Мне кажется, если связывать геометрическую алгебру напрямую с дифференциальной геометрией, как сделал Хестенес - становится только сложнее для восприятия.
Почему она такая - понятно. Это мера некоммутативности производных, которая показывает, насколько отличается результат перехода из точки А в точку В, если его делать по разным путям. Если вы захотите попробовать определить кривизну на сфере, как раз оно и получится. Кривизна — это буквально то, что остается, когда вы вычитаете результат дифференцирования в одном порядке из результата дифференцирования в другом.
В искривленном пространстве результат последовательного дифференцирования (или малого перемещения) по двум разным направлениям зависит от порядка этих действий.
Геометрический смысл - например, положите шарик на пленку, он ее прогибает, появляется как раз ровно эта величина на поверхности пленки.
Ну самая простая модель такая. Есть пространство-время, в нем в каждой точке "живет" мультивектор. Динамика и взаимодействие мультивекторов описываются дифференциальными уравнениями самого простого вида, который только можно написать. ОТО сюда добавляет, что пространство не плоское, а определяется похожим полем, в каждой точке которого "живет" мультивектор кривизны.
В принципе, ведь все современные теории поля так и строятся, просто там вместо мультивекторов тензоры и квантовые операторы (которые получаются квантованием этих самых тензоров).
Тут просто парадигма немного сдвигается, тензоры заменяем мультивекторами.
Частицы же появляются с привлечением квантовой теории, проквантованный тензор в каждой точке становится оператором, который описывает некие "колебания". Частицы соответствуют модам этих "колебаний".
В принципе, теория струн вот примерно точно также устроена, просто колеблется там не абстрактная точка с мультивектором, а одномерная струна.
Правила умножения другие. Практически полезно пока что всё, что работает либо с 3D, либо с пространством Минковского (1+3). Но этот матаппарат может описывать геометрию и физику в пространстве любой размерности (и с любой сигнатурой).
Также он может описывать движение по поверхностям квадратичных форм в пространстве любой размерности (например, легко складывать дуги на сфере).
Еще у него есть использования в проективной геометрии и конформной геометрии. Проективная геометрия позволяет моделировать разные преобразования пространства, сохраняющие длины (отражения от произвольных прямых и плоскостей, например, повороты). Конформная геометрия с помощью геометрической алгебры позволяет моделировать кучу графических примитивов.
При этом для проективной геометрии нужно повышать размерность на 1 (вводить дополнительный базисный вектор), а для конформной - на 2.
Насчет отличия. У кватерниона все три новых элемента в квадрате дают минус единицу. У меня тут базисные векторы в квадрате дают плюс единицу, а бивекторы в квадрате дают минус единицу. Отсюда и различия в формулах.
Кватернион получается из мультивекторов, которые являются суммой скаляра и бивектора в трехмерном пространстве. В алгебре Клиффорда такие комбинации называются роторами.
Мультивектор в общем виде - более сложная конструкция, чем кватернион.
Насчет октонионов не думал, но они там точно тоже где-то есть.
Есть матричные представления алгебр Клиффорда, и оказывается, что они эквивалентны всяким комбинациям пространств вещественных чисел, комплексных и кватернионов. Октонионы там не нужны, но в АК точно есть подпространства, которые им соответствуют.
Вот скриншот из курса лекций Широкова по алгебрам Клиффорда.
Спасибо за вопрос! Я сейчас добавлю это в соседнюю статью, про сложение и умножение.
Для этого нужно перемножить каждый из 4 -х членов на каждый из 4-х членов и сгруппировать результат по базисным элементам .
После выполнения всех 16 умножений и группировки получаем:
где коэффициенты равны:
Скалярная часть (ранг 0), S:
Векторная часть (ранг 1), :
Бивекторная часть (ранг 2), :
Скалярное произведение тут равно скалярной части
Внутреннее произведение также равно скалярному произведению, так как эти два мультивектора имеют одинаковый ранг, а значит наименьший ранг слагаемого в геометрическом произведении равен 0.
