5 июн в 14:58

Феномено-логическая интерпретация квантовой механики

Средний

Ожидает приглашения

Сложно найти человека, который не слышал о квантовой механике, не смотрел научпоп на эту тему, не знает про двухщелевой эксперимент и кота Шредингера. И также у всех на слуху то, что квантовая механика — это штука настолько ядрёная, что до сих пор нет общепринятой интерпретации: что именно значат её формулы? Писать очередную научно-популярную статью было бы скучно — их и так в большом избытке. И потому я предлагаю вам совершенно уникальный продукт: "понять квантовую теорию за три статьи". Всего за три статьи мы построим основание квантовой теории буквально из ничего, из чистых и довольно простых размышлений. Начиная от философии, от понятия эксперимента и заканчивая строгими формулами, где за каждым символом будет стоять смысл, недвусмысленное толкование во вполне осязаемых понятиях. Интерпретации нам станут не нужны: копенгагенская, многомировая, реляционная — всё это станет просто тратой времени и тривиальщиной для казуалов. Можно сказать, это гайд "как построить квантовую физику с нуля". Данный материал будет увлекателен для частично знакомых с квантовой механикой; желающих нырнуть глубже и узнать насколько глубока кроличья нора; для скучающих людей, которые хотели бы увидеть альтернативную точку зрения; для троллей от мира физики и просто интересующихся.

Материала получилось слишком много и потому пришлось его разделить. Данная часть имеет, в большей степени, общефилософский характер, хотя и формулы также присутствуют. Знаю, философию не так чтобы здесь любят, но это необходимая часть для определения ключевых понятий и связывания осязаемых смыслов с математическим формализмом. Кроме того, философская часть даёт мотивацию для дальнейших построений, описывает те проблемы, решать которые собрались. Как итог, из чистых размышлений будут выведены базовые постулаты квантовой механики вкупе с математическим формализмом для дальнейших расчётов и анализа. Квантовая механика здесь понимается как общий каркас квантовой теории: векторы состояния, операторы измерения, унитарная эволюция, коллапс вектора состояния и так далее. То есть, речь не про нерелятивистскую, "школьную" квантовую механику, а про фундамент из которого вырастает квантовая теория поля и стандартная модель.

Данный материал предполагает некоторые начальные знания читателя о квантовой механики, которые можно почерпнуть из научно-популярных источников. Если вы знаете математический аппарат квантовой механики — это будет плюсом, так как формулы вы будете узнавать с ходу. Но знание это не является обязательным. Очень желательно знание основ линейной алгебры: что такое вектор, матрица, линейный оператор, скалярное произведение. Если знаете про вероятность и три её определения, то тоже будет очень кстати. Но сверхсложного ничего нет: всё непонятное можно загуглить в процессе чтения.

В общих чертах о проблемах квантовой теории

Сложно найти область научного знания, которая могла бы соперничать с квантовой физикой по своей загадочности, при сопоставимой значимости и фундаментальности. О квантовой физики слышал почти что каждый. Вряд ли вас обошли стороной научпоп объяснения квантовой теории на примере карт, хот-догах, соусах и блюдцах; читали различные изложения сей темы "на пальцах" с объяснениями странностей теории, запутанных частицах, телепортации и всём таком. Материала в интернете навалом, но, тем не менее, квантовую физику не понимает никто. Её не понимали даже основатели теории (по крайней мере не все). Сложно себе представить теорию в биологии или химии, или даже в классической физике, которая бы имела с десяток интерпретаций, каждая следующая из которых страннее и безумнее предыдущей. При том, чтобы самую ортодоксальную, самую "правильную" упрекали в том, что из неё вообще ничего непонятно. Квантовая теория заняла недосягаемую, для всех прочих научных воззрений, высоту различных спекуляций, домыслов, мифов и развенчаний мифов, которые порождают новые мифы. Мистификаторы задвигают "муть" про "квантовое сознание", космические энергии и поле исполнения желаний. Демистификаторы совершая, казалось бы, благородное дело бескомпромиссной критики бредовых идей, на деле, часто сами не понимают основ теории и неспособны внятно объяснить "эффект наблюдателя", отсутствие скрытых параметров, квантовую запутанность и прочие странности теории.

Но если бы проблемы были только у популяризаторов науки: в научном сообществе тоже не всё гладко. До сих пор нет единого мнения как стоит трактовать уже давно полученные и проверенные в многочисленных экспериментах уравнения и практики. Что, казалось бы, полный бред: как такое возможно, чтобы теорию смогли экспериментально проверить, но не смогли внятно интерпретировать? Разве уравнения не должны описывать поведение вполне понятных, измеряемых физических объектов и полей? Увы, теория оказалась крепким орешком: хотя она и описывает поведение вполне осязаемых вещей, но результаты экспериментов оказались настолько странными, что пришлось привлекать очень странный математический аппарат. И многие сущности этого аппарата не являются наблюдаемыми, а лишь выполняют роль вспомогательного средства для вычислений. Стоит ли искать за ними некие невидимые реальные физические процессы? Данное обстоятельство послужило триггером для создания многочисленных интерпретаций, каждая из которых старается объяснить связь между ненаблюдаемыми сущностями, которые явно выражены в уравнениях, и вполне наблюдаемыми результатами эксперимента.

Ситуация оказалась весьма неприятной: вопрос оказался столь эзотерическим, что весьма популярной оказалась интерпретация "заткнись и считай" — простое руководство к действию и призыв не спрашивать о том, чего явно в эксперименте нет. Более продвинутая и многословная версия этого лаконичного тезиса и, вместе с тем, наиболее ортодоксальная интерпретация основ теории — копенгагенская интерпретация, которая была заложена ещё основателями теории в качестве критики современных для них воззрений на сущность квантовой механики. Идея интерпретации проста. Теория является просто инструментом получения наблюдаемых результатов эксперимента, волновые функции и прочее подобное есть просто математический инструмент наблюдателя для вычисления вероятностей наблюдения тех или иных физических процессов. В процессе наблюдения, вероятностные прогнозы теории "коллапсируют" в состояние полной определённости, когда непосредственно наблюдаемый процесс имеет вероятность равную единице, а вероятности альтернатив равны нулю. Коллапс — субъективный процесс изменения знания наблюдателя о системе, а вероятностный характер прогнозов является неустранимым свойством теории. Увы, но данная интерпретация мало кого удовлетворила, её определённо формулировали математики: она безупречно точна и столь же бесполезна. Проблема, как минимум, состоит в том, что очень сложно найти исчерпывающее объяснение копенгагенской интерпретации, тем более что, во многом, она формулировалась как критика альтернатив и "тест на адекватность" прочих интерпретаций. Другая проблема: эта интерпретация, в сущности, ничего не говорит о реальности и отношение квантовой механики к ней. То есть, конечно, замечательно что теория работает и что ей дано некоторое объяснение, но хотелось бы ещё знать как оно соотносится с реальностью. Если коллапс является чисто субъективным процессом обновления знания наблюдателя о системе, то происходит ли коллапс в реальности? Стоит ли за субъективным коллапсом какой-то объективный физический процесс? Если влиянием наблюдателя можно пренебречь, то почему мы используем теорию в которой наблюдатель играет выделенную роль? А если влиянием наблюдателя пренебречь нельзя, то кого тогда стоит считать наблюдателем? На эти вопросы копенгагенская интерпретация не отвечает. По правде говоря, на эти вопросы ни одна интерпретация ответить внятно не может. При том условии что это именно интерпретация, а не альтернативная теория.

В связи с вышеуказанными причинами, до сих пор сохраняется необходимость в том, чтобы как-то всю эту чёрную магию объяснить, вписать в полную, исчерпывающую интерпретацию. И хотя сложно поверить в то, что такое возможно, но у меня есть такая интерпретация собственного производства, которой сам пользуюсь. Эта интерпретация, на самом деле, вовсе никакой интерпретацией не является, так как не интерпретирует уравнения квантовой механики, а выводит их из изначальных философских предпосылок. И так как это полноценный вывод математического аппарата квантовой механики из чистой философии, то статья будет довольно душноватой. Довольно неприятная ситуация. С одной стороны, есть широко распространённое поверье, что каждая добавленная в текст формула сокращает число читателей вдвое. С другой стороны, я не могу позволить себе подход "просто поверьте мне на слово". Тем более, что существует некоторое "правило этикета", предписывающее предлагать доказательства тем весомее, чем более тенденциозное заявление ты делаешь. Что вынуждает прибегать к излишней формальности там, где можно было бы выразить мысль попроще. По этой причине, не могу обещать что чтение будет лёгким, а выводы легко понятными. Предложение "полной и единственно верной интерпретации квантовой механики", увы, обязывает делать изложение скорее логически последовательным, чем понятным. Вместе с тем, я всё же надеюсь, что поставленная цель столь амбициозна, что за логикой изложения есть смысл проследить просто хотя бы для того, чтобы взглянуть на десятилетиями известную теорию под другим углом.

