Тут нет проблемы, всё множество действительных чисел брать можно.
Парадокс Банах-Тарского тут не причем.
Вы игнорируете тот факт, что должно быть обоснование методов, а без этого не будет ни их понимания, ни понимания того, когда их использовать нельзя.
Хотя математический анализ больше используется как база для последующих дисциплин, его доказательства тоже нужны на практике. Потому что возможность применения многих прикладных методов анализа определяется условием равномерной сходимости.
Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.
Обращаться с ним проще потому, что вообще-то дельту подбирать не надо.
Можно еще так сформулировать
Положение равновесия устойчиво по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий , сходящейся к нулю, соответствующая последовательность траекторий сходится к нулевой траектории PABHOMEPHO при .
Определение Коши выглядит как подгон, потому что там нужно для каждого эпсилон доказывать существование дельты, а тут не нужно.
Любой инженер или физик мыслит именно так: "Что будет, если я приложу малое возмущение? А если еще меньшее?". Подход Гейне — это в точности математическая формализация этого инженерного эксперимента.
ε-δ — выглядит как абстрактный слой, через который инженеру приходится "продираться", чтобы соблюсти строгость. А тут получается, что и для строгости этот слой не нужен совсем.
Подход Гейне мгновенно выводит нас на гораздо более мощный уровень мышления. Мы начинаем думать не о последовательностях чисел, а о последовательностях функций и их сходимости в функциональном пространстве (в данном случае, о равномерной сходимости). Это прямой мост к современному функциональному анализу, где объектами являются не точки, а функции, операторы и т.д.
Рассуждать о том, как ведет себя стая траекторий, гораздо более конструктивно, чем доказывать существование абстрактного δ
Ну и, наконец, в эпсилон-дельте подходе, чтобы хоть что-то нетривиальное доказать, всё равно приходится придумывать искусственные новые конструкции типа "колебаний функций", а тут сразу всё есть.
Можно попробовать цикл статей сделать, с подробным разбором курса матанализа, со всеми нюансами. Я тут в обзорной этой статье просто выделил самое ключевое.
"Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности , то она уже не окажется в окрестности . "
Потому любые две точки на числовой прямой отделены конечным расстоянием. А окрестности мы берем сколь угодно малые.
Так то да, тут нужно еще довести до уровня строгого учебника, дописав кучу примечаний и доказав кучу промежуточных лемм. Но в отличие от эпсилон-дельта учебников, при наведении этой строгости интуитивность и наглядность не пропадают.
Устойчивости по Гейне гораздо проще формулируются и яснее.
Положение равновесия x_e = 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любой последовательности начальных условий {x_n(0)}, сходящейся к нулю (lim (n→∞) x_n(0) = 0), соответствующая последовательность максимальных отклонений траекторий также сходится к нулю.
Положение равновесия x_e = 0 называется асимптотически устойчивым, если:
Оно устойчиво по Ляпунову (в смысле предыдущего определения).
Существует такая окрестность B точки 0, что для любой начальной точки x(0) ∈ B и для любой последовательности моментов времени {t_n}, стремящейся к бесконечности (lim (n→∞) t_n = ∞), соответствующая последовательность состояний системы сходится к нулю:
lim (n→∞) x(t_n) = 0
Наконец
Положение равновесия x_e = 0 называется экспоненциально устойчивым, если существует такая окрестность B точки 0, что для любой начальной точки x(0) ∈ B (кроме самого x(0)=0) и для любой последовательности моментов времени {t_n}, стремящейся к бесконечности (lim (n→∞) t_n = ∞), выполняется следующее предельное соотношение:
Вот Gemini мне иллюстрацию построил (это python matplotlib, я все рисунки так сделал в статье, очень быстрый и удобный способ получается).
Там отдельные сложности с рассмотрением неограниченных последовательностей и бесконечности, примечания вставил уже в статью, но они сейчас не принципиальны.
Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.
Особенно анализируя конкретные множество, список, словарь (например, в питоне), и вообще, можно ли вывести "Идеальный всеохватывающий самодостаточный" набор структур данных для языка программирования?
Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.
Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.
Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.
Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.
При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).
У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.
А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.
Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.
Тут нет проблемы, всё множество действительных чисел брать можно.
Парадокс Банах-Тарского тут не причем.
Вы игнорируете тот факт, что должно быть обоснование методов, а без этого не будет ни их понимания, ни понимания того, когда их использовать нельзя.
Хотя математический анализ больше используется как база для последующих дисциплин, его доказательства тоже нужны на практике. Потому что возможность применения многих прикладных методов анализа определяется условием равномерной сходимости.
Потому что его смысл в том, что маленькие толчки приводят к маленьким отклонениям.
Обращаться с ним проще потому, что вообще-то дельту подбирать не надо.
Можно еще так сформулировать
Определение Коши выглядит как подгон, потому что там нужно для каждого эпсилон доказывать существование дельты, а тут не нужно.
Любой инженер или физик мыслит именно так: "Что будет, если я приложу малое возмущение? А если еще меньшее?". Подход Гейне — это в точности математическая формализация этого инженерного эксперимента.
ε-δ — выглядит как абстрактный слой, через который инженеру приходится "продираться", чтобы соблюсти строгость. А тут получается, что и для строгости этот слой не нужен совсем.
