Зачем гуманитарию знать Стандартную модель квантовой теории поля? Затем, что это научная база, которая важнее, чем таблица умножения или периодическая таблица Менделеева. Она является самой успешной, проверенной и перепроверенной физической теорией, дающей предсказания с невероятной точностью. В таблице Стандартной модели всего 17 элементов, из которых для нашей жизни имеют значение не более десяти. Мы сами и всё, что нас окружает, состоит из трёх фермионов первого поколения – верхнего и нижнего кварков и электрона, а все физические процессы сводятся к четырём фундаментальным взаимодействиям, переносимым фотоном, глюонами и тяжёлыми калибровочными бозонами. Ну и конечно знаменитый бозон Хиггса – без него у нас бы не было массы. С непривычки названия и функции этих частиц запомнить трудно, но если постараться – задача вполне посильная без необходимости получать техническое образование. Наградой за ваш умственный труд будет исчерпывающее понимание глубинной сути вещей и стойкий иммунитет к разного рода псевдонаучным мифам.

 Я знаю, это будет звучать громко и самонадеянно, но все-таки я это скажу: мне кажется, я нашел ключик к проблеме объяснения и конструирования мышления. Нет, это еще не решение всей проблемы, но многообещающая возможность к нему приблизиться. Полгода назад у меня возникла идея, что в основе феномена мышления (даже у «низкоразвитых» животных вроде крабов или мышей) может лежать оперирование особого класса описательной языкоподобной структурой. Я попытался развить этот подход и обнаружил, что он как будто бы позволяет сформулировать много важных философских проблем о мышлении в виде точных математических вопросов. С тех пор мне удалось продвинутся в решении некоторых из них и получить несколько интересных, на мой взгляд, результатов на стыке логики и психологии. Я собираюсь написать серию статей, чтобы поделиться своими находками и привлечь энтузиастов вместе исследовать возможности, которые они открывают. Перед вами первая статья из этой серии.

Давайте начистоту. Для большинства из нас первая встреча с математическим анализом была интеллектуальной травмой. Туман из эпсилонов и дельт, теоремы, падающие с потолка, и тоскливое чувство самозванца, который вот-вот будет разоблачен.

Я здесь, чтобы сказать вам: дело было не в вас.

Проблема не в том, что вы «гуманитарий». Проблема в том, что вам преподавали не математику. Вам показывали вскрытие: препарирование живой, интуитивной идеи до тех пор, пока от нее не оставался лишь скелет формальных определений.

Моя предыдущая статья, где я впервые озвучил этот тезис, стала хитом. Судя по множеству сообщений в личке, эта боль знакома слишком многим. И почти в каждом была просьба:

«Напиши учебник. Тот самый, который мы заслужили».

Что ж, это он. Глава первая. Забудьте всё, что вы знали. Мы начинаем с нуля.

Мы отправимся в путешествие к самым основам человеческого мышления. Мы увидим, как драма, начавшаяся 2500 лет назад с простого вопроса о летящей стреле, породила всю современную науку — от физики до нейросетей.

Пристегнитесь. Мы погружаемся.

Вы когда-нибудь задумывались, почему в компьютерных играх объекты иногда проваливаются сквозь текстуры? Или почему финансовые модели так сложны, когда пытаются предсказать курс акций, который кажется то плавным, то скачущим? В основе этих, казалось бы, разных проблем лежит одна и та же фундаментальная идея, над которой бились величайшие умы человечества более двух тысяч лет.

Идея непрерывности.

Это не просто заумный термин из учебников. Это история о том, как мы пытались соединить мир счётных, отдельных предметов с миром плавного, неделимого движения. Это история о схватке с бесконечностью. Я хочу рассказать её так, как мне не рассказывали в университете: без кванторов и дельт, через парадоксы и гениальные озарения, и при этом без малейшей потери математической строгости. Мы пройдём путь от Аристотеля до создателей матанализа и увидим, как одна красивая идея сформировала наш мир.

Также вы сегодня, возможно, впервые узнаете о том, что победа формализации анализа по Коши вместо альтернативной по Гейне является самой главной причиной того, что понятия и идеи математического анализа остаются непонятными для основной массы студентов. От наглядного и понятного языка, предложенного Гейне, для которого совершенно не нужно использовать эпсилоны и дельты, в учебнике осталось только определение предела по Гейне — и то только потому. что некоторые теоремы без него никак не доказать. Но что еще интереснее — определение предела по Коши вообще не нужно для доказательств!

Прочитав эту статью, вы сможете без особых усилий предельно ясно осознать примерно половину первого семестра университетского курса математического анализа, причем, возможно, даже глубже, чем многие лекторы по математическому анализу.

