня останется надежда вывернуть ситуацию так, что вы не узнаете о моем преступлении.
…

Для маленьких значений , я еще могу вообразить, как при переходе от предложения к действительно меняется суть происходящего. Но я совершенно не могу вообразить, как, скажем, переход от к может повлиять на мою стратегию действий после того, как я съем пирог.

Есть ли какие-либо ситуации в жизни, будь-то реальные или искусственные, где переход от к для больших значений может реально повлиять на стратегию действий? А что насчет ? Как такие ситуации моделируются в математике?

Существует класс задачек, которые в основном передаются из уст в уста, можно сказать входят в математический фольклор. Иногда встречаются задачи с очень красивыми решениями. Ты смотришь на решение, вроде понимаешь каждый шаг в рассуждениях, но чувствуешь себя как будто обманутым. Ты все понимаешь и одновременно ничего не понимаешь. Аналогию, наверное, можно провести, например, с этой оптической иллюзией:

Тут видишь то большой куб с выпиленным куском, то маленький кубик, стоящий в углу.

В этом посте я собрал некоторые мои любимые задачи, решения которых, как мне кажется, вызывают этот неуловимый дуализм чувств: «понимаю — не понимаю».

В интернете, в том числе и на хабре, можно найти много информации про фильтр Калмана. Но тяжело найти легкоперевариваемый вывод самих формул. Без вывода вся эта наука воспринимается как некое шаманство, формулы выглядят как безликий набор символов, а главное, многие простые утверждения, лежащие на поверхности теории, оказываются за пределами понимания. Целью этой статьи будет рассказать об этом фильтре на как можно более доступном языке.
Фильтр Калмана — это мощнейший инструмент фильтрации данных. Основной его принцип состоит в том, что при фильтрации используется информация о физике самого явления. Скажем, если вы фильтруете данные со спидометра машины, то инерционность машины дает вам право воспринимать слишком быстрые скачки скорости как ошибку измерения. Фильтр Калмана интересен тем, что в каком-то смысле, это самый лучший фильтр. Подробнее обсудим ниже, что конкретно означают слова «самый лучший». В конце статьи я покажу, что во многих случаях формулы можно до такой степени упростить, что от них почти ничего и не останется.

В этом посте я расскажу про программу, которая подделывает любую подпись при помощи шарнирного механизма. Программа основана на теореме Кемпе, доказанной в середине 19-го века.