Занимательные задачки

92 бензин неделю назад был 24,30 р., а вчера 24,40 р.
Неделю назад курс был 23,50 р. за 1$, сегодня за 1$ дают 26,20 р.
Неделю назад 1 л 92-го стоил 24,30/23,50= 1,03$
Вчера 1 л стоил 24,40/26,20= 0,93$
Фигасе О_о
Так у нас тоже подешевел! На 10 центов США!
10 центов = 2,62 р.
…
Только вот сложно понять, как он за неделю подешевел на 2,62 р., если подорожал на 10 копеек?

UPD: Поправка в расчетах

Его размер умопомрачителен! Длиной около 13 млн символов, это 45-е простое число Мерсенна делает количество атомов в известной вселенной ничтожной величиной, с их «всего 80-значной цифрой». Форма простого числа Мерсенна красива и подтянута: 2ⁿ-1, где n — простое число. Последовательность чисел Мерсенна начинается так: 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023,… (последовательность A000225 в OEIS).

Простые числа Мерсенна являются самыми большими простыми числами, известными науке. Предыдущий мировой рекорд принадлежал числу 232582657-1, имеющему 9.808.358 разрядов.

Последнее, 44-е число было найдено два года назад, а нынешнее — в начале осени. Нет надежды на написание этого числа: 2^43,112,609-1 заняло бы в длину много километров. Я думаю вы можете себе представить, что такое 13 мб одних только цифр.

via Science News

Люблю задачки с картинками:

В игре дартс игрок бросает 3 стрелки в мишень, разделённую на двадцать секций одинакового размера, пронумерованный от одного до двадцати.

Типография выполняет 16 задач каждую неделю, причём для каждой задачи требуется лист специальной фотобумаги размером A5.

Каждый понедельник мастер достаёт новый лист формата A1.

Он разрезает лист пополам, получая два листа формата А2. Затем режет только один из них еще раз, получает два листа А3 и так далее, пока не получит необходимый для первой печати формат А5.

Все остальные листы запихивает в тумбочку.

Одна из самых сложных для меня задач из более чем 100 решённых:

Существует несколько способов записать число 1/2 как сумму обратных квадратов используя различные натуральные числа.
Например, можно использовать {2,3,4,5,7,12,15,20,28,35}:

Фактически, используя только целые между 2 и 45 включительно, есть только 3 возможности записать 1/2. Оставшиеся два это: {2,3,4,6,7,9,10,20,28,35,36,45} и {2,3,4,6,7,9,12,15,28,30,35,36,45}.
Сколько существует способов записать ½ как сумму обратных квадратов различных целых чисел между 2 и 80 включительно?

PS: Я из блога своего сразу 3 старых перевода запостил, а так спаммить не буду ;-)

Используя каждую цифру из множества {1, 2, 3, 4} только один раз, арифметические операции (+,, *, /) и скобки, возможно получить различные целые числа.

Например,

8 = (4 * (1 + 3)) / 2
14 = 4 * (3 + 1 / 2)
19 = 4 * (2 + 3) 1
36 = 3 * 4 * (2 + 1)

Замете, что объединение цифр, такое как 12 + 34, не позволительно.

Используя набор цифр {1, 2, 3, 4}, возможно получить множество положительных целых чисел из тридцати одного элемента, в котором максимальное 36, и которое содержит все числа из промежутка от 1 до 28.

Найдите набор из четырех различных цифр, таких что a < b < c < d, и которые содержат максимальный промежуток всех чисел от 1 до n.

P.S. Предыдущая задача оказалась слишком простой и скучной, эта задачка мне показалась более интересной, и надеюсь она не повторит её судьбу.

Математики из распределённого проекта по поиску простых чисел GIMPS объявили, что одна из клиентских машин, которая участвует в вычислениях, передала на сервер файл с новым простым числом Мерсенна! Это важное событие для математического сообщества, потому что до сих пор было известно только 44 таких числа, последнее было найдено ровно два года назад.

Числа Мерсенна имеют вид 2ⁿ-1, где n — натуральное число. Последовательность чисел Мерсенна начинается так:
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023,… (последовательность A000225 в OEIS).