Внешнее произведение - это тут самое сложное и неочевидное, наверное. Чтобы его посчитать, нужно раскрыть скобки и каждое из 16 внешних произведений посчитать отдельно, а потом всё сложить, и сгруппировать. Получается
Скалярная часть (ранг 0):
Векторная часть (ранг 1):
Бивекторная часть (ранг 2):
Если записывать в той нотации, что у вас, то выходит
Отдельный очень важный момент, который не был указан в статье - внешнее произведение скаляров просто равно произведению этих скаляров.
Обратите внимание на то, что написанные формулы выше можно еще переписать через обычные скалярные и векторные произведения векторов. Тут их получается очень много.
Здесь вывод очень естественный. А через принцип наименьшего действия притянут за уши, потому что каждый раз действие нужно угадать из уравнений, которые уже открыты экспериментально. В моем подходе ничего угадывать не надо. Я просто пишу геометрические соотношения от простых к сложным, и обнаруживаю, что это всё в физике уже есть.
То есть фундаментальная физика оказывается не более чем геометрией.
По ОТО сейчас дописал Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр . Через геометрическую алгебру ее вывод совершенно элементарный и становится прозрачным геометрический смысл - это простейшая бивекторная теория динамической геометрии, в которой при переходе от одной точки к другой базис в пространстве Минковского плавно поворачивается. При этом новая формулировка оказывается во много раз проще тензорной, хотя и эквивалентна ей.
Сравните с тем, насколько сложно ОТО выводится у Ландау.
Это эквивалентно тому, что в статье у Хестенеса есть, но намного проще, так как я не стал опираться на обозначения Эйнштейна и тензоры в дифференциальной геометрии.
2. Когда рассматривают криволинейные геометрии, то обычно рассматривают дифференцируемые функции. Это означает, что в каждой точке касательную гиперплоскость можно провести. Отсюда естественность использования евклидовых плоскостей.
В МГУ, например, есть один математик, который всю жизнь занимается степенной геометрией - обобщением математического анализа, в котором вместо дифференцируемых функций степенные (например, квадратный корень из х не дифференцируемый в точке 0).
Интересно. Но тогда, если вместо F писать что-то более сложное, чем бивектор, то эти уравнения будут давать что-то иное.
Я тут про те обобщения, про которые написал в самом конце статьи. Пара коммутатор + антикоммутатор выглядит интереснее, так как это полная система из двух уравнений.
А какие другие определения внутреннего произведения вы видели?
Насколько я понимаю, никаких других не эквивалентных этому нет.
Насчет "плохо определено" - мое определение дает возможность правильно и единственным образом посчитать в любом случае, оно максимально общее.
"Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при размерностях пространства, которые при делении на 4 дают остатки 2 и 3, а в алгебре Клиффорда вида получается ровно наоборот. "
На самом деле моим подходом можно всю стандартную модель физики элементарных частиц получить очень коротким путем. Есть изоспиновое пространство и цветовое. Если я просто тем же самым способом напишу такое же простейшее уравнение поля в них, записав изоспиновый мультивектор и цветной, то получу формулы для слабого взаимодействия и сильного. Но пока туда не суюсь, эти вещи знаю очень поверхностно.
На вариационный принцип можно смотреть как на эквивалентность дифференциальных уравнений и задач минимизации специально подобранных функционалов. Если я сразу получаю верные диффуры, зачем мне функционалы?
Тем более что все эти функционалы Ландау подбирает путем угадывания по принципу - давайте угадаем такой функционал, чтобы вывести из него известное.
Смотреть на вариационный принцип как на следствие, а не на изначальный постулат - ну ничего революционного тут нет. Это скорее Ландау и Фейнман (со свои интегралом по путям) сделали революцию, когда стали всё сводить к принципу наименьшего действия. Я же тут просто вернулся к более простому классическому подходу.
