Джоэл Хэмкинс: бесконечность, математическая реальность и теоремы Гёделя
Философия математики была бы гораздо проще, если бы не бесконечность. Само это понятие кажется вполне естественным, но стоит отнестись к нему всерьез, как мы сталкиваемся с парадоксальными результатами, противоречащими интуиции. Как отмечает в этой беседе математик и философ Джоэл Дэвид Хэмкинс, когда мы говорим, что натуральные числа - это «0, 1, 2, 3 и так далее», выражение «и так далее» остается безнадежно неопределенным. Мы обсуждаем различные подходы к осмыслению загадок бесконечности, возможные способы их разрешения и то, какие следствия все это имеет для математического реализма.
Джоэл Дэвид Хэмкинс получил степень PhD по математике в Калифорнийском университете в Беркли. В настоящее время он занимает должность профессора логики имени Джона кардинала О’Хары в Университете Нотр-Дам. Он один из основоположников идеи теоретико-множественной мультивселенной. По рейтингу репутации он занимает первое место среди пользователей MathOverflow. Сейчас он работает над книгой «Книга бесконечности» (The Book of Infinity), которая будет опубликована издательством MIT Press.
Вступление
Ведущий: Всем привет. Добро пожаловать на подкаст Mindscape. Я ваш ведущий, Шон Кэрролл. Математика всегда пользовалась репутацией самой точной, строгой, четко сформулированной и фундаментально обоснованной интеллектуальной дисциплины. У вас есть аксиомы, а затем на их основе вы доказываете утверждения со стопроцентной строгостью - по крайней мере, в идеале. Но начиная с XIX века стали происходить события, которые могли несколько поколебать веру в то, что математика способна быть абсолютно точной, ясной и понятной.
Одним из таких событий стало открытие неевклидовой геометрии. Евклид полагал, что разобрался с геометрией, и в целом считалось, что он ухватил нечто истинное. Вот она, геометрия. Но затем мы поняли, что можно выбирать разные аксиомы и получать разные виды геометрии - сферическую, гиперболическую и так далее. Впрочем, с этим еще можно было справиться.
Затем появился Кантор и показал, что бесконечность не просто является важным понятием, но и что существуют разные виды бесконечности. Есть бесконечность большего размера. Мощность множества вещественных чисел - континуума - больше мощности множества целых чисел, верно? Это многих потрясло. Людям такое не слишком нравилось. Многие вообще отрицали истинность этого результата, но все же речь по-прежнему шла о теоремах и их доказательствах. Поэтому вполне можно понять, чем руководствовался Давид Гильберт, знаменитый математик, когда в начале XX века предложил всерьез заняться программой аксиоматизации всей математики. Гильберт считал, что можно просто записать разумный набор аксиом, охватывающий всю математику. И тогда можно будет не только доказать все интересующие нас теоремы, но и доказать непротиворечивость самой системы. То есть получить полную и непротиворечивую систему, которая охватывала бы все, что мы хотим охватить.
Поэтому можно представить, насколько неприятным ударом для Гильберта стало то, что всего несколько лет спустя Курт Гёдель показал: в достаточно мощной формальной системе осуществить эту программу невозможно. Либо система каким-то образом оказывается противоречивой, либо всегда будут существовать истинные утверждения, которые в ней невозможно доказать. Утверждения, которые, по существу, говорят: «Я недоказуемо». Если вы их докажете, они окажутся ложными, а ваша система - противоречивой. Если же доказать их нельзя, то они истинны, но, разумеется, недоказуемы. Гильберт был этим расстроен. Ему такой результат не нравился. Но сегодня математики считают его одним из фундаментально важных результатов. Кроме того, он был тесно связан с целым рядом сходных результатов, полученных такими учеными, как Тарский, Тьюринг и другие. Все это не только открыло множество плодотворных направлений математических исследований, но и поставило глубокие вопросы философии математики. Что означает существование истинных утверждений, которые невозможно доказать? Что означает существование разных наборов аксиом, приводящих к разным выводам, и так далее? На самом деле это не так уж сильно отличается от происходящего в физике. Философия физики существовала всегда, но в ньютоновской картине мира казалось, что мы в основном уже во всем разобрались, верно? А затем, в XIX веке, появляется статистическая механика, и возникает некоторая неуверенность: откуда здесь вообще взялась вероятность? Ну а в XX веке, конечно, появляется квантовая механика, с осмыслением которой мы продолжаем бороться до сих пор. Поэтому и в философии физики сегодня существуют глубокие вопросы, на которые мы все еще пытаемся найти ответы.
Меня невероятно увлекают подобные вопросы философии математики. Надеюсь, вас тоже. Сам я с ними немного мучаюсь. Поэтому мы пригласили Джоэла Дэвида Хэмкинса, одного из ведущих мировых специалистов в этой области. По образованию он математик, но впоследствии перешел в философию и сейчас, формально говоря, является философом математики и логики в Университете Нотр-Дам. Он написал множество книг на эту тему и внес собственный оригинальный вклад в эту область. В философии математики он известен как один из главных сторонников концепции, называемой теоретико-множественной мультивселенной. Именно теоретико-множественной мультивселенной - это не та мультивселенная, о которой мы говорим в физике, и вообще не одна из физических концепций мультивселенной. Мы немного об этом поговорим. Кроме того, Джоэл очень активно занимается популяризацией этих идей. Он ведет социальные сети, у него есть блог на Substack, где он пишет о бесконечности и других подобных темах, а также выступает с публичными лекциями. Думаю, он именно тот человек, который поможет нам пробраться сквозь эти дебри по-настоящему сложных интеллектуальных вопросов. Итак, начнем.
Основной разговор
Ведущий: Джоэл Дэвид Хэмкинс, добро пожаловать на подкаст Mindscape.
Д. Хэмкинс: Очень рад быть здесь.
Ведущий: Я должен начать с одного предостережения - скорее для слушателей, чем для вас. Эта тема для меня довольно опасна. Когда я говорю с людьми о физике, я знаю, о чем говорю. Когда я говорю об экономике, я понятия не имею, о чем говорю, поэтому у меня нет каких-то твердых убеждений, из-за которых я мог бы попасть впросак. А вот философия математики - это как раз та область, где я знаю достаточно, чтобы быть совершенно неправым, но при этом иметь обо всем свое мнение. Так что я надеюсь, что вы сможете разобраться с некоторыми из моих нынешних заблуждений.
Д. Хэмкинс: Что ж, надеюсь. Многие люди придерживаются довольно твердых взглядов на философию математики. На мой взгляд, дискуссии в философии математики порой строятся так, будто мы рискуем совершить какую-то фундаментальную ошибку и в итоге оказаться неправы. Нам как бы указывают на опасность, в которую мы можем угодить, если у нас неверное представление о бесконечности, классической логике или чем-то подобном. Но есть и своего рода конкурирующая точка зрения: философия математики на самом деле должна помогать нам решать, какие направления математических исследований дают наиболее глубокое понимание и где мы способны узнать больше всего. Вопрос не в том, чтобы математически оказаться правыми или неправыми, а скорее в том, где мы сможем найти наиболее интересную математику. В частности, иногда философские взгляды на математику бывают насквозь пронизаны скептицизмом в отношении бесконечности или чего-то подобного. В ответ на такие позиции я обычно рассуждаю следующим образом: если альтернативный взгляд не дает мне более глубокого понимания рассматриваемых вопросов, если он сводится лишь к негативному скептицизму в духе «все мы здесь ошибаемся», но при этом не предлагает ничего конструктивного, то я не нахожу такую точку зрения особенно привлекательной. Я предпочел бы рассматривать множество различных философских концепций математики как своего рода подсказки относительно того, куда математике следует двигаться дальше. Исходя из этих разных перспектив, нам и следует продолжать исследования.
Ведущий: Но люди все-таки привязываются к своим взглядам. В одной из ваших книг вы упоминали, что Давид Гильберт был весьма раздосадован, когда Гёдель доказал невозможность осуществить некоторые из задач, которые Гильберт включил в свою программу развития математики.
Д. Хэмкинс: Да, это правда. Совершенно верно. Поразительно, конечно, чем все это в итоге обернулось. Но я думаю, что результаты Гёделя в этом отношении - вы, конечно, имеете в виду теоремы о неполноте и программу Гильберта - скорее говорят об обратном. Гильберт хотел решить проблему антиномий, возникшую в начале XX века: тех крайне тревожных противоречий, которые, казалось, обнаруживались в основополагающих теориях, таких как теория множеств, несмотря на всю их чрезвычайную привлекательность для Гильберта. И он, как известно, говорил: «Никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор», имея в виду основания математики, построенные на теории множеств. Он не хотел от них отказываться. Но противоречия, парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти и другие известные в то время антиномии вызывали серьезное беспокойство.
Поэтому Гильберт хотел раз и навсегда разрешить этот вопрос. Его идея состояла примерно в следующем: у нас есть эта сильная теория, но пока мы будем держать ее на некотором расстоянии. Из-за обнаруженных противоречий мы относимся к ней с определенной настороженностью, однако ожидаем, что она позволит ответить на все наши вопросы. Все эти вопросы должны разрешаться на основе данной сильной теории. Но при этом, чтобы обрести больше уверенности, мы хотим доказать ее непротиворечивость исключительно финитными средствами. Иными словами, в рамках слабой финитной теории Гильберт хотел доказать надежность сильной инфинитарной теории. На мой взгляд, это вполне разумная цель. Она совершенно понятна, если учитывать исторические обстоятельства, в которых находился Гильберт.