Простые числа Мерсенна являются самыми большими простыми числами, известными науке. Предыдущий мировой рекорд принадлежал числу 2^32582657-1, имеющему 9.808.358 разрядов. О величине нового числа пока не сообщается. Его проверка идёт уже неделю на двух суперкомпьютерах, процессы завершатся 12 и 16 сентября.

Для нашедшего первое в мире число Мерсенна, которое превысит 10 млн разрядов, предусмотрен денежный приз в размере $100 тыс.

via Scientific American

Перестановка это линейно упорядоченное множество. Например, 3124 это одна из возможных перестановок цифр 1, 2, 3 и 4. Если список всех перестановок отсортирован численно или по алфавиту, то говорят, что он имеет лексикографический порядок. Лексикографический список всех перестановок цифр 0, 1 и 2 это:

012 021 102 120 201 210

Найдите миллионную перестановку в лексикографическом списке всех перестановок цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Число 7254 необычно, так как его представление в виде 39 × 186 = 7254 содержит все цифры от 1 до 9 ровно по одному разу.

Найти сумму всех таких чисел, чье представление в виде произведения множимого и множителя содержит все цифры от 1 до 9 ровно по одному разу.

ХИНТ: Некоторый числа могут иметь более, чем одно такое представление, проверьте, что в сумме вы учли их один раз.

Рассмотрим все числа, порожденные формулой a^b, где a, b — целые: 2 ≤ a ≤ 5 и 2 ≤ b ≤ 5:

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

Если разместить их в ряд по возрастанию без повторения, то они образуют последовательность из 15 элементов:
4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

Сколько будет элементов в последовательности, порожденной следующим условием a^b, где 2 ≤ a ≤ 100 и 2 ≤ b ≤ 100?

оригинал

UPD: По анализу критики в виде минусов предлагаю публиковать решения в личном блоге. Пример оформления решения. Это интересно?

Есть 10 кроликов и 1000 бутылок с одинаковой на цвет и запах жидкостью. Но в одной из бутылок яд.
Яд действует достаточно долго, но не дольше, чем 20 дней.
Требуется на 21-й день сказать, в какой из бутылок яд.

Upd. Спасибо неизвестным дарителям кармы, перенёс в занимательные задачи.

Вот представь…
Я у тя взял 10 рублей.
Пошел в магазин и потерял их.
Встретил друга.
Взял у него 5 рублей.
Купил 2 сигареты по 1 руб.
У меня осталось 3 руб.
Я их отдал тебе.
И остался должен 7.
И другу 5.
Итого 12.
Плюс у меня 2 сигареты.
Итого 14.
Куда делся рубль?!!

Предлагаю задачку, которую мне классе в седьмом загадал дядя. Тогда я ее не отгадал, он сказал ответ, а уже во взрослом виде мне сказали еще один вариант решения. Итак.

Давным-давно в далекой-предалекой галак... стране был такой обычай. Если в ходе суда над предполагаемым преступником суд не смог установить, виновен тот в тяжком преступлении или нет, его судьбу должен был решить случай. Но кидать монетку — моветон, поэтому случай представлял собой следующее действо. Подсудимого заводили в помещение, из которого было только два выхода: Ворота Рая и Ворота Ада. Около каждого выхода стоял человек; один из них все время говорил правду, другой лгал. Где какие ворота, а также кто Лжец, а кто Правдивец — неизвестно. Только два мужика и два выхода. Подсудимый мог задать один вопрос любому понравившемуся мужику на выбор, после чего выйти из комнаты. Если повезет и он выйдет из Ворот Рая — он спасен, иначе смерть.

Задача, думаю, ясна — придумать вопрос, после получения ответа на который подсудимый однозначно определит, куда ему идти. Вопрос можно задавать любой, на который можно ответить «да» или «нет», но только один и только одному мужику. Напоминаю, есть как минимум два принципиально разных решения, одно, думаю, угадается быстро. Ответы пишем белым, как обычно.

UPD: Оба решения найдены, кому интересно самому угадать — не смотрите в комменты.

К консультанту одновременно подбегают три молодых интеллигентных парня в смокингах за черными галстуками-бабочками. Консультант, в растерянности проверив количество, сообщает молодым людям о том, что черных осталось всего два, и один из них уже заказан другим покупателем.

