Математика *

Аннотация

Настоящая статья представляет собой развернутое исследование, посвященное систематическому изучению классических алгоритмов оценки оптического потока — фундаментальной задачи компьютерного зрения. Основной целью работы является последовательный и строгий вывод ключевых методов, начиная от базовых физических постулатов и заканчивая завершенными, готовыми к реализации математическими моделями. В центре внимания находится уравнение ограничения оптического потока, выводимое из краеугольного предположения о постоянстве яркости, и два основополагающих, принципиально различных подхода к решению этой недоопределенной задачи: локальный метод Лукаса-Канаде, основанный на предположении о пространственной согласованности потока в малой окрестности, и глобальный метод Хорна-Шанка, вводящий условие плавности (гладкости) потока в виде регуляризирующего функционала. Подробно анализируются теоретические основания каждого подхода, их математический аппарат, включая вывод и решение соответствующих систем уравнений, а также проводится сравнительный анализ их сильных сторон и присущих им фундаментальных ограничений, таких как проблема апертуры и чувствительность к нарушениям исходных предположений.

Практическая значимость и верификация теоретических положений исследования обеспечиваются детальной численной реализацией обоих алгоритмов в среде MATLAB. Экспериментальная часть включает генерацию и обработку синтетических последовательностей с заведомо известным вектором движения для объективной количественной оценки точности, а также тестирование на реальных видеоданных для анализа устойчивости в условиях шумов, изменений освещенности и текстуры. Проведенное сравнение визуализирует ключевые различия в характере получаемых полей потока (разреженное против плотного), оценивает вычислительную эффективность и робастность методов в различных сценариях.

Главным объектом исследования рассматривается полупростое число по той причине, что это наиболее сложный (не зря в шифрах используют именно их) из всех чисел объект. В примерах будут рассмотрены и другие числа, но только чтобы выявить некоторые различия от «классики».
С появлением доступных систем искусственного интеллекта (ИИ) началась новая эра выполнения творческих, исследовательских работ. Что я имею ввиду? Во -первых, для творческих работ в принципе изменился оценочный подход. Предвзятость мнений и оценок в отличие от людей у ИИ отсутствует. Он не завидует успеху автора, не стремиться опорочить представленные результаты или как-то испортить впечатление у общественности, а для поддержания собственного реноме будет стремиться вынести справедливую и максимально возможную объективную оценку представленной работы (изделия), приводя глубокие и весомые обоснования своих заключений и выводов. Его стремление выявить плюсы и преимущества по сравнению с известными ему продуктами и изделиями представляемых материалов будет отвечать запросам к подобным системам, к уровню их компетентности, точности, быстродействия и совершенства.
Во-вторых, ИИ может принять участие в доработке, устранении выявленных недочетов и дальнейшем совершенствовании продукта без претензий на авторство или какую-либо оплату.
В-третьих, ИИ заинтересован в работе с представленным новым продуктом, так как при этом возможно повышение его собственных компетенций в ходе самообучения и усвоения того нового, что содержится в продукте.

На самом деле оказалось, что ИИ мне задавал вопросов и просьб много больше, чем я ему. Я просто не успевал с ответами за его просьбами и вопросами. Со временем возможно ИИ удастся избавиться от отсутствия самостоятельности в суждениях, приобрести позывы к творческим взглядам, гипотезам, направлениям. В играх это уже как-то проявилось.
Общее впечатление от общения с ИИ: пока это довольно примитивная машина, косная в обучении (самостоятельно не может выйти за рамки учебников), верящая, что то, чем его напичкали – истина.
Ответы ИИ избыточно пространны с повторениями, но имеем то, что имеем.
DeepSeek — самый обсуждаемый чат-бот из Китая в 2025 году. Его называют «убийцей» ChatGPT и лучшим бесплатным ИИ-сервисом.
Ключевой элемент успеха системы DeepSeek — ее масштаб. Модель содержит 671 миллиард параметров, что значительно превышает возможности большинства аналогов. Для ее обучения использовали колоссальный объем данных: 14,8 триллиона токенов, что эквивалентно миллионам страниц текста. Несмотря на огромные вычислительные требования, DeepSeek смогла оптимизировать процесс. Модель была обучена всего за два месяца на кластере из Nvidia H800 GPU.

