Комментарии 36
вроде бы еще Хокинг писал, что каждая формула уменьшает количество читателей в два раза.
Но зато каждая картинка увеличивает количество дочитавших до конца :)
у вас в тексте очень мало картинок (или даже рисунков).
хотя бы даже вот такого с объяснениями - уже было бы лучше
Да уж, говорить про геометрию и не привести ни одного графика, ну такое.
ну, я когда решаю что-то математическое - то всегда вижу в голове фигуры. Мне проще сначала нарисовать, а потом уже написать.
А есть такие люди которым интересно писать текст (и формулы в виде текста), их графики только отвлекают.
У меня дочка такая например - я когда ей пытаюсь что-то объяснить, то рисую рисунок со стрелочками. После чего мы друг на друга молча смотрим (я - "ну вот, всё очевидно!", а она - "папа, что это? зачем ты пачкаешь бумагу?"), потом я дорисовываю буквы и пытаюсь всю эту геометрию перевести в формулы. А уже из формул - хопа, ей все понятно. (Интересно какие у меня будут внуки - тоже как я ? надо будет посмотреть - как она им будет объяснять математику из формул в фигуры :D )
Уважаемый vassabi!
В тексте была картинка, иллюстрирующая теорему Пифагора (перед формулой (1)), но система ее не приняла и не позволила вставить в текст. Я это воспринял спокойно: мы что, без картинки не разберемся в теореме Пифагора?
Хотелось бы услышать, как Ваша картинка, иллюстрирующая напряжения в твердом теле, поможет в понимании физического смысла метрического тензора? Ваша картинка сама нуждается в длинном, обстоятельном и (неизбежно!) путаном объяснении, что заведомо противоречит заявленной оценке текста как "простого". Вы готовы объяснить в "простом"(!) тексте, хотя бы такую простую(!) вещь: что собой представляют индексы символов на рисунке? Это просто условные обозначения? Чего? Мы с Вами знаем, что количество индексов определяет ранг тензора, но это не ответ на поставленный вопрос о понимании сути индексов. И "контрольный выстрел": Вы можете дать определение рангу тензора? Сразу признаюсь в своей неграмотности: я не могу. Извините, понервничал, написал лишнего, потому как ответ на Ваше замечание содержится уже в начале: Ваша картинка (плохо, бестолково и непонятно) иллюстрирует физический смысл тензора как математического понятия, но ничего не говорит нам о физическом смысле метрического тензора, как способа описать любое пространство.
Собственно говоря, весь текст написан ради того абзаца, где говорится, что, зная компоненты метрического тензора, мы можем "построить" соответствующее им пространство. Вся остальная математика (лучше сказать, арифметика) только иллюстрирует этот факт. И в силу своей простоты, как мне кажется, иллюстрирует достаточно понятно (что и требуется).
По поводу два - полностью согласен. Я проектировщик, тензоры напряжений по идее должен бы понимать, но не понимаю вообще. Очень сложная муть. В принципе с понятием тензора я на вы, но из вашей статьи понял, в чем физический смысл этого метрического тензора - как вы и хотели. Для общего развития полезно)
Перечитайте первый абзац своего текста. Трижды. Лучше четырежды. И посмотрите на остальной текст, напичканый математикой по самое небалуйся.
Уважаемый unclegluk!
Перечитал первый абзац: в нем нигде не сказано, что в тексте не будут использоваться математические формулы. А во втором абзаце прямо говорится, что формулы будут, но простые. Обещание исполнено: формула (1) это теорема Пифагора для декартовых координат на плоскости, а (3) – та же формула, но уже для общего случая. Куда еще проще?
А в целом, прочитав Ваш комментарий, почувствовал родственную душу. Математика, конечно, мутная наука – для нас, нематематиков. Но что делать, если без нее никак нельзя?! Ведь она отражает не только количественные связи, но и описывает законы природы. Любая физическая идея, выраженная в словах – не более чем пустая болтовня и бесполезное сотрясение воздушной массы. Только получив математическое выражение, идея становится гипотезой.
---
Невозможно удалить свой собственный комментарий - ?!
Уважаемый DSolodukhin!
Текст не про геометрию как таковую, а про способ описания геометрии пространства. В нем упоминаются трехмерное пространство (геометрия которого понятна на бытовом уровне), пространства СТО и ОТО (геометрии которых адекватно изобразить в принципе невозможно). Честно говоря, не вижу, рисунком какого пространства можно проиллюстрировать текст.
