Недавно взглянул на сорцы Farseer Physics Engine. Стало интересно как в этом движке реализован динамический объект. Как и ожидал, не встретил там привычных мне дифференциальных уравнений и их дискретных реализаций в виде разностных уравнений или дискретных моделей пространства состояний. Главная отмазка заявляемая причина отказа от «честной» механики во многих игровых физических движках — излишняя сложность работы с дифференциальными уравнениями и слишком большая вычислительная нагрузка.

Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.

Немного теории

Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.

В субботу на прошлой неделе «дело было вечером, делать было нечего», и мы с хабраюзером sourcerer разговаривали не понятно о чём. И почему-то речь зашла речь о задаче обратной к задаче построения графика функции по её выражению. То есть, например, у нас есть выражение y(x) = (cos^0,5x ⋅ cos 200x + |x|^0,5 − 0,7)(4 − x²)^0,01. График такой функции чем-то напоминает сердечко. Но нам был интересен обратный вопрос, как, имея, например, изображение сердечка, получить выражение для функции, графиком которой будет это самое сердечко.

Какие-нибудь ряды Фурье вспоминать не хотелось, а хотелось чего-то простого и красивого. Мы начали вспоминать известные нам результаты, связанные с этим вопросом. В результате получилась программка, которая по изображению генерирует ломаную линию, чем-то напоминающую исходное изображение. На примере котёнка по имени Гав это выглядит примерно так (смотреть лучше издалека):



Если интересно как такое сделать, а также узнать про формулу конопли, формулу, график которой является этой же формулой, то добро пожаловать под хабракат. (Будет много картинок.)

Постановка задачи

Контекст: есть шахматный турнир с достаточно большим количеством игроков самого разного уровня.
Приняты решения: не разбивать игроков на чётко определённые группы (друг друга не знаем ещё, непонятно, кого куда помещать), не делать турнир «на вылет» (много новичков, им просто обидно будет вылететь после первой партии). Более-менее (вручную) справляемся с выбором партнёром примерно одинакового уровня.

Задача: сделать систему рейтинга по результатам турнира. Поскольку играем не «на вылет», финала нет. Учитывать количество очков несерьёзно из-за разношерстности игроков. То есть система рейтинга должна быть такой, что выигрыш у самого слабого игрока или проигрыш у самого сильного практически не должны влиять на наш рейтинг.

(кликабельно)

Теперь вы можете построить графики математических функций прямо на странице результатов поиска. Просто введите в строке поиска функцию и вы увидите интерактивный график в верхней части страницы результатов поиска.

В апреле-мае 2011 года компания Яндекс проводила очередной тур конкурса Яндекс интернет математика. Тема тура: «Определение визуальной схожести изображений».
Я публиковал новость про объявление победителей и обещал в скором времени описать решение поставленной задачи нашей командой — LookLikeIt, которая заняла 12-е место в финальном рейтинге.

И вот, не совсем скорое время наступило!

Введение

Каждый уважающий себя инженер или IT-шник должен быть на «ты» с вычислительной математикой и ее численными методами для решений различных задач, возможно даже тривиальных, которые «голову в порядок приводят». В процессе изучения хотелось обратить более тщательное внимание на методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений, а так же их анализ.

Методы численного решения нелинейных уравнений

Задачу решения я разделил на 3 части:

• Аналитический способ отделения корней
• Численные методы уточнения корней
• Программная реализация вычислительного процесса

Целью статьи, как я уже называл является разбор и анализ численных методов, по этому в этой статье аналитический способ отделения корней я рассматривать не буду.

«Преждевременная оптимизация есть корень всех зол»
Энтони Хоар

Приветствую всех пользователей Хабра!
Данная статья возникла как полезный побочный продукт моих научных изысканий. Буду рад, если идеи, изложенные ниже, покажутся для вас интересными и полезными, а еще лучше, если получат своё применение и дальнейшее развитие в реально существующих проектах.

Производительность программного обеспечения (ПО) является важным аспектом в разработке любого программного продукта. Актуальность вопроса объясняется постоянно возрастающей сложностью и значимостью программных средств. Особое внимание производительности уделяется:

• в инженерных и научных разработках, где часто производятся сложные длительные вычисления, а процессорное время на кластерных системах дорого и ограничено;
• в web-приложениях, в которых время генерации страницы критично для пользователя и напрямую зависит от объемов серверных мощностей;
• в встраиваемых программных продуктах, и т.д.

Здравствуй хабр.
Сегодня я хочу тебе рассказать про теорию когнитивного баланса Ф. Хайдера.
Сама теория относится к классу теорий когнитивного соответствия. При помощи этого класса теорий можно попытаться математически описать социальные взаимодействия, в том числе в социальных сетях.

 

Допустим нам зачем-то нужно найти сумму элементов массива. Мы можем разбить массив на две части, просуммировать каждую часть отдельно и сложить результаты. При этом суммировать эти части можно параллельно. Но суммирование части массива это в точности исходная задача, и каждую часть снова можно разбить на две части и просуммировать каждую часть отдельно, а затем сложить результаты и т. д. Такая стратегия вычислений называется «разделяй и властвуй».

Таким способом можно вычислять много других функций от массивов, ниже в первой части статьи будет приведено математическое объяснение этой идеи, а во второй — как с помощью Intel Cilk Plus эту идею использовать в своих программах.