Хотя изначально интерпретация не разрабатывалась в духе какой-либо философской школы и исходила из простых размышлений относительно природы эксперимента и наблюдений, но итог получился весьма приближенным к школе логического позитивизма. Таким образом, статья предлагает математический инструмент численного анализа неспецифичных языковых представлений эмпирического опыта и прогнозов будущего опыта. Задача статьи — сформулировать методологию, согласно которой из набора утверждений об ожидаемом опыте сформировать математическое представление, которое позволит структурировать вычисление вероятности получения того или иного субъективного опыта. Используется феноменологический подход, так как он позволяет построить более общий каркас, не требуя существования объективной реальности в каком-то выделенном определении. Также в рамках представленной модели предлагается анализ критериев соответствия между математическим представлением феноменов и соотнесением их с объективной реальностью. Полученный формализм будет идентичен формализму квантовой механики. Именно поэтому можно говорить об интерпретации квантовой механики с феноменологических позиций. И по причине сходств некоторых подходов с уже известными философскими школами, я постараюсь использовать терминологию этих школ там, где это уместно.

О теории вообще

Слово "интерпретация" весьма плохо подходит для дальнейшей модели, так как нет, собственно, предмета интерпретации. В этом состоит коренное отличие предлагаемого подхода от типичных путей: обычно берётся за основание предварительно заданная математическая модель квантовой механики и результаты экспериментов, которые и подвергаются интерпретации. Такой подход, однако, создаёт множество неясностей, так как сами эксперименты не являются квантовыми ввиду того, что процесс физического измерения — это всегда измерение классическими макроскопическими приборами. Из-за чего стандартный интерпретационный подход всегда упирается в границу между миром классически и квантовым, что вынуждает разводить спекуляции о характере такой границы, что и составляет суть различий интерпретаций. Чтобы не попасть в эту ловушку, необходимо выбрать какой-то иной путь, который не являлся бы интерпретацией уже известного, а выводил известное дедуктивно из фундаментальных физических и теоретических ограничений.

Изложение теории придётся начать с вопроса "что есть физическая теория вообще"? Этот вопрос, не имеет строгого, простого и удовлетворительного ответа, но мы можем подойти к проблеме определения интуитивно. Физическая теория — это предсказательная модель физической реальности, которая проверяется через наблюдение за реальностью. Физическая теория актуальна до тех пор, пока результаты наблюдения соответствуют модели в тех пределах, которые заложены в саму модель. При этом, теория тем лучше, чем больше информации она даёт: если любой результат наблюдения одинаково соответствует теории, то теория не даёт никакой информации. Данное простое и наивное толкование, пожалуй, вызовет скорее согласие, чем несогласие. Однако даже оно никуда не годится в текущем виде. Ведь не определены самые фундаментальные понятия, на которые объяснение сути любой теории опирается. Что такое реальность? Что есть наблюдение за реальностью? Что означает соответствие модели реальности? Как следует судить соответствует ли наблюдаемый факт предсказанию модели? В конечном итоге, всё сводится к вопросу "что есть истина" и интуитивному пониманию того, что физическая теория должна выражать эту "истину", данную нам в ощущениях. Это уже более туманное, но и более радикальное "определение": не каждый с ним согласится. Такой подход уже не нуждается в реальности, но так как реальность является фундаментальной сущностью многих физических теорий, то это вынуждает дать краткий обзор философских оснований теорий физической реальности.

Как нетрудно заметить, выражение "теория физической реальности" уже несколько предвзято и все успешные теории физики, которые так или иначе опираются на физическую реальность можно назвать классическими теориями. Как можно догадаться, квантовая теория к ним не относится. Однако обсуждение этого, для многих спорного, утверждения мы отложим. Упрощённо, философскую суть классической физики можно свести к концепции первичных (объективных) и вторичных (субъективных) качеств: вторичным качествам предшествуют качества первичные и человеческий разум способен постигать суть первичных качеств через анализ субъективного опыта (вторичных качеств) и построение моделей. Задача физической теории тогда состоит в том, чтобы объяснить поведение, взаимосвязи и эволюцию первичных качеств. Вторичные качества игнорируются вовсе, так как предполагается, что соответствие между первичными и вторичными качествами достаточно точная и стабильная для целей анализа объективной реальности как совокупности всех первичных качеств. Различного рода несоответствия тогда являются предметом других наук: например, психологии или биологии. Модель подвергает объективные свойства реальности количественной и качественной оценки, определяя различные типы физических свойств, их численные значения и взаимосвязи в виде функций.

Хотя воззрение на реальность с точки зрения классической физики кажется разумным, справедливым, очевидным и безальтернативным и давно вошло в обиход в качестве "здравого смысла", но у него есть весьма существенная уязвимость. А что если оно не верно, что если нет никакой объективной реальности и жизнь скорее подобна бредовому сну, чем на взгляд наружу через окно субъективного опыта? Иначе говоря, оно опирается на недоказуемое утверждение, что что-то способно существовать за пределами субъективного опыта. При этом, классическая теория не способна доказать свою применимость и адекватность средствами классического подхода, так как они выходят за её рамки, требуя отрицания основополагающего утверждения. Кроме того, фундаментальная теория на то и фундаментальна, что служит фундаментом для других теорий и наук. Если мы судим искажение вторичных качеств по отношению к первичным через призму биологии, то откуда нам знать что сама биология не искажена неправильными выводами, связанными с ошибками в фундаментальной теории? Таким образом, необходимо разработать альтернативную теорию, которая бы не имела данной опоры и была бы способно качественно и количественно оценить степень соответствия субъективного опыта представлению об определённости этого опыта объективными, независимыми от субъекта, качествами. И хотя мы ранее полагали что теория должна быть информативной, но, в сущности, это не является обязательным. Физические теории можно разделить на две большие категории:

Аналитические теории, которые образуют математический каркас будущих рассуждений. Они, по своей сути, представляют язык и не несут никакой информации. Но создают иллюзию информированности из-за довольно логичного принципа: логичные умозаключения более логичны, чем нелогичные. Логически целостная модель позволяет не прийти к противоречию на пустом месте и не создать расхождений там, где их не должно было бы быть в принципе.
Предсказательные теории. Данные теории можно сравнить с некоторым множеством предложений языка. Тем самым они информативны, так как определяют какие корректные, с точки зрения моделей предыдущей категории, построения могут соответствовать наблюдениям, а какие нет.

Далее мы увидим, что квантовая механика относится к теории первого типа. Роль теории второго типа, на данный момент, выполняет стандартная модель, которая строится на фундаменте квантовой механики.

Кажется, что поставленная задача построения теории, которая бы не опиралась на существование реальности, просто невыполнима. Действительно, ведь такая теория была бы рабочей при любых условиях, даже для галлюцинаторного бреда она оставалась бы применимой. Бред подразумевает, что можно ожидать чего угодно и потому никакие предсказания и выводы невозможны. Но данное умозаключение говорит лишь о том, что невозможно построить теорию второго типа. Для достижения поставленной цели нам требуется:

Создать язык аналитической теории, выраженной в терминах субъективных наблюдений.
Сформулировать критерий соответствия предложения данного языка и утверждения о существовании объективного обуславливающего качества субъективного наблюдения.
Создать набросок теории второго типа, которая бы предсказывала некоторое физическое явление.
Рассмотреть применимость выбранного на шаге 2 критерия к наброску физической теории.

Структура субъективного опыта

При построении действительно фундаментальной теории, мы не можем полагаться на утверждения, которые могут оказаться ложными даже гипотетически. Разберём это чуть подробнее, разделив все разумные допущения на три класса:

Утверждения, истинность которых не доказана строго, но предполагать которые естественно в рамках имеющихся разумных систем знаний. В данную группу попадают научные гипотезы и нефундаментальные научные теории.
Утверждения, истинность которых доказывается практически и исходя из здравого смысла. В данную категорию попадает, в меньшей степени, фундаментальные научные теории и, в большей, научная методология.
Утверждения, отрицать которые проблематично даже с точки зрения логики, так как такое отрицание ставит под сомнение саму логику (т.е. и саму возможность проводить отрицание). Кроме того, отрицание таких положений создаёт невозможность иметь знания и бессмысленность экспериментальной проверки как способа разграничения ненаблюдаемого и неверифицируемого от наблюдаемого и верифицируемого.

Первые две категории утверждений мы назовём спекулятивными, так как их истинность всегда можно поставить под сомнение. Данные классы утверждений не могут быть фундаментом будущей теории, так как их адекватность и применимость требует более строгих доказательств и измерений. Фундаментальная теория должна допускать их как истинность, так и ложность, ясно демонстрируя к каким именно последствиям именно приводят отрицания подобных утверждений и при каких именно условиях мы можем говорить о нереалистичности и неприменимости "здравого смысла". Третья категория станет фундаментом дальнейших построений, так как её отрицание сталкивается с логически непреодолимыми проблемами и приводит к невозможности любого систематического анализа.