И конечно, как только мы пытаемся осмыслить, каким образом вообще можно доказать непротиворечивость теории, мы неизбежно приходим к философии формализма. Мы спрашиваем: а что в действительности происходит в инфинитарной теории? Когда люди используют инфинитарную теорию, им вовсе не обязательно действительно признавать существование бесконечных множеств и других объектов, постулируемых этой теорией. Вместо этого они просто записывают символы на бумаге, рассуждают в рамках теории, манипулируют этими символами, верно? А это уже своего рода финитный комбинаторный процесс. Поэтому можно было надеяться доказать в рамках финитной теории, что такой процесс надежен. Именно в этом и состояла стратегия Гильберта.
Но затем, конечно, Гёдель полностью разрушил всю эту картину, показав не только то, что финитная теория не может доказать непротиворечивость сильной инфинитарной теории, но и то, что она не может доказать даже собственную непротиворечивость - непротиворечивость самой финитной теории. Должно быть, для Гильберта это стало большим разочарованием.
Ведущий: Да. [смех] Отлично. Мы еще доберемся до всех этих вопросов, и это замечательно. Они по-прежнему остаются в центре внимания - это, так сказать, самые популярные вопросы философии математики. Но есть один такой вопрос, с которым лично я никак не могу разобраться: реализм, платонизм, антиреализм и все в таком духе. Время от времени у меня в гостях бывают номиналисты, иногда реалисты. Сам я склоняюсь к номинализму, но, насколько я понимаю, это ставит меня в довольно малочисленное меньшинство среди людей, которые всерьез размышляют над этими вопросами. Так какой же ответ правильный?
[смех]
Д. Хэмкинс: Правильный ответ. Понятно. В последнее время произошло одно очень интересное изменение, особенно в философии теории множеств, и оно напрямую связано с этими вопросами. Раньше в математике, и в частности в теории множеств, если вы говорили, что являетесь платонистом в отношении математики, это воспринималось как приверженность своего рода представлению о единственности. Не о сингулярности в физическом смысле…
Ведущий: Нет-нет, я понял. Все нормально. [смех]
Д. Хэмкинс: Я имею в виду, что существовала бы только одна вселенная. Платонизм - это взгляд, согласно которому математические объекты обладают реальным существованием и существуют в некоторой, возможно идеализированной, реальной сфере. Поэтому платонизм связан с реализмом, но вместе с ним подразумевалась и своего рода единственность: считалось, что математическая вселенная должна быть единственной. Мне кажется, в более современных дискуссиях по философии математики эта связь между платонизмом и единственностью платонической сферы была разорвана. И, на мой взгляд, это положительное изменение, потому что вполне можно одновременно быть реалистом и плюралистом. Например, можно считать, что существует несколько понятий множества, каждое из которых вполне пригодно в качестве основания математики, но при этом в них истинны несовместимые друг с другом утверждения. Поэтому мы по-прежнему можем занимать реалистическую позицию по отношению ко всем этим перспективам, даже оставаясь плюралистами. Поэтому теперь, как мне кажется, если вы говорите: «Я платонист», это уже не обязательно означает, что, по-вашему, у каждого математического вопроса есть единственный ответ. Можно одновременно быть и плюралистом, и платонистом. Если выразить это в терминах платонической сферы, вопрос звучит так: существует ли только одна платоническая сфера?
Ведущий: А, да.
Реализм и теоретико-множественная мультивселенная
Д. Хэмкинс: Ну а почему она должна быть только одна? Возможно, существует несколько таких сфер, и в одних имеются определенные виды математических объектов, которых нет в других, а в других платонических сферах присутствует уже иное сочетание объектов. По сути, именно такую картину мы сегодня видим в плюралистических основаниях теории множеств. Можно считать, что существует несколько непротиворечивых и в полной мере реальных понятий множества, каждое из которых порождает собственную теоретико-множественную вселенную со своими истинами. В некоторых из них выполняется континуум-гипотеза, а в других, возможно, нет. В некоторых существует множество больших кардиналов, а в других - нет. Тогда вы уже не считаете, что на каждый математический вопрос обязательно существует единственный однозначно определенный ответ. Ответ будет зависеть от того, в какой математической вселенной вы находитесь, но при этом все эти вселенные по-прежнему можно считать совершенно реальными в платоническом смысле. Получается нечто вроде множества платонических сфер.
Ведущий: И чтобы немного заинтриговать тех наших слушателей, которым интересна физика: они наверняка много слышали о космологической мультивселенной и многомировой интерпретации квантовой механики. А вы отстаиваете своего рода мультивселенную оснований математики.
Д. Хэмкинс: Именно. Мои первые статьи, в которых я начал рассуждать об этом, были посвящены тому, что я назвал «теоретико-множественной мультивселенной». И тогда я еще не понимал, какой опасности себя подвергаю.
Ведущий: Я мог бы вас предупредить.
Д. Хэмкинс: Мне стали приходить многочисленные письма от людей, которые проводили именно то сопоставление, о котором вы только что сказали. Но на самом деле, как мне кажется, между математическим плюрализмом, то есть представлением о теоретико-множественной мультивселенной, и концепциями мультивселенной в физике не так уж много общего. На мой взгляд, тесной связи между ними просто нет. Однако некоторое семейное сходство все же присутствует. В обоих случаях предполагается, что на самом фундаментальном уровне реальность имеет плюралистическую природу: существует множество согласованных между собой вселенных, которые как бы располагаются рядом друг с другом, существуют независимо друг от друга, накладываются друг на друга или как еще это можно описать выбранной вами метафорой. В этом отношении сходство действительно есть. Но какой-либо более глубокой математической связи между этими взглядами я не вижу.
Ведущий: Мой собственный, несколько наивный взгляд физика на математическую истину, как я выяснил, называют «if-then-измом», то есть подходом «если - то». Идея в том, что мы можем постулировать множество различных наборов аксиом, а затем доказывать теоремы на основе этих аксиом. Истинность теоремы тогда относительна к выбранным нами аксиомам, и нам не следует приписывать математическим результатам какую-то абсолютную истинность. Это звучит почти как то, о чем говорите вы, хотя, насколько я понимаю, ваша позиция гораздо более изощренная.
Д. Хэмкинс: Понятно. Термин «if-then-изм» часто употребляют в весьма пренебрежительном смысле.
Ведущий: Да, это так.
Д. Хэмкинс: Обычно он как раз и призван выразить пренебрежительное отношение к этой позиции. Думаю, один из способов обсудить этот вопрос связан с различием, на которое я стараюсь обращать внимание: спору между сильными и слабыми основаниями математики, на мой взгляд, уделяется недостаточно внимания в философии.
Ведущий: Хорошо.
Д. Хэмкинс: Позвольте объяснить, что я имею в виду.
Ведущий: Да.
Д. Хэмкинс: Похоже, математики инстинктивно стремятся ослаблять гипотезы теорем. Конечно, если у вас есть теорема, в которой из некоторых предположений выводится определенное заключение, то, ослабив эти предположения, вы получите более сильную теорему. Она будет применима к большему числу случаев и так далее. То есть можно либо ослабить предпосылки, либо усилить заключение теоремы - и в обоих случаях результат станет лучше. Поэтому, как мне кажется, существует своего рода инстинктивная склонность всегда предпочитать математический результат с более слабыми исходными предпосылками. И для этого есть очень веские причины, так что здесь все совершенно верно.
Но когда речь идет об основаниях математики, когда мы пытаемся определить фундаментальные принципы, лежащие в основе всех интересующих нас математических истин, то, следуя этой инстинктивной склонности к слабым основаниям, мы в итоге получим слабую теорию оснований. Именно это и означает такой подход. Но ведь теоремы со слабыми гипотезами нравятся нам потому, что они применимы в большем числе случаев. Поэтому, отдавая предпочтение слабым основаниям, вы тем самым как бы неявно допускаете существование множества альтернативных математических реальностей. Это связано с плюрализмом. Предпочтение слабых оснований фактически означает признание того, что, возможно, существует множество различных математических миров, в которых эти аксиомы истинны, тогда как более сильные аксиомы в некоторых из них уже могут быть ложными. Но можно несколько иначе понимать то, чем мы занимаемся, когда ищем основания математики. Возможно, наша настоящая цель - найти фундаментальные истины, фундаментальные математические истины, которые позволят нам доказывать теоремы и отвечать на интересующие нас математические вопросы.
И тогда, возможно, нам нужны очень сильные, но при этом истинные математические аксиомы. Нам нужны именно сильные аксиомы, потому что они способны дать нам целостную картину математической реальности. И это очень весомый аргумент.