С теоремой Нетер тут пока никак не соотносится, чтобы ее применять - нужно переписать мои уравнения через лагранжианы, что сделать можно. Только тогда будут лагранжианы с мультивекторами - не пробовал писать, но в принципе это получится всё совершенно аналогично тому, как используется в теореме Нетер у Ландау.
Вообще претензию автора вопроса можно к самому Ландау адресовать. Ведь он делает ровно то же самое - переписывает уже известные уравнения в других обозначениях.
До Ландау (и во многих западных курсах того времени) физику преподавали как набор разрозненных дисциплин: механика со своими законами Ньютона, электродинамика с уравнениями Максвелла, термодинамика со своими началами. Каждый раздел начинался как бы "с нуля", со своих собственных постулатов.
А у меня другая концепция - хочу всё переписать геометрической алгеброй.
Разница пока что в том, что мой способ проще и гораздо короче. Кроме того, у Ландау не получилось сделать так, чтобы его принцип объединял физику. Потому что физика определяется не принципом, а самой формой действия. Подставляешь туда разные действия - получаешь совершенно разные разделы физики, мало общего.
В моем случае единства больше, любой раздел физики - это динамика мультивекторов.
У Ландау получалось, что там в разных разделах разная математика нужна. А я опираюсь на Хестенеса, который объединил все эти разделы математики в один единственный.
Ну это не новая математика - четверть века назад Хестенес всё доработал до полноценного матаппарата всей матфизики (на рисунке общая схема всей математики, которую он описал через геометрическую алгебру и соединил в один единственный математический аппарат), а то, что я тут использую, было сделано еще Клиффордом в 19-м веке (только уравнения теории поля он не получал). Но я тут занимаюсь переписыванием известных вещей.
А Хестенес сам занимался много попытками получать что-то новое. Например, он построил собственную интерпретацию квантовой механики, которая сейчас набирает популярность. На русском материалов практически нет, гуглить zbw interpretation.
То есть я построил просто простейшую бивекторную теорию поля из всех возможных в пространстве Минковского и она совпала с электромагнетизмом.
Отдельный вопрос - почему бивекторную.
Если написать скалярный аналог, то будет ньютоновская гравитация просто. А если написать векторную, то будет та же самая электродинамика 4-векторного потенциала, из которой Ландау выводит электромагнетизм. И проблема с этой динамикой в том, что 4-векторный потенциал является ненаблюдаемой величиной. Зачем писать уравнения на то. что наблюдать невозможно?
Кстати говоря, можно сделать элементарный вывод моей бивекторной теории из векторной. Если скалярно умножить вектор поля на набла, то получатся калибровочные уравнения. Если векторное - то получится та бивекторная теория, что я тут изложил.
То есть рассмотрение векторной теории отдельно сразу даст за 3 строчки содержимое еще нескольких параграфов из Ландау-Лифшица. Но она не нужна, так как векторный потенциал при моем подходе вообще нигде не нужен для описания наблюдаемых величин.
Простота моего подхода по сравнению с Ландау достигается за счет трех вещей
1) я вообще не использую принцип наименьшего действия
2) я не использую никаких калибровочных полей, мне не нужен векторный потенциал (да и скалярный тоже), все используемые в уравнениях величины физически наблюдаемые
3) у меня нет привязки к конкретной системе координат, это упрощает
За вопрос в общем спасибо, он позволяет обратить внимание на важные вещи.
Мне кажется, если связывать геометрическую алгебру напрямую с дифференциальной геометрией, как сделал Хестенес - становится только сложнее для восприятия.
Почему она такая - понятно. Это мера некоммутативности производных, которая показывает, насколько отличается результат перехода из точки А в точку В, если его делать по разным путям. Если вы захотите попробовать определить кривизну на сфере, как раз оно и получится. Кривизна — это буквально то, что остается, когда вы вычитаете результат дифференцирования в одном порядке из результата дифференцирования в другом.
В искривленном пространстве результат последовательного дифференцирования (или малого перемещения) по двум разным направлениям зависит от порядка этих действий.
