Математика *

В этой статье подробно разбираются и доказываются две классические теоремы теории динамических систем: теорема о локальном выпрямлении векторного поля и критерий комму- тирования фазовых потоков. Эти утверждения стандартны; они входят в университетские программы и содержатся во многих учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям и дифференциальной геометрии. Однако на практике полное формальное доказательство критерия коммутирования встречается редко. В продвинутой литературе (например, в учебниках В. И. Арнольда) авторы обычно используют геометрический подход через производную Ли, что требует привлечения аппарата дифференциальной геометрии, при этом аналитические детали зачастую оставляются за кадром. В более простых же курсах это доказательство часто и вовсе опускают. Методическая особенность предлагаемого текста заключается в том, что оба утверждения доказываются строго аналитически — в компонентах и без привлечения геометрических обра- зов. Все выкладки опираются исключительно на базовый математический анализ и классиче- скую теорему существования и единственности решения задачи Коши.

Я проверил маленький нейросетевой слой в арифметике GF(137): не через квантизацию готовой float32-модели, а сразу в байтовом конечнополевом представлении. В лучшем замере получилось около 4x по памяти и до 4.86x по времени относительно моей NumPy float32-реализации. Внутри — код нативного ядра, ARM NEON, таблица запусков и честный разбор, где результат не сработал.

За attention-механизм с 2017 года брались сотни раз: sparse attention, linear attention, MoE, MLA, скользящие окна, что только не. А вот residual connection, остаточная связь, та самая x + F(x) из ResNet 2016 года, простояла почти десять лет нетронутой. Её просто унаследовали из résnet'ов, воткнули в трансформер и забыли.

31 декабря 2025-го DeepSeek выложил на arXiv препринт, где взялся именно за этот кирпич. И что показательно, загрузил его на arXiv лично основатель компании Liang Wenfeng, он же в соавторах. Когда основатель сам публикует статью, это обычно значит, что она ляжет в следующую флагманскую модель. Так и вышло: mHC поехал в DeepSeek V4, который выкатили 24 апреля 2026-го.

Разберём, что они сделали, почему это работает и при чём тут матрица из шестидесятых.

Вода при температуре ровно ноль градусов не знает, чем ей быть. Добавьте к ней крошечный импульс энергии, и она останется в жидком состоянии; отнимите столько же, и она превратится в лёд, а молекулы зафиксируются в идеальной повторяющейся решётке. Сам переломный момент, этот тонкий момент нерешительности, представляет собой особое состояние объекта. На протяжении десятилетий физики подозревали, что нечто подобное может произойти и с пространством-временем. Не с молекулами воды, а с самой структурой Вселенной, организующейся в кристаллическую структуру прямо на пороге превращения в чёрную дыру. Теперь, впервые, команда из Вены и Франкфурта записала точное математическое описание того, как выглядит этот объект, используя не более чем бумагу и карандаш.

Результат, опубликованный в Physical Review Letters, решает задачу, которая оставалась открытой с 1993 года. Он также раскрывает нечто действительно странное о том, как могут образовываться чёрные дыры, и даёт намёк на то, как могла выглядеть самая ранняя Вселенная.

История начинается с физика по имени Мэтью Чоптуик, который в 1993 году проводил компьютерное моделирование коллапса материи. Он обнаружил, что если настроить энергию падающей оболочки частиц на критический порог — границу между «коллапсом в чёрную дыру» и «безопасным рассеиванием» — то получившееся пространство-время не просто остаётся в покое. Оно пульсирует. Оно колеблется с точным повторяющимся ритмом, с дискретной самоподобностью, как будто само пространство-время представляет собой кристалл с регулярной решётчатой структурой. Физики назвали это состояние критическим коллапсом и почти сразу поняли, что оно имеет признаки фазового перехода, что-то вроде момента, когда вода превращается в лёд. Аналогия была убедительной; математика, как оказалось, была чрезвычайно сложной.

Вращения в трёхмерном пространстве встречаются практически в любой задаче компьютерной графики, от игровых движков до WebGL‑приложений.

В статье разбираю, как описываются повороты с помощью матриц и кватернионов, почему оба подхода задают одни и те же преобразования и в чём заключаются преимущества кватернионов на практике.

На примере демонстрационного проекта на Rust, WebAssembly и ThreeJS рассматриваю связь между осью вращения, матрицами поворота, комплексными числами и кватернионами, а также показывается, как эти математические конструкции используются для вращения реальной 3D‑модели.

Всем привет. Я сделал бесплатную обучающую платформу shlyk.tech с упором на визуализацию идей и структур. Графы, системы счисления, логику, комбинаторику, индукцию здесь можно потрогать, покрутить, прошагать и понять, почему оно так работает.

Как бы мы ни пытались отказаться от этого инструмента в поисках более изящных алгоритмических решений, каждый раз мы к нему возвращаемся.

В прошлой статье про Гамма-флип я вскользь касался механики работы с отклонениями, но не раскрыл тему до конца.

В этой статье мы углубимся в стохастический анализ и рассмотрим методы определения стационарности временных рядов в реальном времени. Разберем математический аппарат расширенного теста Дики-Фуллера (ADF), причины его интеграции в ядро нашей торговой системы и особенности реализации на Python при работе с большими массивами данных.

Вокруг квантовых вычислений много маркетингового шума. Если вы попытаетесь смоделировать честное 48-кубитное квантовое состояние в комплексном базисе complex128, то неизбежно упретесь в «стену памяти» в 4.5 Петабайта. Если же вы решите применить блочную декомпозицию пространства состояний для ее поочередного обсчета, то упретесь в «стену времени» длиною в несколько лет непрерывных вычислений на GPU.

В этой статье мы разберем проект гибридного симулятора, который обходит обе стены, удерживая потребление видеопамяти в пределах 268 МБ, а время симуляции сокращает в 400 раз.

Давайте сразу снимем маски: физически данный симулятор не удерживает 48 кубитов в единой суперпозиции. Между старшей и младшей половиной регистра полностью отсутствует квантовая запутанность (entanglement).

Вместо этого применена жесткая, но эффективная классическая блочная декомпозиция (принцип Space-Time Trade-off, то есть размен памяти на время):

Смотрели итоги прошедшего ICLR? Меня заинтересовала довольно провокационная статья от Эплов — ParaRNN. Казалось бы, параллельность РНН — это их главный недостаток, благодаря которому их заменили трансформеры (в большинстве задач).

Я ожидал, что прогнозирующий контроллер обгонит HPA на коротком пике. Но в Kubernetes всё упёрлось не только в алгоритм: пик длился 30 секунд, а новые Pod становились Ready примерно через 40.

Представьте себе задачу, условия которой можно объяснить восьмилетнему ребенку ровно за тридцать секунд. А теперь представьте, что эта же самая задача десятилетиями заставляет сдаваться величайших математиков современности. Гипотеза Коллатца (или проблема «3x+1») доказывает поразительную вещь: за самыми элементарными арифметическими правилами может скрываться абсолютно непредсказуемый хаос и бесконечная сложность. Разбираемся, в чем подвох этой задачи, почему Пауль Эрдёш предлагал за её решение деньги из своего кармана и как с ней справляются современные суперкомпьютеры.

Всем привет! Я Андрей Романов, тимлид команды аналитики Sales Tech в Авито, а также преподаватель и ментор по А/B-тестированию. 

В последние годы я регулярно работаю с A/B-тестами на малых выборках: когда в группе не тысячи пользователей, а 10–40 менеджеров, регионов или других экспериментальных единиц. На этом опыте я собрал практический гайд: что можно сделать до запуска, во время дизайна и после эксперимента, чтобы выжать максимум из ограниченных данных.

В A/B-тестах на малых выборках стандартные проблемы усиливаются: MDE выше ожидаемого эффекта, метрики шумят, а эффект трудно отделить от случайности. При этом страдает не только чувствительность, но и валидность: из-за небольшого числа наблюдений любая ошибка в дизайне, балансе групп или интерпретации результата становится гораздо опаснее.

В материале дам 26 шагов, которые помогут выжать максимум чувствительности и валидности из ограниченной выборки. Хотя фокус — на A/B-тестах с малыми выборками, 90% подходов применимы и к стандартным экспериментам.

В рамках данной статьи предлагается погрузиться в математику оценки коэффициента шума (КШ) сигнальным методом через отношение сигнал-шум (С/Ш или SNR), извлечь ряд интересных и полезных моментов, связанных с собственными шумами приемных устройств. Рассмотрены вытекающие методологии оценки КШ из основной методологии.

В предыдущей части мы затронули концептуальную идею Kernel Trick (ядерного трюка). Если говорить кратко: когда у нас нет возможности линейно разделить данные в текущем пространстве признаков, мы можем отобразить их в пространство более высокой размерности, где классы станут легко разделимы обычной гиперплоскостью.

В этой части мы глубоко изучим математическое устройство этого метода и разберемся, почему и как именно он работает "под капотом".

В предыдущей части была рассмотрена предыстория комплексных чисел: от их первого открытия до понимания и умения их широко использовать в науке прошли сотни лет. Комплексные числа впервые возникли как артефакт вычислений в работе Кардано 1545-го года и вплоть до конца XVIII века их статус оставался нестабильным, шли научные дискуссии об уместности их употребления и интерпретации.

Современные изложения теории комплексных чисел выглядят «магически» и непонятно для многих людей именно потому, что, как правило, разрыв между непониманием XVIII века и теориями XIX века не покрыт. Сначала предлагается изучить основы теории комплексных чисел в том виде, в которой они были сформулированы в середине XVIII века, а потом сразу делается скачок к теориям, созданным в середине XIX века.

Ключевой шаг понимания мнимых единиц, сделанный человечеством в начале XIX века присутствует только в виде готовой векторной интерпретации комплексных чисел, которая дается пояснения, откуда и зачем она взялась, и что же она объясняет. Интерпретация есть, а смысла за ней нет. Концептуальные проблемы, связанные с комплексными числами, не только не решаются с помощью нее, но и даже не ставятся.

Изложение теории комплексных чисел и даже теории функций комплексного переменного, принятое в современных учебниках, логически противоречиво и содержит много парадоксов, которые современные студенты и их преподаватели обычно даже не замечают, а математики прошлого видели в них неразрешимые проблемы.

В этой статье мы разберемся, наконец, с геометрическим смыслом комплексных чисел, который разрешает все эти парадоксы, а в следующей — с самими парадоксами Эйлера: как их не могли решить великие математики и как их легко решила геометрия.

Размытие — базовый строительный блок множества эффектов постобработки в видеоиграх, без него не обходятся красивые современные GUI. Оно используется в эффектах Depth of Field, Bloom или панелях с эффектом матового стекла современных пользовательских интерфейсов.

Эффект Bloom — один из множества способов применения алгоритмов размытия

Концептуально реализовать размытие легко, его принцип сводится к тому или иному способу усреднения цветов в заданном радиусе. Однако для того, чтобы выполнять его в реальном времени, понадобились десятки лет исследований и экспериментов в computer science и математике. В этой статье мы поэтапно разберём их; можно назвать это путешествием во времени в сфере программирования графики.

В оригинале статьи техники размытия реализованы в реальном времени благодаря использованию GPU и возможностям WebGL браузера.

Надвигающаяся угроза со стороны заточенных на криптографию квантовых компьютеров заставила срочно менять действующие примитивы асимметричной криптографии — обмен ключами (ECDH) и цифровые подписи (RSA, ECDSA, EdDSA) — которые уязвимы для квантового алгоритма Шора. Однако существующих симметричных методов криптографии (AES, SHA-2, SHA-3) или уровней их стойкости это не коснулось. ccc

В индустрии бытует заблуждение, что квантовые компьютеры вдвое ослабят безопасность симметричных ключей, и для обеспечения того же 128-битного уровня защиты потребуется перейти на 256-битные ключи. Это неточная интерпретация ускорения, которое несут в себе квантовые алгоритмы. Она не отражена ни в одном из нормативных стандартов и рискует отвлечь внимание от реально необходимой работы по переходу к постквантовой системе криптографии. Обычно это заблуждение происходит из недопонимания применимости другого квантового метода — алгоритма Гровера.

AES-128, как и SHA-256, обеспечивает достаточную защиту от атак с применением квантовых компьютеров. В рамках перехода в постквантовую эпоху размер симметричных ключей изменять не требуется. Это почти единогласное мнение среди профильных экспертов и органов стандартизации, которое нужно распространить среди остальной части IT-сообщества. И дальше в статье я подкреплю это утверждение техническими аргументами со ссылками на авторитетные источники.

В шестой части мы разобрали логистическую регрессию и увидели, как линейная модель может разделять классы с помощью вероятностного подхода.

В этой части поговорим о SVM — алгоритме, который ищет не просто разделяющую гиперплоскость, а оптимальную границу с максимальным зазором между классами.

Если логистическая регрессия отвечала на вопрос "с какой вероятностью объект принадлежит классу?", то философия SVM звучит иначе "где провести наиболее устойчивую границу между классами?".

Дорон Цейлбергер — математик, убеждённый в том, что всему приходит конец. По его мнению, так же как мы — существа ограниченные, так и природа имеет свои границы — а значит, и числа тоже. Посмотрите в окно: там, где другие видят реальность как непрерывную пространственную протяжённость, неумолимо текущую вперёд от момента к моменту, Цейлбергер видит тикающую вселенную. Это дискретная машина. В плавном движении окружающего мира он улавливает едва заметное размытие, как в кинеографе.

Для Цейлбергера вера в бесконечность — это как вера в бога. Это заманчивая идея, которая льстит нашей интуиции и помогает нам осмыслить всевозможные явления. Но проблема в том, что мы не можем по-настоящему наблюдать бесконечность, и поэтому не можем по-настоящему сказать, что она собой представляет. Уравнения определяют линии, которые уходят за пределы доски, но куда? Доказательства пестрят многозначительными многоточиями. Эти уравнения и доказательства, по мнению Цейлбергера — многолетнего профессора Рутгерского университета и известного специалиста в области комбинаторики — одновременно «уродливы» и ложны. Это «полная чепуха», — сказал он, выдыхая каждый слог хриплым голосом, который, казалось, износился от того, что он доказывал свою точку зрения.

Сегодня в технологической среде принято говорить об искусственном интеллекте так, будто он естественно продолжает и вскоре заменит человеческое мышление. Нейросети с миллиардами параметров, огромные датасеты, все более эффектные демо создают иллюзию, что «набор связей в компьютере» уже является новым носителем разума. Между тем с точки зрения нейробиологии и когнитивных наук это представление выглядит, по меньшей мере, преждевременным: объем фактов о мозге, нервной системе и восприятии скорее подталкивает ученых сомневаться в том, что нынешний ИИ может быть преемником или аналогом мозга, сознания и психики, чем подтверждает такую надежду.

Бред, конечно. Мозг работает иначе, и ИИ крайне далек от понимания того, как это устроено, как мозг воспринимает реальность, превращает ее сначала в данные, а затем в информацию в привычном нам смысле. Там нет привычной для ИИ математики – дифференциалов, интегралов, байесовских схем и обратного распространения ошибки. Логика, которой следует «процессинг» мозга, качественно иной, чем логика операций над буквами, цифрами и их комбинациями; это не классическая математика и не лингвистика в узком смысле.