Допустим, вы разрабатываете физическую теорию - ситуация здесь в некотором смысле аналогична. Вы хотите, чтобы ваша физическая теория давала ответы на множество вопросов о физических явлениях, которые вас озадачивают, верно? Но при этом вы хотите, чтобы теория оставалась истинной или, по крайней мере, не была опровергнута, фальсифицирована или как еще это назвать. Поэтому в физике предпочтение, возможно, склоняется в сторону сильных оснований. Вам нужна сильная теория, которая дает ответы на все вопросы, верно? И с математической точки зрения, как мне кажется, стремление к сильным основаниям тоже вполне разумно. Таким образом, возникает напряжение между слабыми и сильными основаниями. Слабые основания обычно обладают своего рода плюралистическим характером или, по крайней мере, тяготеют к плюрализму, тогда как сильные основания тяготеют к монистической позиции. Ведь если вы считаете, что существует лишь одна истинная математическая реальность, в которой каждый математический вопрос имеет определенное значение истинности, то истинной теорией оснований будет именно та теория, которая истинна в этой единственной реальности. И тогда наша задача - выяснить, каковы эти истины. Такой подход и подталкивает нас в сторону сильных оснований.
Ведущий: Но я постепенно начинаю понимать, что здесь очень важно различать набор аксиом, по крайней мере в логике первого порядка - и, возможно, вы могли бы объяснить нашим слушателям, что это такое, - и модели этих аксиом, верно? Например, в арифметике мы можем доказывать утверждения о сложении, натуральных числах и так далее, но при этом существуют разные модели натуральных чисел, удовлетворяющие одним и тем же аксиомам. Думаю, большинство наших слушателей не знают, что именно это означает и насколько это может быть важно. Ведь один из аргументов в пользу реализма состоит в следующем: да, для одних и тех же аксиом может существовать множество моделей, но одна из них - правильная. И сами аксиомы не позволяют однозначно ее выделить.
Д. Хэмкинс: Утверждение о том, что одна из этих моделей является правильной, как раз и выражает монистическую позицию. Это взгляд с позиции единственной вселенной. Существует одна истинная математическая реальность, и мы пытаемся выяснить, что она собой представляет и какие утверждения истинны в этой модели. Но, конечно, в силу теоремы о неполноте мы никогда не сможем выписать, никогда не сможем полностью описать вычислимый список аксиом, который исчерпывающим образом выражал бы всю эту истину.
Именно это и говорит нам теорема Гёделя: сделать этого мы не можем. Но мы можем все больше приближаться к цели, верно? Мы можем записывать все новые и новые аксиомы и пытаться находить все более сильные теории, истинные в этой единственной истинной вселенной. Хорошо. Но если вы плюралист, то, возможно, скажете: «Что ж, я не знаю, существует ли вообще эта единственная истинная вселенная». Ведь мы как раз очень хорошо понимаем, каким образом разные истины могут реализовываться в различных моделях. У нас есть весьма глубокое понимание того, как это может происходить. И при этом у нас на самом деле очень мало оснований полагать, что существует единственная стандартная интерпретация наших идей. Особенно хорошо это видно на примере теории множеств.
Здесь, пожалуй, полезно провести аналогию с геометрией. Если обратиться к истории геометрии, то на протяжении тысячелетий ее рассматривали как изучение математических свойств пространства. Предполагалось, что существует одна истинная геометрия. Именно ее все и пытались открыть - выяснить, что истинно, скажем, в геометрии плоскости или пространств более высокой размерности. Но затем, с открытием неевклидовой геометрии, гиперболического пространства, сферической, эллиптической и других геометрий, единое понятие геометрии расщепилось и стало плюралистическим. Однако от этого геометрия не перестала быть реальной. Это связано с тем, о чем мы говорили ранее: мы ведь не считаем, что геометрия теперь превратилась всего лишь в формальную деятельность только потому, что у нас появилось множество несовместимых моделей. Евклидова геометрия вполне реальна. Но и гиперболическое пространство вполне реально.
Я имею в виду, что как абстрактный объект оно вполне реально. Можно быть реалистом в отношении геометрии, хотя в вопросах геометрии практически все мы плюралисты. Хорошо. Но нечто подобное произошло и в теории множеств. Когда теория множеств только зарождалась, Цермело сформулировал фундаментальные принципы, которые, по его мнению, должны были определять рассуждения о множествах. Впоследствии эта система получила название теории множеств Цермело. Затем к ней добавили дополнительные аксиомы, когда стало понятно, что теория Цермело не позволяет делать некоторые вещи, которые нам хотелось делать с множествами. Так была добавлена схема аксиом подстановки, и возникла теория множеств Цермело-Френкеля. А аксиома выбора присутствовала в теории Цермело с самого начала. Затем сформировалась картина теоретико-множественной вселенной как своего рода кумулятивной иерархии, которая вырастает из ничего. Или, возможно, в качестве исходного уровня берутся так называемые урэлементы - атомарные объекты, которые сами не являются множествами, но из которых затем образуются множества. На следующем уровне можно образовать множества этих урэлементов, затем множества множеств урэлементов и так далее. И этот процесс можно трансфинитно продолжать. Таким образом, вселенная как бы растет кумулятивным образом. Так возникла определенная картина теоретико-множественной вселенной.
Предполагалось, что единственная истинная вселенная устроена примерно так. Но затем обнаружился удивительный феномен независимости - повсеместный, буквально вездесущий. По сути, оказалось, что все фундаментальные открытые вопросы теории множеств независимы от аксиом ZFC. Практически любой вопрос о бесконечной комбинаторике, который вы можете задать, либо совершенно тривиален, так что соответствующее утверждение можно сразу доказать или опровергнуть, либо он независим от аксиом ZFC. Осознание этого, пожалуй, началось с результата Гёделя 1938 года о том, что конструктивный универсум удовлетворяет аксиоме выбора и континуум-гипотезе. А затем, в 1963 году, Пол Коэн доказал, что континуум-гипотеза может быть ложной в определенной модели, построенной с помощью метода форсинга. С тех пор форсинг использовался в тысячах и тысячах доказательств независимости, демонстрирующих всю повсеместность этого феномена. По сути, интересующие нас вопросы не разрешаются этими аксиомами. На такую ситуацию можно реагировать по-разному. Если вы знаете и можете доказать, что ваша теория не разрешает некоторый вопрос, то монист, сторонник единственной вселенной, скажет: «Ну, значит, наша теория просто слишком слаба. Нужно усилить ее, чтобы разрешить эти вопросы». И это снова подталкивает вас к более сильной теории.
А плюралист скажет: «Сам феномен независимости уже служит свидетельством в пользу плюрализма, потому что мы видим, каким образом континуум-гипотеза может быть как истинной, так и ложной». В зависимости от того, какое именно понятие множества мы используем, мы получим теоретико-множественную вселенную, в которой она будет либо истинной, либо ложной. В некотором смысле мы можем добиться того результата, который нам нужен. Особенность теоретико-множественного случая заключается в том, что все эти модели в определенном смысле стандартны. Все они вполне фундированы относительно друг друга. У них одни и те же ординалы.
То есть это не какие-то совершенно экзотические модели. Если вы хотите, чтобы континуум-гипотеза была истинной, можно перейти к конструктивному универсуму Гёделя, и у него будут те же ординалы, что и у исходной вселенной. Если вы хотите, чтобы она была ложной, можно построить форсинговое расширение, в котором также будут те же ординалы, что и в исходной вселенной. Поэтому речь идет вовсе не о каких-то совершенно странных нестандартных концепциях. На самом деле эти модели довольно естественны. С точки зрения теории множеств они выглядят вполне приемлемыми. Этот факт отчасти лежит в основе того, что я называю «аргументом решения мечты». Некоторые надеются когда-нибудь разрешить континуум-гипотезу и по-прежнему называют ее открытым вопросом. А я говорю: нет, континуум-гипотеза уже разрешена. Несмотря на ее независимость, она разрешена благодаря нашему пониманию того, как она ведет себя в мультивселенной. Мы можем сделать ее истинной, можем с помощью форсинга добиться ее истинности или ложности, можем получить ее истинность во внутренних моделях и так далее. И все это мы понимаем достаточно глубоко.
Именно это и есть ответ на вопрос о континуум-гипотезе, а не какое-то одно значение истинности.
Ведущий: Вам стоит объяснить нам, что такое континуум-гипотеза.
Д. Хэмкинс: А, да. Хорошо. Вы правы. Итак, континуум-гипотеза - это вопрос, сформулированный Кантором, который в конце XIX века доказал, что множество вещественных чисел несчетно. То есть он доказал, что существуют бесконечности разных мощностей. Есть бесконечность натуральных чисел: 0, 1, 2, 3, 4 и так далее. И есть бесконечность вещественных чисел, образующих своего рода континуум числовой прямой. Кантор доказал, что между этими двумя бесконечными множествами невозможно установить взаимно однозначное соответствие. Невозможно составить список, содержащий все вещественные числа. Это доказывается знаменитым диагональным аргументом Кантора.
Если бы у вас был такой список чисел, то можно было бы записать еще одно число, у которого первая цифра после десятичной запятой отличалась бы от первой цифры первого числа в списке, вторая цифра - от второй цифры второго числа и так далее по всему списку. И получившееся число было бы вполне корректным вещественным числом. Мы явно определили его десятичную запись, и оно отличается от каждого числа в списке. Значит, невозможно составить список, содержащий все вещественные числа. Следовательно, множество вещественных чисел несчетно. Это бесконечность большей мощности, чем множество натуральных чисел. Это несчетная бесконечность. А континуум-гипотеза ставит вопрос о том, существует ли какая-нибудь бесконечность промежуточной мощности.
