Традиционный подход основан на использовании множества частных законов, установленных экспериментально. Эти законы просто постулируются, а потом обобщаются до общей формулировки, из которой следуют они все.
В Ландау-Лифшице сделано немного иначе - аксиоматически. Сразу постулируется действие в нужной форме, непонятно почему так написанное, дальше используется принцип наименьшего действия и из него получаются уже известные законы. Сложность его подхода в том, что он слишком абстрактный. Сразу же пишется векторный потенциал в действии:
При этом, вообще-то, векторный потенциал - штука физически не измеримая, в отличие от электрического и магнитного полей, которые измерить можно. Просто Ландау постулирует, что есть такое некое векторное принципиально физически неизмеримое поле, на него пишем действие вот в такой простейшей форме, дальше минимизируем, долго анализируем, смотрим что получилось и начинаем отождествлять с уже известной физикой.
Мой же тут подход геометрический. Пишу простейший бивекторный объект в пространстве-времени Минковского, беру от него градиент и приравниваю к источникам поля. Таким образом, основания вывода тут такие: электромагнетизм рассматривается как простейшая теория поля с бивекторами, которую можно в этом пространстве написать. Эти бивекторные объекты являются напрямую измеримыми величиными, неизмеримых они не содержат и в них не нуждаются (а у Ландау без физически неизмеримого 4-векторного потенциала совсем никуда, и очень многие технические сложности в его томе связаны именно с тем, чтобы потом отделять эти неизмеримые величины от измеримых, отсюда всякие калибровочные преобразования и тому подобное - мне же из этого вообще ничего не нужно для получения физических уравнений). Проще говоря, в моем подходе проблема калибровки, связанная с тем, что сначала ввели величины, которые физически не являются измеримыми, на них построили всю физику, а потом пытаются сложным образом из полученного вывести только то, что измерить можно, полностью отсутствует, так как никаких неизмеримых величин у меня тут нет.
В предыдущей статье я опирался на евклидовое пространство, там я брал просто мультивектор поля в самом общем виде и брал от него градиент.
В обоих случаях цель - написать простейшее из возможных геометрическое уравнение поля.
Если сравнивать с подходом у Ландау, то у него там сначала рассматривается действие от некоторой абстрактной функции, оно расписывается, минимизируется, затем полученные результаты отождествляются с 4-векторами. В моем случае вывод более естественный. Кроме того, вывод Ландау слишком сложный и привязан к конкретным координатам. У меня же вывод очень короткий, от размерности пространства и от выбора системы координат уравнения не зависят. Вот что там было в Ландау
И получает тензор
При этом от ввода действия до вывода этого тензора там тоже очень много непростых соображений и выкладок, тоже тесно привязанных к конкретным координатам.
Можно сказать, что мой вывод примерно в 100 раз короче, чем это сделано у Ландау.
Там на английском всё. Но гораздо больше помогает просто самостоятельно повыводить, так как в литературе по геометрической алгебре часто встречаются какие-то неточности.
Единый закон движения твердого тела, объединяющий и , выглядит так:
Здесь P - это обобщенный импульс (импульс + бивектор момента импульса).
Если его домножить на импульс, потом взять первообразную, то получим как раз сразу кучу законов сохранения, соответствующих тому, что в предыдущем сообщении я написал.
В книгах по теормеху на вывод и описания этих законов тратят много страниц. Отдельно расписывают подробно такие частичные компоненты, например, как сила Кориолиса. Некоторые из них опускаются и не приводятся из-за сложности изложения в обычных курсах теормеха, но присутствуют лишь в некоторых специализированных (например, по динамике машин, там тривекторные куски отсюда используются и имеют свои названия, или по теории гироскопов отдельно изучают эти эффекты).
А тут можно как бы сразу всё это получить, а потом остается всего лишь проинтерпретировать, картинку нарисовать. И вместо материала, который нигде не приведен весь в одном учебнике, а куски, которые приведены, занимают десятки и сотни страниц - дать в одном параграфе, в котором совсем немного формул и много иллюстраций с объяснением физического смысла происходящего.
Просто дело в том, что обычные векторы дают слишком сложный и неочевидный, порой избыточно длинный вывод вот этого всего, что тут легко получается.