Подход Гейне мгновенно выводит нас на гораздо более мощный уровень мышления. Мы начинаем думать не о последовательностях чисел, а о последовательностях функций и их сходимости в функциональном пространстве (в данном случае, о равномерной сходимости). Это прямой мост к современному функциональному анализу, где объектами являются не точки, а функции, операторы и т.д.
Рассуждать о том, как ведет себя стая траекторий, гораздо более конструктивно, чем доказывать существование абстрактного δ
Ну и, наконец, в эпсилон-дельте подходе, чтобы хоть что-то нетривиальное доказать, всё равно приходится придумывать искусственные новые конструкции типа "колебаний функций", а тут сразу всё есть.
Смотрите , сделал так
Просто в эпсилон-дельта формализме менее прозрачно, а тут да, вся суть этой теоремы в том, что любая конечная последовательность точек ограничена.
Скорее в определениях точек сгущения эта теорема стала слишком очевидной.
А давайте чуть слабее условие напишу, чтобы логичность осталась.
Можно попробовать цикл статей сделать, с подробным разбором курса матанализа, со всеми нюансами. Я тут в обзорной этой статье просто выделил самое ключевое.
"Здесь сразу хочется спросить, почему, если она в окрестности
, то она уже не окажется в окрестности 
. "
Потому любые две точки на числовой прямой отделены конечным расстоянием. А окрестности мы берем сколь угодно малые.
Так то да, тут нужно еще довести до уровня строгого учебника, дописав кучу примечаний и доказав кучу промежуточных лемм. Но в отличие от эпсилон-дельта учебников, при наведении этой строгости интуитивность и наглядность не пропадают.
Упорядоченность используется сразу же при использовании окрестностей. А именно то, что окрестность - это интервал, а задается он неравенством.
Конечно, можно эти вещи расписать прям совсем до аксиом.
Так через точки сгущения еще короче получается, а для функций по Гейне.
Устойчивости по Гейне гораздо проще формулируются и яснее.
Положение равновесия
x_e = 0называется асимптотически устойчивым, если:Наконец
Вот Gemini мне иллюстрацию построил (это python matplotlib, я все рисунки так сделал в статье, очень быстрый и удобный способ получается).
Нет, там появляется язык "о-малое", "О-большое", эквивалентных функций и тому подобного. Во-первых, эпсилоны-дельты там как раз не нужны.
Во-вторых, предложенный в статье подход делает как раз больше упора на темы, связанные со скоростью сходимости и аппроксимацией.
Не всех, но, к сожалению, многих.
А с матанализом в вузах действительно беда, даже в хороших вузах.
В МФТИ стараются смысл объяснять, но из-за упора в эпсилон-дельта формализм и там многим студентам довольно сложно это дается.
Конечное число точек последовательности. Для
В окрестности любой точки, кроме нуля, конечное число этих точек.
Так я сходимость определил через точки сгущения.
Там отдельные сложности с рассмотрением неограниченных последовательностей и бесконечности, примечания вставил уже в статью, но они сейчас не принципиальны.
Да, если доказать сначала в общем виде свойства пределов арифметических операций. Но эти доказательства тоже надо как-то сделать, и тут получается, что проще сделать это по Гейне.
Можно (сопоставить философов и всевозможные структуры данных), но тогда мы уйдем в сторону от той линии, которая ведет к решению проблемы непрерывности и введению понятия множества.
Например, ведь тогда там появится процессуальная онтология, а это как минимум Уайтхед и Делез. Или, к примеру, функциональное программирование - а это Фреге уже. То есть сильно за пределы обозначенной темы выходит.
Я в данном случае рассмотрел в статье лишь самый минимум. Аристотель - мимо него никак, там база для дальнейшего, Гегель - потому что его модель всеобщего-особенного-единичного очень близка к теории множеств (но есть некоторые отличия), Спиноза - потому что на него опирался Кантор. Ну и сам Кантор, который теорию множеств придумал.
Я думаю через неделю немного раскрыть тему Аристотель->Спиноза->Гегель->Коши в виде отдельной статье на Хабре про то, как появилась теория множеств и как этих 4 философов можно интерпретировать в терминах парадигм программирования или структур данных.
При этом надо сказать, что Коши был в русле антигегельянского движения (поэтому и опирался на Спинозу), а у Гегеля были довольно противоположные изложенному здесь взгляды на математику (он сам анализ выводил из алгебры, был против геометрического подхода).
У Аристотеля я читал в его книге "Физика" вот эти все рассуждения про непрерывность. Там он их выводит, анализируя апории Зенона, так что это всё еще от Зенона идет.
А полный исторический экскурс требует много кого еще вспомнить, например схоластов.
Допишу тогда "сходящаяся к конечному пределу ..."
Я в паре мест дописал про точку бесконечность отдельно.
Короче говоря, надо дописать в статью, что числовую прямую дополняем точкой бесконечность. Тогда всё будет нормально.
Так геометрия тоже должна быть строгой.
Если игнорировать доказательства, то можно упустить неприменимость тех или иных математических методов. Насчет счетности и несчетности, непрерывности - это всё сильно нужно в первую очередь для равномерной непрерывности и сходимости на практике, которая как раз определяет, можно ли почленно ряд дифференцировать/интегрировать, можно ли дифференцировать по параметру интеграл и тому подобное.