Был я недавно на оркестре симфонической музыки. И вот что я вам скажу — никакая аппаратура не сможет воспроизвести это дома. Потому что — размеры и форма комнаты не позволят. В настоящем, правильно спроектированном концертном зале звук вообще совсем совершенно другой. Невозможно воспроизвести звучание оркестра в помещении, где музыканты не смогут даже просто разместиться.
Преобразование Фурье определено в поле комплексных чисел. Какие сигналы имеют комплексную природу? Для каких комплексных данных оно используется на практике? (Аналитический сигнал не считается, поскольку он изначально является искусственным).
mayorovp, в последнее время мне уже несколько раз встречались комментарии в стиле «хабр уже не тот» потому что «никто не пишет комментарии по существу». Вот комментарии по существу, с ссылками и графиками, а не саркастическими тегами и мёртвыми котятами. Обсуждается тема, традиционно сложная для понимания. Рассмотрение её с диаметрально противоположных сторон оставляет возможность для дискуссии. Возможно, случайный Читатель сможет почерпнуть из этих комментариев (не только моих) чуть больше, чем из основной статьи.
Допустим, мы анализируем колебания цен на хлеб. Сегодня он стоит 20 р., вчера — 19р., а 30 лет назад — 20 коп. Однако не было момента сегодня ночью, когда он стоил 19.594р. Также как и много лет ранее не было момента, когда он стоил 0 р.
Вот что например пишут про преобразование Фурье вот здесь:
В спектральном анализе исследуются периодические модели данных. Цель анализа — разложить комплексные временные ряды с циклическими компонентами на несколько основных синусоидальных функций с определенной длиной волн. Термин «спектральный» — своеобразная метафора для описания природы этого анализа. Предположим, вы изучаете луч белого солнечного света, который, на первый взгляд, кажется хаотически составленным из света с различными длинами волн. Однако, пропуская его через призму, вы можете отделить волны разной длины или периодов, которые составляют белый свет. Фактически, применяя этот метод, вы можете теперь распознавать и различать разные источники света. Таким образом, распознавая существенные основные периодические компоненты, вы узнали что-то об интересующем вас явлении. В сущности, применение спектрального анализа к временным рядам подобно пропусканию света через призму. В результате успешного анализа можно обнаружить всего несколько повторяющихся циклов различной длины в интересующих вас временных рядах, которые, на первый взгляд, выглядят как случайный шум.
Наиболее известный пример применения спектрального анализа — циклическая природа солнечных пятен (например, см. Блумфилд, 1976 или Шамвэй, 1988). Оказывается, что активность солнечных пятен имеет 11-ти летний цикл. Другие примеры небесных явлений, изменения погоды, колебания в товарных ценах, экономическая активность и т.д. также часто используются в литературе для демонстрации этого метода.
На вашей картинке в самом начале стоит «аналоговый сигнал». Однако преобразование Фурье — это чисто математическая операция, которая переводит time domain в frequency domain и к никаким сигналам по умолчанию не привязана.
Я не ввожу никаких новых новых определений, а всего лишь использую готовые и устоявшиеся. Мне лично совершенно всё равно, говорить «спектр» или «frequency domain», однако «спектральный анализ» применительно к результату ДПФ используется повсеместно.
Ну, я бы не назвал операцию умножения на окно «банальной».
В соответствии с всё той же теоремой о свёртке, умножение во временной области равносильно свёртке в частотной. А поскольку сворачиваются именно комплексные частоты, а не их модули (амплитуды), результат может довольно сильно отличаться от ожидаемого.
Возьмём к примеру вот такой сигнал длиной 500 семплов:
При умножении его на окно Ханна и дополнении нулями до 1024 получим следующее (красным):
Как видно, результирующая АЧХ весьма слабо напоминает оригинальную.
Вернёмся к вашему примеру.
Имеем 10 точек синусоиды 15.34 Гц с частотой дискретизации 100 Гц (фиолетовый), они же, дополненные нулями до 1024 (красный), и для сравнения, та же синусоида, но 1024 точки (синий):
Видно, что максимум сигнала с дополненными нулями находится достаточно близко к оригинальной частоте.
