В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.
Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...
Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.
Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.
Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.
Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:
Но перед тем, как поставить в зачетной книжке студенту высшую отметку, профессор решил почему-то задать вопрос о самом понятии интеграла. К своему удивлению, профессор не получил правильного ответа. Еще более тяжелым оказался случай с определением дифференциала. Студент явно и безнадежно «плавал».
«Как же это можно? — недоумевал профессор. — Вы прекрасно интегрируете и дифференцируете, но не имеете понятия о том, что такое интеграл и дифференциал? Как это можно?»
«Профессор, — ответил расстроенный студент, — все дело в том, что мы вначале не понимаем, а потом привыкаем»/
Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.
Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.
Например, , на отрезке . Максимум в точке 2, минимум в точке 0.
"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "
Почему теми же? Вообще-то нет.
И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.
Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.
"Без языка "эпсилон-дельта" никак не обойтись. Он пронизывает всю математику. Не всегда в виде неравенств, но всегда есть какие-то кванторы (существования, всеобщности). "
Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.
Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:
Теорема Кантора.
Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. 0 , что для любого найдутся такие точки и , что , но . В частности, для найдутся такие точки, обозначим их и , что
но
Из последовательности точек в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Обозначим ее предел :
Поскольку , то . Функция непрерывна в точке , поэтому
Подпоследовательность последовательности также сходится в точке , ибо
при . Поэтому
Отсюда следует, что
а это противоречит условию, что при всех выполняется неравенство
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.
Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.
Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.
Ну в подходе Вейерштрасса и Коши, там много алгебры неравенств, и импликации на основе кванторов. Это главное препятствие для понимания студентами - абстрактность.
У меня прямо сейчас на репетиторстве студент первого курса МФТИ, который завалил коллоквиум по матанализу и его пересдачу тоже, хотя всё упорно учил. Просто понять ничего не может, несмотря на то, что он поступил в МФТИ по олимпиаде без экзаменов, выпускник сильной физмат-школы. Старается, но не получается у него. А всё из-за этих кванторов и сплошных стен текста с большим количеством слов и кванторов. Наизусть выучить всё это может - понять нет.
Только что наткнулся на хорошую видео иллюстрацию в форме мема Real Analysis vs Abstract Algebra. Сразу видно, где алгебраический подход логичен и естественен, а где нет.
Ну чтобы читать "Introduction to Linear Algebra" требуется намного более высокий начальный уровень подготовки, чем чтобы эту статью читать. Поэтому на эту книгу совсем нет никакого смысла ориентироваться, всё-таки это принципиально иной уровень сложности - там вузовская программа, а здесь лишь школьная планиметрия и алгебра.
Преимущество определения через косинус в том, что оно очень наглядное, хорошо заходит детям в 8-м классе. А через сумму координат как-то слишком абстрактно.
Да, это мой релиз от мая 2025. Я этих релизов с лета 2024го написал очень много и продолжаю писать по работе, сюда по одному в день выкладываю свои, и до выкладывания того, что пишу непосредственно, дойду где-то к февралю.
Каждый месяц пишу по 10 штук новых релизов в среднем.
Да, целиком мультивектор на мультивектор - вычислительно затратно. Нужно разбивать на подвиды и искать наиболее оптимальные представления.
В поиске оптимальных вычислений очень много нюансов.
Например, 2 комплексных числа умножить - достаточно 3 умножения вещественных использовать вместо 4, это серьезный выигрыш в производительности.
Я имею в виду
А еще оптимальность формул зависит от таких мелочей, например, как использование битового сдвига для умножения на степень двойки, а также того, числа там целые или вещественные используются.
Зависит от угла между векторами. Если угол между ними есть рациональная часть окружности, то они дадут конечное число отражений, если иррациональная - бесконечное.
Кватернионы дают только повороты в 3D. Тут не только повороты описываются, но и произвольные движения, в том числе несобственные, а формулы совершенно одинаково в общей форме пишутся в любой размерности пространства.
Кроме того, можно метрику изменить (например, пространство Минковского рассмотреть) и нет никакой проблемы те же бусты Лоренца описывать, и тому подобное.
