Математика *

Парадокс Протагора и Эватла

Знаменитый философ и учитель софистики Протагор обучил юношу Эватла юриспруденции. Ученик обещал заплатить за обучение, но только если выиграет свой первый судебный процесс. Однако после окончания учебы Эватл не стал браться за дела и платить отказался. Тогда учитель подал на него в суд.

Спор:

Аргументация Протагора: Если Эватл проиграет суд, то он обязан заплатить по решению суда. Если Эватл выиграет суд, он выиграет свой первый процесс, а значит, обязан заплатить по условиям их изначального договора. Вывод учителя: при любом исходе ученик должен отдать деньги. Контраргументация Эватла: Если я выиграю суд, то по решению суда я ничего не должен платить. Если я проиграю суд, то я не выполнил условие договора (не выиграл свой первый процесс), а значит, по контракту я тоже ничего не должен платить. Вывод ученика: я не должен платить ни при каком исходе.

Рассуждения:

Логическая ошибка кроется в интерпретации фразы «выиграл процесс». У Протагора: «выиграть процесс» — это просто сам факт победы в суде (успешный исход дела). У Эватла: «выиграть процесс» — это значит освободиться от уплаты. Эватл подменяет понятия. Он считает, что если он выиграл суд, значит, он не должен платить по договору. Но одно не исключает другое: он может выиграть суд и при этом быть обязанным выплатить гонорар, потому что суд доказал его статус выигравшего дело (тем самым активировав договор).

Если рассматривать парадокс с точки зрения судебного права, то он возникает из-за смешения двух разных юрисдикций: условий частного контракта (договора) и власти судебного решения (закона). В логике этот софизм решается так:

У вас есть две веревки и коробок спичек. Каждая веревка сгорает ровно за 1 час. При этом они горят неравномерно (например, первая половина может сгореть за 5 минут, а остаток — за 55 минут). Как с помощью этих веревок отмерить ровно 45 минут?

Решение: Поджигаем первую веревку с обоих концов одновременно, а вторую веревку — только с одного конца. Первая веревка полностью сгорит ровно через 30 минут (так как пламя встретится). В этот самый момент поджигаем второй конец второй веревки. Ей оставалось гореть 30 минут с одного конца, но с двух концов она сгорит в два раза быстрее — за 15 минут. Итого: 30 + 15 = 45 минут.

Математики до сих пор пытаются понять фундаментальные свойства преобразования Фурье, одного из самых распространённых и мощных инструментов в математике. Новый результат стал важным шагом к достижению этой цели. 

Два столетия назад Жозеф Фурье подарил математикам волшебный метод. Он предположил, что почти любую функцию можно представить в виде суммы простых волн — этот приём теперь называется преобразованием Фурье. В наши дни преобразование Фурье используется для понимания всего, от химического состава далёких звёзд до процессов, происходящих глубоко под земной корой.

Привет, Хабр! Меня зовут Андрей Басов, я руководитель команды технической поддержки стрима корпоративных продуктов и сервисов в MWS, занимаюсь технической поддержкой и сопровождением продуктов линейки Partner Experience Platform.

В прошлом материале я рассказал о том, как мы с коллегами попробовали искать аномалии в логах наших систем с помощью методов машинного обучения. Сейчас мы провели работу над ошибками, все переработали (архитектуру, математический аппарат), внедрили генеративную LLM и Principal Component Analysis — и в итоге создали новую систему анализа жизни продуктов, которая самостоятельно балансирует, обучается, выявляет аномалии, паттерны и даже заглядывает в будущее.

Но не только сама разработка этой «живой» системы стала для меня в проекте вызовом. Мы столкнулись с тем, что некоторые коллеги из разных подразделений не всегда понимают, чем конкретно мы занимаемся и как это все работает. Не всегда разделяют границы ИИ между машинным обучением и генеративным интеллектом.

Поэтому я открываю серию материалов о том, как математика способна превратить пассивную кластеризацию в активную и самосознающую систему: от основ байесовской адаптации, динамических границ и топологического анализа до внедрения в практику. Разбираться будем на примере нашей новой архитектуры.

Представьте семинар у физиков или математиков. Идёт автоматическая запись лекции, а затем распознавание речи в аккуратный текст. В большинстве мест современные ASR-системы справятся неплохо. Но значительная часть такой записи будет состоять из фраз вроде «интеграл от икс в квадрате до бесконечности», «сумма по i от единицы до n» или «производная по t от функции f».

Формально голос может быть распознан правильно. В расшифровке даже могут появляться отдельные символы вроде +, π или x. Но если человек произносит длинную формулу, результат почти всегда превращается в линейную фразу, читать которую физически больно. Хочется другого: чтобы система сразу понимала, где обычный текст, где математическое выражение, и выдавала не «один делить на икс плюс два», а корректный LaTeX-код, например, \frac{1}{x+2} или \frac{1}{x}+2, в зависимости от смысла.