А теперь возьмём и добавим ещё одну синусоиду с частотой 24.99 Гц:
Видно, что максимум сместился от первоначального положения.
А теперь добавим ещё больше нулей, до 8192:
Видно, что на точность это никак не повлияло.
А теперь самое интересное.
И в первом, и во втором случае мы имеем 5 локальных максимумов. Как отличить, являются эти максимумы лепестками или же реальными частотными составляющими?
небольшое лирическое отступление, не имеющие никакого отношения к вопросу дискуссии
Уже сам факт наличия этой чрезмерно затянувшейся дискуссии говорит о том, что присутствует непонимание с обоих сторон вне зависимости от того, кто прав, правы ли оба или же не прав никто.
Предположим, я неправ, а Вы — правы. Тогда бы Вы смогли сформулировать ответ таким образом, что мне (и сторонним наблюдателям) моё заблужение стало бы очевидным.
Предположим, я прав, а Вы — неправы. Тогда я выступаю в роли нападающего, который ставит под сомнение Вашу квалификацию, а вы вынуждены защищаться.
Предположим, мы оба правы. Тогда имеет место быть неточная подача материала, допускающая неоднозначную трактовку.
Так мы о каком-либо спектре в данном случае вообще не говорим. DFT здесь используется чисто как некоторое преобразование над вектором чисел с некими интересными свойствами.
Как это не говорим? Я получаю спектры сигнала, перемножаю их комплексно и делаю обратное преобразование, всё по науке.
По остальному. Я уже неоднократно подчёркивал, что все мои комментарии написаны в контексте конечного числа вычислений ДПФ. Дополнение нулями в бесконечность сделают это невозможным.
Я вовсе не отрицаю операцию дополнения нулями в бесконечность конечного сигнала. Я хотел сказать, что:
а) её не нужно привязывать к ДПФ по-умолчанию,
б) её не нужно рассматривать саму по себе, вне контекста задачи,
в) для гармонического анализа части известного сигнала (как конечного, так и бесконечного) дополнение нулями — не единственная и не самая лучшая операция.
Если мы к конечному сигналу применяем FIR-фильтр, то размер сигнала увеличивается на длину ядра-1.
Если мы к конечному сигналу применяем физически реализуемвй IIR-фильтр, то размер сигнала становится бесконечным в одну сторону.
Если же мы меняем спектр конечного сигнала произвольно, то он автоматически становится бесконечным в обе стороны.
В теории схемотехники удобнее манипулировать именно произвольными операциями над спектром, поэтому и требуется бесконечное дополнение. Но далеко не всё из теории реализуемо на практике в аналоговом исполнении — например, сдвиг фаз всех частот на 90°.
Нули здесь фигурируют только потому, что операции наши — интегральные, а сигнал или его часть рассматриваются самостоятельно, и играют роль «начальной инициализации». Если бы мы использовали мультипликативные операции, то у нас были бы уже не нули, а единицы.
Та же свёртка через БПФ производится не за один раз, а кусочно с перекрытием. И вот в месте перекрытия у нас происходит дополнение не нулями, а «хвостом» от предыдущей свёртки.
Ваш пример скорее доказывает обратное.
Здесь дополнение нулями используется для резервирования места под результат, а не приближения спектра к непрерывному. И дополнение нулей сверх необходимого не даст ничего, кроме увеличения погрешности вычисления.
But the DTFT is difficult to evaluate on a computer, since a computer works only on finite number of points. So to make the evaluation of the DTFT possible on a computer, we choose a finite number of frequency points.
Since the DFT is basically the sampled version of the DTFT, it is also periodic, with period N(the number of frequency samples taken).
Моя позиция здесь совершенно не причём.
Я лишь выражаю своё понимание ДПФ, сформировавшегося под влиянием некоторого количества литературы и собственных экспериментов, а также программирования функций для FFT и FHT.
Если в моём понимании есть неточности, то я только буду рад от них избавиться. ДПФ мне интересен как инструмент, а не средство самоутверждения.