Итак, если есть желание посмотреть на математические формулы и куски кода на C++ в последние дни лета, то добро пожаловать под хабракат.

Вот такой вот дудл подготовил гугл к дню рождения великого французского математика Пьера Ферма. Суть его Великой теоремы формулируется просто:

Для любого натурального числа n > 2 уравнение не имеет натуральных решений a, b, c.

Теорема окончательно доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом.

Привет всем Хабра людям. Хочу представить уважаемым читателям пример, когда сухая и далекая от жизни в нашем понимании высшая математика дала не плохой практический результат.

Многим известно понятие Магический квадрат (МК) — квадратная таблица N x N заполненная натуральными числами от 1 до N^2 таким образом, что сумма чисел в каждой строке, диагонали и столбце равна… N*(N^2 + 1)/2.

Демонстрируем некоторые особенности написания TeX-макросов, встраивая в TeX калькулятор теоретико-числовых функций.

Постановка задачи

Время от времени мне приходится набирать очередной текст, сопровождаемый примерами вычисления теоретико-числовых функций: функция Эйлера φ, функция делителей τ, функция Кармайкла λ. Раньше это делалось так: запускаем любимый калькулятор (мой выбор — PARI/GP), в нем все считаем и копируем выкладки в ТеХ. Изменились исходные данные — снова в калькулятор и обратно. Много возни, много шансов забыть заменить какой-то промежуточный результат. Да и просто мышкой махать надоедает. Хочется автоматизировать этот процесс хотя бы для самых распространенных функций, чтобы можно было написать

$\phi(1001)=\Phi(1001)$

и получить на печати

Задачу решают со времен Древней Греции, а звучит она так: c помощью только циркуля и линейки требуется разделить произвольный угол на три равные части. При этом делений на линейке не должно быть, а в процессе построения никаких отметок на ней делать не допускается. Пользоваться можно только простым циркулем и линейкой без засечек и обеспечить идеальную точность построения для всех видов углов. В 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель доказал нерешаемость трисекции угла в таком виде.

Недавно друг озадачил меня своим вариантом решения. Самое странное, что не смотря на его простоту, ошибку в нём у нас найти так и не получилось. Сразу оговорюсь, что альтернативные варианты решения, которые публиковались ранее (и оказались не правильными), были изучены. Иллюзий, что вот так просто нашлось решение задачи, которую человечество пыталось решить больше 2000 лет, никто не строит. Тем не менее, мы с другом будем очень благодарны Хабрасообществу за помощь в поиске ошибки.

Число 6174 по-настоящему таинственное. На первый взгляд может показаться, что в нём нет ничего уникального. Но как мы увидим дальше, каждый кто умеет считать, может обнаружить секрет, который делает число 6174 таким особенным.

Функция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из города Долали (Индия) придумал математическое действие, которое теперь известно как функция Капрекара. Для начала выберите любое число, в котором разряды не повторяются (то есть не 1111, 2222 и т.д.). Затем переставьте цифры так, чтобы получить самое большое число из максимально возможных и самое малое из возможных. Потом нужно вычесть из большего меньшее — и повторить операцию с получившимся числом.

Это простое действие, но Капрекар обнаружил, что оно ведёт к удивительному результату. Давайте посмотрим, как это работает, например, на числе 2005. Из этих цифр мы можем получить максимальное число 5200, а минимальное — 0025, то есть 25. Вычитания будут выглядеть так:

5200 — 0025 = 5175
7551 — 1557 = 5994
9954 — 4599 = 5355
5553 — 3555 = 1998
9981 — 1899 = 8082
8820 — 0288 = 8532
8532 — 2358 = 6174
7641 — 1467 = 6174

Аннотация

Эта статья написана в продолжении первой части статьи про работу с бинарными изображениями, в которой рассказывается как подсчитывать объекты. Однако от одного подсчета толку мало, часто хочется узнать некоторые геометрические параметры распознаваемых объектов. Кажется, что тут считать — узнал количество восьмерок — площадь равна 19, посчитал количество семерок — площадь равна 7 (см. картинку в Аннотации).
Делая так, мы будем вынуждены использовать дополнительный проход по изображению, желательно этого избегать — в пользу повышения эффективности реализации. Как и было запланировано, в этом топике рассказывается о подсчете геометрических характеристик объектов без дополнительного прохода.
А так же: фактор формы и розы Гвидо-Гранди и чем отличается квадрат от прямоугольника, а он от звезды.

Совсем недавно, а точнее, 26 мая 2011 были объявлены результаты очень интересного ежегодного конкурса, организованного компанией Яндекс — Интернет-математика 2011.
Победителем конкурса стала команда «Мифический Нижний Новгород» в составе: Илья Лысенков (капитан), Анатолий Бакшеев и Мария Димашова, все — компания Itseez.

Вечные холивары о том, что «почему я не плачу за контент», «почему я плачу за контент», «они завышают цену», «создают фильмы плохого качества» часто приводят к сравнениям несравнимого, поэтому хочется показать и разложить по полочкам.

Преамбула

«Законники» и «нарушители закона» будут всегда и в любой сфере, как бы мы их не называли, боролись или поддерживали.
Я попытаюсь не проводить аналогий, а привести примеры со всех сторон.
Также, нарушителей авторского права и/или лицензионного соглашения в статье я буду называть пиратами, а их действия – пиратством. Это чтобы не разжигать холиваров по статье 227 УК РФ.