Итак, у нас есть натуральные числа - это счетная бесконечность. И есть вещественные числа, континуум - это несчетная бесконечность. Существует ли какая-либо бесконечность строго между ними по мощности? Континуум-гипотеза утверждает, что нет, ничего промежуточного не существует. Но теперь мы знаем, что она независима от аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора. Кантор бился над этим вопросом всю жизнь, но так и не нашел ответа. Вопрос оставался открытым много лет, несколько десятилетий.
Лишь в 1938 году Гёдель впервые доказал, что континуум-гипотезу нельзя опровергнуть на основании теории Цермело-Френкеля, построив так называемый конструктивный универсум, в котором истинны аксиомы ZFC вместе с континуум-гипотезой. Поэтому предположение о том, что промежуточной бесконечности нет, не приводит к противоречию. Более того, Гёдель доказал значительно более общее утверждение - обобщенную континуум-гипотезу. Она утверждает, что для любого бесконечного множества нет промежуточной мощности между мощностью самого множества и мощностью его булеана, то есть множества всех его подмножеств. Кантор доказал, что множество всех подмножеств данного множества всегда имеет строго большую мощность. Поэтому наибольшей бесконечности не существует - всегда можно получать все большие и большие бесконечности. А из схемы аксиом подстановки следует, что совокупность бесконечных кардинальных мощностей не ограничена никакой одной из них.
Иначе говоря, бесконечностей больше, чем элементов любой отдельно взятой бесконечной мощности. Это доказуемо в ZFC, но не доказывается без схемы аксиом подстановки - именно того принципа, который был добавлен Френкелем. Затем, в 1960-х годах, Коэн доказал, что отрицание континуум-гипотезы также совместимо с аксиомами. Именно здесь используется метод форсинга. В сущности, ситуация такова: если у вас есть теоретико-множественная вселенная, то, используя доступные в этой платонической сфере онтологические ресурсы, вы можете построить из нее другую вселенную, в которой континуум-гипотеза истинна, и еще одну, в которой она ложна. Поэтому считать это ответом на континуум-гипотезу, на проблему континуума, - весьма плюралистическая позиция. Она независима от ZFC, причем в мультивселенной плотно представлены миры как с истинной, так и с ложной континуум-гипотезой.
Ведущий: То есть не существует безусловного, абсолютного факта относительно того, истинна ли континуум-гипотеза. Но такой факт существует относительно того, где именно вы находитесь в теоретико-множественной мультивселенной.
Д. Хэмкинс: Да, именно. Так и следует понимать континуум-гипотезу с точки зрения мультивселенной. Ответ мультивселенной на проблему континуума состоит ровно в том, как вы это сейчас описали.
Ведущий: И…
Д. Хэмкинс: И я хотел… А, продолжайте.
Ведущий: Нет, продолжайте вы.
Д. Хэмкинс: Я упомянул «решение мечты», потому что оно связано с вопросом, который вы задали чуть раньше. Некоторые хотят разрешить континуум-гипотезу, найдя недостающую аксиому - очевидно истинный, естественный с точки зрения теории множеств принцип, который разрешил бы CH в ту или иную сторону. Именно это я называю «решением мечты». Вы находите недостающую аксиому, которая действительно обладает характером аксиомы благодаря своей самоочевидной связи с самим понятием множества. Поэтому нам естественно хотелось бы добавить ее к нашей теории, и тогда она разрешила бы этот вопрос. А я утверждаю, что это невозможно. Такого никогда не произойдет. Причина в том, что мы уже знаем, как устроены миры, в которых CH истинна, и миры, в которых CH ложна, и с точки зрения теории множеств с ними все в полном порядке. В этом и заключается важная особенность аргументов с использованием форсинга: они устойчивы с точки зрения теории множеств, и речь здесь не идет о каких-то странных, нестандартных моделях. Это просто альтернативные понятия множества, в которых ответ на данный конкретный вопрос оказывается разным. Следовательно, любая предлагаемая аксиома, разрешающая континуум-гипотезу, неизбежно окажется ложной в одной из тех вселенных, которые мы только что признали вполне приемлемыми с точки зрения теории множеств. Поэтому мы никогда не сможем найти такой принцип, который был бы очевидно или явно истинным для множеств в требуемом смысле. Если вы предлагаете некоторый принцип и доказываете, что он разрешает CH, то сам этот факт уже подрывает претензию вашей аксиомы на самоочевидность.
Ведущий: Есть ли принципиальная разница между идеей добавления новых аксиом или изменения уже существующих аксиом? Вы начали с примера геометрии - это наиболее знакомый и понятный мне пример - в отличие от подхода, при котором мы сохраняем одни и те же аксиомы, но рассматриваем разные их модели. Я знаю, что, например, в арифметике существуют так называемые нестандартные натуральные числа. Иными словами, аксиомы арифметики можно реализовать в модели с привычными нам натуральными числами, которые мы все знаем и любим, но существуют и другие модели, содержащие дополнительные, нестандартные числа, которые как бы не соединяются с привычной частью. Но нельзя ли попытаться однозначно определить нужную нам модель, просто добавляя новые аксиомы? То есть это, в сущности, одна и та же проблема или все-таки две разные проблемы?
Д. Хэмкинс: Да. Вы имеете в виду аксиомы Пеано для арифметики.
Ведущий: Да.
Д. Хэмкинс: Думаю, это наиболее распространенная теория в данном контексте. Существует целая область, называемая теорией моделей арифметики Пеано, которая занимается исследованием таких нестандартных моделей, и я сам много работал в этой области. Проблема нестандартных моделей носит фундаментальный характер. Невозможно устранить нестандартные модели простым добавлением новых аксиом, потому что у любой теории будут нестандартные модели. Даже если вы считаете, что существует единственная истинная модель арифметики, которая вас интересует, можно взять множество всех утверждений, истинных в этой модели. Оно называется истинной арифметикой. Но даже у истинной арифметики существуют нестандартные модели. Это следствие теоремы компактности: можно построить нестандартные модели, в которых истинны в точности те же предложения первого порядка, что и в стандартной модели.
И это довольно интересная ситуация. Но на самом деле вопрос о том, вправе ли мы вообще говорить, что существует единственная подразумеваемая модель арифметики, далеко не так однозначен, как может показаться. Среди математиков, да и вообще среди людей, вполне естественно считать: «Ну вот, когда я говорю о натуральных числах 0, 1, 2, 3 и так далее, я описываю единственную математическую структуру».
Ведущий: Да.
Д. Хэмкинс: Но действительно ли это так? Ведь это самое «и так далее», конечно же, безнадежно неопределенно. И трудности возникают, как только вы пытаетесь точно выразить, что именно под этим подразумеваете, а затем доказать, что речь действительно идет о единственной структуре. Дедекинд доказал теорему о категоричности натуральных чисел. А именно, он сформулировал фундаментальные принципы, которым, например, должно удовлетворять отношение следования. Если рассматривать натуральные числа вместе с операцией прибавления единицы, то есть операцией перехода к следующему числу, то, во-первых, ноль не является следующим ни для какого числа, поскольку… Мы ведь не рассматриваем отрицательные числа, речь идет только о натуральных. Итак, мы хотим описать структуру, начинающуюся с нуля: 0, 1, 2, 3 и так далее. Ноль не является следующим ни для какого числа. Функция следования инъективна: если у X и Y один и тот же следующий элемент, то X и Y изначально являются одним и тем же числом. То есть это взаимно однозначная на свой образ функция. И наконец, третья аксиома утверждает, что каждое число порождается из нуля посредством операции следования. Но здесь нужно сформулировать все правильно, иначе получится порочный круг, ведь мы как раз пытаемся определить, что понимаем под конечными числами. Поэтому нельзя просто сказать: «До любого числа можно дойти от нуля, конечное число раз применив операцию следования». Такое определение было бы круговым.
Мы хотим выразить эту идею без порочного круга. И это можно сделать с помощью аксиомы индукции второго порядка. Можно сказать: для любого множества чисел, если оно содержит ноль и замкнуто относительно операции следования, то оно содержит все числа. Это обычный принцип индукции, но сформулированный не на языке первого порядка. Мы говорим не только об определимых множествах чисел или чем-то подобном, а о любой совокупности чисел вообще: любое множество чисел с указанным свойством должно содержать их все. Хорошо. Затем Дедекинд доказал, что любые две модели этой теории, арифметики Дедекинда, изоморфны. То есть с точностью до изоморфизма у этой теории существует лишь одна модель. Поэтому именно ее мы и называем стандартной моделью арифметики. Это и есть та самая модель. Но хорошо, на эту теорему о категоричности часто указывают как на ответ на вопрос: понимаем ли мы, что именно подразумеваем под стандартной моделью арифметики? Казалось бы, да: Дедекинд дал нам теорию, у этой теории с точностью до изоморфизма есть только одна модель, и именно она нам нужна. Но насколько удовлетворителен такой ответ? Ведь мы хотели точно выделить структуру натуральных чисел именно потому, что стремились получить своего рода абсолютное понимание того, что значит быть конечным, что значит быть конечным числом. В этом и состояла часть нашей цели.