ДПФ — это самостоятельный инструмент, и его вовсе не обязательно привязывать к непрерывному аналоговому сигналу. Как минимум потому, что существуют данные, дискретные по своей природе — например, последовательность бит. У ДПФ есть и менее очевидные приложения — например, умножение длинных чисел или подсчёт клеток в клеточном автомате.
Конечно, читаю.
Там-то речь о ДПФ на бесконечном промежутке времени.
А тут мы с самого начала говорим об ограниченном во времени сигнале.
Наш исходный дискретный сигнал ограничен частотами от 0 до f.
Чем больше значений мы берём для ДПФ, тем больше у нас дискретных значений между 0 и f, и соответственно, тем меньше расстояние между ними. Следовательно в пределе получаем непрерывность.
Примечание к изображению ноты.
Если читать по русски c♯, это прозвучит как «си диез». А изображена — до диез. А всё потому, что нота «до» обозначается буквой «С». Такой вот любопытный нюанс.
2. Я привёл пример, в котором амплитуда зависит от фазы. Очевидно, так быть не должно.
3. Я ничего не говорил про выбор «наугад». Я говорил, что их бесконечное множество и оптимальный вариант будет разным в зависимости от задачи. Поэтому вы не вправе говорить, что дополнение нулями (что есть по сути прямоугольное окно) — единственно правильное решение. Оно может быть подходящим в одних случаях и совершенно неприемлемым в других.
4.1. Он стремится по той же причине, по которой и сам сигнал стремится, это само собой. Если сигналы совпадают, то и их спектры совпадают.
4,5 Как Вы сами и указали, если пространство закольцовано, бесконечность уже не требуется.
С тем же успехом вы могли бы сказать, например, применительно к теореме Ферма:
«Вы зря зацикливаетесь на натуральных числах. Натуральные числа, как правило, действительные»
Преобразование Фурье определено в поле комплексных чисел. Какие сигналы имеют комплексную природу? Для каких комплексных данных оно используется на практике? (Аналитический сигнал не считается, поскольку он изначально является искусственным).
В соответствии с всё той же теоремой о свёртке, умножение во временной области равносильно свёртке в частотной. А поскольку сворачиваются именно комплексные частоты, а не их модули (амплитуды), результат может довольно сильно отличаться от ожидаемого.
Возьмём к примеру вот такой сигнал длиной 500 семплов:
При умножении его на окно Ханна и дополнении нулями до 1024 получим следующее (красным):
Как видно, результирующая АЧХ весьма слабо напоминает оригинальную.
Имеем 10 точек синусоиды 15.34 Гц с частотой дискретизации 100 Гц (фиолетовый), они же, дополненные нулями до 1024 (красный), и для сравнения, та же синусоида, но 1024 точки (синий):
Видно, что максимум сигнала с дополненными нулями находится достаточно близко к оригинальной частоте.
А теперь возьмём и добавим ещё одну синусоиду с частотой 24.99 Гц:
Видно, что максимум сместился от первоначального положения.
А теперь добавим ещё больше нулей, до 8192:
Видно, что на точность это никак не повлияло.
А теперь самое интересное.
И в первом, и во втором случае мы имеем 5 локальных максимумов. Как отличить, являются эти максимумы лепестками или же реальными частотными составляющими?
(на видео тест наушников за 2749$)
Предположим, я неправ, а Вы — правы. Тогда бы Вы смогли сформулировать ответ таким образом, что мне (и сторонним наблюдателям) моё заблужение стало бы очевидным.
Предположим, я прав, а Вы — неправы. Тогда я выступаю в роли нападающего, который ставит под сомнение Вашу квалификацию, а вы вынуждены защищаться.
Предположим, мы оба правы. Тогда имеет место быть неточная подача материала, допускающая неоднозначную трактовку.
Как это не говорим? Я получаю спектры сигнала, перемножаю их комплексно и делаю обратное преобразование, всё по науке.
По остальному. Я уже неоднократно подчёркивал, что все мои комментарии написаны в контексте конечного числа вычислений ДПФ. Дополнение нулями в бесконечность сделают это невозможным.
