Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например
В символической записи определение предела выглядит следующим образом:
В этом определении есть три места, на которых располагаются (определенным образом) «квантор всеобщности» и «квантор существования» . Таким образом, всего имеется 8 способов расположить эти кванторы. Рассмотрите семь оставшихся способов и в каждом из них дайте описание последовательностей и числа , удовлетворяющих соответствующему определению.
Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.
И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.
С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.
Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.
А на лекциях своих они не понимали практически ничего.
Кстати, отличная возможность продемонстрировать на этом примере то, что порядок кванторов играет роль. Что ∀ε ∃δ - это не то же самое, что ∃δ ∀ε. Дать разные "аналоги" определения Коши с переставленными кванторами, попросить студентов привести примеры функций, которые им удовлетворяют. Так они (кто захочет, конечно) гораздо лучше разберутся в правильном определении.
Но 5 лет назад как раз на практике понял, что это очень плохая идея.
Подобные упражнения они способны усваивать только после освоения и понимания анализа, но никак не до.
Как будут изучать литературу в остальных областях математики, где в каждой первой теореме два, три, а то и четыре квантора?
Тут надо смотреть какую. Среди вузовских предметов такая проблема есть разве что с функциональным анализом. Но сложности с его пониманием обычно как раз связаны с непониманием идей анализа.
Вообще сейчас актуальная проблема, например, такая.
Принимал зачёт у студентов второго курса ФБМФ МФТИ лет 7 назад, около половины не могут ответить правильно на вопрос "что такое О-большое", а они не могут ответить, потому что там же определение с кванторами, а у них после первого курса МФТИ психологическая травма, из-за которой они говорят "математический анализ невозможно понять", "я никогда в жизни не смогу это понять ".
Что же касается тех, кто кванторы освоил, у них есть серьёзные проблемы с пониманием идей и концепций анализа. Потому что показываешь им определения, написанные русским языком, они не могут их понять. Или, к примеру, равномерную непрерывность переписать через предел по Гейне - всё, они не понимают, что это такое, хотя такая запись гораздо проще.
Тут есть тонкости. Например, когда мы говорим, для любого эпсилон, для любого сигма, мы не подразумеваем, что сигма зависит от эпсилон, а в кванторах это так.
А по-русски раскрыть определение предела по Коши будет совсем другая фраза, чем используют в матане. Будет
"для любой наперёд заданной точности эпсилон , существует такая дельта-окрестность точки (дельта зависит от эпсилон), что функция на ней изменяется в пределах этой точности"
Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.
С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.
Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.
Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.
Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.
В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.
Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.
Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.
Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.
У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:
1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.
2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.
В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.
В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.
Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.
Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.
У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.
Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.
Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".
Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.
Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.
Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.
"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.
В случае "если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "
Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.
Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.
В случае определения по Коши так тривиально не получится.
Примечание: это определение следует также расширить случаем стремления к бесконечности. Для этого числовую прямую дополняют абстрактной бесконечной точкой, окрестности которой - это неограниченные множества числовой прямой.
Либо рассматривать ограниченную последовательность
Есть такая книга О.Иванов, С. Климчук "Математический анализ для первокурсников". Там написано, что задачи очень простые, предназначены для студентов не математиков, чтобы обучить математическому мышлению. Там есть задачи такого рода, например
Причем это там, наверное самая сложная из всех задач оттуда.
И вот я давал же студентам матмеха (то есть это вообще-то математики, большинство выпускники матшкол местных) оттуда, потому что было понятно, что Демидович для них слишком сложный - они могут его решать "по образцу" или списывать, но не осознать решение. Оказалось, что задачи из книги Иванова и Климчука тоже даются с невероятным трудом, а так как решебника к этой книге нет (в отличие от Демидовича), то использование ее вызывает у студентов панику.
С двумя кванторами кстати еще более-менее зашло, а вот эта задача, что процитировал - был какой-то провал полный. Во-первых попытки разбора таких выражений у студентов матмеха вызывали ужас и психологическое подавление, во-вторых мне так и не удалось им эту задачу объяснить, хотя пробовал несколькими способами.