Если нас беспокоила неопределенность самого понятия конечности, то теория Дедекинда должна была бы ответить: «Нет, понятие конечности определенно, потому что его однозначно задает теория Дедекинда». Но если посмотреть на эту теорию внимательнее, то ее третья аксиома содержит утверждение о произвольных множествах. Получается, мы обосновываем понятие конечности и объявляем его абсолютным, опираясь на некоторое утверждение о произвольных множествах. Но разве это может быть удовлетворительным ответом? Мы говорим, что истины о конечных числах определенны и абсолютны, однако тем самым, по-видимому, заранее предполагаем определенность самого понятия произвольного множества чисел. И мы уже можем увидеть, как именно возникает эта проблема, если рассмотрим разные модели теории множеств, например разные модели теории множеств Цермело. В каждой из них имеется своя единственная дедекиндова модель арифметики, то есть внутри каждой имеется своя стандартная модель. Но в разных моделях теории множеств эти стандартные модели арифметики не обязательно совпадают. Мы уже знаем, что такое возможно. Поэтому в разных моделях теории множеств их стандартные модели арифметики могут удовлетворять разным арифметическим утверждениям. Например, можно построить модель теории множеств, которая считает, скажем, что существование некоторых больших кардиналов противоречиво, тогда как другие модели считают его непротиворечивым. Но утверждение о непротиворечивости - это арифметическое утверждение.
Его можно выразить, формализовав в языке арифметики. Поэтому стандартные модели арифметики внутри разных моделей теории множеств могут иметь разные арифметические истины, хотя каждая из этих моделей теории множеств считает, что ее стандартная модель удовлетворяет теории Дедекинда. Просто они по-разному интерпретируют аксиому индукции, поскольку у них разные понятия множества. Для меня это лишь показывает, что попытка обосновать наше понимание стандартной модели арифметики таким способом не удалась, поскольку она опирается на теорию множеств. Если же мы считаем, что в самой теории множеств присутствует неопределенность или плюрализм, то с ее помощью невозможно установить определенность или монизм в арифметике.
Ведущий: Вы уже несколько раз упоминали Гёделя. Очевидно, его теоремы о неполноте сыграли центральную роль во всей этой истории - это была своего рода граната, брошенная в программу Гильберта. Но в интернете мне часто встречались утверждения о том, что люди неверно формулируют теоремы Гёделя. Так не могли бы вы объяснить, что именно эти теоремы на самом деле нам говорят?
Д. Хэмкинс: А, понятно. Здесь существует целый ряд результатов, фактически целое семейство взаимосвязанных теорем, объединенных одной общей темой. Я как раз сейчас пишу книгу под названием «Десять доказательств неполноты Гёделя».
Ведущий: О, замечательно.
Теоремы Гёделя и проблема остановки
Д. Хэмкинс: Конечно, речь там идет не только о самой теореме Гёделя, но и о варианте Россера, теореме Тарского, есть и другие версии; сюда же относится определенный взгляд на парадокс Рассела и так далее. То есть существует целый спектр связанных результатов. Но если говорить об основной теореме, то один из способов ее сформулировать… Впрочем, позвольте привести несколько упрощенный вариант. Когда я доказываю теорему Гёделя на своих занятиях, я часто начинаю именно с такой более простой формулировки. Невозможно задать вычислимый список истинных арифметических аксиом, из которого выводились бы все и только истинные арифметические утверждения. Иными словами, нельзя выписать теорию, состоящую из истинных арифметических аксиом, которая доказывала бы все арифметические истины. Это один из способов сформулировать теорему.
То есть не существует вычислимо аксиоматизируемой истинной теории арифметики, которая доказывала бы все истинные арифметические утверждения. Если вам известна неразрешимость проблемы остановки - результат, полученный Аланом Тьюрингом в 1936 году…
Ведущий: Да. Но вам стоит объяснить нам, что такое проблема остановки. Простите. Я-то знаю, что это такое, но…
Д. Хэмкинс: Да, конечно. Нередко студенты, изучающие философию математики, логику и тому подобное, уже немного знакомы с проблемой остановки из теории вычислимости. Поэтому через нее можно довольно быстро прийти к сути теоремы о неполноте. Алан Тьюринг ввел абстрактное понятие вычислимости с помощью так называемых машин Тьюринга, выполняющих программы. Можно представить машину Тьюринга, которая работает с бумажной лентой, записывает на ней нули и единицы и перемещается по ней в соответствии с командами программы. Инструкции здесь совершенно однозначны. Например, программа говорит: если вы находитесь в таком-то состоянии и видите символ 0, замените его на 1, сдвиньтесь вправо и перейдите в другое состояние. Программа представляет собой конечный список таких инструкций. Чтобы запустить вычислительный процесс, вы записываете входные данные на ленту, переводите машину в начальное состояние и позволяете ей работать. Она перемещается по ленте туда и обратно и изменяет записанные на ней символы. В конце концов она, возможно, остановится, и тогда по содержимому ленты можно будет прочитать результат вычисления. Проблема остановки заключается в следующем: если нам даны программа и входные данные, остановится ли выполнение этой программы?
Ведущий: Отлично, спасибо.
Д. Хэмкинс: Возможно, программа будет работать вечно, а возможно, остановится на каком-то этапе вычисления - скажем, через миллиард шагов, через гуголплекс шагов или через какое угодно другое число шагов. Может остановиться, а может и не остановиться. Итак, проблема остановки - это задача разрешения: по заданным программе и входным данным определить, остановится программа или нет. Тьюринг доказал, что не существует вычислимой процедуры, которая давала бы правильный ответ во всех случаях. Иными словами, не существует вычислимой процедуры, которая для любой заданной программы и любых входных данных могла бы правильно определить, остановится вычисление или нет.
Теперь предположим от противного, что у нас есть теория того типа, о котором идет речь в теореме Гёделя, то есть теория, которая дает ответы на все истинные вопросы, точнее, доказывает все истинные утверждения. Тогда мы могли бы решить проблему остановки. Рассмотрим следующий алгоритм. Итак, у меня есть некоторая фиксированная теория. Предположим от противного, что существует истинная теория, которая доказывает все и только истинные арифметические утверждения. Теперь возьмем произвольную программу для машины Тьюринга и произвольные входные данные. Я могу сформулировать арифметическое утверждение, гласящее, что эта программа на этих входных данных останавливается. При этом я не собираюсь запускать саму программу. Я лишь формулирую утверждение о том, что она останавливается. Такое утверждение можно формализовать в арифметике, поскольку, по существу, мы говорим следующее: существует число, кодирующее последовательность чисел, каждое из которых, в свою очередь, кодирует своего рода мгновенный снимок состояния вычисления. Эти конфигурации сменяют друг друга в соответствии с инструкциями программы. Первая из них кодирует начальную конфигурацию, а последняя - конфигурацию, в которой машина остановилась. Поэтому существование такого числа в точности эквивалентно тому, что программа останавливается. А значит, это арифметическое утверждение.
Итак, мы можем сформулировать утверждение: «Эта программа останавливается на этих входных данных». Затем мы обращаемся к нашей теории и начинаем систематически перебирать доказательства, разыскивая либо доказательство того, что программа действительно останавливается, либо доказательство того, что она не останавливается. Если наша теория обладает тем свойством, которое мы предположили, то есть дает ответы на все такие вопросы, то на каком-то этапе мы обязательно найдем либо доказательство остановки, либо доказательство того, что программа никогда не остановится. Как только такое доказательство найдено, мы получаем ответ.
Следовательно, если бы существовала теория, способная дать все ответы, то с ее помощью можно было бы решить проблему остановки. Но проблему остановки решить невозможно - именно это Тьюринг доказал в 1936 году. Следовательно, такой теории существовать не может. Это… Да, продолжайте.
Ведущий: Итак, Гёдель доказывает… Хорошо. Это очень полезный способ на все это посмотреть. Мне кажется, разница между человеком, который хорошо в этом разбирается, и тем, кто разбирается не очень, заключается в том, насколько глубоко он усвоил неразрешимость проблемы остановки. Я пока еще не вполне ее усвоил. Но постепенно приближаюсь. Стараюсь разобраться получше. Итак, если Гёдель говорит нам, что среди корректно построенных высказываний некоторой системы, при условии ее непротиворечивости, будут истинные, но недоказуемые, то знаем ли мы, сколько их? Может быть, большинство истинных утверждений недоказуемы по сравнению с доказуемыми? И вообще, имеет ли смысл задавать такой вопрос?
Д. Хэмкинс: Да, такой вопрос вполне осмыслен. Более того, его неоднократно задавали на MathOverflow. По-моему, люди спрашивали буквально об этом: какова плотность независимых утверждений? Да. И на этот вопрос можно отвечать. Эта плотность строго между нулем и единицей. Во всяком случае, независимых утверждений заведомо бесконечно много. Ведь если
Ведущий: То есть, по-вашему, существует какое-то определенное число - доля всех корректно построенных высказываний, которые доказуемы?
Д. Хэмкинс: А, понимаю. Тогда вопрос состоит в том, сходится ли соответствующая плотность к какому-то пределу.
Ведущий: Да.
Д. Хэмкинс: Верно. Думаю, скорее всего, она осциллирует.
Ведущий: Хорошо. Да, понятно.