Я вовсе не отрицаю операцию дополнения нулями в бесконечность конечного сигнала. Я хотел сказать, что:
а) её не нужно привязывать к ДПФ по-умолчанию,
б) её не нужно рассматривать саму по себе, вне контекста задачи,
в) для гармонического анализа части известного сигнала (как конечного, так и бесконечного) дополнение нулями — не единственная и не самая лучшая операция.
Если мы к конечному сигналу применяем FIR-фильтр, то размер сигнала увеличивается на длину ядра-1.
Если мы к конечному сигналу применяем физически реализуемвй IIR-фильтр, то размер сигнала становится бесконечным в одну сторону.
Если же мы меняем спектр конечного сигнала произвольно, то он автоматически становится бесконечным в обе стороны.
В теории схемотехники удобнее манипулировать именно произвольными операциями над спектром, поэтому и требуется бесконечное дополнение. Но далеко не всё из теории реализуемо на практике в аналоговом исполнении — например, сдвиг фаз всех частот на 90°.
Нули здесь фигурируют только потому, что операции наши — интегральные, а сигнал или его часть рассматриваются самостоятельно, и играют роль «начальной инициализации». Если бы мы использовали мультипликативные операции, то у нас были бы уже не нули, а единицы.
Та же свёртка через БПФ производится не за один раз, а кусочно с перекрытием. И вот в месте перекрытия у нас происходит дополнение не нулями, а «хвостом» от предыдущей свёртки.
Здесь дополнение нулями используется для резервирования места под результат, а не приближения спектра к непрерывному. И дополнение нулей сверх необходимого не даст ничего, кроме увеличения погрешности вычисления.
А по вопросу дискуссии есть и мнения со стороны:
Я лишь выражаю своё понимание ДПФ, сформировавшегося под влиянием некоторого количества литературы и собственных экспериментов, а также программирования функций для FFT и FHT.
Если в моём понимании есть неточности, то я только буду рад от них избавиться. ДПФ мне интересен как инструмент, а не средство самоутверждения.
ДПФ — это самостоятельный инструмент, и его вовсе не обязательно привязывать к непрерывному аналоговому сигналу. Как минимум потому, что существуют данные, дискретные по своей природе — например, последовательность бит. У ДПФ есть и менее очевидные приложения — например, умножение длинных чисел или подсчёт клеток в клеточном автомате.
Если бы ваша статья называлась "Спектральный анализ сигналов" — тогда этой дискуссии, возможно, и не было бы.
3. Ожидание — это субъективная оценка. Вы ожидаете одно, а я — совсем другое.
4.5. Согласен. Только в ДПФ ему взяться неоткуда.
Там-то речь о ДПФ на бесконечном промежутке времени.
А тут мы с самого начала говорим об ограниченном во времени сигнале.
Наш исходный дискретный сигнал ограничен частотами от 0 до f.
Чем больше значений мы берём для ДПФ, тем больше у нас дискретных значений между 0 и f, и соответственно, тем меньше расстояние между ними. Следовательно в пределе получаем непрерывность.
Если читать по русски c♯, это прозвучит как «си диез». А изображена — до диез. А всё потому, что нота «до» обозначается буквой «С». Такой вот любопытный нюанс.
3. Я ничего не говорил про выбор «наугад». Я говорил, что их бесконечное множество и оптимальный вариант будет разным в зависимости от задачи. Поэтому вы не вправе говорить, что дополнение нулями (что есть по сути прямоугольное окно) — единственно правильное решение. Оно может быть подходящим в одних случаях и совершенно неприемлемым в других.
4.1. Он стремится по той же причине, по которой и сам сигнал стремится, это само собой. Если сигналы совпадают, то и их спектры совпадают.
4,5 Как Вы сами и указали, если пространство закольцовано, бесконечность уже не требуется.
С тем же успехом вы могли бы сказать, например, применительно к теореме Ферма:
«Вы зря зацикливаетесь на натуральных числах. Натуральные числа, как правило, действительные»