Геометрический смысл - например, положите шарик на пленку, он ее прогибает, появляется как раз ровно эта величина на поверхности пленки.
Ну самая простая модель такая. Есть пространство-время, в нем в каждой точке "живет" мультивектор. Динамика и взаимодействие мультивекторов описываются дифференциальными уравнениями самого простого вида, который только можно написать. ОТО сюда добавляет, что пространство не плоское, а определяется похожим полем, в каждой точке которого "живет" мультивектор кривизны.
В принципе, ведь все современные теории поля так и строятся, просто там вместо мультивекторов тензоры и квантовые операторы (которые получаются квантованием этих самых тензоров).
Тут просто парадигма немного сдвигается, тензоры заменяем мультивекторами.
Частицы же появляются с привлечением квантовой теории, проквантованный тензор в каждой точке становится оператором, который описывает некие "колебания". Частицы соответствуют модам этих "колебаний".
В принципе, теория струн вот примерно точно также устроена, просто колеблется там не абстрактная точка с мультивектором, а одномерная струна.
Правила умножения другие. Практически полезно пока что всё, что работает либо с 3D, либо с пространством Минковского (1+3). Но этот матаппарат может описывать геометрию и физику в пространстве любой размерности (и с любой сигнатурой).
Также он может описывать движение по поверхностям квадратичных форм в пространстве любой размерности (например, легко складывать дуги на сфере).
Еще у него есть использования в проективной геометрии и конформной геометрии. Проективная геометрия позволяет моделировать разные преобразования пространства, сохраняющие длины (отражения от произвольных прямых и плоскостей, например, повороты). Конформная геометрия с помощью геометрической алгебры позволяет моделировать кучу графических примитивов.
При этом для проективной геометрии нужно повышать размерность на 1 (вводить дополнительный базисный вектор), а для конформной - на 2.
Вот тут это реализовано BiVector.net: Geometric Algebra Resources в коде.
Насчет отличия. У кватерниона все три новых элемента в квадрате дают минус единицу. У меня тут базисные векторы в квадрате дают плюс единицу, а бивекторы в квадрате дают минус единицу. Отсюда и различия в формулах.
Проще говоря, кватернион это вот это
Кватернион получается из мультивекторов, которые являются суммой скаляра и бивектора в трехмерном пространстве. В алгебре Клиффорда такие комбинации называются роторами.
Мультивектор в общем виде - более сложная конструкция, чем кватернион.
Насчет октонионов не думал, но они там точно тоже где-то есть.
Есть матричные представления алгебр Клиффорда, и оказывается, что они эквивалентны всяким комбинациям пространств вещественных чисел, комплексных и кватернионов. Октонионы там не нужны, но в АК точно есть подпространства, которые им соответствуют.
Вот скриншот из курса лекций Широкова по алгебрам Клиффорда.
Вот в эту статью дописал определения Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры / Хабр
Спасибо за вопрос! Я сейчас добавлю это в соседнюю статью, про сложение и умножение.
на каждый из 4-х членов 
и сгруппировать результат по базисным элементам 
.
Для этого нужно перемножить каждый из 4 -х членов
После выполнения всех 16 умножений и группировки получаем:
где коэффициенты равны:
Скалярная часть (ранг 0), S:
Векторная часть (ранг 1),
:
Бивекторная часть (ранг 2),
:
Скалярное произведение тут равно скалярной части
Внутреннее произведение также равно скалярному произведению, так как эти два мультивектора имеют одинаковый ранг, а значит наименьший ранг слагаемого в геометрическом произведении равен 0.
Внешнее произведение - это тут самое сложное и неочевидное, наверное. Чтобы его посчитать, нужно раскрыть скобки и каждое из 16 внешних произведений посчитать отдельно, а потом всё сложить, и сгруппировать. Получается
Скалярная часть (ранг 0):
Векторная часть (ранг 1):
Бивекторная часть (ранг 2):
Если записывать в той нотации, что у вас, то выходит
Отдельный очень важный момент, который не был указан в статье - внешнее произведение скаляров просто равно произведению этих скаляров.