Д. Хэмкинс: Такие вопросы немного настораживают, потому что ответ очень сильно зависит от выбранного формализма, от формального языка. Измените синтаксические правила, и вы наверняка получите другую долю. Возможно, предел вообще перестанет существовать. Вероятно, одного лишь изменения синтаксических правил формального языка достаточно, чтобы заставить эту величину не сходиться. Но именно это и показывает, что сам вопрос, вероятно, сформулирован не в тех терминах, которые нам действительно нужны. Это связано, например, с одной теоремой, которую я доказал совместно с Алексеем Мясниковым. Да, проблема остановки неразрешима. Однако наша с Алексеем статья называется «Проблема остановки разрешима на множестве вероятности один». Иными словами, можно решить почти каждый отдельный случай проблемы остановки. Для некоторых моделей машин Тьюринга, например если взять стандартную модель, использованную самим Тьюрингом, с бесконечной в одну сторону лентой, на которой записываются нули и единицы, мы доказали следующее. Существует множество программ, для которых мы умеем решать вопрос об остановке, причем по мере увеличения числа состояний, то есть по мере увеличения размера программы, доля таких программ становится все ближе к 100 процентам. Иными словами, с ростом размера программы доля программ, для которых применим наш метод разрешения вопроса об остановке, стремится к 100 процентам. Именно в этом смысле мы можем дать ответ почти для каждого случая. Но сама теорема, надо сказать, совершенно неудовлетворительна.
Когда слышишь ее формулировку, она звучит впечатляюще: мы решаем почти все случаи проблемы остановки. Но когда я расскажу вам доказательство, вы скажете: «Ну да…» Доказательство состоит вот в чем. Мы смотрим на программу и просто запускаем ее, пока она не повторит уже встречавшееся состояние. Хорошо. И речь идет о модели с бесконечной в одну сторону лентой. Половина машин уже на первом шаге сходит с края ленты. Они двигаются не в ту сторону, из-за чего вычисление аварийно завершается. Если хотите считать это остановкой, тоже хорошо. Итак, половина, 50 процентов, сразу сходит с ленты. А остальные движутся в другую сторону.
Ведущий: Кажется, я уже понимаю, к чему все идет.
Д. Хэмкинс: Но пока машина не повторяет состояние, ее движение, по существу, представляет собой случайное блуждание. Ведь если она попадает в новое состояние, то в этой ситуации половина соответствующих программ отправит головку влево, а половина - вправо. Поэтому до первого повторения состояния получается случайное блуждание. А дальше вступает в действие теорема Пойи о возвратности случайного блуждания, согласно которой с вероятностью один головка в конце концов вернется к краю и сойдет с ленты. Таким образом, с вероятностью один типичное поведение вычисления машины Тьюринга состоит в том, что ее головка в конце концов сходит с ленты. Именно такое поведение имеет вероятность один.
А для этих случаев мы умеем решать проблему остановки.
Ведущий: Вот и все.
Д. Хэмкинс: В этом, по сути, и заключается главный трюк этой теоремы. Так что она совершенно…
Ведущий: Все равно считается. Меня устраивает.
Д. Хэмкинс: Да, хорошо. Но проблема, и именно поэтому я привел этот пример, заключается в том, что теорема зависит от выбранного формализма. Если использовать ленту, бесконечную в обе стороны, этот аргумент вообще не работает. Для этой модели вопрос остается открытым. На данный момент для модели с двусторонне бесконечной лентой мы умеем решать проблему остановки примерно для 13,5 процента программ. Точнее, доля составляет
История началась довольно интересно. Алексей пришел ко мне и рассказал о своей концепции «проблемы черной дыры» в теории разрешимости. К настоящим черным дырам это, конечно, никакого отношения не имеет.
Ведущий: Я понял.
Д. Хэмкинс: Хорошо. «Проблема черной дыры» - это трудная задача, например неразрешимая или, скажем, NP-полная задача из теории сложности, у которой вся трудность сосредоточена в очень небольшой области, тогда как за пределами этой области задача решается легко. Такая задача, например, плохо подходит для криптографии, потому что если банк можно ограбить в 95 процентах случаев…
Ведущий: То вы уже вполне довольны. Да.
Д. Хэмкинс: Да вообще если это удается в сколь-нибудь заметной доле случаев. Так вот, Алексей пришел ко мне, к тому времени он уже обнаружил подобные «черные дыры» в нескольких известных задачах, и спросил: «А есть ли черная дыра у проблемы остановки?» Моим первым наблюдением как раз были эти 13,5 процента. И тогда мы сказали: «Хорошо, теперь у нас есть план». Нужно всего лишь находить все новые и новые элементарные причины, по которым программа заведомо остановится или заведомо не остановится, и складывать соответствующие доли. Нам хотелось просто перевалить за 50 процентов, потому что тогда мы уже смогли бы сказать: «для большинства программ».
Ведущий: Большинства.
Д. Хэмкинс: Именно такова была стратегия, верно? Но потом мы стали размышлять дальше, и я понял, что эта идея со сходом головки с края ленты была до смешного простой…
Ведущий: И самой лучшей, да.
Д. Хэмкинс: Но оказалось, что уже одна эта причина охватывает множество вероятности один. Так мы и получили наш результат. Но, конечно, эту теорему вполне можно критиковать за то, что она зависит от выбранной модели вычислений. И это очень похоже на ваш вопрос о плотности. Если ответ зависит от формализма, то, возможно, сам вопрос поставлен не совсем правильно.
Ведущий: Вполне справедливо. В нашей формулировке теоремы Гёделя была небольшая, но важная оговорка: система аксиом должна быть непротиворечивой, верно? И я знаю, что некоторые люди, возможно, сюда относится и Роджер Пенроуз, считают, что могут просто взглянуть на систему аксиом и сказать, непротиворечива она или нет. Но, насколько я понимаю, все гораздо тоньше. Вы приводили пример континуум-гипотезы. К теории множеств можно добавить континуум-гипотезу или ее отрицание. А еще меня в свое время невероятно поразило, когда я узнал, что в арифметике можно добавить дополнительную аксиому, утверждающую непротиворечивость самой теории. Или это именно арифметика? Я правильно помню? Но можно также добавить другую аксиому, утверждающую, что теория противоречива, и в обоих случаях получить непротиворечивые системы.
Д. Хэмкинс: Да, совершенно верно. Возьмем, например, арифметику Пеано, которую обычно обозначают PA. Вторая теорема Гёделя о неполноте утверждает, что достаточно сильная непротиворечивая теория не может доказать собственную непротиворечивость. Отсюда непосредственно следует, что к PA можно добавить в качестве аксиомы отрицание утверждения о ее непротиворечивости, и полученная теория все равно будет непротиворечивой. Обычно ее обозначают как
Ведущий: Подождите, простите. Я хочу очень медленно повторить это, чтобы мы точно поняли. Если сама PA непротиворечива, то теория, состоящая из аксиом PA плюс дополнительной аксиомы, утверждающей, что PA противоречива, тоже непротиворечива.
Д. Хэмкинс: Да, именно так.
Ведущий: Вот почему мне все это дается так тяжело. Мой бедный мозг физика к таким задачам не приспособлен.
Д. Хэмкинс: Но дело не только в вас, это сбивает с толку всех. Когда я преподаю эту тему, даже само доказательство дается непросто. Там есть неподвижная точка, отрицания, самореференция и так далее, и во всем этом чрезвычайно легко запутаться. Это действительно сбивает с толку практически каждого. Но то, что вы сейчас сказали, сформулировано совершенно правильно.
Ведущий: И вот именно из-за этого мне, хотя, по-видимому, больше никому, трудно быть математическим реалистом. Потому что получается, что нет никакого объективного факта относительно того, непротиворечивы эти аксиомы или нет.
Д. Хэмкинс: А, понимаю. Нет, если вы реалист, если вы платонист, то скажете: «Эта теория всего лишь непротиворечива, но она не истинна. Она не ис…»
Ведущий: Да, хорошо.
Д. Хэмкинс: Она не истинна в подразумеваемой модели, верно? И это возвращает нас к главному вопросу: что представляет собой эта подразумеваемая модель и действительно ли у нас есть веские основания считать, что существует единственная такая модель? У нас есть теорема о категоричности, которую я уже упоминал, но этот аргумент выглядит в некотором смысле круговым, поскольку опирается на теорию множеств. Однако если вы придерживаетесь позиции единственной теоретико-множественной вселенной, то, конечно, единственность стандартной модели арифметики тоже не будет представлять для вас никакой проблемы. Тогда вы скажете, что
Поэтому мы можем повторить тот же шаг еще раз. Таким образом, мы можем взять PA, добавить Con(PA), затем добавить утверждение о непротиворечивости полученной теории, потом утверждение о непротиворечивости следующей теории и так далее. Так мы поднимаемся по так называемой иерархии силы непротиворечивости. Получается башня теорий, каждая из которых строго сильнее предыдущей, поскольку на каждом шаге мы добавляем утверждение о непротиворечивости предшествующей теории. Но даже если проделать это омега раз, то есть бесконечно много раз, процесс на этом не закончится. Можно взять объединение всех этих теорий, и оно по-прежнему будет вычислимо аксиоматизируемой теорией, поскольку мы только что описали алгоритм порождения ее аксиом. Поэтому утверждение о непротиворечивости этой теории на стадии омега также можно формализовать в арифметике. Мы можем добавить утверждение, что и она непротиворечива, и продолжить дальше. Этот процесс можно продолжать трансфинитно, получая трансфинитную иерархию.