Приготовьтесь к разоблачению, возможно, самого крупного обмана в современном высшем образовании. Суть его проста: по своей природе математический анализ — это наглядная геометрия, но её маскируют под абстрактную алгебру. В результате этого фокуса простой и ясный предмет становится тёмным лесом даже для многих лекторов.

Привет, Хабр!

Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями.

А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременно? Объект, который по своей природе является и скаляром, и вектором, и кватернионом, и даже спинором, в зависимости от того, как на него посмотреть.

Это не фантастика. Это — алгебра Клиффорда, также известная как геометрическая алгебра. Идея настолько мощная, что она способна навсегда изменить ваш взгляд на геометрию в 3D.

Пристегните ремни. Мы отправляемся в путешествие, где абстрактная алгебра превращается в наглядную геометрию. И огромное спасибо @master_program за переработку исходного текста в эту статью, а так же за дополнения и картинки, очень повысившие удобство чтения.

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.

Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».

Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?

Что, если я скажу вам, что это действительно «костыли»? Что существует единое, универсальное и элегантное геометрическое произведение, которое включает в себя оба этих случая (и многое другое), и которое основано на одной-единственной, кристально ясной идее. Идее, которая меняет взгляд на саму суть математики.

Эта статья — приглашение в мир Геометрической Алгебры. Мы собираемся переизобрести умножение.

Это начало серии статей, дающих достаточно мягкое, но последовательное введение в геометрические алгебры, известные также как алгебры Клиффорда. Её можно считать естественным продолжением цикла «Изобретаем числа», в котором мы знакомились с разнообразной арифметической экзотикой: двойными, дуальными и гиперболическими числами, а так же с методикой расширения числовых колец и полей всевозможными добавками, мнимыми и не очень. Теперь мы эти добавки смешаем, не взбалтывая так, чтобы получающимися числами можно было моделировать целые геометрии.

Предлагаемый цикл я рассматриваю как дополнение к популярным введениям и обзорам геометрической алгебры, хотя оно может быть полезным и как первое знакомство с предметом. Его отличает больший чем обычно акцент на алгебраическую часть, а также следование оригинальному подходу Эрика Ленгэля (Eric Lengyel) к построению геометрических алгебр, который мне представляется наиболее последовательным и логически непротиворечивым.

Все мы слышали, что квантовую механику «никто не понимает», как однажды заметил Фейнман. Нас с самого начала просят смириться с вещами, которые противоречат интуиции: частицы — это волны вероятности, их состояние описывается загадочными комплексными числами, а ещё у них есть неоткуда взявшийся «спин».

А что, если я скажу, что большая часть этой «магии» — не свойство природы, а артефакт математического языка, который мы выбрали для её описания? Что, если существует другой язык, в котором мнимая единица i — это не абстракция, а реальная плоскость, фаза — это обычное вращение, а спин появляется сам собой из базовых принципов геометрии?

Я попробовал вывести из математики геометрической алгебры известную нам обычную квантовую механику. Все получилось!

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия.

Но еще большее упрощение всех выкладок получается, если выводить общую теорию относительности. Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки из курса дифференциальной геометрии, часто используемое в ОТО. Вот оно:

Здесь далее проделан его элементарный вывод.

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в 3D, даже не пользуясь никаким пространством Минковского, исключительно в евклидовом пространстве. И они естественным образом в той же форме писались в многомерном евклидовом пространстве. Также рекомендую прочесть соседнюю статью для введения в тему.

Любопытно, что их можно ввести аналогично в пространстве Минковского и они будут эквивалентны моим. Также им эквивалентна кватернионная форма, но она является не более чем искусственной подгонкой векторов поля под кватернионы. Покажу теперь естественную формулировку в пространстве Минковского без кватернионов.

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:

«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из в какое-то другое пространство. Но в какое?»

Этот вопрос абсолютно закономерен и бьет в самую суть. Путаница возникает из-за того, что новые идеи часто подаются без явного описания той математической структуры, на которой они живут. Давайте построим ее с нуля.

Здесь вы можете узнать о том, как все 4 уравнения Максвелла, выражаемые через сложные дифференциальные операторы, можно выразить одним единственным уравнением первого порядка очень простой формы.

Множество ученых по всему миру объединились, чтобы составить и опубликовать всеобъемлющую дорожную карту разработки межатомных потенциалов машинного обучения в области материаловедения и инженерии. Они подробно описали, как машинное обучение должно привести к революции в нашем понимании в проектировании и открытии новых материалов, позволяя проводить компьютерное моделирование атомов.