Так как научная методология, научные теории и здравый смысл признаны спекулятивными, то это означает также их зависимость. Источником всех теорий являются размышления субъекта над собственным субъективным опытом и субъективный опыт является единственным, в действительности, доступным способом верификации утверждений. Иначе говоря, физические теории, теория биологической эволюции, теории происхождения вселенной и здравый смысл как таковой имеют смысл только потому, что субъект постоянно сталкивается в своём субъективном опыте с подтверждением данных спекулятивных догадок. То есть, это всё есть описательные и прогностические модели с очень высокой степенью достоверности, но которая принципиально не может быть абсолютной. Субъективный опыт достоверен абсолютно, так как без него все спекулятивные построения теряют всякий смысл. Сумасшедшему нет нужды во всех этих теориях, а представление о некоем научном консенсусе, который вправе оспаривать достоверность опыта, есть лишь ничем не подкреплённая, но практически полезная, иллюзия. На деле, любой "фальшивый опыт", любую галлюцинацию научная теория должна уметь объяснять, выражать средствами своего аппарата. Присутствие феномена, который выпадает из научно-теоретического анализа в принципе, было бы свидетельством провала научной картины мира, так как любое "пренебрежение" и "иллюзорность" должно толковаться как недостаток информации, а не как принципиальная невозможность найти объяснение. Но отсутствие информации признаёт что такая информация, в принципе, существует и, следовательно, есть и её предмет. Следовательно, анализ с позиции субъекта является в большей степени независимым от потенциально ложных допущений.

Любая теория ведёт исток из анализа ума субъективных переживаний субъекта и задания вопроса о природе и поведении этих переживаний. Для большей ясности, разделим субъекта на следующие части:

Сознание, как способность наблюдать феноменальный опыт и наблюдать суждения ума о феноменах.
Феномены, которые представляют собой "информацию с органов чувств", а фактически есть спонтанно возникающие ощущения в сознании.
Ум, как способность к спекулятивным суждениям относительно сущности феноменов.
Утверждение как продукт ума, выражающий некоторое суждение о феномене или другом утверждении.

Любая мысль имеет спекулятивную природу. Однако спекуляция как таковая не является истинной или ложной и, таким образом, мы не могли бы говорить об истинности того или иного утверждения, если бы не существовало никакого способа их "проверить". Рассмотрим деятельность ума с той точки зрения, что он строит модель феноменального опыта и стремится предсказать этот опыт. Данное рассуждение требует, при более обстоятельном анализе, проникновения в механизмы работы ума и в сущность природы времени с точки зрения ума. Но нам требуется лишь краткий, общий анализ для дальнейших целей и потому ограничимся простыми интуитивными соображениями. Утверждения ума можно разбить на несколько практически полезных категорий:

Высказывания непосредственно о феноменах.
Высказывания о возможных и ожидаемых феноменах.
Чистые спекулятивные высказывания, не относящиеся к феноменальному опыту.

Все три категории для нас полезны, но только первые две дают возможность говорить об истинности как присущему утверждениям оценочному свойству. Мы будем считать, что связь утверждения как мысли и феномена происходит интуитивно и очевидным для субъекта образом. То есть, истинность высказываний из первой категории для субъекта очевидно и не требует анализа природы мысли и взаимосвязи мышления и опыта от субъекта в процессе понимания этой истинности. Когда субъект чувствует наступление дождя и имеет мысль "идёт дождь", то взаимосвязь феноменального опыта и подобных утверждений в простой форме для него самоочевидна. Поэтому мы можем уйти от рассмотрения природы феноменов и перейти к более абстрактному рассмотрению утверждений, говоря что утверждения, посредством наблюдения феноменального опыта, проходят верификацию: выявления их истинности. Для утверждений непосредственно об опыте, верификация заключается в спонтанном возникновении мысли, которая соответствует опыту. Но нас больше интересуют утверждения второй категории, то есть спекулятивные утверждения о возможном. В данном случае верификация имеет более сложную природу и связана с ощущением субъекта связи между спекулятивным утверждением, воспоминаниями о прошлом опыте и его чувстве предвкушения возможного опыта. Но эта природа всё ещё остаётся для субъекта самоочевидной, поэтому мы остановимся на том, что субъект понимает связь простых утверждений о возможном и о том как именно его субъективный опыт подтверждает предугаданную возможность, актуализируя утверждение о возможном как истинное. Но так как до опыта мы не можем оценить утверждение как истинное или ложное, то вынуждены считать его истинность неопределённой. Таким образом, все утверждения имеют три степени их истинности:

Утверждение истинно, если оно говорит о непосредственном опыте, либо является, верифицированным через опыт, оправданным ожиданием.
Утверждение ложно, если оно отрицает непосредственный опыт, либо является обманутым ожиданием, уже фактически опровергнутым опытом.
Утверждение не определено, если оно говорит о событии, которое ещё фактически не произошло, но может произойти.

Наконец, рассмотрим категорию чистых спекулятивных утверждений. Нас интересуют только те, которые так или иначе касаются опыта. Для данных утверждений, строго говоря, неприменимы оценки "истина" и "ложь", так как они всегда имеют принципиально неверифицируемый остаток. Например, возьмём утверждение "так как на небе сгустились тучи, то будет дождь" — данное утверждение содержит две ссылки на непосредственный опыт, но объединяет их в причинную взаимосвязь. Но причинность не является наблюдаемым феноменом и потому причинная взаимосвязь ненаблюдаема в принципе. Следовательно, данное утверждение принципиально нельзя верифицировать как истинное или ложное. Но данная категория утверждений, если всё же ссылается на опыт, имеет существенную практическую полезность. И потому мы введём дополнительную характеристику оценки:

Утверждение достоверно как истинное или ложное, если гарантирует что ссылается только на утверждения, которые будут верифицированы как истинные или ложные соответственно.
Утверждение недостоверно как истинное, если гарантирует что ссылается только на утверждения, которые будут верифицированы как ложные.
Утверждение имеет неопределённую достоверность, если невозможно установить ссылается ли оно на утверждения, которые будут верифицированы как истинные или как ложные.

То есть, субъект дополнительно оценивает утверждение на их достоверность. Достоверному утверждению субъект доверяет и воспринимает как факт, как уже проверенный опыт. Если же достоверность не определена, то это составляет отдельную проблему: субъект ставит такое утверждение под сомнение и действует в соответствии с глубиной своего сомнения, доверяя утверждению лишь частично. Позже мы рассмотрим вопрос численного анализа достоверности.

Строго говоря, все дальнейшие рассуждения будут именно о модели оценки достоверности, а не об истинности или ложности. Верификация является критерием переоценки степени достоверности спекулятивных суждений, вызывая кризис доверия к тем моделям, которые себя не оправдали. Таким образом, роль верификации остаётся ключевой и истинность суждений важна для оценки степени достоверности. Но практическую ценность несут спекулятивные модели, истинность которых не может быть установлена по определению.

Установим некоторую терминологию, которую будем использовать в дальнейшем. Утверждения первой категории, то есть те которые говорят о непосредственном прямо сейчас наблюдаемом феноменальном опыте, мы назовём "протокольными утверждениями". Все протокольные утверждения, по определению, тривиально истинны. Мы не будем затрагивать тему того, как в точности понять является ли некоторое утверждение протокольным — это невозможно. Любое утверждение, которое имеет очевидную связь с тем, что наблюдается прямо сейчас непосредственно с крайне очевидной взаимосвязью является протокольным. То есть, утверждение "идёт снег" им является, если речь идёт о фактически наблюдаемом погодном явлении прямо сейчас. Будем считать, что субъект достаточно вменяем, чтобы наблюдать крупные, хорошо заметные события: такие как явно выраженные погодные условия, большие, хорошо различимые объекты или детекторы с большим качественным FullHD дисплеем и недвусмысленным интерфейсом. Если это всё "галлюцинации", то галлюцинации и их природа всё ещё находится в рамках рассмотрения данной модели. Если субъект неадекватен и не способен различать даже крупные события, то модель всё ещё остаётся применимой. Этот факт станет очевидным в дальнейшем, когда будет рассмотрена связь вероятности, субъективной оценки, объективной реальности и оценки эффективности принятых решений.

Далее, мы будем активно пользоваться термином "событие". Событие — это такое утверждение, которое может быть потенциально верифицировано, либо уже верифицировано. Так утверждение "идёт дождь" может быть названо событием и данное событие либо является протокольным утверждением, если высказывающий является непосредственным свидетелем дождя, либо спекуляцией, если им не является. Например, если услышал это от кого-то, или предполагает, или ожидает в будущем.

Субъективный опыт, утверждения и наблюдение

Нам необходимо сформировать алгебру, элементом которой будут выступать события, в понимании данного слова приведённого в предыдущем разделе. События мы будем обозначать заглавными латинскими буквами $A, B, C\ldots$ Введём функцию, такую что, есливерифицировано как истинное утверждение, и, если утверждениеверифицировано как ложное. Или, говоря проще,означает чтоуже произошло, аозначает чтогарантированно уже никогда не произойдёт. Приподразумевается чтосформулировано таким образом, что уже строго противоречит наблюдаемым фактам.

Введём четыре элементарных оператора над событиями:

Отрицание $\lnot A$ событияозначает такое событие, что если, то $V(\lnot A) = 0$ и наоборот. Операция интуитивно эквивалентна обычному отрицанию в утверждении: если = "идёт дождь", то $\lnot A$ = "не идёт дождь".
Событие $A\land B$ означает, что $V(A\land B) = 1$ только тогда, когдаи. Эквивалентно "и": = "идёт дождь", = "стало грязно", $A\land B$ = "идёт дождь и стало грязно"
Событие $A\lor B$ означает, что $V(A\lor B) = 0$ только тогда, когдаи. Эквивалентно не исключающему, обычному "или".
Событие $A\veebar B$ означает, что $V(A\veebar B) = 1$ только когдаи, либои. Эквивалентно "либо, либо", но не то и другое вместе.

