В предыдущей статье было разработано представление знаковых последовательностей полиномами матричных единиц на примере языкового текста. Текст превращается в алгебраический объект. С текстом можно совершать все алгебраические операции, необходимые для структуризации -- вычисления заголовков, словарей, аннотаций, смысловой разметки. В данной статье приведены два примера алгебраической структуризации текстов иной природы. Азбука Морзе выбрана из-за предельной краткости словаря, а математические формулы как пример обратной задачи.

1. Код Морзе-Вейля-Герке как алгебра матричных единиц

В азбуке Морзе знаковые последовательности (тексты) 26 латинских букв состоят из точек и тире. Пример выбран из-за предельной краткости словаря ("точка" и "тире").

Слова здесь - точки или тире. 26 букв азбуки - тексты из таких слов. У каждого слова две координаты. Первая координата – номер слова (точки или тире) в этой букве (от одного до четырех). Вторая координата – номер в словаре (1 или 2). Словарь E₁₁ ("точка") и E₂₂ ("тире").

Каждой букве (знаковой последовательности) с номером из Таблицы 1 можно поставить в соответствие матричный полином P из матричных единиц 4x4 по формуле (8) из статьи [1].

Например, букве Q (№17) ставится в соответствие матричный полином:

Свойством всех 26 полиномов-букв таблицы 2 является то, что крайними правыми сомножителями являются только три матричные единицы  E₁₂, E_21, E₃₂

Если все 26 полиномов Таблицы 2 представить столбцом ||P||, а также из того, что для матриц и столбцов выполняется:

то азбука Морзе структурируется в три левые идеалы наборов матричных полиномов Таблицы 2 с базисами ||P||₁, ||P||₂, ||P||₃.

где

||P||₂(||P||₂)^T - симметричная матрица - число в диагональных элементах – это число базисных элементов (простых и составных матричных единиц), принадлежащих букве, в других элементах – число совпадающих базисных элементов в соответствующей паре знаковых последовательностей (букв) - после нормализации характеризует важность буквы в азбуке.

(||P||₂)^T ||P||₂ - симметричная матрица - число в диагональных элементах – это число букв, принадлежащих базисным элементам, в недиагональных элементах – число совпадающих букв в соответствующей паре базисных элементов – после нормализации характеризует важность базисного элемента (заголовка) в азбуке.

Азбука Морзе алгебраически структурирована в три идеала (класса) с базисами (1.1). Представление азбуки через идеалы описывает все подобные коды с базисами (1.1). Представление азбуки через идеалы приведено в Таблицах 3 и 4:

Азбука Морзе: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

из-за свойств матричных полиномов(крайние правые сомножители - только три матричные единицы E₁₂, E_21, E₃₂) разбивается на три класса (три идеала) тремя образующими E₁₂, E_21, E₃₂:

E₁₂ - заголовок тех букв, которые имеют знак «тире» на первом месте 4-знаковой последовательности:

_BCD__G___K_MNO_Q__T___XYZ (13 букв)

E₂₁ - заголовок тех букв, которые имеют знак «точка» на втором месте 4-знаковой последовательности:

_BCD_F_HI_K__N____S_UV_XY_    (13 букв)

E₃₂ -  заголовок тех букв, которые имеют знак «тире» на третьем месте 4-знаковой последовательности:

__C__F___JK ___OP____U_W_Y_ (9букв)

2. Алгебра математического текста

В примере [1] языковый текст превращался в математический объект (матричный полином), с которым можно совершать алгебраические операции для анализа и синтеза текстов. В этом примере совершается обратное преобразование – математические объекты (формулы) сначала рассматриваются как тексты (знаковые последовательности), которые затем превращаются опять в математические объекты, но иные, чем исходные. Такая новая форма позволяет более системно находить  свойства математических объектов для сравнения и классификации.

Формулы объема конуса V_K, цилиндра V_ц и тора V_Т:

рассматриваются как тексты. Это означает, что входящие в тексты знаки не являются математическими объектами и для них отсутствуют алгебраические операции. Например, R₁²  – это R₁R₁, πR₁ – это не произведение двух чисел, а просто последовательность двух знаков. Знаки в (1): R₁ и H₁  – радиус основания и высота конуса, R₂ и H₂ – радиус основания и высота цилиндра, R₃ – внутренний радиус тора, R₄ – внешний радиус тора, r – радиус образующей окружности тора, π – это число π.

Для семиотического анализа формул как текстов важно наличие повторов знаков. Повторы определяют закономерности. В формулах (2.1) повторов знаков на самом деле больше, чем указанные повторы знака π. Знаки R₁, R₂, R₃, R₄, H₁, H₂ и r – это длины отрезков. Тогда один из знаков, например , является простым (эталон длины), а остальные знаки – составными: R₁=ar, R₂=br, R₃=cr, R₄=dr, H₁=er, H₂=fr . Тогда правые части формул (2.1):

Или в индексной форме:

Формулы (2.2) как полином матричных единиц из трех фрагментов

где:

Или в блочно-матричной форме:

В столбцах P находятся знаки из трех формул (2.1) . Если в столбце два нуля, это означает, что соответствующий знак имеется только в одной формуле. Например, знак «1/3» (или E_1,1), два знака «a» (или E_3,3+E_5,3) , один знак «e» (или E_7,7) имеются только в первой формуле для конуса (первая строка (2.5)). Только в цилиндре (вторая строка (2.5)) имеются два знака «b» (или E_11,11+E_13,11) и один «f» (или E_15,15). Только в торе (третья строка (2.5)) имеется знак (c+d) (или E_20,20). Общие знаки конуса, цилиндра и тора находятся во втором и четвертом столбцах (2.5). Тогда:

где:

В (2.6) матричный текст раскладывается по разным базисам P_дел1 и P_дел2. Базис P_дел1 учитывает взаимные положения между повторяющимися знаками относительно тора в формулах (2.1). Базис P_дел2 учитывает положения между повторяющимися знаками относительно знаков словаря D_R в формулах (2.1). В общем случае учет положения знаков в формулах существенен, если знаки некоммутативны (например, знаки – это матрицы, вектора, тензоры, гиперкомплексные числа). Но и в скалярном это полезно, например, канонической является формула площади круга π r^₂, а не r^₂ π.

Базис Гребнёра-Ширшова для (2.6):

Тогда:

В P_частн1 и P_частн2 имеются повторы (зацепления матричных единиц по второму индексу). Они подлежат дальнейшей редукции. Все зацепления разрешимы, - аддитивные P_частн1 и P_частн2 приобретут мультипликативную форму, как и для языкового примера.

Метод алгебраической структуризации текстов позволяет для текстов разной природы найти соответствующие классификаторы и словари. Т. е. классифицировать тексты без априорного задания признаков классификации и наименования классов. Такая классификация называется категоризацией или апостериорной классификацией. Например, для (2.3) классификационными признаками становятся:

• P_дел1 и P_дел2 (общие π и r в разных местах формул),

• общее число слагаемых в круглых скобках P_частн1 и P_частн2 (четыре),

• соотношения числа π и r в круглых скобках P_частн1 и P_частн2 (1,1,2 и 3,3,2),

• сомножители мультипликативной формы P_частн1 и P_частн2,

• всевозможные фрагменты P_ост (вычеты, как класс формул с остатком-фрагментом).

Наименования классов совпадают с наименованием признаков и их сочетаний.

Литература

[1] Пшеничников C.Б. Алгебра текста. Researchgate Preprint, 2021