На предложение взять всем белые, молодые люди начинают негодовать и спорить друг с другом о том, кому же все-таки достанется черный галстук. Консультант обращается за помощью к менеджеру для решения столь деликатной ситуации.

Менеджер, оценив обстановку, предлагает парням задачку на сообразительность.

— Вы видите, — говорит он, — у меня 5 галстуков, 3 белых и 2 черных.

Он попросил их закрыть глаза и надел каждому по белому галстуку, а черные спрятал в карман.

— Можете открыть глаза. А теперь, кто первый скажет, какого цвета на нем галстук, тот вправе приобрести тот самый черный.

Парни простояли несколько минут, не сводя взгляда друг с друга… Наконец, один воскликнул:
— На мне — белый!

Как он догадался?

Вчера знакомая скинула в аську задачку из какого-то теста на логику. Изрядно поломав голову, я дал ответ, в котором был не очень уверен, но он оказался правильным. Однако сомнения так и не покидали меня. Представляю на ваш суд эту задачку, развивающую абстрактное мышление:

Когда день после завтра – вчера, тогда «сегодня» будет так же далек от воскресенья, как и день, который был «сегодня», когда день перед вчера был завтра. В какой день недели верно данное утверждение?

Предлагайте свои решения в комментариях, просто перечислять дни недели не нужно, излагайте ход мыслей.

Тех, кто встречался с этой задачей раньше и знает правильный ответ, прошу не беспокоиться.

Максимальное количество ходов, которое требуется для сбора кубика Рубика, сокращено до двадцати трёх. Эту математическую задачу решил стенфордский выпускник Томаш Рокицки. Разработанная им стратегия была запущена на вычислительной станции, которая подтвердила правильность расчётов.

Рокицки применил оригинальный подход. Вместо анализа отдельных ходов он взял в расчёт форму кубика и разбил её на набор его состояний. Всего получилось 2 млрд состояний (sets) с 20 млрд элементов в каждом. В этой концепции ходы рассматриваются как пары «связанных состояний» (cosets). Рокицки доказал, что большое количество состояний на самом деле повторяют друг друга и поэтому могут быть проигнорированы. Но даже после оптимизации для расчёта всей модели требуются очень большие вычислительные ресурсы. Предыдущий рекорд (25 ходов) потребовал 1500 часов на машине с процессором и Q6600 (1,6 ГГц) и 8 ГБ оперативной памяти. Сейчас Рокицки позаимствовал 7,8 ядро-лет вычислений на более мощном кластере в известной киностудии Sony Pictures Imageworks (вычисления выполнялись во время простоя на тех же машинах, где просчитывались спецэффекты «Человека-паука 3» и мультика «Лови волну»): всего было проанализировано более 200 тыс. связанных состояний.

Дорогие хабравчани, вашему вниманию небольшая задачка, которая докажет всем ещё раз то, что загадка человеческого мозга ещё далеко не разгадана.

В своём распоряжении вы имеете 10 секунд, иначе это не сработает.
Всё что вам надо сделать, так это сосчитать количество букв «F» в нижеследующем тексте.
Помните, не больше 10 секунд!

+++++++++++++++++++++++++++
FINISHED FILES ARE THE RE-
SULT OF YEARS OF SCIENTIF-
IC STUDY COMBINED WITH THE
EXPERIENCE OF YEARS
+++++++++++++++++++++++++++

Объяснения под катом

Итак, у нас 1000 окопов в ряд (не по кругу). В одном из них (не видно в каком) сидит солдат по имени Билл — ваш противник.

У вас в руках супер-пупер-мега пушка, позволяющая вдребезги разнести все содержимое любого из окопов (сам окоп останется цел). Сразу после того, как вы делаете выстрел, рядовой перебегает в соседний окоп (по неизвестной вам логике). Остаться в том же окопе, равно как и перебежать дальше, чем в соседний окоп, солдат не может. Следующий выстрел. Перебежка. Выстрел. Перебежка. И так далее.

Проблема в том, что ни рядового, ни перебежек, ни даже результатов выстрела (убил-не убил) вы не видите.