Важным для дальнейшего рассмотрения классом событий является набор взаимоисключающих событий. Их мы будем обозначать латинской буквой с нижним индексом: $A_1, A_2, \ldots$ То есть, два составных события $A_1\lor A_2\lor \ldots$ и $A_1\veebar A_2\veebar \ldots$ полностью эквивалентны и если существует такое событие , что , означает что для всех $j \neq i$ . Данные события очень удобны тем, что сформулированные через них гипотезы проще всего проверить: если результат эксперимента показал результат, которое представляет событие, то все остальные возможные события из гипотезы можно отбросить. Множество таких взаимоисключающих событий мы будем называть далее событийным базисом. Мы также будем называть некоторый базис $\{A_1, A_2,\ldots\}$ полным, если не может быть такой ситуации что для всехиз базиса сразу. Как минимум одно из событий должно быть верифицировано как истина. Самый простой пример полного базиса: $\{B, \lnot B\}$ . Нетрудно заметить, что мы всегда можем превратить любой неполный базис в полный, добавив в неполный базис событие, которое произойдёт если все остальные события окажутся ложью.

Прогноз и вероятность

Строго говоря, мы не можем узнать правильность нашей гипотезы напрямую, только посредством верификации. Например, что если гипотеза заключается в том, что произойдёт либо событие, либо? Верификация позволит сказать о несостоятельности гипотезы если произойдёт какое-то иное событие, например. Но не скажет о том, существует ли более точная, информативная гипотеза. Кроме того, часто можно сказать что некоторое событие "преобладает": например, можно сказать что, скорее всего, произойдёт, тогда как наступлениемаловероятно. Как проверить такое утверждение? Попробуем подойти к этой проблеме с той стороны, что субъекту необходимо сделать выбор: стоит ли или не стоит ему предполагатьболее вероятным событием и, тем самым, доверять указанной гипотезе?

Предположим, например, что субъект играет в некоторую игру. Суть её в том, что субъект знает заранее какие события могут произойти, но не знает какое именно из событий произойдёт. Он может поставить на любое из событийсуммуи имеет шанс выиграть сумму, но только если выбранное событиедействительно произойдёт. Будем считать что ставкавсегда меньше, так как считаем пари адекватным. Тогда мы можем подойти к проблеме численной оценки достоверности с точки зрения наилучшей стратегии в пари. Субъект который правильно оценивает свои шансы на победу и выбирает адекватное соотношение риска, выигрыша и ожиданий выигрыша будет получать наибольшую прибыль. Это легко заметить в граничных случаях: если субъект уверен, что событиегарантированно произойдёт, то готов поставить на него любую сумму, так как воспринимает выигрышкак "бесплатные деньги". На событиекоторое, для примера, точно не произойдёт ставить, в здравом уме, никто не будет, так как это просто способ лишиться суммы ставки. В остальных случаях, правильную ставку можно оценить через конкуренцию событий: если помимо событияможет произойти ещё какое-то, то они "соревнуются" за свою актуализацию и правильной будет ставить на самое "сильное" событие при прочих равных. То есть, выигрышкак бы разделяется на все события, гдесоревнуется с остальными событиями:отдаст вам ваш выигрыш, остальные — заберут ставку и только лишь. Если все события равны, то логично требовать более чем враз больший выигрыш по сравнению со ставкой, так как на один потенциальный выигрыш вы имеете потенциальный проигрыш. Мы также можем сказать, что вероятность выигрыша составляет , как раз подразумевая что мы имеем один шанс выиграть из возможных исходов. И имеемситуаций проигрыша изсобытий, что даёт вероятность. Таким образом, имеем простое неравенство:

$pS > (1-p)R \quad\Rightarrow\quad p > \frac{R}{S+R}$

Вероятность связана с субъективной оценкой достоверности утверждения. А справедливость оценки мы измерили с помощью игры с выигрышем и проигрышем, которые оцениваются положительными действительными числами. Из этого следует, что вероятность является действительным числом в интервале. Это достаточно известное субъективное определение вероятности. Оценкаотражает равновесие, при котором шансы выиграть некоторую сумму такие же как и проиграть ту же самую сумму.

Есть также и логическое определение вероятности, которое почти что аналогично определению субъективной вероятности, за тем исключением что акцентирует внимание на том, что субъект не обязан знать правильные вероятности и может менять их в процессе. С точки зрения логической вероятности, мы должны присвоить одинаковую вероятность событиям, которые считаем эквивалентные и расхождение между оценкой и наблюдением следует трактовать как повод усомниться в предполагаемой эквивалентности и рассмотреть события в деталях. Логический подход к вероятности даёт два возможных взгляда на причину различий вероятностных оценок двух событий: аналитическая причина и физическая. Первый тип расхождений возникает из-за особенностей используемого субъектом базиса. Например, субъект был уверен, что события,иимеют тождественную внутреннюю природу, но различную и несущественную в контексте временной эволюции форму. Тогда субъект присваивает всем трём событиям численную оценку их достоверности равную. Но получает несоответствие эксперименту. Правильная оценка оказывается,и. Тогда субъект внимательнее присматривается ки замечает, что оно может быть разделено на два других взаимоисключающих события — и , которые имеют больше общего си, чем исходное. Таким образом, субъект переходит к новому базису утверждений $\{A_1,B_1,B_2,A_2\}$ , объясняя поведениеаналитически. Подобная аналитическая асимметрия встречается как теорема некоторой физической теории. Второй тип асимметрии не предполагает смены базиса и, вместо этого, вводит различие в вероятностях наступления двух с виду симметричных событий как фундамент теории. Это различие является, таким образом, внешним фактором и не объясняется никакими внутренними процессами. В этом отношении, подобную асимметрию можно назвать фундаментальным физическим законом с точки зрения выделенной теории. Или же, говоря иначе, причиной асимметрии является существование физического закона, который своим воздействием создаёт наблюдаемую асимметрию. Данный вид причины отличается от обычного понимания причинности, так как причинность обычно трактуется как влияние одного события на другое. Вместо этого, нарушение симметрии не имеет истока в каком-то наблюдаемом событии, представляя собой наиболее общее описание взаимодействий событий.

Вернёмся к множеству взаимоисключающих событий $\{A_n\}$ , которые составляют базис некоторого подпространства событий. Как мы выяснили, этот базис не является единственным и может быть разложен через другой базис. То есть, можно выбрать такое описание, которое предполагает, что каждое событиеявляется составным событием, состоящим из событий из множества $\{B_n\}$ . В такой системе именно $\{B_n\}$ будет являться базисом. Однако, для простоты, мы не будем рассматривать смену базиса и остановимся на сформированном заранее базисе $\{A_n\}$ . Условие полноты базиса означает, что вероятность наступления любого из события, неважно какого, равна единице. Это соответствует утверждению, что мы либо увидим что-то, либо не увидим ничего. В случае если базис неполный, мы всегда можем сделать его таковым, добавив утверждение $\tilde A$ , которое будет означать "ни одно из событийне произошло". Тогда, если базис $\{A_n\}$ неполон, то базис $\{A_n\}\cup\{\tilde A\}$ будет полным. Так как любой базис можно сделать полным, то будем считать, что базис $\{A_n\}$ изначально полон.

Как было ранее упомянуто, достоверность не является свойством уже установленных фактов, а является свойством спекулятивных утверждений и построенных на их основе прогностических моделей. Также как и численная оценка достоверности — вероятность. Поэтому выражение "событиеимеет вероятность" всегда неполно. Правильнее было бы сказать "в рамках модели $\Psi$ событиюпредписывается вероятность". Задача процесса верификации - оценить правдоподобность модели $\Psi$ . Введём функцию оценки достоверности $P_\Psi$ для прогноза наступления события в рамках модели $\Psi$ . При этом $P_\Psi(A_i) = 1$ , если предполагается что достоверно произойдёт и $P_\Psi(A_i) = 0$ , если предполагается чтопроизойти не может в принципе. Вероятность сложных утверждений, которые получены из алгебры утверждений, можно получить следующим интуитивным образом:

$P_\Psi(A \veebar B) = P_\Psi(A) + P_\Psi(B), \quad P_\Psi(A \land B) = P_\Psi(A)*P_\Psi(B)$

Первое свойство является необходимым для выполнения условия полноты базиса для произвольных:

$P_\Psi\left(\bigvee_i^n A_i\right) = 1$

Необходимость второго свойства ярко себя проявляет при расчёте условной вероятности, в том числе граничного случая: еслине произойдёт, то $A_i \land X$ также не произойдёт. Несложно заметить, что оценка достоверности прогноза эквивалентна вероятности. Таким образом, вероятность является достаточной численной оценкой для эффективного принятия решения.

