Отыскание периодических решений одного класса неавтономных систем дифференциальных уравнений
В прикладной математике иногда возникает задача построения периодических решений нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида
где функция
многомерного многочлена
Многие из теорем существования периодических решений системы (1) используют тот фундаментальный факт, что такие решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы. Однако использование данных теорем для непосредственного нахождения нужного периодического решения, скорее всего, не представляется возможным.
Пусть известно, что система (1) имеет единственное
Пусть
Здесь для простоты рассуждений мы полагаем, что начальный момент времени равен нулю. Тогда, если удастся определить вектор
Введем условия, накладываемые на функцию
1. Пусть
2. Существует такое положительное число
На рис. 1 приведена графическая иллюстрация этих условий для системы (1) второго порядка.
Рис. 1. Иллюстрация условий 1-2 для системы второго порядка.
В моей работе показано, что в этом случае последовательные приближения
для любого вектора
Исходя из формулы (2), каждая итерация вычисляется в символьной форме. При этом после преобразований тригонометрических функций под интегралом всегда можно получить тригонометрический полином с нулевым средним интегральным значением. Аналитическая форма представления приближения к периодическому решению удобна тем, что дает возможность провести анализ гармоник, составляющих это приближение. После вычисления очередной итерации строится функция
минимум которой и даст приближение к вектору
В качестве примера была рассмотрена нелинейная система второго порядка с конвергенцией вида (1) (в работе указаны значения радиусов шаров), где
Проверено, что траектория исследуемой системы второго порядка, соответствующая найденной начальной точке, возвращается в ее окрестность через период (рис. 2).
Рис. 2. Дуга траектории, соответствующей найденному вектору
По данной теме можно посмотреть мой доклад на математической конференции (прошу прощения за качество видео — снимали на телефон).