Все публикации автора: https://vk.com/id608846425
Там интересно!
Спасибо за текст, но, по правде говоря, понимание метрического тензора сильно физичнее не стало.
Еще я бы рекомендовал вам заменить надстрочные индексы координатный осей на подстрочные, чтобы не путать их со взятием квадрата. Также рекомендую снабдить таки формулами вот этот пассаж:
> числовые значения всех компонентов gik легко рассчитываются из чисто геометрических соображений, через синусы и косинусы
Наконец, хорошо бы добавить тот факт, что компоненты метрического тензора -- это не константы, а сами по себе некоторые функции, которые и ищет решение уравнения Эйнштейна. Это мелочь и для нас с вами это может быть очевидно, но вот для новичка -- совсем не обязательно. По крайней мере мне когда-то давно это было вообще не ясно сразу. Зато это поможет установить четкую взаимосвязь: меняются компоненты тензора -- меняется гравитация.
Уважаемый zumrus!
1. В формуле (1) использованы надстрочные индексы, чтобы не забивать голову читателю неактуальной в данном контексте информацией. Если последовать Вашему совету, придётся объяснять, что в (1) индексы всего лишь условные обозначения, а в (2) они уже указывают на контравариантность компонентов. Последнее в этом тексте, на мой взгляд, явно лишнее.
2. Конечно, можно привести (и даже вывести!) формулы для компонентов gik в случае косоугольных координат. Но что эти математические упражнения добавят к физическому смыслу метрического тензора? Тем более, мне кажется, что способ решения задачи для косоугольных координат вполне понятен на интуитивном уровне и не требует строгого вывода.
3. А вот на Ваше замечание: «по правде говоря, понимание метрического тензора сильно физичнее не стало» мне, честно говоря, ответить нечего. Значит, я где-то недоработал и текст не достиг своей цели. В свое оправдание могу сказать лишь одно: я старался!
А почему ничего нет про ковариантные и конравариантные координаты ?
А зачем здесь это?
Как это зачем ? Эти координаты связаны через метрический тензор.
О свойствах метрического тензора можно исписать не одну страницу. Но в данном случае обсуждение ограничено рамками темы, заявленной в названии.
Тут про физический смысл метрического тензора, а не математический. А физический смысл метрического тензора - это линейка для измерения расстояний между заданными точками. Дифференциальные операторы, из которых возникают ковариантные координаты, очевидно, выходят за рамки данного рассмотрения.
Раз уж Вы рассуждаете о недекартовых координатах, то было бы наглядно привести пару примеров метрического тензора. Например, для сферических или цилиндрических координат. И для косоугольных координат посчитать через синусы и косинусы. И матрицы можно в текст вставить. А вот вполне себе определение тензора: https://ru.wikipedia.org/wiki/Метрический_тензор. Можно его попроще разобрать, а то, на мой взгляд, уж слишком наворочено. Иначе непонятно, в чем смысл статьи.
Физичность метрического тензора, по-моему, и есть его способность описать метрику пространства в разных системах координат. А ковариантность и контравариантность компонент - куда же без них? Это же и есть инвариантность тензора как физического объекта.
Если вы про ОТО, то там инвариантен интервал, а не метрический тензор. Метрический тензор по определению не может быть инвариантен - он определяется выбранной системой координат. Можете ли вы пояснить, каков физический смысл ковариантности и контравариантности, и зачем конкретно нужны ковариантность и контравариантность в данной статье?
Метрический тензор как объект инвариантен по определению. От системы координат меняются только его координаты. Пример тензора 1-го ранга - вектор. У него есть длина и направление. И какие бы танцы с бубном с системами координат вокруг него не делать, он сам не меняется. А метрический тензор просто разный в разных точках пространства. Но инвариантность аналогична.
Вы путаете вектор и его координатное представление. В том и дело, что длина и направление вектора - инвариантны. А его координатное представление меняется при изменении системы координат, оно контравариантно. И вы путаете интервал и метрический тензор. В ОТО инвариантны интервалы. И вот они не меняются при изменении системы координат. А метрический тензор - это именно набор коэффициентов билинейной формы, а не результат вычисления той самой билинейной формы для конкретных координат (то есть интервал). Метрический тензор - дважды ковариантен, интервал - инвариантен. Метрический тензор в отрыве от системы координат просто не существует. Так же, как координатное представление вектора не существует в отрыве от системы координат. В отличие от интервала или самого вектора.