Генератор поворота - бивектор, он включает в себя и угол (скаляр), и плоскость поворота. В геометрической алгебре момент силы и сила - это лишь компоненты одного мультивектора - динамы.
Кроме того, есть моторы - единые величины, состоящие из поворота и перемещения.
Произведение динамы на мотор описывает 4 вида физических эффектов сразу, в каждом из которых по 2 закона в обычном теормехе.
1. Скалярная часть включает в себя 2 закона - работа силы и работа момента силы
2. Векторная часть описывает гироскопические силы (трансляционная и прецессионная)
3. Бивекторная часть - изменение момента импульса за счет прямого действия момента силы + гироскопического эффекта (прецессия гироскопа)
4. Тривекторная часть - работа, совершаемая против сил реакции в связях. Называется также мерой некоаксиальности динамы и мотора
Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.
"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).
Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."
Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга
Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.
Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.
Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.
Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.
Традиционный подход основан на использовании множества частных законов, установленных экспериментально. Эти законы просто постулируются, а потом обобщаются до общей формулировки, из которой следуют они все.
В Ландау-Лифшице сделано немного иначе - аксиоматически. Сразу постулируется действие в нужной форме, непонятно почему так написанное, дальше используется принцип наименьшего действия и из него получаются уже известные законы. Сложность его подхода в том, что он слишком абстрактный. Сразу же пишется векторный потенциал в действии:
При этом, вообще-то, векторный потенциал - штука физически не измеримая, в отличие от электрического и магнитного полей, которые измерить можно. Просто Ландау постулирует, что есть такое некое векторное принципиально физически неизмеримое поле, на него пишем действие вот в такой простейшей форме, дальше минимизируем, долго анализируем, смотрим что получилось и начинаем отождествлять с уже известной физикой.
Мой же тут подход геометрический. Пишу простейший бивекторный объект в пространстве-времени Минковского, беру от него градиент и приравниваю к источникам поля. Таким образом, основания вывода тут такие: электромагнетизм рассматривается как простейшая теория поля с бивекторами, которую можно в этом пространстве написать. Эти бивекторные объекты являются напрямую измеримыми величиными, неизмеримых они не содержат и в них не нуждаются (а у Ландау без физически неизмеримого 4-векторного потенциала совсем никуда, и очень многие технические сложности в его томе связаны именно с тем, чтобы потом отделять эти неизмеримые величины от измеримых, отсюда всякие калибровочные преобразования и тому подобное - мне же из этого вообще ничего не нужно для получения физических уравнений). Проще говоря, в моем подходе проблема калибровки, связанная с тем, что сначала ввели величины, которые физически не являются измеримыми, на них построили всю физику, а потом пытаются сложным образом из полученного вывести только то, что измерить можно, полностью отсутствует, так как никаких неизмеримых величин у меня тут нет.
В предыдущей статье я опирался на евклидовое пространство, там я брал просто мультивектор поля в самом общем виде и брал от него градиент.
В обоих случаях цель - написать простейшее из возможных геометрическое уравнение поля.
Если сравнивать с подходом у Ландау, то у него там сначала рассматривается действие от некоторой абстрактной функции, оно расписывается, минимизируется, затем полученные результаты отождествляются с 4-векторами. В моем случае вывод более естественный. Кроме того, вывод Ландау слишком сложный и привязан к конкретным координатам. У меня же вывод очень короткий, от размерности пространства и от выбора системы координат уравнения не зависят. Вот что там было в Ландау
И получает тензор
При этом от ввода действия до вывода этого тензора там тоже очень много непростых соображений и выкладок, тоже тесно привязанных к конкретным координатам.
Можно сказать, что мой вывод примерно в 100 раз короче, чем это сделано у Ландау.
Там на английском всё. Но гораздо больше помогает просто самостоятельно повыводить, так как в литературе по геометрической алгебре часто встречаются какие-то неточности.
В первую очередь есть основополагающий труд Хестенеса https://www.academia.edu/26337319/New_Foundations_for_Classical_Mechanics_livro - тут можно скачать.
Еще можно у LLM спрашивать, но с ними надо осторожно, все выкладки вручную перепроверять - они иногда глючат.