Обратите внимание на то, что написанные формулы выше можно еще переписать через обычные скалярные и векторные произведения векторов. Тут их получается очень много.
Здесь вывод очень естественный. А через принцип наименьшего действия притянут за уши, потому что каждый раз действие нужно угадать из уравнений, которые уже открыты экспериментально. В моем подходе ничего угадывать не надо. Я просто пишу геометрические соотношения от простых к сложным, и обнаруживаю, что это всё в физике уже есть.
То есть фундаментальная физика оказывается не более чем геометрией.
По ОТО сейчас дописал Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр . Через геометрическую алгебру ее вывод совершенно элементарный и становится прозрачным геометрический смысл - это простейшая бивекторная теория динамической геометрии, в которой при переходе от одной точки к другой базис в пространстве Минковского плавно поворачивается. При этом новая формулировка оказывается во много раз проще тензорной, хотя и эквивалентна ей.
Сравните с тем, насколько сложно ОТО выводится у Ландау.
Сам Хестенес использует внутреннее и внешнее произведение вместо коммутаторов для таких случаев. Хотя это эквивалентно.
Я написал сейчас статью по элементарному выводу общей теории относительности.
Вывод ОТО в геометрической алгебре / Хабр
Это эквивалентно тому, что в статье у Хестенеса есть, но намного проще, так как я не стал опираться на обозначения Эйнштейна и тензоры в дифференциальной геометрии.
Тут есть 2 причины.
1. Это действительно когнитивная надстройка.
2. Когда рассматривают криволинейные геометрии, то обычно рассматривают дифференцируемые функции. Это означает, что в каждой точке касательную гиперплоскость можно провести. Отсюда естественность использования евклидовых плоскостей.
В МГУ, например, есть один математик, который всю жизнь занимается степенной геометрией - обобщением математического анализа, в котором вместо дифференцируемых функций степенные (например, квадратный корень из х не дифференцируемый в точке 0).
Вот его сайт Биография (Русский) — Bruno Alexander Dmitrievich
Но этот подход тоже сильно отсылает к евклидовым плоскостям.
Еще в настоящее время бурно развивающаяся научная область - это метод геометрической алгебры в термодинамике. Нашел вот такую таблицу
Но я в это пока не лезу. Еще вроде как в обычной термодинамике пользы мало от ГА.
Интересно. Но тогда, если вместо F писать что-то более сложное, чем бивектор, то эти уравнения будут давать что-то иное.
Я тут про те обобщения, про которые написал в самом конце статьи. Пара коммутатор + антикоммутатор выглядит интереснее, так как это полная система из двух уравнений.
А какие другие определения внутреннего произведения вы видели?
Насколько я понимаю, никаких других не эквивалентных этому нет.
Насчет "плохо определено" - мое определение дает возможность правильно и единственным образом посчитать в любом случае, оно максимально общее.
Подправил на это
получается ровно наоборот. "
"Интересно, что в алгебре Клиффорда с положительным квадратом всех базовых векторов псевдоскаляр в квадрате дает минус единицу при размерностях пространства, которые при делении на 4 дают остатки 2 и 3, а в алгебре Клиффорда вида
Так вроде верно.
А, точно! Спасибо за это уточнение, это правда так. Я тогда подчищу сейчас в статье.
На самом деле моим подходом можно всю стандартную модель физики элементарных частиц получить очень коротким путем. Есть изоспиновое пространство и цветовое. Если я просто тем же самым способом напишу такое же простейшее уравнение поля в них, записав изоспиновый мультивектор и цветной, то получу формулы для слабого взаимодействия и сильного. Но пока туда не суюсь, эти вещи знаю очень поверхностно.
На вариационный принцип можно смотреть как на эквивалентность дифференциальных уравнений и задач минимизации специально подобранных функционалов. Если я сразу получаю верные диффуры, зачем мне функционалы?