Эта задача называется Speech-to-LaTeX или S2L: преобразование озвученных математических выражений и предложений в формальную LaTeX-запись. В отличие от обычного speech-to-text, здесь нужно распознать не только слова, но и структуру: дроби, индексы, степени, пределы, суммы, интегралы, скобки, вложенные выражения и границы формул.

Например, фраза «два делить на пи» в обычной расшифровке может остаться как «2 делить на π». Но в LaTeX она должна стать \frac{2}{\pi}. Именно такой формат нужен для статей, учебников, конспектов, Overleaf и других LaTeX-редакторов.

Несмотря на прогресс в automatic speech recognition (ASR), задача прямого преобразования озвученной математики в LaTeX долго оставалась почти неразработанной. Более того, нормальных открытых датасетов с человеческими аудиозаписями для такой задачи практически не было. В нашей работе мы попытались закрыть этот пробел: собрали открытый двуязычный датасет и сравнили несколько подходов к Speech-to-LaTeX. В статье, которую мы представили на ICLR 2026, описан датасет из более чем 66 тысяч человеческих аудиозаписей и 571 тысячи синтетических аудиозаписей на английском и русском языках. 

Во второй части мы рассмотрели аналитическое решение задачи линейной регрессии и наткнулись на ряд неприятностей — сингулярность, плохая обусловленность, вычислительная сложность и т.д.

Логическим продолжением будет изучение (не побоюсь этого слова) сердца машинного обучения: градиентного спуска.

Итак, в предыдущей части мы остановились на поиске решения задачи линейной регрессии. Сформулировали в общем виде задачу машинного обучения, поняли суть параметров, рассмотрели функции ошибок и начали копать в сторону линейной регрессии.
Ещё раз повторю, что этот цикл статей является лишь взглядом на ML с моей колокольни, так что он не обязательно является истиной во всех редакциях в последней инстанции. Так что буду рад всякому, кто исправит меня, коли сверну не туда.

Как я улучшил универсальный код Элиаса 1975 года, заменив длину на popcount — и получил 36% экономии на метаданных. С бенчмарками! Картинка на обложке кринжовая, но тут вроде так принято? 😅

Интернет — распределенная система, размер которой нельзя увидеть в окне «Свойства». Более того, ответ на вопрос «что считать интернетом?» существенно влияет на результат вычислений. Точных данных не найти, но отдельные исследования и статистика крупных интернет-ресурсов позволяют произвести примерные расчеты.

В этой статье вас ждет доступная в интернете информация об интернете, простые расчеты и, конечно же, статистика.

Сколько статей на хабре про машинное обучение? Обозначим их количество за и напишем ‑ю.

Это попытка собрать цельное понимание: пройти путь от «что это вообще такое» до условных трансформеров и связать всё в одну логичную цепочку.

Попробую всё описать максимально простым языком, минимально опираясь на математическую терминологию.

Как говорится, буду разбирать так, как сам это вижу и понимаю — без лишней теории, но и без магии.

Продолжаю публикацию интересных математических задач.

5 рациональных пиратов (А, Б, В, Г и Д) должны разделить 100 золотых монет. Иерархия: А — самый старший, Д — самый младший. Старший предлагает план дележа. Если за него проголосует хотя бы половина пиратов (включая его самого), план принимается. Если нет — старшего выбрасывают за борт, и право предложить план переходит к следующему. Как пират А должен разделить золото, чтобы остаться в живых и получить максимум?

Решение: Нужно рассуждать с конца. Если останутся только Г и Д, Г заберет всё (его голоса хватит для 50%). Чтобы этого не допустить, В должен предложить Д хотя бы 1 монету, чтобы тот поддержал его. Пират А знает это и предлагает: 98 — себе, 0 — Б, 1 — В, 0 — Г, 1 — Д. В и Д согласятся, так как при отказе и переходе хода к Б они могут не получить ничего или меньше.

Самовлюблённые числа (они же числа Армстронга, в оригинале Narcissistic numbers) — это числа, равные сумме своих цифр, возведённых в степень количества этих цифр. Например, 153 — самовлюблённое число, потому что 

Известный математик Г. Харди отзывался об этом свойстве так: «Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика». 

Но действительно ли самовлюблённые числа настолько бесполезны? Чтобы узнать ответ, зайдите под кат.

Когда мы берем ипотеку или потребительский кредит, мы редко задумываемся о том, что банк, помимо денег, выдает нам сложный производный финансовый инструмент. Право в любой момент вернуть долг без штрафов — это классический call-опцион. Для заемщика это «бесплатная» страховка от падения ставок: если рынок пошел вниз, можно рефинансироваться и платить меньше.