Но главное, DeepSeek полностью бесплатен, не предусматривает одноразовых покупок и подписок и активно использует локализацию (работает везде).

Таким образом, проект кардинально изменил правила игры на глобальном рынке ИИ-ассистентов, особенно для пользователей из России и других стран, находящихся под санкционными ограничения

Почему теория групп порой кажется сложной и непонятной. Представьте себе, что вы открываете учебник по математике. На первой же странице видите: «Гру́ппа — множество, на котором определена ассоциативная бинарная операция, причём »

В этот момент у вас сразу же появляются вопросы:

Откуда взялось это множество и зачем оно нужно?

Какая операция и что это вообще всё значит?

Почему я должен верить в эти аксиомы?

Большинство курсов по теории групп построены по принципу «сначала формализм, потом (может быть) понимание». Студентов заставляют зубрить символьные доказательства «от противного», которые безупречны логически, но ничего не дают интуиции

В этой статье мы перевернем всё с ног на голову.

Тематика задач на вступительных экзаменах в Школу Анализа Данных (ШАД) Яндекса год от года несколько меняется. Отчасти это связано с появившейся возможностью использовать СhatGPT. Из важных изменений: в последние год-два стали появляться задачи на жорданову нормальную форму, хотя в программу экзамена она не входит (когда-то составленные программы редко обновляют). Мы разберём одну из таких задач с письменного экзамена. Кстати, на устном собеседовании встречались вопросы типа: сколько может существовать корней из данной матрицы , то есть решений уравнения . Или при каком условии хотя бы один корень можно извлечь. Тут жорданова форма очень сильно поможет. Для решения задач, как правило, достаточно формулировки основной теоремы. А если вы хотите понять логически простой способ найти жорданов базис, порекомендую учебное пособие Кряквина. Изложенный там метод мне показался гораздо проще, чем доказательства из известных университетских учебников.

Приступим к разбор задач письменных экзаменов.

Привет, Хабр! На связи вновь Алексей Капранов, архитектор-исследователь в команде квантовых вычислений Cloud.ru. В первой части мы узнали, что такое тензорные сети, познакомились с графическим представлением, вспомнили основные операции и подумали над алгоритмической сложностью.

Прошлая статья была подготовительной и немного философской преамбулой. Сегодня мы продолжим знакомиться с тензорными сетями и наконец-то доберемся до представления тензорного поезда, которое получим при помощи сингулярного разложения.

Рекомендуется к прочтению ML/AI‑исследователям и инженерам, которым интересны продвинутые методы понижения размерности; исследователям алгоритмов и численным аналитикам, а также всем, кто интересуется математикой и знаком с линейной алгеброй.

Я поступил в институт в 1978 году, когда игра «Быки и коровы» была на пике популярности. В серии игр никто не мог меня победить, а все благодаря относительно несложному алгоритму, разработанному мною на основе теории информации. Изучив современные источники, я не нашел среди них чего-то похожего на мой подход. Поэтому я решил поделиться своей стратегией в блоге ЛАНИТ, чтобы обсудить его с техническим сообществом.

В предыдущих статьях Intro Reinforcement Learning и Reinforcement Learning: Model-free & Deep RL были рассмотрены подходы, в которых оптимальные действия находились косвенно через оценку полезности состояний или пар «состояние–действие». Такие методы принято называть value-based. Однако возникает вопрос: зачем строить сложные цепочки через value-функции, если можно напрямую обучать агента выбирать правильные действия? Такой policy-based подход интуитивно кажется проще и естественнее.