Немного о причинности

Излагаемый выше формализм необходимо будет существенно доработать для возможности численного анализа причин тех или иных событий. Но прежде, нам необходимо ответить на вопрос: что такое "причина", что есть "причинность"? В бытовом понимании, причина — это то, что привело к наступлению некоторого события. Часто полагается что это другое событие. Однако модель анализа языка, на котором мы излагаем утверждения о феноменальном опыте, вынуждает дать причине другое определение, в духе кантовской трансцедентальной причинности. Причина — это знание субъекта о некотором несоответствии наивного представления о реальности и его рабочей предсказательной модели. Или, в более понятной альтернативной форме: если два эквивалентных события не равновероятны, то тому должна быть причина. Наивно представляемой материальной причины может не существовать вовсе и сама асимметрия может быть беспричинной как таковой. Именно поэтому мы далее будем называть причиной просто утверждение о наблюдаемом факте расхождения прогнозов и ожиданий, считая это утверждение также и спекулятивным суждением о возможных будущих наблюдениях подобной асимметрии.

Объективная причина является разницей между наивным представлением и объективной моделью — некоторым предельным построением, которое даёт наиболее эффективный способ принятия решений. Нетрудно заметить, что разговор об объективности оказывается довольно спекулятивным: не факт что такой предел единственен или что он существует. Хуже того, можно показать что понятие условной вероятности приводит к тому, что не существует объективного доказательства объективной реальности. То что существование реальности за пределами субъективного опыта нельзя доказать является самоочевидным. Но её нельзя вывести и через предельную эффективную стратегию: в реалистичных условиях всегда можно предложить стратегию лучше чем объективно наилучшая. Этот вопрос мы затронем позднее.

Ещё одна проблема определения причинности в том, что невозможно определить что есть "наивное представление" объективно. Это приводит к тому, что остаётся потенциальная возможность, при которой правильный выбор базисных, атомарных утверждений приводит к тривиально верной теории, которая не требует никаких доработок. Это связано с тем, что анализ субъективного опыта вынуждает нас отказаться от представления, при котором при отсутствии всякой причины отсутствует и всякая динамика. В следующий момент времени может произойти любое из взаимоисключающих событий. Они, можно сказать, конкурируют за возможность актуализироваться в наблюдении и их конкурентная сила пропорциональна вероятности их возникновения. Событие возникает безо всякой причины, так как их конкурентная борьба за настоящее является беспричинной по определению. Именно поэтому мы можем допустить что может существовать такая модель, при которой существуют аксиоматические равновероятные события, которые не наблюдаются непосредственно, но из которых наблюдения следуют как теоремы. При том таким образом, что наблюдаемые события имеют именно такую вероятность возникновения, которая соответствует предельной, объективной предсказательной модели. То есть, из аксиом как теорема, следует оптимальное поведение субъекта по ожиданию событий в реальности. Не является ли тогда выбор аксиом причиной того почему реальность имеет наблюдаемый вид? Существует некоторый баланс между различными вариантами выбора аксиоматических, элементарных событий и логически безосновательными, но практически эффективными утверждениями о существовании асимметрии между логически эквивалентными событиями.

По указанным причинам, наивной теорией я буду называть теорию при которой любые два логически эквивалентных утверждения о наблюдаемом субъективном опыте равновероятны. То что такая "теория" не предсказывает реальные наблюдения субъекта очевидно. Кроме того, данное наивное представление можно назвать естественным: так как именно субъекту необходима модель для эффективного принятия решений, то субъект начнёт свои рассуждения именно с модели в которой все непосредственно наблюдаемые события равновероятны.

Остаётся чисто техническая проблема. Причиной мы назовём наблюдаемую асимметрию субъективного опыта, которую выразим численно через вероятностный сдвиг. Причина, при этом, эквивалентна физическому закону, так как физический закон создаёт отклонения ожиданий от наблюдения. Но также она эквивалентна модели реальности субъекта: субъект не имеет знания о физических законах, он выводит их из наблюдений, приближая модель к пределу эффективности. С одной стороны, мы могли бы просто обозначить физическую причину как список чисел, которые нужно прибавить к наивно ожидаемой вероятности, чтобы получить физически достоверную вероятность. Но данный подход не даёт достаточно хорошего фундамента для численного анализа взаимодействий различных причинностей. И также не выражает её внутренних свойств. Например, мы знаем что сумма вероятности всех возможных альтернатив равна единице. При этом, это не физическое свойство, а логическая необходимость при построении непротиворечивой модели. Из этого следует, что никакое причинное воздействие не может изменить этого свойства. В таком ключе кажется естественным представление прогноза как вектора единичной длины, а причинности как оператора вращения вектора. Действительно, вращение не меняет длины вращаемого вектора. Имея два произвольных вектора одной длины, всегда можно найти вращение, которое один вектор повернёт в другой. То есть, вращение оказывается "разностью" двух векторов одной длины. Кроме того, отдельные компоненты вектора единичной длины могут принимать любые значения в интервале, так что мы всегда можем найти соответствие между гипотезой о вероятностном наступлении одного из нескольких событий и вектором, компоненты которого связаны с вероятностями некоторым простым образом.

Векторное представление протокольных утверждений

Любая произвольная модель $\Psi$ является набором прогнозов о вероятностях наступлений событий. Модель $\Psi$ может оперировать множеством различных по своей природе событий, как взаимоисключающих ( $A_1, A_2, \ldots$ ), так и совместных ( $A_i, B_i, \ldots$ ). Для удобства рассмотрения, будем рассматривать только такие модели $\Psi$ , которые выражены через взаимоисключающие утверждения, то есть будем считать что модель $\Psi$ всегда выражена в некотором единственном произвольном полном базисе $\{A_n\}$ . Это не создаёт никаких ограничений в практическом плане, но делает модель гораздо более удобной для экспериментальной проверки. В таком случае, мы можем выразить модель $\Psi$ как список чисел, где-е число является вероятностью наступления события. Это, в свою очередь, очень недвусмысленно намекает, что прогностическая модель представима как вектор, а построение различных её вариаций и верификация как операции в векторном пространстве.

Рассмотрим подробнее базис $\{A_n\}$ . Мы не делаем никаких специальных ограничений на форму утверждений, но очевидно что событие может быть либо верифицировано непосредственным наблюдением, либо логически связано с такой возможностью. Мы можем добавить ограничение следующего вида: пустьописывают события общего вида, без привязки ко времени. То есть, базис $\{A_n\}$ выражает способность субъекта верифицировать утверждение прямо сейчас и за каждым событиемстоит потенциальное протокольное утверждение. Утверждение "идёт дождь" подходит под это требование, так как дождь сейчас либо идёт, либо не идёт. Утверждение "завтра пойдёт дождь" не подходит, так как выражение "сейчас я наблюдаю, что завтра идёт дождь" лишено смысла.

Возьмём такой базис $\{A_n\}$ , чтобы он содержал в себе, по сути, язык описания текущего момента наблюдаемой реальности и не был строго привязан ко времени. Например, утверждениямогут содержать в себе утверждение об обнаружении чего-либо в точке пространства или о наблюдаемом сейчас среднем цвете области пространства. То есть, базис $\{A_n\}$ выражает способность субъекта к верификации и за каждым событиемстоит потенциальное протокольное утверждение.

Заметим также, что построение модели $\Psi$ допускает некоторую неоднозначность. Должны ли мы в неё включать утверждения с привязкой ко времени? Достаточно удобным выглядит параметризация, при которых время, координаты и другие возможные параметры указываются более гибко, через функцию, которая подставляет свои параметры в утверждения. Как пример, можно построить модель $\Psi(t,x) =$ "дождь ожидается с вероятностьюко времении в месте". То есть, мы не указываем время и место явно. Но данный прогноз всё ещё недостаточно гибок, так как существует лишь некоторый ограниченный наборпри которых он верен. В ещё более абстрактном виде, прогноз может звучать следующим образом $\Psi(t,x) =$ "событиепроизойдёт с вероятностьюко временив месте"
Данный прогноз можно сделать всегда актуальным, если правильно выбрать функции и. Кроме того, если функцияявляется описанием некоторого крупного события, которое имеет временную длительность и пространственную протяжённость, например это некоторый длительный эксперимент, то $\Psi$ является гипотезой о наблюдаемых событиях в пределах этого эксперимента. В самом эксперименте могут меняться события, которые доступны для наблюдения, но, логически, мы можем считать эти условия и наблюдения частью эксперимента. Кроме того, обычно гипотеза описывает вероятность не одного события (), а множество вероятностей различных альтернатив ( $p_1,F_1;p_2,F_2;p_3,F_3;\ldots$ ).

Переход от простых утверждений к параметризованным также имеет то преимущество, что позволяет нам применять методы математического анализа для более детального исследования. Так для нас одним из ключевых будет следующий вопрос: как по имеющимся наблюдениям и гипотезам понять что следует полагать в следующий момент времени? Данный вопрос составляет суть прогностической природы модели и его можно выразить простым уравнением, через функции:

$\Psi(t + \Delta t) = U(\Psi(t))$

Функциявыражает наше представление о том как нам следует изменять свои ожидания с течением времени. Она принимает то, что нам известно на данный момент (ко времени), все наши ожидания и наблюдения, и возвращает ожидания, которые нам рационально иметь, относительно следующего момента времени $t + \Delta t$ . Функциюмы будем называть оператором эволюции и использовать как оператор. Оператор — это та же функция, но с другим соглашением записи:

$\Psi(t + \Delta t) = U\Psi(t) \quad\sim\quad \Psi(t + \Delta t) = U(\Psi(t))$

Далее мы произведём анализ того, как должно выглядеть наиболее удобное представление оператора эволюции и представление модели $\Psi$ .