А его координатное представление меняется при изменении системы координат, оно контравариантно
В декартовых координатах нет разницы между ковариантными и контравариантными компонентами тензора.
Вы путаете тензор и тензорное поле (когда тензор зависит от точки в пространстве, т.е. является функцией координат).
Если под декартовыми координатами вы подразумеваете координаты в ортонормированном базисе, то да, разницы нет. Но в таком базисе и метрический тензор не нужен.
Я нигде не писал про тензорное поле. Инвариантность, ковариантность, контравариантность - эти понятия имеют смысл только при переходе от одной системы координат к другой. И метрический тензор никак не может быть инвариантен просто по определению. Инвариантный метрический тензор не имел бы никакого смысла, точно так же, как не имеет смысла метрический тензор в декартовой системе координат.
Прошу прощения, позвольте вклиниться в дискуссию. Инвариант - это скаляр (и только скаляр!), то есть тензор нулевого ранга (число). Поэтому вектор - не скаляр. А вот длина(!) вектора - скаляр (SQRTds^^2).
Признаюсь, вспомнил это, только заглянув в шпаргалку. (Это я к тому, что "какая же все-таки гадость - это ваше... тензорное исчисление!").
Уважаемый mikko_kukkanen!
1. Тест имеет вполне ограниченную цель. Он не о метрическом тензоре вообще, а только о том, как его можно себе представить физически. Нет никакого смысла выходить за рамки указанной цели.
2. Определение метрического тензора по Вашей ссылке – ярчайший пример той «математизированности», о которой говорится в обсуждаемом тексте. Для доказательства достаточно перечислить ключевые термины в этом определении: тензорное поле; скалярное произведение; касательное пространство; билинейная форма. Вопрос: как из подобного определения понять физику(!) метрического тензора? Далее в Википедии утверждается: «Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия, свойственные евклидову пространству». Это правильное утверждение, но оно абсолютно декларативное. В обсуждаемом тексте сделана попытка показать не что делает метрический тензор, а как(!) он это делает, каким способом. Причём, показать предельно просто.
3. В остальном согласен с Psir'ом. Каюсь, я тоже не могу объяснить физический(!) смысл ковариантности и контравариантности. С удовольствием прочитал бы на Хабре посвященную этому статью.
Индексы вектора стоит сделать отличными от степеней, а то уже в первой формуле каша получается
Здесь был хороший цикл статей про тензоры, если кому нужно, то вот
https://habr.com/ru/articles/261421/
Из статьи так и не понял что за физический смысл.
Хотелось бы картинок и примеров.
Чему равны gik в нормальных прямоугольных декартовых координатах? 1? Ну и конечно мешанина степеней и индексов в формулах 1 и 2. Может в ОТО и можно опускать знак суммирования, но зачем записывать квадрат dx через умножение?
Уважаемый ivansmith!
Ваши возражения и вопросы абсолютно обоснованы, и причина их ясна. Дело в том, что текст предназначен для людей, все-таки уже знакомых с началами тензорного исчисления и ОТО, но «травмированных» изложением этих дисциплин в исполнении высокомерных математиков и подражающих им физиков. В тексте сделана попытка объяснить смысл одного из понятий тензорного исчисления так, чтобы он стал чуть более понятен не «продвинутому» отличнику, а среднему студенту с обыденным (а не математическим) стилем мышления. К последнему высокоученые лекторы редко спускаются со своих заоблачных высот.
В декартовой системе координатах gik равен скалярному произведению векторов, направленных по осям координат (они называются базисными). Каких вектроров? Всех! То есть берутся попарно все вектора (даже один и тот же вектор), при этом i и k — это номер векторов.
Базисные вектора перпендикулярны — поэтому их скалярное произведение равно нулю (если i не равно k). Для i = k мы умножаем вектор сам на себя, при этом получаем какое-то число. Если длинны всех базисных векторов равны 1, то это число (для i = k) равно 1.
То есть ответ на Ваш вопрос:
gik = 0, для i != k
gik = 1, для i == k
Например: g11 = g22 = g33 = 1, g12 = 0
Хорошо, а если у нас по оси X направлен базсиный вектор с длинной 2?
Тогда
g11 = 4
осталные g22 = g33 = 1
gik = 0, для i != k
Физический смысл метрического тензора