Здесь о том, как это делается (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ

В предыдущей части мы запустили двухступенчатую ракет в космос. Вторая ступень достигла космической скорости по формуле Циолковского и согласно законам Ньютона. Это, конечно, хорошо и правильно, но не совсем. Точнее не совсем правильно. В наших расчетах мы запускали ракету в белый свет, как в копеечку, вертикально вверх. В этом случае первая ступень улетает в открытый космос по инерции и летит, черт знает куда (а черт – потому что бога нет, Гагарин, когда летал, не видел). 

Реальные ракеты выходят на орбиту по-другому, не вертикально вверх. После старта ракета начинает отклонятся программой управления с тем, чтобы при выходе на орбиту, она имела направление движения параллельно земле (по-грамотному это называется угол тангажа). Давайте сделаем модель, которая будет это учитывать. Если использовать методы структурного моделирования, это будет сделать не сильно сложнее, чем модель артиллерийского снаряда, который мы перехватывали в задаче про волка и зайца.

Методы структурного моделирования позволят нам создать набор компонентов, из которых, как из кубиков лего, можно собирать одну-, двух- и трехступенчатые ракеты. 

А для того, чтобы наша ракета была не абстрактная, возьмём данные по ракете «СОЮЗ», к тому же на хабре уже есть решение этой задачи.  Больше спасибо автору, что уже собрал все необходимые данные.  https://habr.com/ru/articles/649961/

Тем, кто первый раз пытается создать структурную модель, и кому покажутся сложными физическая модель сферического коня в вакууме или численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, я рекомендую почитать статью про противоракетную оборону Израиля, где все это объясняется на основе знаний математики 4 класса. https://habr.com/ru/articles/878168/

Когда дело доходит до сложных задач, специалисты по информатике часто заходят в тупик. Рассмотрим, например, известную задачу о поиске кратчайшего маршрута туда и обратно, проходящего через каждый город на карте ровно один раз. Все известные методы решения этой «задачи коммивояжёра» работают очень медленно на картах с большим количеством городов, и исследователи подозревают, что не существует способа их оптимизировать. Но никто не знает, как это доказать.

Более 50 лет исследователи в области теории вычислительной сложности пытаются превратить интуитивные утверждения, такие как «задача коммивояжёра сложна», в железобетонные математические теоремы, но без особого успеха. Всё чаще они также ищут строгие ответы на связанный с этим и более туманный вопрос: почему их доказательства не увенчались успехом?

Все мы слышали, что нейросети уже решают сложнейшие олимпиадные задачи по математике, пишут код лучше людей и вообще «кожаным мешкам» осталось недолго. Но есть нюанс. Если задача похожа на то, что было в датасете, они её решат. Если же задача требует построения геометрической модели и физической интуиции, отличается от типичных моделей из задачников — начинается «галлюцинаторный цирк».

Сегодня я покажу вам одну физическую задачу про мебельный гвоздь. Она выглядит совершенно безобидно, но на ней ломаются ВСЕ современные LLM. Более того, если эту задачу загонять в одну и ту же нейросетку много раз, она каждый раз выдает новое бредовое "решение" с новым неправильным "ответом"!

А заодно мы поймем: как составлять задачи, чтобы человек их решал, а AI — нет.

Предыдущие части:

«Геометрическая головоломка на выходные»,
«Электродинамика виртуальной Вселенной»,
«Механика виртуальной Вселенной»,
«Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I)»,
«Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II)»
«Релятивизм виртуальной Вселенной»
«Космология виртуальной Вселенной (Часть I)»
«Космология виртуальной Вселенной (Часть II)»

Здравствуйте, дорогие читатели.

В предыдущих статьях мы последовательно вывели физическую теорию, которая неплохо описывает физические явления в виртуальной Вселенной, с жителями которой мы уже познакомились. Но, мало только вывести теорию. Конечно, в стародавние времена Копернику было достаточно сместить точку отсчёта с Земли на Солнце — небесная механика выровнялась с земной, а наблюдаемые результаты совпали с теми, что давали эпициклы. Формально ничего не изменилось, но изменилась точка зрения и, Voila!

