Многокубитные квантовые вентили: что, как и зачем

Продолжаем цикл материалов о кварнтовом мире. В этом поговорим о наиболее известных многокубитных квантовых вентилях.

Многокубитные вентили 

В предыдущей статье мы рассмотрели однокубитные вентили, сегодня поговорим о многокубитных вентилях. Квантово-вентильная операция, которая оперирует на одном кубите, имеет унитарную квадратную матрицу 2 × 2 в заданном базисе. В случае двух кубитов матрица имеет размер 4 × 4. В случае десяти кубитов ее размер равен 2¹⁰ × 2¹⁰, то есть 1024 × 1024. Рассмотрим наиболее известные многокубитные квантовые вентили.

1. Квантовый вентиль

Начнем с рассмотрения того, что означает применение вентиля H Адамара к каждому кубиту в 2-кубитной системе. Вентиль H, или вентиль Адамара, имеет матрицу:

оперирующую в ℂ². Начиная с двух кубитных состояний

Применение H к каждому кубиту означает вычисление

и это то же самое, что и

для некоторой унитарной матрицы H^⊗2 размером 4 × 4. Имея определение H и способ создания матричного тензорного произведения из раздела 8.1, мы можем вычислить:

Эта матрица помещает оба кубита в 2-кубитную систему, в которой каждый изначально инициализирован состоянием в суперпозицию.

Обратите внимание на рекурсивное определение H^⊗2 в терминах матричных блоков матриц H.

Хотя мы могли бы нарисовать H^⊗2 с двумя входами и выходами, вместо этого мы показываем его, применяя H к каждому кубиту в схеме.

Для 3-кубитной системы соответствующая матрица H^⊗3 имеет вид:

То есть:

Из этого следует, что

А также

Закономерности продолжаются. Это показывает, что применение вентиля Адамара к каждому кубиту, инициализированному состоянием , создает сбалансированную суперпозицию, включающую все базисные кет-векторы. Число в последнем случае необходимо для того, чтобы квадрат абсолютного значения кета был равен 1. Оно является нормализующей константой.

Если у вас три классических бита, то вы можете представить все нижеследующее, но только по одному элементу за раз: 000; 001; 010; 011; 100; 101; 110; 111.

И напротив, 3-кубитное состояние H^⊗3|0〉₃ содержит каждую из соответствующих кетно-базисных форм одновременно.

Это ситуация, когда десятичное выражение для базисного кета является кратким. Мы можем переписать последнее равенство как

Сейчас самое подходящее время ввести обозначение суммы. Заглавная греческая буква «сигма» используется для выражения суммы, основанной на формуле:

Такая запись означает, что мы начинаем j в единице и по очереди рассматрива- ем j = 2, j = 3 и j = 4. Мы допускаем начальное значение суммы, равное 0, а затем добавляем каждый результат оценивания формулы справа от ∑ с заданным значением j. Здесь 1 является нижней границей для j, а 4 — его верхней границей.

Вот еще один пример:

Нижняя граница тоже не обязательно должна быть константной.

Общая форма для состояния n-кубитного регистра с использованием десятичного кетного обозначения имеет следующий вид

где

Благодаря этой формуле мы можем выразить формулу для сбалансированной суперпозиции n кубитов.

Мы можем отбросить нижний индекс n на кетах, если мы знаем, что работаем с конкретным числом кубитов.

Между прочим, у нас есть похожие обозначения для произведений.

Например, если мы выполним факторизацию положительного N в Z на множество простых чисел {p₁, p₂, …, p_n} и каждое простое число p_j встречается e_i раз, тогда

Теперь обратимся к 2-кубитным вентилям, которые не являются тензорными произведениями 1-кубитных. Как и в случае с малыми вентилями, мы рассмотрим несколько наиболее часто используемых 2-кубитных операций.

2. Квантовый вентиль SWAP

Вентиль X является битовой инверсией: если дано:

Теперь, когда мы рассматриваем два кубита, существует ли вентиль, который переключает кубиты? И что это вообще может означать?

Как мы уже видели ранее, при наличии двух кубитов

их тензорное произведение равно

Если мы возьмем их тензорное произведение в обратном порядке, то получим:

Первый и четвертый коэффициенты одинаковы, но второй и третий переключены.

Матрица

является примером матрицы перестановок 4 × 4. Для создания матрицы, которая меняет местами второй и третий коэффициенты кета (или элементы в векторе-столбце), надо начать с I₄ и поменять местами второй и третий столбцы. Это М.

В случае общего вектора

Следовательно,

При использовании таким образом мы называем квантовый вентиль с этой матрицей в стандартном кетном базисе вентилем SWAP (то есть вентилем перестановки).

Когда включаем вентиль SWAP в схему, он охватывает два провода. Запомните обозначения ×!

3. Квантовый вентиль CNOT/CX

Вентиль CNOT является одним из самых важных вентилей в квантовых вычислениях. Он используется для создания запутанных кубитов. 

Данный вид вентилей не единственный, который может это сделать, но он прост и очень часто используется.

Матрица для CNOT такова:

Это матрица перестановок, которая меняет местами третий и четвертый коэффициенты

Обратите внимание, что левая верхняя подматрица 2 × 2 равна I₂, а правая нижняя подматрица 2 × 2 равна матрице X. Это будет очевиднее, если мы перепишем матрицу в блочной форме как

Когда включаем вентиль CNOT в схему, он охватывает два провода. Верхняя линия — это управляющий кубит.

CNOT работает на стандартном базисе ℂ² ⊗ ℂ² как

В силу линейности

Применение вентилей H Адамара со сменой базиса перед и после вентиля CNOT

иллюстрирует интересное свойство CNOT.

Матричная форма H^⊗2 ○ CNOT ○ H^⊗2 такова:

Она сводится к более простой форме:

Что мы можем сказать по этому поводу? Мы видим, что это операция перестановки, которая меняет местами второй и четвертый коэффициенты стандартного кет-векторного выражения в ℂ² ⊗ ℂ².

Влияние М на стандартные базисные кеты таково:

Приглядитесь к тому, что происходит, когда мы смотрим на второй кубит. Если он равен |1〉, то первый кубит инвертируется. Если он равен |0〉, то первый кубит остается таким же.

Это противоположное поведение вентиля CNOT, но оно строится из него с помощью операций Адамара перед и после. В случае со CNOT оказалось, что состояние второго кубита контролируется первым. В этой конструкции все наоборот. Меняя базис на |+〉 и |–〉 и обратно, мы получили доказательства того, что CNOT делает больше, чем мы могли ожидать.

Если бы мы хотели, чтобы управляющий кубит был вторым именно таким образом, мы бы нарисовали его с использованием ● внизу. Иногда его называют обратным вентилем CNOT.

CNOT используется для создания запутанных векторов состояний Белла. Мы отложим их строительство до подраздела 9.3.2, когда у нас в руках будет больше инструментов.

4. Квантовые вентили CY и CZ

Вентиль CNOT совпадает с вентилем CX. Мы также можем создать контролируемые 2-кубитные вентили для других 1-кубитных вентилей. В блочной матричной форме

являются матрицами в стандартном базисе соответственно для вентилей CY и CZ. CZ — это условная знаковая инверсия.

Эти типы вентилей показаны на следующей схеме, где последние два инвертированы, чтобы показать, что они могут работать между произвольными проводами.

В общем случае если матрица

является унитарной, то матрица для контролируемой U такова:

5. Квантовый вентиль CR

Еще одно полезное множество контролируемых вентилей представлено вентилями, действием которых является  . Первый кубит определяет, должна произойти смена фазы или вращение вокруг оси z сферы Блоха.

Общая матрица для такова:

Когда включаем вентиль в схему, он имеет теперь уже знакомую для нас форму. Мы указываем конкретное радианное значение фи такое как

6. Квантовый вентиль CCNOT Тоффоли

Квантовый вентиль CCNOT Тоффоли — это двойной контрольный вентиль, оперирующий на трех кубитах. Если состояния первых двух кубитов равны |1〉, то он применяет X к третьему. В противном случае он является ID на третьем. Во всех случаях он является ID для первых двух кубитов.

Его матрица представляет собой матрицу перестановок 8 × 8, которая меняет местами два последних коэффициента, как CNOT.

Вентиль CCNOT охватывает три провода в схеме. Две верхние линии — это управляющие кубиты.

Вентиль Тоффоли также называется вентилем CCX.

7. Квантовый вентиль CSWAP Фредкина

Квантовый вентиль CSWAP Фредкина — это контрольный вентиль, оперирующий на трех кубитах. Если состояние первого кубита равно |1〉, то состояния второго и третьего кубитов меняются местами, как в SWAP. Если оно равно |0〉, то ничего не меняется.

Его матрица представляет собой матрицу перестановок 8 × 8:

Как и CCNOT, вентиль CSWAP охватывает три провода, верхняя линия которых является управляющим кубитом.

Заключение

Итак мы перечислили стандартные 2-кубитные и 3-кубитные вентильные операции, следующий шаг это поместить их в схемы и реализовать алгоритмы. Этим мы займемся в следующий раз.