Однако в финансах действует закон сохранения риска. Если у клиента есть право выбора, значит, у кого-то другого этого выбора нет. В структуре банка этим «кем-то» оказывается Казначейство (ALM).

Спустимся на уровень глубже в механику ценообразования банковских продуктов (Transfer Pricing, FTP) и попробуем оцифровать один из самых скрытых компонентов банковской маржи: Cost of Optionality.

10 апреля 2019 года человечеству показали оранжевый бублик. Журналисты назвали его «первой фотографией черной дыры». Через час картинка была у всех — мемы про глаз Саурона, шутки про пончик, антропоморфизация,  заголовки «ученые сфотографировали невидимое».

Проблема в том, что это не совсем фотография.Точнее сказать, это очень странная фотография: если бы вы использовали телескоп горизонта событий (англ. EHT — далее по тексту) «как камеру» и нажали кнопку, вы бы получили черный квадрат и никакого бублика. Потому что он делает измерения, из которых алгоритм уже собирает изображение…  которого нет.

Вот про этот алгоритм и про то, как 3,5 петабайта данных летели в Бостон самолетом, и пойдет речь.

Сказ о том, как я воткнул в 1С модули математической оптимизации, а они оказались рабочими и расплодились до полноценной библиотеки. Теперь этот инфернальный софт пережевывает производственное планирование, маршрутизацию и прочие задачи комбинаторного космоса.

Привет, Хабр! Меня зовут Александр Колесов, я исследователь группы «Основы генеративного ИИ» AIRI. У себя в команде мы активно исследуем то, как устроена работа генеративных моделей, ищем новые методы, экспериментируем. Недавно мы обратили внимание на то, что те пути, которые проходят представления данных в диффузионных моделях, очень похожи на пучки силовых линий электрического поля. 

Это не только красивая метафора — мы предложили метод Electrostatic Field Matching (EFM), который позволять извлечь из такой аналогии пользу. Статью с подробным описанием мы недавно свозили на ICLR 2026, там все подробности, теоремы и эксперименты. Здесь же хотелось кратко пересказать основную идею и показать её реализацию на простых примерах.

Что есть база в математической оптимизации и моделировании бизнес процессов? Целевая функция, ограничения, алгоритмы решения — безусловно, но есть ещё модели. Насмотренность, портфель типовых моделей и умение распознавать их в задаче придают дополнительный импульс процессу решения сложных задач.

Рассмотрим набор из шести классических постановок, которые нашли применение в решении широкого спектра задач. Материал будет полезен специалистам по математической оптимизации. Управленцы и менеджеры могут найти актуальные сценарии применения математической оптимизации для своих задач.

В условиях современного банковского надзора внезапный дефолт крупного банка — событие экстраординарное, особенно в США. Финансовые регуляторы выстроили глубоко эшелонированную систему защиты: Центральные банки непрерывно мониторят нормативы, проводят стресс-тесты и, как правило, действуют на упреждение.

В текущих реалиях довести банк до стихийного рыночного краха прежде чем регулятор превентивно вмешается и отзовет лицензию — задача со звездочкой, система спроектирована так, чтобы гасить пожары до их открытого возгорания.

В статье воссоздадим дефолт SVB в банковском ALM симуляторе: наберем тот самый портфель ценных бумаг, смоделируем изменение рыночной конъюнктуры и поведение вкладчиков.

Покажем, как невидимые банковские риски превращаются в реальную дыру в капитале, и убивают крупнейшие банки.

Спойлер: только для себя.

Итак: Представьте себе бесконечную влево ленту, на которой записаны нули и единицы, но в любой момент справа идёт конечная часть числа, а левее — бесконечные нули (они не влияют на значение). Всё движение происходит у правого края.

На этой ленте живёт клеточный автомат со следующими правилами:

У больших языковых моделей есть неприятное свойство: снаружи ответ может выглядеть одинаково уверенно и тогда, когда модель действительно «собрала» правильную причинную цепочку, и тогда, когда она просто выдала правдоподобный текст. Классические способы оценки неопределённости — энтропия распределения токенов, калибровка, ансамбли, conformal prediction — полезны, но обычно смотрят на модель как на чёрный ящик.

В этой статье я разберу другой подход: попробовать оценивать неопределённость не только по выходу модели, а по внутренней согласованности активной цепи трансформера. Речь пойдёт о метрике EICS — Effective Information Consistency Score. Идея в том, чтобы за один прямой проход получить численную оценку того, насколько найденная трансформерная цепь ведёт себя согласованно и насколько её макроуровневое описание действительно несёт интегрированную информацию.

Статья основана на исследовательской работе об оценке неопределённости в трансформерных цепях на основе согласованности эффективной информации. Здесь я намеренно смягчил академическую подачу, оставив интуицию, формулы, алгоритм и практические ограничения.