Тем более что все эти функционалы Ландау подбирает путем угадывания по принципу - давайте угадаем такой функционал, чтобы вывести из него известное.
Смотреть на вариационный принцип как на следствие, а не на изначальный постулат - ну ничего революционного тут нет. Это скорее Ландау и Фейнман (со свои интегралом по путям) сделали революцию, когда стали всё сводить к принципу наименьшего действия. Я же тут просто вернулся к более простому классическому подходу.
С теоремой Нетер тут пока никак не соотносится, чтобы ее применять - нужно переписать мои уравнения через лагранжианы, что сделать можно. Только тогда будут лагранжианы с мультивекторами - не пробовал писать, но в принципе это получится всё совершенно аналогично тому, как используется в теореме Нетер у Ландау.
Вообще претензию автора вопроса можно к самому Ландау адресовать. Ведь он делает ровно то же самое - переписывает уже известные уравнения в других обозначениях.
До Ландау (и во многих западных курсах того времени) физику преподавали как набор разрозненных дисциплин: механика со своими законами Ньютона, электродинамика с уравнениями Максвелла, термодинамика со своими началами. Каждый раздел начинался как бы "с нуля", со своих собственных постулатов.
А у меня другая концепция - хочу всё переписать геометрической алгеброй.
Разница пока что в том, что мой способ проще и гораздо короче. Кроме того, у Ландау не получилось сделать так, чтобы его принцип объединял физику. Потому что физика определяется не принципом, а самой формой действия. Подставляешь туда разные действия - получаешь совершенно разные разделы физики, мало общего.
В моем случае единства больше, любой раздел физики - это динамика мультивекторов.
У Ландау получалось, что там в разных разделах разная математика нужна. А я опираюсь на Хестенеса, который объединил все эти разделы математики в один единственный.
Ну это не новая математика - четверть века назад Хестенес всё доработал до полноценного матаппарата всей матфизики (на рисунке общая схема всей математики, которую он описал через геометрическую алгебру и соединил в один единственный математический аппарат), а то, что я тут использую, было сделано еще Клиффордом в 19-м веке (только уравнения теории поля он не получал). Но я тут занимаюсь переписыванием известных вещей.
А Хестенес сам занимался много попытками получать что-то новое. Например, он построил собственную интерпретацию квантовой механики, которая сейчас набирает популярность. На русском материалов практически нет, гуглить zbw interpretation.
То есть я построил просто простейшую бивекторную теорию поля из всех возможных в пространстве Минковского и она совпала с электромагнетизмом.
Отдельный вопрос - почему бивекторную.
Если написать скалярный аналог, то будет ньютоновская гравитация просто. А если написать векторную, то будет та же самая электродинамика 4-векторного потенциала, из которой Ландау выводит электромагнетизм. И проблема с этой динамикой в том, что 4-векторный потенциал является ненаблюдаемой величиной. Зачем писать уравнения на то. что наблюдать невозможно?
Кстати говоря, можно сделать элементарный вывод моей бивекторной теории из векторной. Если скалярно умножить вектор поля на набла, то получатся калибровочные уравнения. Если векторное - то получится та бивекторная теория, что я тут изложил.
То есть рассмотрение векторной теории отдельно сразу даст за 3 строчки содержимое еще нескольких параграфов из Ландау-Лифшица. Но она не нужна, так как векторный потенциал при моем подходе вообще нигде не нужен для описания наблюдаемых величин.
Простота моего подхода по сравнению с Ландау достигается за счет трех вещей
1) я вообще не использую принцип наименьшего действия
2) я не использую никаких калибровочных полей, мне не нужен векторный потенциал (да и скалярный тоже), все используемые в уравнениях величины физически наблюдаемые
3) у меня нет привязки к конкретной системе координат, это упрощает
За вопрос в общем спасибо, он позволяет обратить внимание на важные вещи.