Ну почему за уши? Это очень интересный подход, в контексте разбора смысла математических операций - интересный исторический пример.
Единый закон движения твердого тела, объединяющий
и 
, выглядит так:
Здесь P - это обобщенный импульс (импульс + бивектор момента импульса).
Если его домножить на импульс, потом взять первообразную, то получим как раз сразу кучу законов сохранения, соответствующих тому, что в предыдущем сообщении я написал.
В книгах по теормеху на вывод и описания этих законов тратят много страниц. Отдельно расписывают подробно такие частичные компоненты, например, как сила Кориолиса. Некоторые из них опускаются и не приводятся из-за сложности изложения в обычных курсах теормеха, но присутствуют лишь в некоторых специализированных (например, по динамике машин, там тривекторные куски отсюда используются и имеют свои названия, или по теории гироскопов отдельно изучают эти эффекты).
А тут можно как бы сразу всё это получить, а потом остается всего лишь проинтерпретировать, картинку нарисовать. И вместо материала, который нигде не приведен весь в одном учебнике, а куски, которые приведены, занимают десятки и сотни страниц - дать в одном параграфе, в котором совсем немного формул и много иллюстраций с объяснением физического смысла происходящего.
Просто дело в том, что обычные векторы дают слишком сложный и неочевидный, порой избыточно длинный вывод вот этого всего, что тут легко получается.
Генератор поворота - бивектор, он включает в себя и угол (скаляр), и плоскость поворота. В геометрической алгебре момент силы и сила - это лишь компоненты одного мультивектора - динамы.
Кроме того, есть моторы - единые величины, состоящие из поворота и перемещения.
Произведение динамы на мотор описывает 4 вида физических эффектов сразу, в каждом из которых по 2 закона в обычном теормехе.
1. Скалярная часть включает в себя 2 закона - работа силы и работа момента силы
2. Векторная часть описывает гироскопические силы (трансляционная и прецессионная)
3. Бивекторная часть - изменение момента импульса за счет прямого действия момента силы + гироскопического эффекта (прецессия гироскопа)
4. Тривекторная часть - работа, совершаемая против сил реакции в связях. Называется также мерой некоаксиальности динамы и мотора
Рассмотрение этого требует отдельной статьи.
Но похоже да, с размерностями там всё прекрасно.
Да, это хороший тезис, под полной формализацией теорией размерностей неплохо было бы иметь в виду именно это. Но как этого достичь?
Если вы определяете момент силы через работы, то так хорошо, радианы есть.
А если определять момент силы на плоскости просто как cross-product? Тогда это число, а не вектор, выходит. И с работой всё равно нельзя складывать
Впрочем, тут, возможно. и может помочь геометрическая алгебра, потому что момент силы является бивектором в любой размерности пространства.
Проще говоря, ну вот я даю объяснение, что значит два вектора геометрически умножить. Потом показываю, что такое бивектор, сначала на плоскости. Потом в 3D демонстрирую. Затем говорю, что это всё еще можно формально складывать. И далее можно показать, как можно этот аппарат работает. Получается алгебраическая игра с символами по простым правилам, причем каждому правилу соответствует легко иллюстрируемая операция. Вводить всякие абстрактные пространства, рассуждать о сигнатурах - это выглядит как-то слишком избыточно.
У меня там в книге всё намного медленнее объясняется, я несколько страниц описываю, что такое произведение двух векторов, с картинками.
Я могу кусок первой главы, всё равно это войдет в ознакомительный фрагмент. Напишите почту в личное сообщение мне, куда прислать.
Тут дело в том, что вываливать на человека сразу все определения и аксиомы, как принято в математической литературе - не очень хороший способ объяснять материал. А если пытаться постепенно объяснять - ну вот такие проблемы, как вы описали, могут появляться, если текст еще сыро написан.
Кроме того, хотя с геометрической алгеброй сопряжено много абстракций, вообще-то в своей основе это очень простой инструмент, основанный на простых алгебраических операциях, его изучить не сложнее школьной алгебры многочленов. Там на самом деле не нужно рассуждать вот про эти пространства, множества и так далее. У меня есть операции сложить и умножить, их геометрический смысл, а дальше работаем с этим и смотрим, что получается. То что вы пишете про сигнатуру операции, многомерные пространства - это всё слишком сложно, можно проще, для понимания происходящего можно ничего не знать из перечисленного.