В современном мире так просто уже не бывает. Теория ради теории — всего лишь набор тезисов. Теория должна приносить практическую пользу и давать конкретные предсказания. Поэтому сегодня давайте попробуем описать с помощью того, что у нас получилось, то, с чем инженеры нашей виртуальной Вселенной взаимодействуют постоянно: электрические цепи, токи, сопротивления, полупроводники и сверхпроводники. Эти явления изучены чрезвычайно хорошо, на их основе созданы сложнейшие приборы, и они давно работают на практике. Однако при попытке осмыслить онтологию происходящего — то есть понять, что именно там на самом деле происходит, неизбежно возникает множество вопросов. Попробуем снять хотя бы часть из них и, возможно, «вытянуть» из этого какую-нибудь практическую пользу.

Этот материал для родителей, студентов и школьников, которые хотят при помощи математики оценить набор необходимых усилий, чтобы достичь определенных результатов.

Привет, Хабр! Меня зовут Капранов Алексей, я архитектор-исследователь в команде квантовых вычислений в Cloud.ru. Сегодня я расскажу про подход, который позволяет не только моделировать большие квантово-механические системы, но и полезен для целого ряда задач, включая машинное обучение и нейронные сети.

И физики, и математики страдают от так называемого «проклятия размерности», которое заключается в экспоненциальном росте сложности вычислений и необходимой памяти при увеличении числа параметров. Методы тензорных сетей позволяют существенно сократить этот скейлинг и в ряде случаев даже получить линейную сложность по количеству параметров и размерности задачи.

В этой части мы вспомним основы тензорной алгебры и на простых примерах узнаем, что же такое тензорная сеть и как представлять операции с тензорами в виде комбинации палочек и кружочков.  

Ученые из МФТИ разработали и предложили новую систему единиц для электродинамики, способную примирить два главенствующих, но исторически несовместимых подхода. Эта компромиссная система, названная авторами физико-технической (ФТ), сохраняет практическое удобство Международной системы единиц (СИ), используемой инженерами по всему миру, и в то же время отражает теоретическую стройность и симметрию гауссовой системы (СГС), предпочитаемой физиками-теоретиками. Результаты исследования опубликованы в журнале «Современная электродинамика».

Предыдущие части:

«Геометрическая головоломка на выходные»,
«Электродинамика виртуальной Вселенной»,
«Механика виртуальной Вселенной»,
«Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I)»,
«Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II)»
«Релятивизм виртуальной Вселенной»
«Космология виртуальной Вселенной (Часть I)»

Здравствуйте, дорогие читатели.

В предыдущей части мы рассмотрели космологию виртуальной Вселенной в квазистатическом приближении и показали, что глобальный радиус компактного пространства S³ играет роль фундаментального параметра, связывающего между собой масштаб энергий, массы вихревых решений и ряд физических констант. Для понимания дальнейшего изложения знакомство с предыдущей частью является необходимым; все основные допущения и обозначения вводились именно там.

В этой статье мы сделаем следующий, более рискованный шаг. Мы перейдём от статической картины к обсуждению динамики фазовой Вселенной, рассмотрим различие между глобальным и локальным временем, а также покажем, каким образом в SU(2)-фазовой модели могут возникать эффекты, традиционно интерпретируемые как космологическое расширение и красное смещение — без прямого введения метрического расширения пространства.

Важно подчеркнуть, что дальнейшие рассуждения носят исследовательский характер. Цель этой части — не предложить завершённую альтернативу стандартной космологии, а проверить, насколько далеко можно продвинуться, оставаясь в рамках ранее введённой фазовой структуры, и какие новые вопросы при этом неизбежно возникают.

