Математика *

Итак, в предыдущей части мы остановились на поиске решения задачи линейной регрессии. Сформулировали в общем виде задачу машинного обучения, поняли суть параметров, рассмотрели функции ошибок и начали копать в сторону линейной регрессии.
Ещё раз повторю, что этот цикл статей является лишь взглядом на ML с моей колокольни, так что он не обязательно является истиной во всех редакциях в последней инстанции. Так что буду рад всякому, кто исправит меня, коли сверну не туда.

Как я улучшил универсальный код Элиаса 1975 года, заменив длину на popcount — и получил 36% экономии на метаданных. С бенчмарками! Картинка на обложке кринжовая, но тут вроде так принято? 😅

Интернет — распределенная система, размер которой нельзя увидеть в окне «Свойства». Более того, ответ на вопрос «что считать интернетом?» существенно влияет на результат вычислений. Точных данных не найти, но отдельные исследования и статистика крупных интернет-ресурсов позволяют произвести примерные расчеты.

В этой статье вас ждет доступная в интернете информация об интернете, простые расчеты и, конечно же, статистика.

Сколько статей на хабре про машинное обучение? Обозначим их количество за и напишем ‑ю.

Это попытка собрать цельное понимание: пройти путь от «что это вообще такое» до условных трансформеров и связать всё в одну логичную цепочку.

Попробую всё описать максимально простым языком, минимально опираясь на математическую терминологию.

Как говорится, буду разбирать так, как сам это вижу и понимаю — без лишней теории, но и без магии.

Продолжаю публикацию интересных математических задач.

5 рациональных пиратов (А, Б, В, Г и Д) должны разделить 100 золотых монет. Иерархия: А — самый старший, Д — самый младший. Старший предлагает план дележа. Если за него проголосует хотя бы половина пиратов (включая его самого), план принимается. Если нет — старшего выбрасывают за борт, и право предложить план переходит к следующему. Как пират А должен разделить золото, чтобы остаться в живых и получить максимум?

Решение: Нужно рассуждать с конца. Если останутся только Г и Д, Г заберет всё (его голоса хватит для 50%). Чтобы этого не допустить, В должен предложить Д хотя бы 1 монету, чтобы тот поддержал его. Пират А знает это и предлагает: 98 — себе, 0 — Б, 1 — В, 0 — Г, 1 — Д. В и Д согласятся, так как при отказе и переходе хода к Б они могут не получить ничего или меньше.

Самовлюблённые числа (они же числа Армстронга, в оригинале Narcissistic numbers) — это числа, равные сумме своих цифр, возведённых в степень количества этих цифр. Например, 153 — самовлюблённое число, потому что 

Известный математик Г. Харди отзывался об этом свойстве так: «Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика». 

Но действительно ли самовлюблённые числа настолько бесполезны? Чтобы узнать ответ, зайдите под кат.

Когда мы берем ипотеку или потребительский кредит, мы редко задумываемся о том, что банк, помимо денег, выдает нам сложный производный финансовый инструмент. Право в любой момент вернуть долг без штрафов — это классический call-опцион. Для заемщика это «бесплатная» страховка от падения ставок: если рынок пошел вниз, можно рефинансироваться и платить меньше.

Однако в финансах действует закон сохранения риска. Если у клиента есть право выбора, значит, у кого-то другого этого выбора нет. В структуре банка этим «кем-то» оказывается Казначейство (ALM).

Спустимся на уровень глубже в механику ценообразования банковских продуктов (Transfer Pricing, FTP) и попробуем оцифровать один из самых скрытых компонентов банковской маржи: Cost of Optionality.

10 апреля 2019 года человечеству показали оранжевый бублик. Журналисты назвали его «первой фотографией черной дыры». Через час картинка была у всех — мемы про глаз Саурона, шутки про пончик, антропоморфизация,  заголовки «ученые сфотографировали невидимое».

Проблема в том, что это не совсем фотография.Точнее сказать, это очень странная фотография: если бы вы использовали телескоп горизонта событий (англ. EHT — далее по тексту) «как камеру» и нажали кнопку, вы бы получили черный квадрат и никакого бублика. Потому что он делает измерения, из которых алгоритм уже собирает изображение…  которого нет.