Поэтому один из способов взглянуть на теорему Гёделя состоит в том, что над любой имеющейся у вас теорией возвышается целая иерархия силы непротиворечивости. Существование этой иерархии следует из теоремы о неполноте, и по мере подъема по ней мы получаем все более сильные утверждения о непротиворечивости. А затем в теории множеств произошло нечто замечательное: мы обнаружили сильные аксиомы бесконечности - аксиомы больших кардиналов. И они обладают именно этим свойством: более сильные аксиомы, например существование измеримого кардинала, влекут непротиворечивость более слабых аксиом, скажем существования недостижимого кардинала; между ними располагаются и другие типы больших кардиналов, и так далее. Аксиомы больших кардиналов - это обнаруженные теоретиками множеств аксиомы, выражающие существование чрезвычайно сильных видов бесконечности с определенными глубокими комбинаторными свойствами. Это не какие-то странные логические утверждения с самореференцией, и они вообще не говорят о непротиворечивости.
Речь идет просто о бесконечной комбинаторике, о естественных принципах бесконечности. Но при этом они обладают именно тем свойством, которое предсказывается гёделевской иерархией непротиворечивости: по мере продвижения вверх возрастает их сила непротиворечивости. И здесь можно занять следующую позицию. Иерархия больших кардиналов дает серьезные основания в пользу монистической картины. Гёдель, по существу, сказал: «Какую бы теорию вы ни взяли, ее будет недостаточно, но над ней возвышается целая башня утверждений, которые вам, вероятно, следует принять: непротиворечивость этой теории, затем непротиворечивость полученной более сильной теории и так далее». Это и есть иерархия силы непротиворечивости. А затем теоретики множеств обнаруживают невероятно высокую башню аксиом - аксиом больших кардиналов, - которая весьма естественным и устойчивым образом воплощает именно предсказанную структуру. Поэтому возникает впечатление, будто мы действительно движемся к единственной истинной теории множеств. Думаю, именно так сторонники единственной теоретико-множественной вселенной во многом воспринимают большие кардиналы. Они видят в этой иерархии путь наверх - один-единственный путь.
Ведущий: Но вы сами в это не верите? Вас это не убеждает?
Д. Хэмкинс: Не совсем. Плюралистическая точка зрения кажется мне весьма привлекательной. И на аргумент о единственном пути наверх можно ответить следующим образом. Да, иерархия больших кардиналов действительно возрастает по силе непротиворечивости. Это замечательный факт, и он сам по себе делает эту систему аксиом чрезвычайно привлекательной. Но при этом существует множество теоретико-множественных утверждений, которые остаются независимыми от всех известных аксиом больших кардиналов.
Ведущий: А, хорошо, понятно.
Непротиворечивость и большие кардиналы
Д. Хэмкинс: В том числе континуум-гипотеза. И это мы знаем точно. Гёдель надеялся, что большие кардиналы позволят разрешить вопрос о CH. Есть его знаменитое высказывание о том, что должны существовать аксиомы, настолько богатые своими следствиями, в том числе проверяемыми следствиями, что мы будем вынуждены принять эти аксиомы. По сути, он имел в виду именно аксиомы больших кардиналов, у которых действительно есть множество замечательных следствий. И он надеялся, что они разрешат вопрос о континуум-гипотезе.
Но Леви и Соловей доказали, что это не так. Для стандартных аксиом больших кардиналов, практически во всех рассматриваемых случаях, доказано следующее: если соответствующие большие кардиналы непротиворечивы, то можно построить форсинговые расширения, в которых континуум-гипотеза истинна.
Ведущий: Верно.
Д. Хэмкинс: Или форсинговые расширения, в которых континуум-гипотеза ложна, причем большой кардинал сохраняет в них свои свойства большого кардинала.
Ведущий: Если смотреть на все это глазами человека, который находится где-то на границе этой области, то кажется, что во многих странностях философии математики виновата именно бесконечность, само понятие бесконечности. И существует позиция, пусть и разделяемая меньшинством, согласно которой возникает соблазн сказать: может быть, причина как раз в том, что бесконечность нереальна? Может быть, нам следует ограничиться математикой, которая от нее не зависит? Ведь, как вы сами сказали в самом начале, мы рассуждаем о бесконечности, но все наши рассуждения о ней выражаются конечным числом символов. Так есть ли там вообще что-то реальное? Разумное ли это основание для скептицизма по отношению ко всей этой конструкции?
Д. Хэмкинс: Конечно. Сейчас существует целое новое направление исследований, посвященное так называемому потенциализму, который позволяет осмыслить именно то, о чем вы сейчас сказали. Конечно, различие между потенциальной и актуальной бесконечностью восходит еще к Аристотелю. Вопрос состоит в том, может ли бесконечность когда-либо быть завершенной. Возьмем натуральные числа. Потенциалист скажет: да, они бесконечны. Вы можете взять сколько угодно натуральных чисел и всегда можете взять еще больше, но никогда не получите их все сразу. В этом смысле их бесконечность потенциальна. А сторонник актуальной бесконечности скажет: да, можно рассматривать их все сразу, а затем использовать эту актуальную бесконечность как завершенный объект и строить на ее основе дальнейшие конструкции. Это классический исторический спор между двумя подходами.
И что любопытно, на протяжении почти всей истории, в течение тысячелетий, практически все математики вполне явно придерживались потенциализма.
Ведущий: Понятно.
Д. Хэмкинс: В том числе Галуа и многие другие, причем так было вплоть до сравнительно недавнего времени. А сегодня почти все математики придерживаются актуализма. Перелом произошел примерно в конце XIX века. Конечно, это не было универсальным правилом. Например, Галилей критиковал потенциалистскую точку зрения. Один из его аргументов звучал примерно так: «Если вы потенциалист, то считаете все эти различные возможности возможными. Значит, вы уже признаете актуальную бесконечность возможностей». Таким образом, он пытался подорвать потенциалистскую позицию…
Ведущий: Понятно.
Д. Хэмкинс: …указывая, что сами потенциалисты вынуждены признавать актуальную бесконечность возможностей, то есть всех тех способов, которыми потенциальная бесконечность может продолжаться. Это очень интересный аргумент.
На самом деле в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки» этому посвящено довольно интересное обсуждение.
Ведущий: Правда? Хорошо.
Потенциализм и природа бесконечности
Д. Хэмкинс: Да, рекомендую. Итак, то, что я называю аристотелевской версией потенциализма, можно представить в терминах возможных миров. Современный подход состоит в том, чтобы явно ввести модальный язык возможности и необходимости, используя модели Крипке и так далее. Возможными мирами чисел в такой картине служат конечные начальные отрезки натурального ряда. Это один из вариантов потенциализма. В каждый данный момент вам доступны все числа до некоторого числа включительно. Хорошо. При желании можно перейти к большему числу - это и есть возможное расширение. Затем для этой ситуации можно определить своего рода модальный язык. Например, можно сказать: «Каждое число потенциально имеет следующее число». То есть какое бы число у вас ни было, если сейчас оно является наибольшим, то следующего за ним числа в вашем текущем мире еще нет. Но оно потенциально существует, потому что можно перейти к большему миру, где у данного числа уже будет следующий элемент. Правда, тогда в этом новом мире появится новое наибольшее число. Таким образом, утверждение «необходимо, что каждое число потенциально имеет следующий элемент» является одной из истин такого подхода.
Но существует и другая версия потенциализма применительно к натуральным числам. Если у вас есть некоторое число, обязаны ли вы тем самым уже признавать существование всех меньших чисел? Обязательно ли числа должны появляться по порядку? Возможно, нет. И я попробую убедить вас, что отрицать это вполне разумно. Думаю, большинство ваших слушателей знают, что такое гугол. Это число
Ведущий: Верно.
Д. Хэмкинс: Итак, об этом числе мы можем сказать довольно многое. Но можем ли мы его полностью проговорить? Допустим, я захотел бы произнести все его цифры. В его записи содержится гугол нулей. Предположим, я невероятно быстро произношу цифры - скажем, миллион цифр в секунду. Даже если бы я занимался этим с самого начала существования Вселенной, с момента Большого взрыва, то не приблизился бы даже к ничтожной доле записи этого числа - это было бы намного, намного меньше одного процента. Поэтому я физически не смог бы таким способом полностью произнести десятичную запись гуголплекса.
Хорошо. А теперь рассмотрим типичное число, меньшее гуголплекса. Гуголплекс - это единица, за которой следует гугол нулей, а числа меньше него тоже в большинстве своем имеют порядка гугола десятичных цифр, верно? У типичного такого числа будет примерно гугол цифр, выглядящих совершенно случайным образом. И у подавляющего большинства таких чисел вообще не будет никакого простого описания - их для этого попросту слишком много. Для по-настоящему случайно выбранного числа простейший способ сообщить, что это за число, скорее всего, будет состоять в том, чтобы просто перечислить все его цифры.
