Эта заметка является продолжением статьи: \url{https://habr.com/ru/articles/1044230/} <<Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков>>

Возьмем гладкую функцию трех переменных (предположим для простоты, что её градиент нигде не обращается в ноль). Рассмотрим её поверхности уровня: \begin{equation*} f(x, y, z) = C \end{equation*}

При различных значениях константы мы получаем набор непересекающихся двумерных поверхностей. Пространство расслаивается на них, как слои в луковице. Если теперь в каждой точке пространства взять касательную плоскость к проходящей через неё поверхности уровня, мы получим поле двумерных плоскостей.

По построению это распределение интегрируемо, а поверхности уровня являются его интегральными поверхностями.

Обратно, допустим, кто-то задал нам совершенно произвольное гладкое поле двумерных плоскостей в и попросил найти для них интегральные поверхности.

Поле двумерных плоскостей можно задать двумя линейно независимыми в каждой точке векторными полями и . Тогда через каждую точку пространства проходит плоскость, содержащая векторы и .

Всегда ли мы сможем найти такую функцию , поверхности уровня которой будут везде касаться наших плоскостей?

Интуиция может подсказывать, что это всегда возможно, но это не так.

Ответ на вопрос дает теорема Фробениуса.

В этой статье подробно разбираются и доказываются две классические теоремы теории динамических систем: теорема о локальном выпрямлении векторного поля и критерий комму- тирования фазовых потоков. Эти утверждения стандартны; они входят в университетские программы и содержатся во многих учебниках по обыкновенным дифференциальным уравнениям и дифференциальной геометрии. Однако на практике полное формальное доказательство критерия коммутирования встречается редко. В продвинутой литературе (например, в учебниках В. И. Арнольда) авторы обычно используют геометрический подход через производную Ли, что требует привлечения аппарата дифференциальной геометрии, при этом аналитические детали зачастую оставляются за кадром. В более простых же курсах это доказательство часто и вовсе опускают. Методическая особенность предлагаемого текста заключается в том, что оба утверждения доказываются строго аналитически — в компонентах и без привлечения геометрических обра- зов. Все выкладки опираются исключительно на базовый математический анализ и классиче- скую теорему существования и единственности решения задачи Коши.

Формула интегрирования по частям для интегралов от функций одной переменной известна всем со школьной скамьи. В вузах она изучается в многомерной версии в курсах математического анализа и УРЧП. В этой статье мы приведем инвариантную геометрическую версию этой формулы и отметим некоторые конструкции теории динамических систем, с которыми она естественным образом связана.

Эта задача представляет собой несколько более продвинутую модификацию задач, встречающихся на студенческих олимпиадах по механике. Там обычно вместо шара в кардановом подвесе рассматривается диск на стержне. Интересно также, что основные проблемы в этой задаче начинаются не на уровне динамики, а на уровне кинематики.

Пример Ковалевской заключается в следующем. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в частных производных:

Из курса дифференциальных уравнений многие наверняка помнят теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Не пересказывая учебники, напомню лишь неформально, как выглядит эта задача по существу.

Дана система ОДУ с начальными условиями:

Баллистическая кривая — это траектория материальной точки, движущейся в сопротивляющейся среде под действием силы тяжести.

Основной пример баллистической кривой — это траектория дробины в атмосфере.

Сила сопротивления воздуха считается направленной против скорости материальной точки:

В этой статье обсуждается не методика преподавания данной задачи в средней школе, а сама задача.

В частности, мы собираемся обосновать следующий тезис: предположение, подчёркнутое красным, избыточно — задача прекрасно решается и без него.

Отметим также (см. конец статьи), что исследование закона движения катушки может оказаться интересной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Не вдаваясь в обсуждение методики олимпиадной подготовки школьников и школьного преподавания физики, приведем решение этой задачи с помощью регулярных методов.

В этой статье мы применим метод приведённого потенциала к одной системе, которая, несмотря на всю свою простоту, демонстрирует необычные движения и обладает неожиданным законом сохранения.

Постановка задачи. Длинный гладкий стержень может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину . Угол между стержнем и осью — прямой.

Момент инерции стержня относительно этой оси равен . По обе стороны от точки на стержень надеты два маленьких кольца массы каждое. Кольца соединены с точкой посредством одинаковых невесомых пружин жесткостью каждая. Будем считать, что в недеформированном состоянии длина каждой пружины равна нулю.

Разбираем теорему о мажорировании систем ОДУ: когда и как можно сравнивать решения, опираясь на квазимонотонность правых частей. Внутри — строгая формулировка, план доказательства и пример.

В этой статье речь пойдет об элементарных функциях с позиций современного анализа. Это — рассказ в духе двухтомника Феликса Клейна «Элементарная математика с точки зрения высшей».

Эта задача в разных постановках встречается как в школьных задачниках, так и на олимпиадах.В общем виде её можно сформулировать так.

Маленький шар массы ударяется о наклонную поверхность клина массы и отскакивает от него. Клин может скользить без трения по горизонтальному столу (на рисунке — вдоль оси ). Известны скорости клина и шара непосредственно перед ударом; требуется найти их скорости сразу после него. Удар считается абсолютно упругим, угол наклона клина известен. Векторы скоростей лежат в плоскости рисунка.

Карданная передача, она же — шарнир Гука. По-английски этот агрегат называется universal joint.

В этой классической задаче интересна не только кинематика. Удивительно, но при постоянных значениях моментов и система может иметь до четырех различных положений равновесия.

То есть «очевидное» соображение в духе «если первый момент больше второго, то валы крутятся в одну сторону, а если наоборот — то в другую» здесь не работает.

Через обозначим центр крестовины и введем две системы координат и . Первая система связана с валом , а вторая -- с валом . Оси и проходят через перекладины крестовины и перпендикулярны друг другу:

Речь пойдет о следующей задаче из «Сборника задач по аналитической механике» (Е. С. Пятницкий, Н. М. Трухан, Ю. И. Ханукаев, Г. Н. Яковенко; под редакцией Е. С. Пятницкого. — 4-е изд. — Москва, МФТИ, 2018):

В статье приведено подробное решение одной задачи из классического задачника Воробьева -- Савченко. Отмечены подводные камни, имеющиеся в ее формулировке. Статья является научно-популярной и адресована продвинутым школьникам и студентам, изучающим теоретическую механику. Может быть также полезна преподавателям физики.