На самом деле я благодарен за все эти вопросы, потому что сейчас пишу книгу по вычислительной математике и алгоритмам, там первые 3 главы про прикладную геометрическую алгебру, нужно написать максимально простым языком с минимумом формул, больше примеров и кода на Питоне. Поэтому нужно понять, как лучше изложить. Здесь же на Хабре принцип минимума формул не нужен, но хотя бы можно понять, какие проблемы могут быть у тех, кто будет читать текст.
Рукопись книги сдам к 1 февраля, выйдет в печать где-то весной.
Насчет стыковки ответ простой. Внутреннее произведение e1 на e2 равно нулю, поэтому внешнее произведение и геометрическое базисных векторов - одно и то же.
Так что догадались вы правильно.
Емкость конденсатора. В СГС его размерность - сантиметр. А в СИ будет
Хорошо, попробую. Спасибо за статью!
На фэйсбуке один знакомый физик-теоретик из США, который как раз занимается теорией поля и магнетизмом, написал, что скептически относится к этой затее с мультивекторами, потому что то же самое делают дифференциальные формы.
Ну то же самое может быть, однако формализм другой. Он прислал https://gemini.google.com/share/943fc676cffd
Написал он мне.
"Ваше скалярное уравнение (закон Гаусса) получается если взять 1-форму электрического поля, получить дуальную ей 2-форму с помощью оператора Ходжа, чья внешняя производная равна 3-форме плотности заряда. Применяем ещё раз оператор Ходжа и получаем 0-форму (то есть скаляр).
Те же действия производим с векторным уравнением (закон Ампера). Магнитное поле переделываем оператором Ходжа из 2-формы в 1-форму, чья внешняя производная есть 2-форма. Аналогично преобразуем эл. поле из 1-формы в 2-форму; её производная по времени есть 2-форма. Плотность тока с точки зрения 3-мерного пространства тоже есть 2-форма. Таким образом, закон Ампера есть уравнение для 2-форм. Применив к нему оператор Ходжа, получаем уравнение для 1-форм (то есть векторов)."
Еще он посоветовал книгу изучить, в которой через дифференциальные формы физика переписана
https://ia601409.us.archive.org/11/items/in.ernet.dli.2015.134154/2015.134154.Applied-Differential-Geometry.pdf
Число Пи появляется из разных задач, в том не требующих длин.
Радиан - да, хороший пример размерности нулевой степени. То есть с одной стороны это нулевая размерность, с другой - углы с числами бессмысленно складывать.
Точнее говоря, проблемы возникают, когда мы складываем размерные величины, которые были получены перед этим делениями и умножениями.
Ну формулы то в общем такие же
Дальше можно расписать, как действует на поля разного ранга
Но самое красивое то, что уравнения Максвелла являются в итоге волновым уравнением на мультивектор, которое выглядит абсолютно одинаково в любой размерности пространства и в любой системе отсчета.
Если так подходить, то можно формализовать просто как многочлен.
А тут направление не имеет значения, только длина.
Но я вообще планировал всё-таки чуть-чуть другой рисунок - все величины на сторонах угла, а не на третьих сторонах треугольников.
Насколько я понимаю, этот вопрос решен у теоретиков через многомерную дифференциальную геометрию. Тут я строю альтернативный подход - и, судя по комментариям на фэйсбуке от физиков-теоретиков, которые этим профессионально занимаются, он дает те же самые теории, но иным способом и в иной формулировке.
Да, правильно понимаете. Действие оператора набла полностью аналогично расписывается в символьной записи. Просто у вас базисные вектора теперь не e1, e2, e3, а e1, e2, .... , en. А вот матричные представления алгебры Клиффорда будут куда сложнее обычных матриц Паули.
Да, я в этой статье не расписал подробно про оператор набла в алгебре Клиффорда. И почему матричное представление именно такое, как написано. Надо отдельную статью про это написать и тогда сюда в эту статью вставлю ссылку.