Причем сначала я ее вообще дал на дом, но там даже из сильных студентов никто не смог решить, хотя задачи с двумя кванторами они решали. А потом пытался на семинаре объяснить, но это была очень плохая идея. Видимо, есть какой-то мощный когнитивный барьер при переходе от 2 кванторов к 3.
А на лекциях своих они не понимали практически ничего.
Определение из лекций по алгоритмам такое
И отдельно для последовательностей, там существует С такое, что существует номер N ....
Я кстати несколько лет назад тоже так думал :
Но 5 лет назад как раз на практике понял, что это очень плохая идея.
Подобные упражнения они способны усваивать только после освоения и понимания анализа, но никак не до.
Тут надо смотреть какую. Среди вузовских предметов такая проблема есть разве что с функциональным анализом. Но сложности с его пониманием обычно как раз связаны с непониманием идей анализа.
Вообще сейчас актуальная проблема, например, такая.
Принимал зачёт у студентов второго курса ФБМФ МФТИ лет 7 назад, около половины не могут ответить правильно на вопрос "что такое О-большое", а они не могут ответить, потому что там же определение с кванторами, а у них после первого курса МФТИ психологическая травма, из-за которой они говорят "математический анализ невозможно понять", "я никогда в жизни не смогу это понять ".
Что же касается тех, кто кванторы освоил, у них есть серьёзные проблемы с пониманием идей и концепций анализа. Потому что показываешь им определения, написанные русским языком, они не могут их понять. Или, к примеру, равномерную непрерывность переписать через предел по Гейне - всё, они не понимают, что это такое, хотя такая запись гораздо проще.
Формализация не играет уникальную роль подстраховки, она играет роль способа доказывать теоремы, механически оперируя кванторами.
Потому что страхующую играет просто использование уже доказанных теорем и свойств.
Вы смешиваете науку и математическое образование. Преступление - учить так, чтобы никто ничего не понял, за единичными исключениями.
Тут есть тонкости. Например, когда мы говорим, для любого эпсилон, для любого сигма, мы не подразумеваем, что сигма зависит от эпсилон, а в кванторах это так.
А по-русски раскрыть определение предела по Коши будет совсем другая фраза, чем используют в матане. Будет
"для любой наперёд заданной точности эпсилон , существует такая дельта-окрестность точки (дельта зависит от эпсилон), что функция на ней изменяется в пределах этой точности"
Ну вот я предлагаю формальность от строгости отделить.
Сложность не в строгости, она в формальности.
Можно же русским языком излагать, словами, а не "нотными значками".
За это большое спасибо
Думаю, тут прежде всего нужно решить проблему, которая заключается в том, что кванторы сейчас обычно объясняют через матан, а матан через кванторы, и обе вещи студентам непонятны. Объяснять непонятное через непонятное, рассчитывая, что так поймут и то, и другое - не лучший подход.
С кванторами же проблема у них скорее не в том, что они вообще есть, а в том, что их в одном определении дают 3 и больше подряд.
Определение с одним квантором воспринимают и нормально работают с ним в принципе почти все, с двумя - в основном физмат-школьники, и то не все, а кванторные определения из матана уже мало кто вообще.
Определение предела функции по Коши - это 3 квантора подряд. Многие студенты воспринимают его как что-то монструозное.
Так как тут на Хабре большой интерес к этим темам, я раз в неделю буду выпускать по статье похожего размера, с главой нового типа учебника. Там как раз подробно разберу и куда более аккуратно. Правда, до этих тем нужно еще 2-3 статьи сначала написать, я буду постепенно подбираться.
В изначально рассматриваемом пределе шла речь о пределе функции.
Обычно предел функции определяют с оговоркой про значение в самой точке. Я дал более простое определение в этой статье, без выкалывания.
В курсах матанализа собственно делают одно из двух - рассматривают бесконечные пределы отдельно, или сразу обобщают, рассматривая бесконечность как точку. В ТФКП всегда сразу вводят бесконечность как одну точку и вводят окрестности бесконечности.
Кроме того, есть курсы вещественного анализа, в котором используют предел по базе, или фильтры, в этих курсах предел в бесконечности естественным образом обобщается и его не надо отдельно рассматривать от предела в конечной точке.