Вот про этот алгоритм и про то, как 3,5 петабайта данных летели в Бостон самолетом, и пойдет речь.

Сказ о том, как я воткнул в 1С модули математической оптимизации, а они оказались рабочими и расплодились до полноценной библиотеки. Теперь этот инфернальный софт пережевывает производственное планирование, маршрутизацию и прочие задачи комбинаторного космоса.

Привет, Хабр! Меня зовут Александр Колесов, я исследователь группы «Основы генеративного ИИ» AIRI. У себя в команде мы активно исследуем то, как устроена работа генеративных моделей, ищем новые методы, экспериментируем. Недавно мы обратили внимание на то, что те пути, которые проходят представления данных в диффузионных моделях, очень похожи на пучки силовых линий электрического поля. 

Это не только красивая метафора — мы предложили метод Electrostatic Field Matching (EFM), который позволять извлечь из такой аналогии пользу. Статью с подробным описанием мы недавно свозили на ICLR 2026, там все подробности, теоремы и эксперименты. Здесь же хотелось кратко пересказать основную идею и показать её реализацию на простых примерах.

Что есть база в математической оптимизации и моделировании бизнес процессов? Целевая функция, ограничения, алгоритмы решения — безусловно, но есть ещё модели. Насмотренность, портфель типовых моделей и умение распознавать их в задаче придают дополнительный импульс процессу решения сложных задач.

Рассмотрим набор из шести классических постановок, которые нашли применение в решении широкого спектра задач. Материал будет полезен специалистам по математической оптимизации. Управленцы и менеджеры могут найти актуальные сценарии применения математической оптимизации для своих задач.

В условиях современного банковского надзора внезапный дефолт крупного банка — событие экстраординарное, особенно в США. Финансовые регуляторы выстроили глубоко эшелонированную систему защиты: Центральные банки непрерывно мониторят нормативы, проводят стресс-тесты и, как правило, действуют на упреждение.

В текущих реалиях довести банк до стихийного рыночного краха прежде чем регулятор превентивно вмешается и отзовет лицензию — задача со звездочкой, система спроектирована так, чтобы гасить пожары до их открытого возгорания.

В статье воссоздадим дефолт SVB в банковском ALM симуляторе: наберем тот самый портфель ценных бумаг, смоделируем изменение рыночной конъюнктуры и поведение вкладчиков.

Покажем, как невидимые банковские риски превращаются в реальную дыру в капитале, и убивают крупнейшие банки.

Спойлер: только для себя.

Итак: Представьте себе бесконечную влево ленту, на которой записаны нули и единицы, но в любой момент справа идёт конечная часть числа, а левее — бесконечные нули (они не влияют на значение). Всё движение происходит у правого края.

На этой ленте живёт клеточный автомат со следующими правилами:

У больших языковых моделей есть неприятное свойство: снаружи ответ может выглядеть одинаково уверенно и тогда, когда модель действительно «собрала» правильную причинную цепочку, и тогда, когда она просто выдала правдоподобный текст. Классические способы оценки неопределённости — энтропия распределения токенов, калибровка, ансамбли, conformal prediction — полезны, но обычно смотрят на модель как на чёрный ящик.

В этой статье я разберу другой подход: попробовать оценивать неопределённость не только по выходу модели, а по внутренней согласованности активной цепи трансформера. Речь пойдёт о метрике EICS — Effective Information Consistency Score. Идея в том, чтобы за один прямой проход получить численную оценку того, насколько найденная трансформерная цепь ведёт себя согласованно и насколько её макроуровневое описание действительно несёт интегрированную информацию.

Статья основана на исследовательской работе об оценке неопределённости в трансформерных цепях на основе согласованности эффективной информации. Здесь я намеренно смягчил академическую подачу, оставив интуицию, формулы, алгоритм и практические ограничения.

Ракету не отправляют в космос только потому, что её двигатель и насос успешно прошли стендовые испытания по отдельности. Перед стартом инженеры рассчитывают траекторию, моделируют режимы работы и анализируют сценарии отказов. Расчёт не заменяет реальные тесты, но задаёт для них осмысленную рамку.

В софте всё обычно иначе. Распределённый пользовательский путь — например, оформление заказа — собирается из десятков микросервисов, баз и очередей. Разработчики добавляют новую зависимость, видят зелёные тесты, проверяют локальные метрики и выкатывают релиз. Считается, что если при сбое что-то пойдёт не так, настроенная система наблюдаемости обязательно это покажет.

Она, конечно, покажет. Но почему при проектировании микросервисов мы так спокойно относимся к тому, что узнаём о хрупкости архитектуры в основном по факту инцидента?

Эта статья о том, как получить грубый расчёт деградации системы ещё до релиза. Без отказа от хаос-инжиниринга или мониторинга, а как шаг перед ними. Я расскажу о двух экспериментах, в которых топологическая модель автоматически извлекалась из распределённых трейсов, после чего на ней просчитывались сценарии отказов методом Монте-Карло. Результаты моделирования я затем сравнивал с реальными инъекциями отказов на стендах DeathStarBench и OpenTelemetry Demo.

Создай свое собственное судоку — одна из интересных головоломок игры MIT Mystery Hunt 2014 года. Головоломка представляла собой пустое поле судоку, к которому прилагались 4 набора подсказок. Первые 3 набора были необходимы для того, чтобы вписать в пустое поле исходные цифры головоломки: они относились к секторам, строкам и столбцам поля соответственно. Последний набор относился к цифрам поля и служил для получения ответа на задание после решения судоку.

Пример Ковалевской заключается в следующем. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в частных производных:

Продолжим наш цикл статей по задаче внешней баллистики исследованием лобового сопротивления воздуха. Предложенная задача является очень непростой , но важной с практической точки зрения, поскольку точный расчёт траекторий снарядов без учёта сопротивления воздуха невозможен. Работа очень актуальна, особенно в военное время

для артиллеристов, миномётчиков, расчётов САУ и ПВО.

В этой статье мы разберём несколько вариантов зависимости силы лобового сопротивления воздуха от скорости летящего тела, а также поймём, какой вариант является наиболее практически применимым при расчётах траекторий спутников, артиллерийских снарядов, баллистических ракет.

Первый случай: При небольших скоростях (0-40 м/с) и тяжёлых снарядах сопротивлением воздуха можно пренебречь: Fc=0. Такой вариант, конечно, сильно облегчает все расчёты, но при больших скоростях расхождение получается чудовищным: в 4-5 раза больше, чем в реальности. Поэтому этот вариант отпадает и применим только в школьных задачах по механике, а все расчёты для него были сделаны ещё до нашей эры.

Второй случай: Закон сопротивления Стокса. В 1851 году английский математик Джордж Стокс получил для закона сопротивления выражение

На утверждение, что большие языковые модели не мыслят, есть простой встречный вопрос : “Если это так, как ИИ выполняет арифметические операции?”

Действительно, сложение, вычитание и умножение кажутся точными и алгоритмизированными процессами. Кажется логичным предположить, что внутри модели должен быть некий “калькулятор” или хотя бы его подобие. Но это не так.

Когда разработчик слышит слова “математический анализ”, в голове часто всплывает что-то из университета: пределы, производные, интегралы, бесконечные ряды, многостраничные доказательства и ощущение, что все это находится очень далеко от реальной работы. На практике все устроено иначе.

Большая часть разработчиков действительно не сидит каждый день и не вычисляет производные вручную. Но идеи матанализа при этом встречаются постоянно. Они проявляются в производительности, машинном обучении, графике, обработке сигналов, численных вычислениях, аналитике, моделировании и даже в обычной инженерной привычке понимать, как система ведет себя при изменении входных данных.

Проблема обычно не в том, что матан бесполезен. Проблема в другом: его часто преподают как отдельный мир формальных конструкций, а разработчику нужен другой взгляд, более инженерный. Не “докажите теорему по Коши”, а “объясните, как изменяется функция, почему вычисления могут быть нестабильны и как это связано с кодом”.

В этой статье разберем, что из математического анализа действительно полезно разработчику, где это применяется, что можно знать на уровне понимания, а что стоит изучить глубже, если вы идете в более математические направления.