Но, как мы только что сказали, даже если произносить по миллиону цифр в секунду с самого начала существования Вселенной, вы не сможете полностью описать таким способом даже одно такое число. Поэтому в каком-то вполне серьезном смысле вы никогда не сможете удерживать подобное число в уме как объект мысли. Это просто невозможно. Вы даже не сможете толком ничего о нем сказать, поскольку вам будет чрезвычайно трудно хотя бы указать, какое именно это число. И вот здесь возникает другая разновидность потенциализма. Можно рассуждать так: гуголплекс я способен удерживать в уме, анализировать его и обсуждать его свойства. То же относится к числам, которые легко описать относительно гуголплекса, например к гуголплексу плюс десять, или вообще к некоторым числам в его окрестности. Я могу как бы перескакивать в разные места числового ряда. Но о подавляющем большинстве чисел, меньших гуголплекса, я вообще не способен сформировать никакой конкретной мысли. Возможно, разум с гораздо большими возможностями или существа во Вселенной с гораздо большим запасом времени смогли бы описать такие числа. Поэтому можно придерживаться разновидности потенциализма, согласно которой некоторые числа как бы появляются раньше других, причем из существования данного числа вовсе не следует, что уже появились все меньшие числа. Это принципиально иной взгляд на природу потенциализма.
И в соответствующих моделях будут истинны уже другие утверждения. В самых современных исследованиях потенциальной бесконечности и потенциализма в теории множеств понятие потенциализма фактически отделяется от понятия бесконечности, хотя на протяжении тысячелетий они были тесно связаны.
Ведущий: Хорошо.
Д. Хэмкинс: Основная идея теперь скорее такова: сущность потенциализма заключается в том, что вселенная математических объектов может быть незавершенной. Именно это главное. При этом отдельные фрагменты такой вселенной вполне могут уже содержать актуальные бесконечности. Например, в теории множеств можно представить, что кумулятивная вселенная трансфинитно растет без конца, но в каждый момент мы как бы обрываем ее на некотором ординале. Это дает своего рода потенциалистское представление о теории множеств. Однако если провести такой срез достаточно высоко, то уже на этом уровне будут существовать бесконечные, причем актуально бесконечные множества.
И тогда понимаешь, что потенциализм на самом деле не столько о бесконечности, сколько о том, завершена ли математическая вселенная. Сейчас ведется довольно много исследований по потенциалистской теории множеств и различным концепциям потенциализма. Я нахожу это чрезвычайно увлекательным, потому что сама идея, конечно, восходит еще к Аристотелю. Изначально это философский вопрос о природе нашей математической реальности, но он породил целую математическую теорию, исследующую, что возможно и какие модальные утверждения истинны. При одних подходах мы получаем модальную логику S4.2, при других - S4.3, а в иных случаях S4. Вокруг всего этого ведется довольно много технической работы.
А затем результаты этого математического анализа возвращаются обратно в философию и помогают уточнить исходный философский вопрос, показывая, что существуют разные концепции потенциализма, на которые я только что немного намекнул. Мне очень нравится такая ситуация: философский вопрос порождает математический анализ, результаты которого затем возвращаются в философию и в конечном счете позволяют глубже и точнее понять сам философский вопрос. По-моему, это просто замечательно.
Ведущий: И мне показалось особенно интересным, что для иллюстрации своей мысли вы обратились к физической Вселенной, в которой мы живем, верно? На мой взгляд, это вполне уместно. Наши лучшие физические теории очень глубоко опираются на континуум, но ведь никто никогда не сталкивался с подавляющим большинством чисел этого континуума, верно? Поэтому, наверное, здесь возможен своего рода встречный диалог о том, не допускаем ли мы в своих теориях гораздо больше математических объектов, чем действительно необходимо для описания мира, когда вводим все эти бесконечности вместе со связанными с ними загадками.
Д. Хэмкинс: Да, совершенно согласен. Я как-то слышал историю о том, что Фейнмана однажды спросили, какое из фундаментальных предположений современной физики, по его мнению, с наибольшей вероятностью в конечном счете окажется неверным. Насколько я помню эту историю - возможно, вы знаете ее лучше меня, - он ответил: непрерывность пространства и времени. И это как раз связано с тем, о чем вы говорите. Я, конечно, не слишком хорошо разбираюсь в физике, но мне не показалось бы совершенно невероятным, если бы мы внезапно обнаружили, что на чрезвычайно малых масштабах пространство дискретно. Думаю, это не обязательно противоречило бы тому, что мы знаем о квантовой механике и так далее. Если масштаб достаточно мал, то, возможно, на доступных нам масштабах все эти эффекты каким-то образом сглаживаются. Поэтому я вполне могу представить, что на гораздо меньших масштабах пространство дискретно. И тогда все эти бесконечности в конечном счете могут оказаться совершенно несущественными для физики. Если физическая реальность действительно дискретна и конечна, то, возможно, и вся Вселенная в этом смысле конечна. И какие из этого следовали бы последствия? Помню, когда я был аспирантом, мы сидели в кабинете с моим научным руководителем Хью Вудином, и он сказал: «Многие представляют себе бесконечность, глядя на ряд телеграфных столбов вдоль шоссе в пустыне Аризоны, уходящих вдаль, и воображают, что этот ряд бесконечен. Но если окажется, что Вселенная конечна, то такая картина на самом деле внутренне несостоятельна». Как же тогда она вообще может служить основанием нашего понимания этой математической идеализации? И, возможно, у нас в таком случае нет достаточных оснований даже считать арифметику Пеано непротиворечивой.
Ведущий: Верно. Как известно, физики не слишком часто взаимодействуют с философами физики. У меня складывается впечатление, что в математике связь с философией математики гораздо теснее. Это просто ошибочное впечатление стороннего наблюдателя или так и есть?
Д. Хэмкинс: Ну, моя собственная работа, конечно, находится как раз на стыке этих двух областей, поэтому я постоянно взаимодействую с представителями обеих сторон. И по моему опыту это взаимодействие выглядит весьма насыщенным и плодотворным. Но, конечно, есть немало математиков, которые практически не знакомы с философией и порой относятся к ней пренебрежительно. Впрочем, уверен, среди физиков такие люди тоже есть. Более того, я точно знаю, что есть.
Ведущий: Есть, конечно. Но математика по самой своей природе несколько более абстрактна, теоретична и так далее. А логика в такой же степени относится к философии, как и к математике. Поэтому мне кажется, что у обычного математика несколько больше возможностей для плодотворного обмена идеями с философами, тогда как обычному физику, который, скажем, занимается созданием какого-нибудь детектора, философия может быть совершенно безразлична.
[смех]
Д. Хэмкинс: Но разве в физике нет вопросов, которые по самой своей сути, по крайней мере некоторые из них, являются философскими?
Ведущий: Конечно, есть, и я как раз нахожусь на стыке этих областей. Поэтому мне и приходится сталкиваться с коллегами по физическому факультету, которых еще нужно убеждать в том, что философия вообще заслуживает внимания. Тогда последний вопрос. Думаю, вы достаточно убедительно показали нам, что Гёдель, Тарский и другие не просто доказали в свое время несколько чрезвычайно интересных результатов, но что эта область продолжает активно развиваться и сегодня, в ней по-прежнему достигается значительный прогресс. Что, на ваш взгляд, может стать следующим большим направлением исследований на стыке математики и философии?
Д. Хэмкинс: А, понятно. Отличный вопрос. Таких направлений очень много. [смех]
Ведущий: Справедливо. Ничего страшного.
Д. Хэмкинс: Исследования потенциализма, о которых мы говорили, я рассматриваю как часть более широкой дискуссии о плюрализме. Эта дискуссия сейчас определяет значительную часть исследований, особенно в философии теории множеств. Но если говорить шире, мне кажется, что философия математики в целом становится все теснее связана с самой математикой. Возможно, одну из проблем некоторых более ранних работ по философии математики можно было бы сформулировать так: они были недостаточно тесно связаны с теми философскими вопросами, которые представлялись интересными самим математикам. Мне кажется, сейчас эта проблема становится гораздо менее выраженной. Философы становятся более подготовленными в математическом отношении, а все больше математиков начинают интересоваться философскими вопросами, поэтому возникает немало совместных исследований. Конечно, это сложная область. И я полагаю, что в философии физики ситуация очень похожая. Чтобы действительно хорошо заниматься философией математики, понимать важнейшие вопросы и явления и свободно в них ориентироваться, необходимо обладать математическими знаниями очень высокого уровня. Но одновременно, разумеется, необходим и философский взгляд на вещи. Именно такое сочетание, как мне кажется, встречается не так уж часто. Нужен человек, который обладает серьезными техническими математическими навыками и одновременно умеет мыслить философски. Поэтому добиваться прогресса здесь непросто. Думаю, в философии физики ситуация, вероятно, очень похожая.
Ведущий: Да, но меня это радует: значит, у меня меньше конкурентов в том, чем я хочу заниматься. Приходится прикладывать больше усилий, чтобы убедить людей, что это вообще интересно, зато я могу двигаться вперед в своем неторопливом темпе и все равно добиваться какого-то прогресса. Что ж, Джоэл Дэвид Хэмкинс, огромное спасибо, что пришли на подкаст Mindscape.
Д. Хэмкинс: Мне было очень приятно. Правда. Большое спасибо за приглашение.