Представление нарушения вероятностной симметрии

Объективную причину физических явлений можно описать как подтверждаемое наблюдениями знание наблюдателя о нарушения симметрий вероятностей событий, которые наблюдателю кажутся симметричными. Модель $\Psi(t)$ , которая описывает текущий момент, не является постоянной и меняется под действием временной эволюции. Это изменение может носить какой угодно характер, быть в высшей степени непредсказуемым. Но согласованность представления всё же накладывает некоторые ограничения на характер изменения: изменение модели не должно менять сумму вероятностей всех событий. По той причине, что вероятность того что произойдёт хоть какое-то из событийвсегда равна единице, что бы ни произошло — это следует из полноты базиса $\{A_n\}$ . Уравнение эволюции состояния во времени мы записали как:

$\Psi(t+dt) = U\Psi(t)$

Оно само по себе ничего не значит и является несколько предвзятым способом описания, где предполагается, что следующее во времени состояние логически вытекает из предыдущего согласно некоторому закону. С другой стороны, у нас нет других альтернатив: ведь то, что возможно составить список всех факторов, которые дают возможность составить прогноз на будущее — это есть то требование, которое необходимо для всякого систематического анализа и возможности прогнозирования. Факторы, которые невозможно учесть, либо же попросту не были учтены становятся причиной вероятностного характера прогноза.

Закон, который связывает известное и прогноз на будущее, выражается оператором, чья задача состоит в том, чтобы перевести один список вероятностей в другой. Эта операция может быть произведена множеством различных способов, но условие сохранения вероятностей приводит к одному естественному представлению. Напомним уравнение для этого свойства, которое далее мы будем называть "условием нормировки":

$P_\Psi\left(\bigvee_i^n A_i\right) = \sum_i^n P_\Psi(A_i) = 1$

Отсюда мы можем сделать вывод, что модель $\Psi(t)$ имеетстепеней свободы и одну сохраняющуюся величину. При этом, все свободные величины находятся на отрезке. Это даёт возможность сопоставить протокольному утверждению точку на-мерной сфере единичного радиуса, которая имеет ровно те же ограничения. Указывающий на точку сферы вектор $|\Psi\rangle$ имееткомпонент, которые, согласно теореме Пифагора, должны удовлетворять равенству:

$\sum^n_i (v_i)^2 = 1^2 = 1$

Далее, векторы будут обозначаться подобными скобками, которые станут альтернативой распространённого обозначения через стрелку над буквой ( $|V\rangle \sim \vec V$ ). Сравнивая с условием нормировки, нетрудно заметить что квадрат компонента вектора соответствует вероятности $P_\Psi(A_i)$ события. Что даёт право рассматривать вектор $|\Psi\rangle$ как векторное представление модели $\Psi$ . Оператортогда имеет представление в виде векторного линейного оператора вращения $\hat U$ , ведь вращение всегда сохраняет длину вращаемого вектора.

Так выглядит упрощённый переход к новому представлению. Однако, особенности векторной алгебры вынуждает подходить к этой задаче более аккуратно. Так например, с точки зрения абстрактной векторной алгебры, вектор не имеет компонент и представляет собой полноценный, самодостаточный объект. Компоненты мы вынуждены будем получать с помощью векторных операций. Как вы наверняка знаете, компоненты вектора получаются при разложении его по базису. Так, произвольный вектор может быть представлен как сумма произведений базисного вектора и соответствующей компоненты. Обозначим как $|A_i\rangle$ базисный вектор единичной длины, который является векторным представлением события. Тогда разложение произвольного вектора $|\Psi\rangle$ выглядит следующим образом:

$|\Psi\rangle = \sum_i^n v_i|A_i\rangle$

Чтобы найти компоненты, мы должны спроецировать вектор $|\Psi\rangle$ на базис $|A_i\rangle$ . Для этого, введём линейный оператор $\langle A_i|$ , который будет осуществлять именно эту задачу:

$\langle A_i|(|\Psi\rangle) = \langle A_i|\Psi\rangle = v_i$

Линейный оператор $\langle A_i|$ - это просто линейная функция, которая принимает вектор и возвращает число. Линейность означает, что, например, для вдвое большего вектора функция вернёт вдвое большее число:

$\langle A_i|\Psi\rangle = a \quad\Rightarrow\quad \langle A_i|(k|\Psi\rangle) = ka$

Это вполне ожидаемое свойство, ведь проекция, как и отбрасываемая предметом тень, растёт линейно вместе с ростом длины вектора или предмета. Теперь мы можем выразить разложение произвольного вектора посредством линейных операторов проекции:

$v_i = \langle A_i|\Psi\rangle \quad\Rightarrow\quad |\Psi\rangle = \sum_i^n|A_i\rangle\langle A_i|\Psi\rangle$

Выражение вида $\langle X|Y\rangle$ мы также будем называть скалярным произведением вектора $|X\rangle$ на вектор $|Y\rangle$ (аналог более привычной записи $|X\rangle\cdot|Y\rangle$ ). Произвольный линейный оператор проекции $\langle X|$ принято называть ковектором, так как он имеет много общего с вектором. Новый ковектор мы можем построить из базисных: $\langle\Phi| = a_i\langle A_i|$ . Построенный ковектор, как несложно заметить, является линейным оператором, что стоило ожидать. Кроме того, произвольный ковектор можно разложить по ковекторному базису:

Что делает ковекторы "зеркальным" представлением векторов: для каждого вектора есть соответствующий ему ковектор и наоборот:

$\langle\Psi| = \langle A_i|v_i^+ \quad\sim\quad |\Psi\rangle = v_i|A_i\rangle, \quad\quad (v_i^+)^+ = v_i$

Здесь и далее, оператором, применённом к векторной компоненте, мы будем обозначать операцию перевода векторной компоненты в ковекторную и обратно. Данная операция будет далее называться сопряжением. Можно видеть что сопряжение зеркально отражает скалярное произведение:

$v_i^+ = \langle\Psi|A_i\rangle, \quad v_i = \langle A_i|\Psi\rangle, \quad v_i^+ = (v_i)^+ \quad\Rightarrow\quad \langle\Psi|A_i\rangle = \langle A_i|\Psi\rangle^+$

К сожалению, мы не можем просто возвестив квадрат и получить вероятность: вероятность связана, через теорему Пифагора, с геометрической длиной проекции вектора, а не с численным значением его компоненты, которая может не иметь геометрического смысла. Проекцию мы получаем через ковектор и потому, строго говоря, теорему Пифагора следует переписать в следующем виде:

$\langle\Psi|\Psi\rangle = \sum^n_i \langle \Psi|A_i\rangle\langle A_i|\Psi\rangle = \sum^n_i v^+_iv_i = 1^2$

Нет гарантий того, что $\langle A_i|\Psi\rangle = \langle \Psi|A_i\rangle$ . Наконец, мы можем связать вероятность $P_\Psi(A_i)$ с векторным представлением для модели $\Psi$ по формуле:

$P_\Psi(A_i) = v_i^+v_i = \langle \Psi|A_i\rangle\langle A_i|\Psi\rangle$

Данный строгий подход может показаться излишне дотошным, но он получит применение при расчёте вероятностей в случае отсутствия фактических измерений.

После введения векторных операций, которые позволяют оперировать векторными представлениями общим и непротиворечивым образом, мы можем, наконец, указать на явные свойства векторного представления оператора эволюции. А именно, мы требуем чтобы этот оператор не менял длины вектора $|\Psi\rangle$ :

Под $\hat U^+$ мы подразумеваем здесь оператор, который аналогичен $\hat U$ , но действующий на ковекторы. Таким образом, соблюдение условия нормировки требует, чтобы, по крайней мере, $\hat U^+\hat U = 1$ . Однако, есть причины требовать также чтобы $\hat U\hat U^+ = 1$ . Данное требование не создаёт ограничений и даст более качественный вид оператора $\hat U$ , который гарантированно станет обратимым. Обратимость является критерием здравого смысла: если мы наблюдали изменение вида $A\to B$ , то изменение $B\to A$ также является логически допустимым. Даже если $B\to A$ не может наблюдаться в опыте, преобразование остаётся корректным с точки зрения языка, то есть конструктивной возможностью модели субъекта.

Для любых произвольных векторов $|\Psi'\rangle$ и $|\Psi\rangle$ единичной длины всегда найдётся линейный оператор $\hat U$ , такой что $|\Psi'\rangle = \hat U|\Psi\rangle$ . И так как линейность оператора $\hat U$ никак не влияет на общность суждений и позволяет преобразовывать любую гипотезу в любую другую, не ограничивая нас в средствах выражения физических закономерностей, то мы далее будем считать что оператор $\hat U$ всегда линеен. Линейный оператор $\hat U$ для которого соблюдается свойство $\hat U\hat U^+ = \hat U^+\hat U = 1$ называется унитарным. Как можно видеть, любой оператор выражающий объективную закономерность унитарен.