Являются ли случайность и хаос фундаментальными свойствами нашего мира, или за ними всегда скрывается некий порядок, а нам просто не хватает знаний и точности измерений, чтобы его постичь? Изучением этого вопроса занимаются несколько тесно связанных между собой междисциплинарных наук: синергетика, неравновесная термодинамика, теория хаоса, теория катастроф, фрактальная геометрия, теория систем и кибернетика. На первый взгляд эти дисциплины очень абстрактны и совершенно непонятны без изучения их сложного математического аппарата. Но в действительности они гораздо ближе к жизни, чем квантовая механика или теория относительности, поскольку имеют дело не со «сферическими конями в вакууме», а с реальными процессами.

О явлениях хаоса и самоорганизации я рекомендую прочитать книгу Джеймса Глейка «Хаос. Создание новой науки» (1987). Если же у вас нет ни времени, ни желания изучать всю историю науки о хаосе, вы узнаете всё самое важное из данной статьи. Здесь я разъясняю множество специфических терминов, которые приведут в ужас даже хорошо образованного человека: эмерджентность, синергия, флуктуации, диссипативные структуры, динамический хаос, точка бифуркации, аттракторы, фракталы и т.д. Также мы выясним, не противоречит ли самоорганизация второму началу термодинамики и действительно ли случайность, необратимость и неустойчивость являются источниками всякого развития.

Недавно я решил собрать часть своих публикаций на habr.com и соорудить из них книгу - сборник статей. Поскольку часть моих заметок так или иначе связана с комбинаторикой, то навскидку у меня вырисовывалось вполне полноценное издание. Я быстренько скомпоновал PDF документ из 9 глав по одной теме, слегка подредактировав и добавив одну краткую главу. Составлением предисловия я себя утруждать не стал, сборник - это сборник, можно обойтись и без книжной формальной лирики. Хотя, конечно, - предисловие, - как говорил один очень умный человек, - это самое главное, что есть в книге. Ведь иногда достаточно прочитать предисловие, и саму книгу можно уже не читать. Руководствуясь и этой мыслью тоже, я собрал маленькую книженцию. Но встал насущный вопрос...

Вот в этом замечательном подкасте широко известный в России математик и общественный деятель А.В. Савватеев сказал, что Теория категорий — это современная концепция, представляющая собой одну из вершин математики, которую вообще мало кто глубоко понимает на самом деле. Однако, как известно, запретный плод сладок, и раз в современном мире есть какая-то научная теория, которую мало кто понимает даже из профильных специалистов, то мне, как обывателю из-за этого факта стало еще интереснее ну хоть на каком-то уровне разобраться в сути этой загадочной теории.

Обычно в учебных курсах по нерелятивистской квантовой механике формализм для описания спинового углового момента сразу дается в готовом виде без каких‑либо удовлетворительных объяснений. Подходить к лекторам с вопросами об этом, как правило, тоже бесполезно — вразумительного ответа не получить, так как большинство физиков не знают ответа на этот вопрос. Вам будут говорить что угодно, но не точный ответ на вопрос.

В учебниках аналогично — в лучшем случае вам сначала расскажут что‑нибудь про свойства спиноров и про матрицы Паули, а потом будет разрыв в переходе к конечным формулам.

Я решил написать статью, которая закроет этот разрыв. Вдохновила меня на это другая статья на Хабре «О спинорах человеческим языком», в которой, к сожалению, этот переход к физике хотя и был начат, но тоже так и не был осуществлен. От этой статьи переход можно сделать быстро (поэтому рекомендуется начать с нее).

Хочу рассказать о способах автоматизации части своей работы. Вчера я присутствовал на заседании научного клуба при МФТИ и выложил сегодня пост-релиз. Хотя я его выложил вечером, отправить его надо было утром, чтобы успеть согласовать все цитаты и правки, и выложить его хотя бы к вечеру на официальном сайте.

До появления современных средств автоматизации труда это потребовало бы бессонной ночи и заметных усилий. Сейчас же происходило следующим образом.

На самом заседании клуба я включил приложение «диктофон» на своем планшете, положил его на стол перед собой и делал ручкой пометки с тайм-кодами, кто говорит...

Привет всем!

Я решил написать эту статью, потому что сам разобрался со всеми деталями работы этой версии шифровальной машины, и убедился, что написанная мною программа работает идентично эмуляторам этой машины. Это было сделать непросто, так как все описания в интернете, что мне удавалось найти, в лучшем случае упускали часть важных деталей работы этого механизма, а в худшем - содержали смесь из описаний работы разных машин. Кроме того, многие описания мне показались не слишком понятными - я постарался здесь всё описать как можно проще и яснее.

В этой статье описываю всё подробно, не опуская детали, и записывая куски кода на Python для иллюстрации. В конце статьи полный код, реализующий алгоритм Энигмы.

Мой опыт создания огромной книги по математике в LaTeX

Я пишу книгу-сборник по математике для 3--11 классов и готов поделиться своим опытом и рассказать какие "шишки" я набил за это время :-)