У кого сколько выстрелов уйдет на то, чтобы убить эту сволочь, и как вы это будете делать?

Правильный ответ от Oleksandr: стреляю от 2-го до 999-го и обратно

Заведующий концлагерем вызывает к себе 5 осужденных и говорит:

«У вас будет время до вечера чтобы создать план действий, но уже завтра вы будете находиться в разных камерах и никогда не будете встречаться. У нас в лагере есть Ленинская комната, в которой на столе лежат 2 книги: „Капитал“ Маркса и „Анти-Дюринг“ Энгельса.

Со следующей недели я буду выбирать одного из вас и водить его в Ленинскую комнату на политинформацию. Читать ничего не надо, но нужно будет обязательно взять любую (но только одну) из книг и перевернуть ее (с тыльной стороны на обложку или наоборот). Кроме вас в Ленинскую комнату никто ходить не будет. Выбирать заключенных я буду как мне хочется: например, сегодня первого три раза свожу, а завтра всех по очереди, а послезавтра обойдетесь.

Рано или поздно каждый из вас побывает в Ленинской комнате. Так вот, любой из вас в любое время может сказать „Мы все здесь уже были!“. Если окажется, что он прав, вы все будете освобождены. Если нет — расстреляны.»

Что же делать осужденным, ведь время до вечера еще есть?

UPD: Облегчаем задачу. Заключенных не 5, а 19.

UPD: Ответ достаточно быстро и четко сформулировал товарищ tunelix, на основании почти правильного варианта by FloppyFormator:
итак: у нас есть 1 счетчик и 4 исполнителя.
задача исполнителя: если маркс лежит обложкой верх — переворачиваем энгельса, если обложкой вниз переворачиваем маркса мордой вверх. каждый испольнитель считает количество переворотов маркса — если он перевернул его 2 раза — больше он его на мордой вверх не переворачивает.
счетчик: каждый раз когда он видит маркса перевернутого мордой вверх он увеличивает счетчик +1 и переворачивает маркса вниз лицом. если маркс лежите вниз лицом он циклически переворачивает энгельса.
когда счетчик дойдет до 8 — он может сказать что все побывали в комнате.
считать до 8 (а не до 4х) нужно чтоб обойти ситуацию когда 1м в комнату попадает счетчик, а там маркс лежит мордой вверх.


Несколько соображений по поводу задачи и ее обсуждения:
1. В оригинале (когда я о ней узнал) задача была про 2 выключателя и 23 заключенных. Пришлось переделать в патриотическом стиле, чтобы общественность не так быстро выгуглила ответ.
2. Задача была намеренно усложнена. Так, например, 5 заключенных вкупе с 2 книгами наталкивают на мысли о двоичной системе счисления, хотя с 23 заключенными в этом (неправильном) направлении даже и не думаешь. Кроме того, если свести задачу к одной книге (убрав обязательное условие о перевороте хоть одной книги), то тоже задача решается намного проще. Но поиск правильного направления — это тоже задача, поэтому не стоит предъявлять претензии о некорректной формулировке.
3. Условие о том, что каждый заключенный побывает в комнате несколько (да что там, много!) раз не было явно указано, т.к. если бы это было не так, у задачи очевидно не было бы решения.
4. Поиск 'альтернативных' вариантов (поворачивать книги вокруг оси, делать пометки, закладки, ложить Маркса под ручку с Энгельсом и т.д.) был совсем не обоснованным. Условий задачи вполне достаточно для того, чтобы ее решить.
5. Не всем было понятно, что собственно от них требовалось. Для меня правильное решение удовлетворяет следующим условиям: а) заключенные не будут расстреляны ни при каких обстоятельствах; б) заключенные имеют реальный шанс выйти. Даже при этих довольно общих критериях решение было найдено только одно.

Представляю вашему вниманию своеобразный блиц — три небольших задачки, начиная от самой баянистой и кончая той, которую вы даже в гугле не найдете =)

1. стена, кирпич, часы, вокзал…
(продолжите последовательность)

2. л, с, д…
(продолжите последовательность)

3. кра.се.т. — что это?
Внимание! Второе задание пока не решено!