Линейный оператор, как и вектор, может быть разложен по базису. Только базисом для него будут служить элементарные операторы $|A_i\rangle\langle A_j|$ . Так оператор $\hat U$ мы можем разложить на компоненты следующим образом:

$\hat U = \sum^n_{i,j}|A_i\rangle\langle A_i|\hat U|A_j\rangle\langle A_j| = \sum^n_{i,j}U_{ij}|A_i\rangle\langle A_j|$

Как можно заметить, компоненты оператора образуют матрицу. Нетрудно найти аналогичный оператор для ковекторов:

$\hat U^+ = \sum^n_{i,j}(U_{ji})^+|A_j\rangle\langle A_i|$

Таким образом, чтобы получить матрицу ковекторного оператора $\hat U^+$ , нужно транспонировать матрицу оператора $\hat U$ и произвести сопряжение всех её компонент. Сопряжение необходимо по той причине, что компонента $U_{ij}$ является аналогом векторной компоненты для операторов. К тому же, она может зависеть от скалярного произведения. Логично что для ковекторного оператора данное произведение будет "зеркальным": $\langle X|Y\rangle \to \langle Y|X\rangle$ .

Подводя итог, можно видеть что любой физический процесс описывается унитарным оператором. При этом, надо заметить, мы не вводили никаких физических ограничений на характер и произвольность такого процесса: все ограничения опирались исключительно на здравый смысл в оперировании языковыми конструкциями.

Оператор измерения

Для упрощения описания динамического характера прогнозов субъекта и описания изменений в терминах закона-причины и его проявлений в наблюдении, мы использовали векторное представление для произвольных утверждений. В таком представлении, любому достоверному прогнозусоответствует некоторый выделенный вектор $|A_i\rangle$ . Все такие векторы должны быть ортогональны друг другу, по той причине, что стоящие за ними гипотезы "ортогональны": если в данный момент происходит событие, то, по определению, наблюдать событиесейчас невозможно. При этом длина $\langle A_i|A_i\rangle$ любого вектора $|A_i\rangle$ всегда равна единице: если событиеуже произошло, то его вероятность равна единице.

$\langle A_i|A_j\rangle = \left\{\begin{matrix}1\quad i=j\\0\quad i\neq j\end{matrix} = \delta_{ij}\right.$

Данное условие выражает собой тот факт, что события из базиса $\{A_n\}$ взаимоисключающие. Действительно, полагая что вероятность событияпропорциональна компоненту $v_i = \langle\Psi|A_i\rangle$ , мы должны считать что при $|\Psi\rangle = |A_j\rangle$ достоверно известно, что произойдёт и потому вероятность наступленияравна нулю и потому $v_i = \langle A_j|A_i\rangle = 0$ . Базисные векторы могут быть неортогональными (например, $\langle A_i|B\rangle \neq 0$ ), но мы определили набор событий $\{A_i\}$ как взаимоисключающие и потому базис оказывается ортонормированным.

Если мы не знаем какое из событийпроизойдёт, хотя знаем что одно из них точно произойдёт, мы формулируем отражающую наши субъективные ожидания гипотезу. Этой гипотезе соответствует вектор "суперпозиции": взвешенная сумма базисных векторов, где коэффициенты связаны с ожидаемой вероятности события:

Базисный вектор является представлением наблюдаемого субъектом события. Произвольный вектор является представлением гипотезы субъекта о наблюдениях в будущем или, в общем случае, его спекулятивные ожидания ("что бы я видел, если был в другом месте"). Алгебраически, произвольный вектор как представление гипотезы связан с базисом, как представлением возможных событий, через коэффициенты разложения. Которые можно получить либо при непосредственном составлении вектора, либо через скалярное произведение, которое выражает операцию проекции вектора на базисы. Отсюда и получаем очевидную формулу связи между произвольным вектором-гипотезой и вероятностным ожиданием события:

Оператор $\hat A_i$ является частным случаем оператора-проектора. Данный проектор осуществляет проекцию произвольного вектора на базис $|A_i\rangle$ . Также его отличительным свойством является симметрия: если привести вектор $\hat A|\Psi\rangle = |A_i\rangle\langle A_i|\Psi\rangle$ к ковектору $\langle\Psi|A_i\rangle\langle A_i| = \langle\Psi|\hat A^+_i = \langle\Psi|\hat A_i$ , то заметим что оператор $\hat A_i$ без изменений применим и к векторам, и к ковекторам.

$\hat A^+_i = \hat A_i, \quad \hat A_i^2 = \hat A_i$

Можно составить и более сложный проектор. Иногда имеет смысл узнать не вероятность того что произойдёт некоторое конкретное событиеиз сделанной гипотезы $\Psi$ , а узнать с какой вероятностью произойдёт хотя бы одно из событий некоторого множества $A_a, A_b, \ldots$ Для этого достаточно вектор $|\Psi\rangle$ спроецировать на подпространство, исключив из рассмотрения все прочие события:

$\hat I = |A_a\rangle\langle A_a| + |A_b\rangle\langle A_b| + \ldots$

И, наконец, самый интересный случай. Предположим, мы хотим составить оператор измерения некоторой величины, который бы дал её численное значение, а не просто вероятность события. Например, оператор измерения координаты "объекта", который по бесконечному множеству событий "объект наблюдаем в области с центром в координате" давал бы просто среднее местоположение. Пусть указанному событию соответствует базисный вектор $|A_i\rangle$ . Тогда очевидно, что если $\hat X$ является искомым оператором измерения координаты, то:

$\langle\Psi|\hat X|\Psi\rangle = \sum_i x_i\,P_\Psi(A_i) = \sum_i x_i\langle\Psi|A_i\rangle\langle A_i|\Psi\rangle$

Следовательно:

$\hat X = \sum x_i|A_i\rangle\langle A_i|$

И проектор на подпространство, и оператор измерения произвольной численной величины являются просто суммами элементарных проекторов вида $|A_i\rangle\langle A_i|$ . А это, в свою очередь, означает что для всех типов приведённых линейных операторов измерения $\hat X$ соблюдается свойство:

$\hat X^+ = \hat X$

Данное свойство является определением эрмитового оператора. И так как суперпозиция элементарных проекторов может быть совершенно произвольной, то можно сказать не только что всякий оператор измерения эрмитов, но и что всякому эрмитовому оператору соответствует некоторая измеряемая величина. Кроме того, трактуя формулу произвольного эрмитового оператора как формулу разложения оператора, мы можем сформулировать математику измерений более общим образом, отталкиваясь от произвольного оператора $\hat X$ . Измерение некоторой величины оператором $\hat X$ у произвольной системы, представляемой вектором $|\Psi\rangle$ , переводит вектор $|\Psi\rangle$ в один из собственных векторов $|A_k\rangle$ оператора $\hat X$ с вероятностью равной "квадрату модуля" собственного значения. Сама система переходит в состояние, которое соответствует представлению $|A_k\rangle$ . Теперь немного подробнее: собственный вектор оператора — это такой вектор, который оператор "не вращает". Конкретнее, действие оператора на собственный вектор равносильно просто умножению на некоторое число (индивидуальное для каждого собственного вектора):

$\hat X|A_k\rangle = x_k|A_k\rangle$

Данное число () называется собственным числом. "Квадратом модуля" данного числа было названо произведение числана сопряжённое ему. Для действительных чисел — это просто квадрат числа, но уже для комплексных чисел смысл выходит немного иной. О собственных векторах мы можем говорить исходя из разложения оператора $\hat X$ :

$\hat X = \sum x_i|A_i\rangle\langle A_i|$

Измерение следует трактовать как исключительно субъективный процесс. Вся модель предполагает анализ с точки зрения субъекта, но для процесса измерения нет даже места куда можно было бы встроить что-то объективное. Объективен только результат измерения. Процесс измерения выражает следующую идею. Предположим, вы отправили курьера с посылкой к вашему другу. Если вы уверены в том по какому маршруту, с какой скоростью он едет и точно ли в заявленное место, то ваша гипотеза $|\Psi\rangle$ не будет допускать индетерминизма и "процесс измерения" не будет оказывать никакого влияния. Это эквивалентно тому, что $|\Psi\rangle$ в каждый момент времени равен некоторому базисному вектору $|A_i\rangle$ — представлению о некотором точном утверждении о местоположении курьера. Если вы правы, то измерение покажет что гипотеза $|\Psi\rangle$ верно предсказала достоверное, с точки зрения гипотезы, событие.