Насчет конечного числа точек вне единственной точки сгущения. Тут два случая. Если последовательность не ограничена, то эта точка не единственная. А если ограниченная, то тут аналогично теореме Вейерштрасса показываем, что в случае бесконечного количества есть еще одна, или сразу выводим это по лемме Гейне-Бореля. Если же мы считаем, что единственная точка сгущения - бесконечность, то показываем аналогично теореме Вейерштрасса, что на любом ограниченном интервале, на котором есть бесконечное число точек, есть точка сгущения.
Я сейчас посмотрел, в курсах, где в теории пределов используют также и точки сгущения, помимо обычного определения, делают проще. Сначала предел определяют как точку, за любой окрестностью которой конечное число точек. А потом уже сильно позже доказывают, что если такая точка единственная, то она предел.
У определений предела последовательности через точку сгущения есть два преимущества:
1) педагогическое, рассуждения в духе "где находится бесконечное количество точек", студенты воспринимают гораздо легче, чем кванторы. Тут в комментариях указывали, что кому-то преподавали так в 9-10-м классах, параллельно с обычным подходом. Это не случайно так, есть целая традиция такого преподавания анализа школьникам, так как это понятнее.
2) научно-методическое, это то же самое определение, что в топологии, оно является более современным, чем определение предела последовательности по Коши.
В вещественном матанализе и в ТФКП обычно берут одну бесконечную точку, в двух нет смысла. Потому что луч в минус бесконечность и луч в плюс бесконечность удобнее считать просто направлениями движения к одной и тоже точке.
В моих определениях тоже достаточно определить одну бесконечную.
Я тут немного другое определение предела дал. Вы рассматриваете случай, когда предел определяется на выколотой окрестности. В таком случае это упоминается и в пределе по Коши, а по Гейне условие x_n не равно предельной точке.
Тогда да, останется только сослаться на свойства бесконечно малой последовательности.
У меня нет нелюбви к кванторам. У меня есть опыт преподавания матанализа, в ходе которого я обнаружил, что обильное использование кванторов является главным препятствием для понимания теоретического материала студентами.
Да это в общем-то понятно и из ЕГЭ, например. Задача с параметром из второй части имеет довольно низкий процент решаемости, учить школьников эту задачу решать - очень сложно, они с трудом понимают, а работа с кванторами в матане - это неравенства с параметрами.
Сложности у студентов как из-за специальных значков, так и из-за сложной логики, так и просто из-за абстрактности определений. А еще есть сложность, связанная с эффектом "стены текста".
Тут отдельный вопрос, а с чего мы взяли, что у функции в этой точке предел вообще есть. Если считать это не доказанным, то тогда нужно доказывать для любой последовательности. Но в таком случае я использую свойства бесконечно малых последовательностей, а не свойства пределов последовательностей вообще.
Но суть то примера была как раз в том, что по Коши нельзя автоматически использовать пределы последовательностей, чтобы доказывать пределы функций, а по Гейне можно.
Так что в любом случае с примером никаких проблем нет.
"При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Я ее не применял даже неявно. Я неявно применил, что 2*(3-3) = 0.
И это еще один пример преимущества определения по Гейне.
"после чего ответ тривиален, не так ли? При этом Вы неявно применили эту же теорему в своих рассуждениях. "
Там есть две отдельные теоремы - свойства пределов последовательностей и свойства пределов функций. Свойства пределов последовательностей автоматически переносятся на функции из определения по Гейне. А вот по Коши не автоматически.
В случае
"если (x-3) сходится к 0, то 2(x-3) тоже сходится к 0 "
Я по Гейне могу просто взять постоянную последовательность Xn = 3.
Тогда 2*(х-3) сходится к нулю, потому что 2*0 = 0.
В случае определения по Коши так тривиально не получится.
Только там написано
Либо рассматривать ограниченную последовательность
Попробуем сделать введение. Я на этой неделе где-то к субботе или вечер пятницы размещу продолжение. "Вводная глава" для нового учебника будет.