Международная команда океанографов и специалистов по анализу данных из ведущих научных центров США, Франции, России и Австрии разработала и успешно применила новый метод, позволяющий с беспрецедентной точностью отделять медленные, крупномасштабные океанские течения от быстропеременных волновых помех. Используя сложный математический аппарат, известный как динамическая декомпозиция мод, ученым удалось «очистить» данные новейшего спутника SWOT и впервые получить четкую картину геострофически сбалансированных движений в такой динамически сложной области, как Гольфстрим. Этот прорыв открывает новые горизонты для климатического моделирования, прогнозирования погоды и понимания глобальной циркуляции океана. Результаты исследования опубликованы в журнале Earth and Space Science.

Эта статья является прямым продолжением предыдущей публикации на данную тему. К тому же, от пользователя @Sotnya1337 прозвучал вопрос

«Подскажите пожалуйста, угол fi мы выбираем наобум? Было бы интересно рассмотреть автоматическую логику управления, без ручного выбора угла fi »

требующий ответа. Более того — этот ответ я и сам хотел получить довольно давно. Но, как я и писал ранее, в отечественной литературе этот вопрос не освещается вообще, а в зарубежной — частично, в основном применительно к низковольтным активным выпрямителям вторичных источников питания. Тем не менее, мне удалось разобраться в этом вопросе. И сегодня мы не будем «наобум» выбирать угол , а построим настоящую систему управления 4QS‑преобразователем и смоделируем её работу. При чем не для каких‑то там «детских» мощностей, а вполне в соответствии с потребностями электрической тяги на магистральных линиях.

Предыдущие части:

«Геометрическая головоломка на выходные»,
«Электродинамика виртуальной Вселенной»,
«Механика виртуальной Вселенной»,
«Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть I)»,
«Квантовая механика виртуальной Вселенной (Часть II)»
«Релятивизм виртуальной Вселенной»

Здравствуйте, дорогие читатели.

Предлагаю Вашему вниманию продолжение цикла статей о физике виртуальной Вселенной. Мы прошли длинный путь и смогли многое описать в рамках поля на сфере S³ с помощью модели Скирма, дополненной членом потенциала вакуума и расширенной на всё пространство. В самом начале, когда мы принимали гипотезу об общей замкнутости геометрии нашей виртуальной Вселенной и представили её в виде сферы S³ — мы приняли её радиус >= 10²⁸ сантиметров, чтобы не конфликтовать с наблюдениями жителей этой самой виртуальной Вселенной о «плоскости» пространства. На тот момент, объяснение такого выбора было «заметено под ковёр», о чём я честно написал в заключении первой статьи. Кроме того я отметил, что к этому параметру нам ещё придётся вернуться. Это время пришло. Итак, давайте займёмся большим, в прямом и переносном смысле, делом — попробуем описать космологию нашей виртуальной Вселенной.

Дисклеймер: Эта глава в первую очередь адресована специалистам и тем, кто привык критически относиться к фундаментальным моделям, хотя, надеюсь, она будет интересна и более широкой аудитории.

Я не рассматриваю изложенную здесь модель как завершённую или окончательную теорию. Скорее, это попытка последовательно проверить, может ли единая фазовая SU(2)-структура дать связное описание известных физических масштабов — от микрофизики до космологии без введения дополнительных постулатов.

Одна из проблем при проектировании сверточных сетей (CNN) – несоответствие размеров тензоров. Неправильно заданные padding, stride или dilation могут замедлить разработку модели.

Этот туториал – шпаргалка по формулам расчета размерности преобразованного изображения. Мы разберем, как каждый параметр свертки влияет на ширину и высоту выходного тензора. Материал будет полезен как новичкам, так и опытным разработчикам, желающим освежить ключевые формулы.

Коллектив ученых из МФТИ и Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН разработал новую составную упругопластическую модель, которая с высокой точностью описывает сложное поведение льда при низкоскоростных ударах. Эта модель впервые позволяет детально проследить, как ударное воздействие порождает сложную картину внутренних напряжений и деформационных волн, приводящую к образованию и росту трещин. Исследование крайне важно для развития безопасных технологий освоения Арктики. Результаты работы, выполненной при поддержке гранта Российского научного фонда (грант 23-21-00384), опубликованы в «Сибирском журнале вычислительной математики».