В реалистичных условиях, вы не можете сделать точный прогноз. Поэтому вы составляете вероятностную модель, которая имеет в качестве своего представления вектор суперпозиции $|\Psi\rangle$ , который равен взвешенной сумме всех возможных состояний. Вы точно знаете начальное состояние курьера:

$|\Psi(t_0)\rangle = |A_0\rangle$

Далее, вы составляете реалистичную модель его передвижения, которую можно выразить оператором $\hat U$ : данный оператор, по сути, представляет собой матрицу переходов из состояниев, где веса связаны с вероятностью перехода. Эти веса содержат информацию о маршруте и реалистичных путях передвижения, а также о вероятности блужданий, форс-мажоров или "кидалова". Таким образом, $\hat U$ является полной моделью передвижений курьера, которое связывает начальное и конечное состояние:

Прогноз также может быть вероятностным, что требует применение формулы измерения для получения ожидаемой вероятности каждого возможного события. Само измерение выражается в процессе установления факта: вы звоните другу узнать произошла ли доставка, пользуетесь трекингом или узнаёте о связанной новости. В этот момент вероятности коллапсируют либо до определённости, либо до другой неопределённости (например, вы знаете что курьер доставил товар, но не знаете за какое время и по какому маршруту). Вы можете возразить: в данном процессе нет ничего объективного, все вероятности являются свойством незнания субъекта! Совершенно верно! Но незнание субъекта может иметь две причины:

Наблюдательные способности субъекта несовершенны и существует неизвестные субъекту события.
Знание о событиях невозможно: ни один субъект или объект, даже гипотетически, не мог этого знать.

Второй вариант, несмотря на кажущуюся абсурдность, логически возможен и, в дальнейшем, необходимо будет выработать критерий отделения одного случая от другого. Второй пункт предполагает что, с точки зрения нашего примера, курьера не существует и потому о его объективном состоянии невозможно знать в принципе, так как состояние "объективно" существует как неопределённость, а не как вполне различимое, определённое явление реального мира.

Вектор состояния является гипотезой субъекта о возможных субъективных наблюдениях. Измерение — это процесс столкновения гипотезы с наблюдаемым фактом. Под давлением фактов гипотеза меняется. Но есть два возможных объяснения существования неопределённости в гипотезе. Либо субъект чего-то не знает. Либо субъект не знает того, чего в принципе знать невозможно. В обеих сценариях, коллапс вероятностей не получается считать объективным процессом. Вектор $|\Psi\rangle$ является представлением знания субъекта о возможных результатах измерения, тогда как оператор $\hat U$ здесь обозначал изменение субъективных ожиданий со временем или, в более общем случае, в связи с принятыми решениями и ожиданиями, не связанными с наблюдаемыми фактами. По этой причине, далее мы будем называть вектор $|\Psi\rangle$ вектором состояния, так как $|\Psi\rangle$ отражает мнение субъекта о состоянии физической системы или физической реальности как источника результатов измерений. Или, аналогично и более строго, вектор $|\Psi\rangle$ является представлением полного доступного наблюдателю субъективного знания о спекулятивно предполагаемых закономерностях его феноменального опыта и непосредственно наблюдаемых фактических событиях, отражённых в феноменальном опыте. В предельном случае, $|\Psi\rangle$ отражает полное знание наблюдателя о наблюдаемой системе. Оператор $\hat U$ будем называть оператором эволюции, так как он отражает характер изменения ожиданий субъекта, например, с течением времени. В предельном случае, $\hat U$ отражает наилучшую из возможных стратегий формирования ожиданий субъекта исходя из полной информации о системе.

Постулаты квантовой механики

Мы, наконец, дошли до той точки, в которой имеем возможность реализовать наш план-минимум. Осталось только собрать всё воедино. Указанных рассуждений уже хватит для того, чтобы составить список базовых постулатов квантовой механики, хотя мы ничего не говорили о физических взаимодействиях, частицах, законах сохранения — в изложении не было никакой физики, только чистые размышления над природой языка и наблюдениями как таковыми. Но этого уже достаточно для того, чтобы сформулировать каркас любой физической теории, будь она теорией реальности или бреда. Мы выяснили, что гипотезу можно представить вектором некоторого линейного пространства. Наблюдение моделируется эрмитовым оператором, заданным над векторами этого пространства. Любой физический процесс выражается унитарным оператором. Запишем это теперь в виде кратких тезисов:

Любая физическая система описывается вектором состояния в гильбертовом пространстве. Вектор состояния характеризует субъективное знание наблюдателя о физической системе и является полным описанием системы.
Любой физический процесс, описывающий эволюцию системы, представляется унитарным оператором.
Каждой наблюдаемой величине соответствует некоторый эрмитов оператор.
После процесса измерения вектор состояния коллапсирует в один из собственных векторов оператора измеряемой величины. Вероятность перехода равна квадрату модуля скалярного произведения собственного вектора оператора на вектор состояния.

Ни один из этих принципов нельзя нарушить по той простой причине, что они не являются частью физической теории, а представляют собой критерии целостности логических рассуждений. Если оператор физического процесса не унитарен, то это приведёт либо к несогласованности с определением вероятности, либо будет нарушено естественное и всегда выполнимое требование полноты базиса подпространства. То что наблюдаемой величине соответствует эрмитов оператор является самоочевидным следствием выбора логического описания наблюдения как вектора гильбертова пространства. Почему же пространство гильбертово, а не евклидово? Это непростой вопрос, который тесно связан с тем, что множество всех возможных утверждений счётно, но не конечно. Как пример, вы можете сформировать множество утверждений вида "событиепроизошло в точке" и каждому такому утверждению для каждого из возможных точекбудет соответствовать свой вектор состояния $|x\rangle : |x_0\rangle, |x_1\rangle, |x_2\rangle$ — это всё различные базисные ортогональные векторы и их, как несложно заметить, бесконечное число. Это приводит к тому, что пространство, построенное на таком базисе, оказывается бесконечномерным и, строго говоря, неевклидовым — евклидово пространство предполагает конечное число базисов.

Возвращаясь к тезисам, все они взаимосвязаны и сами они являются, скорее, "теоремами" большей системы. И, как можно заметить, данное представление очень похоже на копенгагенскую интерпретацию квантовой механики. За тем "исключением" что в нём отсутствует даже намёк на "квантовость" и "неквантовость". А также все понятия были ранее чётко определены. Вектор состояния физической системы не является объективным физическим состоянием, так как построенная теория основана на допустимости отрицания объективной реальности. Вместо этого, вектор описывает гипотезу субъекта о возможном состоянии его опыта и о влиянии различных спекулятивных утверждений на вероятность субъективного наблюдения того или иного процесса. В вырожденном случае, вектор представляет собой утверждение о наблюдаемом, свершившемся факте, который эквивалентен по своей форме полностью достоверной гипотезе. Коллапс вектора состояния является субъективным процессом перехода гипотезы из состояния недостоверного предположения в состояние свершившегося факта — это не объективный процесс. Операторы наблюдения выражают способность субъекта к установлению истинности сделанных им утверждений посредством сопоставления их с эмпирически опытом. Наблюдение не связано с прибором наблюдения, мы, как можно заметить, его даже не вводили — он не требовался. Унитарные операторы составляют знание субъекта об отношениях между различными спекулятивными рассуждениями и утверждениями, которые поддаются проверке непосредственно. Это знание проверяется на достоверность при размышлении над результатами измерений, являющихся эмпирическими наблюдениями субъекта. Есть ли тогда в такой теории место для объективной реальности? Да, есть. Объективная реальность является частным случаем и отражена в модели через унитарные операторы. Всё остальное строго субъективно. При этом, есть вырожденный случай данной модели, когда мы вполне можем говорить о классической объективной реальности: в таком случае, унитарный оператор будет являться перестановочным оператором. Коллапс вектора состояния останется и он будет иметь недетерминированный характер. Но можно показать что с каждым коллапсом наблюдатель становится более информированным и существует предельное состояние $|\Psi\rangle$ всей системы, при котором неопределённость и влияние наблюдателя отсутствуют. Это в точности соответствует представлению, при котором индетерминизм связывается с ограниченностью знаний наблюдателя о системе, а не с индетерминированностью физических законов.

Итоги

Материал получился очень объёмным, несмотря на то, что затрагивает только самое основание теории. Был сформирован философский фундамент, даны определения и представлена математическая модель, которая мотивирована указанными ранее философскими предпосылками. Эта модель имеет очень явные сходства с квантовой механикой. Однако, мы не успели затронуть темы, которые бы показали что здесь имеется не просто внешнее сходство. К сожалению, в этой части придётся обойти стороной анализ двухщелевого опыта и парадокса кота Шредингера, не затронута тема квантовой запутанности и декогеренции. Ничего не рассказано про принцип неопределённости и не представлены уравнения физических процессов, не затронут вопрос необходимости комплексных чисел в расчётах. Все эти вопросы мне пришлось оставить для последующих частей.

Но, резюмируя, мы можем сделать некоторые промежуточные выводы. Целью этой части было продемонстрировать насколько далеко можно зайти используя лишь чистые размышления, не обращаясь к экспериментальным данным. Из этих размышлений была выведен метод анализа и математический каркас для теорий, которые претендуют называться фундаментальными. Фундаментальность обеспечивается за счёт очень малого числа допущений, из-за чего происходит отказ от типичных интуитивных представлений о реальности с целью рассмотреть на что мы можем рассчитывать при тех условиях, которые имеем. Действительно ли наши представления о мире адекватны? И хотя цель казалась слишком амбициозной, а допущения излишне общими и размытыми, я, надеюсь, смог вас убедить что даже при столь малых знаниях можно построить систему, которая позволит проанализировать обоснованность суждений о мире и его физической природы, рассмотреть эти суждения качественно и количественно. Кроме того, думаю представленный взгляд на квантовую физику достаточно нетипичен и позволит читателю взглянуть на неё с новой, неожиданной перспективы.

Теги:

Хабы: