Математика *

Специалисты по дескриптивной теории множеств изучают узкоспециализированные аспекты математики бесконечности. Теперь они показали, что их проблемы можно переформулировать на языке алгоритмов.

В 2023 году математик Антон Бернштейн опубликовал статью о глубокой и удивительной связи между дескриптивной теорией множеств и современной информатикой. Его результат показал, что язык алгоритмов может описывать даже те бесконечные структуры, которые десятилетиями считались чисто абстрактными. И если это правда, то граница между теорией множеств и информатикой проходит совсем не там, где мы привыкли её проводить.

Это перевод статьи Дэвида Плаксо, моего товарища по увлечению математикой кубика Рубика, преподавателя департамента математики Университета Джорджии (UGA). Дэвид задался необычным вопросом: можно ли взять математический узел, превратить его в пиксельную проекцию и собрать ее на поверхности кубика Рубика или биг-куба — например, кубика 9×9×9? Причём сделать это таким образом, чтобы результат был не просто корректным с точки зрения топологии узлов, но ещё и визуально привлекательным, то есть «фотогеничным» (photogenic) — именно такой термин предлагает использовать Дэвид.

В итоге получилась увлекательная смесь математики, теории узлов, пиксель-арта и механики кубика Рубика — статья под названием «Photogenic Knot Projections on n×n×n Rubik’s Cubes» («Фотогеничные проекции узлов на кубиках Рубика n×n×n»), которую Дэвид представил на ежегодной конференции по математике и искусству Bridges в 2022 году.

Большая часть работы по теории языков программирования и проектированию языков программирования касается аспектов (1) и (2), так как именно они наиболее важны, но лично я глубоко увлекаюсь фичами типа (3). Поскольку эти фичи такие мелкие, именно они наиболее активно перетекают из языка в язык, ведь добавить их можно совсем «малой кровью». Сам я много времени провёл за изучением нишевых малопонятных языков, и за этим встречал множество крутых фич из третьей категории — таких, с которыми вы, возможно, никогда не сталкивались. Расскажу о некоторых из них!

Парадокс, что 80% руководителей из раза в раз выполняют рутинную работу, но не находят времени, чтобы просто остановиться и подумать:  какой механизм приносит деньги и где этот механизм ломается.

Поэтому - один лист, который можно заполнить за 20–30 минут и сразу увидеть слабое место и реальные перспективы.

Термин «фрактал» появился в 1975 году. Его ввёл математик Бенуа Мандельброт, работавший в IBM и преподававший в Йельском университете. Фракталы — это математические объекты или природные формы, обладающие свойством самоподобия: их части повторяют общую структуру при любом масштабе. Мандельброт предложил формальный язык для описания таких форм — фрактальную геометрию. Она позволила анализировать изломанные линии, ветвящиеся структуры и объекты с дробной размерностью, которые не укладывались в рамки классической геометрии. Вместо того чтобы считать их исключением, он показал, что у этих форм есть строгие закономерности и способы измерения.

В этом материале поговорим о том, какие именно подходы изменили фракталы.

Привет Хабр!

Наступил 2026-й год, и, по своей традиции, в январские праздники я снова занялся решением задач на LeetCode уже четвертый год подряд. Каждый день я открываю задачу дня и решаю ее.

На данный момент я решил почти тысячу задач. Многие из них даются мне почти автоматически, но остаются еще простые и изящные задачи, которые продолжают радовать своей красотой. Про одну из таких я и хочу сегодня рассказать.

Бывает, когда требуется что-то замерить, я прибегаю к простому методу, который не слишком быстр, не слишком точен, не рекомендуется ни в одном официальном стандарте — но, всё-таки, ни разу меня не подводил. Опишу его здесь, хотя, даже просто называя его «методом», я уже немного его приукрашиваю. Пожалуйста, не пользуйтесь им, если нужно повесить шкафчики на кухне или вообще что угодно, на что вам придётся ежедневно глядеть в течение ближайших десяти лет. Из измерительных инструментов нам понадобится только лист формата A4 — и всё.

Привет, друзья! В прошлой статье мы разобрали идею применения автоэнкодеров к трансоформерам. Там весь наш pipeline проходил на идее сжатия признакового пространства так, чтобы поделить кошек и собак. Но что делать, если у нас не задача классификации, а задача next token prediction? Да и признаки не соответствуют «собакам» и «кошкам», а охв атывают все богатство естественного языка...

Ответ сообщества сейчас такой — давайте использовать SAE. Как? Разбираем основы в статье.

Игрок платит денежную сумму S за игру, после чего подбрасывает честную математическую монетку до тех пор, пока не выпадет решка. Выигрыш игрока составляет , где H - число выпавших подряд орлов.

Легко показать, что матожидание такой игры стремится к бесконечности. С вероятностью 1/2 в последовательности не будет орлов и мы получим за неё 1 рубль. С вероятностью 1/4 выпадет один орел, и это 2 рубля. С вероятностью 1/8 вы получите 4 рубля, и так далее. Матожидание всех этих исходов: 1/2 + 2/4 + 4/8 + ... -> .

Однако вряд ли найдется человек, который согласился бы играть в эту игру даже при S=20.

Меня зовут Виталий и я пишу уже который год самую большую книгу по математике для 4– 11 классов, а так же автор поста (рекомендую почитать) о ней. Пишу я ее в LaTeX и считаю, что современный учебник не должен быть черно-белым, а так же должен быть удобен для использования и учеником и учителем.

Хочу поделиться моей находкой --- пакет `ProfCollege`. Компиляция ТОЛЬКО Lualatex. Как обычно прикладываю полный код в тексте.

Первая часть тут, вторая часть тут, третья часть тут

О том как участники финансового рынка оценивают справедливую стоимость сложных деривативов на примере сделки валютно-процентный своп.

Переосмысливаем память в ИИ: от пассивного контекста к активной, "живой" системе. Мой проект MemNet с Hebbian-графом и "сновидениями" решает задачи долгосрочных зависимостей. Код на GitHub + эксперименты внутри!

Меня зовут Виталий и я пишу уже который год самую большую книгу по математике для 4– 11 классов, а так же автор поста (рекомендую почитать) о ней. Пишу я ее в LaTeX и считаю, что современный учебник не должен быть черно-белым, а так же должен быть удобен для использования и учеником и учителем. Здесь я собрал базовые фишки, которые я использую (что-то чаще, что-то реже). Надеюсь, вы найдете что-нибудь полезное для себя:)

Постараюсь все подробно описать, но не гарантирую идеального кода. Компиляция в основном с помощью pdflatex, но есть места, где требуется lualatex. Для себя я сделал около 35 стилевых файлов для использования в преамбуле, но тут я написал полный код чтобы в каждом случае можно было запустить "из коробки".

Первая часть тут, вторая часть тут

В детстве каждое лето я проводил на даче. Из Ленинграда до дачи мы добирались на пригородном автобусе. Особой удачей я считал занять место напротив кассы и смотреть на то, как люди покупают себе билеты. Но не с целью контроля, а с целью наблюдения за самим процессом. И за билетами.

Очень меня интересовали эти самые билетики! Я их коллекционировал. На даче у меня был специальный дерматиновый красивый полупрозрачный конверт (от старых фломастеров), в котором я хранил все свои билеты. Номера автобусных билетов состояли из шести цифр, и я отдельно выделял те, у которых сумма первых трёх цифр была равна сумме трёх последних. Конечно, самыми ценными были бы те билеты, у которых все цифры одинаковые...

Это статья является дополнением к большому материалу Симметрия кубика Рубика, где я рассказывал о своем методе сборки зеркальных двусторонних инверсивных паттернов Mirror Dual-Sided Inverse (MDSI) на кубике Рубика. Я посчитал нужным дополнительно объяснить, как эвристически искал доказательство того, что возможно на противоположных сторонах кубика Рубика собрать любой (2-, 3-, 4-, 5- и 6-цветный) MDSI паттерн. Для этого я ввел понятие «зеркало» для среднего слоя, который отражает противоположные стороны и применил правило четности пермутаций.

Меня зовут Виталий и я пишу уже который год самую большую книгу по математике для 4– 11 классов, а так же автор поста (рекомендую почитать) о ней. Пишу я ее в LaTeX и считаю, что современный учебник не должен быть черно-белым, а так же должен быть удобен для использования и учеником и учителем. Здесь я собрал вторую часть фишек, которые я использую (что-то чаще, что-то реже). Надеюсь, вы найдете что-нибудь полезное для себя:)

Постараюсь все подробно описать, но не гарантирую идеального кода. Компиляция в основном с помощью pdflatex, но есть места, где требуется lualatex. Для себя я сделал около 35 стилевых файлов для использования в преамбуле, но тут я написал полный код чтобы в каждом случае можно было запустить "из коробки".

Первая часть тут

Представьте ситуацию: вы выбираете между Intel Core i9 и Apple M2 (как пример двух мощных систем). Один потребляет 300 Ватт и греется как печка, другой — 30 Ватт и работает от батареи 20 часов. Один показывает 200 FPS в играх, другой — 90, но в три раза эффективнее. Один стоит $600, другой — встроен в ноутбук за $800. Кого вы выберете?

Меня зовут Виталий и я пишу уже который год самую большую книгу по математике для 4–11 классов, а так же автор поста (рекомендую почитать) о ней. Пишу я ее в LaTeX и считаю, что современный учебник не должен быть черно-белым, а так же должен быть удобен для использования и учеником и учителем. Здесь я собрал базовые фишки, которые я использую (что-то чаще, что-то реже). Надеюсь, вы найдете что-нибудь полезное для себя :-)

Постараюсь все подробно описать, но не гарантирую идеального кода. Компиляция в основном с помощью pdflatex, но есть места, где требуется lualatex. Для себя я сделал около 35 стилевых файлов для использования в преамбуле, но тут я написал полный код чтобы в каждом случае можно было запустить «из коробки».

Кстати, в следующем посте будут еще <<круче>> функции.

Есть магия: взять число, разделить на ничто, умножить на ничто — и получить исходное. Не иллюзия, а математика уровней. Paradox библиотека — проводник в мир, где ноль бесконечно глубок, бесконечность структурирована, а запретные операции ведут не к краху, а к новым измерениям. Заклинание на C++ прилагается.

У людей, лишь шапочно знакомых с кубиком Рубика, иногда возникает вопрос, можно ли собрать кубик, просто вращая грани случайным образом? Несколько раз я слышал истории о том, что кто-то долго крутил кубик и случайно собрал его. Во-первых, «долго крутил» не значит «случайно собрал»: Эрнё Рубик крутил свой первый прототип несколько недель, прежде, чем понял, как перемещаются его элементы, и вернул волшебный куб в исходное состояния. Во-вторых, собрать одну грань или один слой – не значит, собрать весь кубик (а некоторые воспринимают «почти получилось» как «получилось»). И, наконец, математика практически не оставляет шанса собрать кубик случайно. Поэтому будем развенчивать этот миф.