Полный разбор экзамена в ШАД
Задачи прошлых лет, отсортированные по сложности и предметам можно посмотреть на сайте: https://shadhelper.notion.site
Автор решения: Лыков Александр, кандидат физико-математических наук.
Задача 1
Пусть
Подсказка
Использовать связь ранга матрицы с образом соответствующего линейного оператора.
Решение
Решение
Обозначим
оператор с матрицей . Напомним, что обозначает образ оператора, — ядро. Определим оператор
, действующий на как ограничение оператора на это подпространство: . Легко видеть, что справедливы равенства: Поэтому получаем:
Мы использовали то, что для любого линейного оператора
действующего на векторном пространстве справедлива формула
Задача 2
Сколькими способами
Подсказка
Разбить все столбцы на группы по принципу того, какое число по чётности стоит снизу, какое сверху.
Решение
Решение
Разобьём все столбцы таблицы на три группы:
Предположим, что в группе НН в первой строке
элементов. Тогда во второй строке этой группы также элементов, а количество элементов в верхней строке в группе ЧН равно . Тем самым имеем следующую картинку: Число способов выбрать элементы для группы НН равно
: сначала выбираем способами нечётные числа на верхние позиции, затем на нижние. Число способов выбрать чётные элементы (нечётные элементы уже определены на предыдущем шаге) для группы ЧН равно . Элементы в верхней строке для группы ЧЧ можно выбрать способами, на нижние позиции пойдут оставшиеся чётные элементы. После того как числа распределены по группам нам нужно выбрать места в таблице, где будут располагаться группы. Например, места с 1 по 10 уходят для группы НН, с 10 по 20 для группы ЧН , и с 20 по для группы ЧЧ. Это можно сделать способами - выбираем места для группы НН и затем для ЧЧ, для группы ЧН оставшиеся. Далее нужно учесть, что мы можем переставлять числа внутри группы, на одной строке. Это даст нам ещё
вариантов. Окончательно получаем ответ:
Задача 3
На станцию приходят в случайное время две электрички. Времена их приходов независимы и имеют экспоненциальное распределение с плотностью
a) вероятность того, что он сможет уехать хотя бы на одной электричке;
б) математическое ожидание времени ожидания студентом ближайшей электрички (считаем, что время ожидания равно нулю, если студент опоздал на обе электрички).
Подсказки
Обозначим
Решение
Решение
Обозначим
и времена прихода первой и второй электричек соответственно. Событие состоящее в том, что студент сможет уехать хотя бы на одной электричке может быть записано в следующем виде: Поэтому вероятность из пункта а) вычисляется следующим образом:
В равенстве
мы воспользовались независимостью случайных величин и Решим пункт б). Обозначим
время ожидания электрички. Имеем равенство: Для положительного
вычислим Заметим, что случайная величина не является абсолютно непрерывной, так как имеет атом в нуле
. Тем не менее для её математического ожидания справедлива формула: В последнем равенстве интеграл вычисляется по частям, либо на основе формулы для математического ожидания экспоненциального распределения с параметром
: где
экспоненциально распределён с параметром .
Задача 4
Верно ли, что всякая нечетная непрерывная функция, удовлетворяющая условию
Подсказка
Подсказки
Придумать чётную функцию
такую, что .
Решение
Решение
Неверно. Пример функции
Задача 5
Пусть
Подсказка
Использовать равенство
Решение
Решение
Имеем равенства:
В последнем равенстве мы использовали то, что для ортогональной матрицы
выполняется соотношение , где — единичная матрица. Также мы воспользовались известными формулами :
Задача 6
Назовем элемент прямоугольной матрицы седлом, если он является наибольшим в своей строке и наименьшим в своем столбце или наоборот. Придумайте алгоритм, за
Подсказка
Подумать как найти максимальный элемент в
Решение
Решение
Будем обходить все элементы матрицы по очереди и будем хранить максимальный и минимальный элемент для каждой строки и для каждого столбца:
Для этого нам понадобится
памяти и сравнений. Заметим, что элемент является седлом тогда и только тогда, когда встречается в и или в и для некоторых Теперь нужно пройти по двум массивам и и проверить каждый элемент встречается ли он в или в . Для этого требуется сравнений. Легко видеть, что общее число операций оценивается как
и необходимая память ограничена . Тем самым искомый алгоритм построен.
Задача 8
Пусть
Подсказки
Для оценки интеграла проинтегрировать по частям.
Решение
Для положительных
имеем: В равенстве
мы проинтегрировали по частям. Поэтому для некоторой константы
. Так как ряд сходится, то на основании признака сравнения делаем вывод, что исходный ряд сходится.
Комментарий: Из леммы Бореля-Кантелли и доказанной сходимости ряда вытекает, что
для всех начиная с некоторого номера с вероятностью единица, причём неважен характер зависимости случайных величин .
Что-то не так? Напишите нам на email shadhelper@yandex.ru✌️