Наконец, если изменить формулу скалярного произведения, можно описывать это всё в пространствах с произвольными квадратичными формами, не только диагональными.
Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.
Если мультивектор состоит из слагаемых одного ранга, то обратный элемент как раз так и находится (плюс минус сам элемент делить на его квадрат). А в общем случае мультивектора его может вообще не быть. В этой алгебре есть делители нуля.
В вашем контрпримере две точки сгущения. Вторая - бесконечность.
Если добавить "у любой ее подпоследовательности" - это ничего не меняет. Ваш контрпример тогда превращается в то, что есть подпоследовательность 1, 2, 3, ...
Вопрос в том, где находится бесконечное количество членов последовательности.
Сейчас у многих студентов МФТИ есть с этим проблемы.
Да, эпсилон-дельта язык как раз этому и учит - строить суждения, используя только правила.
Вопрос в том, что нужен какой-то альтернативный подход, если не усваивают.
Однако, в книжке советского академика 70х годов, мне приходилось читать следующее:
Да и в статье Неретина, на которую в тексте ссылаюсь, описаны советские практики.
У него на сайте про это много Mathematical education тут.
Размер пустого множества равен нулю.
А этот вопрос я предвидел и в тексте ответ на него сразу написал. Вот тут
Обычно при доказательствах считают, что исходная система аксиом непротиворечива. Но в данном случае можно также сказать, что с противоположной идеей проблем нет, так как пример очень легко построить. Достаточно взять любую непрерывную на отрезке функцию.
Например,
, на отрезке ![[-1,2]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/430/763/069/4307630693a66817e49ea8ca5f4ee72c.svg)
. Максимум в точке 2, минимум в точке 0.
"Мы можем рассуждать неформально и не писать никаких "эпсилон-дельта", но рассуждения, по свой сути, будут теми же. Не стоит всё это друг другу противопоставлять. "
Почему теми же? Вообще-то нет.
И почему неформально? Это другая формализация, не менее строгая.
Тут не соглашусь, потому что анализ занимается далеко не только сходимостью.
Обойтись можно, особенно актуально от него избавиться в определениях типа нескольких видов устойчивости в механики, равномерной непрерывности и тому подобных, в таких случаях он становится слишком уж неуклюжим и неудобным, малопригодным для решения задач.
Например, есть теорема Кантора (непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем), через определение непрерывности по Гейне доказывается элементарно, коротко и доказательство имеет ясный геометрический смысл. А по Коши так:
но
Из последовательности точек
в силу свойства компактности отрезка (см. теорему 4 в п. 5.8) можно выделить сходящуюся подпоследовательность 
. Обозначим ее предел 
:
Поскольку
, то 
. Функция 
непрерывна в точке 
, поэтому
Подпоследовательность
последовательности 
также сходится в точке 
, ибо
при
. Поэтому
Отсюда следует, что
а это противоречит условию, что при всех
выполняется неравенство
Полученное противоречие доказывает теорему.
Вот зачем так издеваться над людьми? Это же просто бессмысленно.
Огромная куча слишком длинных рассуждений, да еще и на другие теоремы ссылки.
Кроме того, в анализе имеет значение же еще равномерная сходимость, там сложность ее описания через эпсилоны и дельты еще сложнее, а по Гейне остается элементарной.
Ну в подходе Вейерштрасса и Коши, там много алгебры неравенств, и импликации на основе кванторов. Это главное препятствие для понимания студентами - абстрактность.
У меня прямо сейчас на репетиторстве студент первого курса МФТИ, который завалил коллоквиум по матанализу и его пересдачу тоже, хотя всё упорно учил. Просто понять ничего не может, несмотря на то, что он поступил в МФТИ по олимпиаде без экзаменов, выпускник сильной физмат-школы. Старается, но не получается у него. А всё из-за этих кванторов и сплошных стен текста с большим количеством слов и кванторов. Наизусть выучить всё это может - понять нет.
Только что наткнулся на хорошую видео иллюстрацию в форме мема Real Analysis vs Abstract Algebra. Сразу видно, где алгебраический подход логичен и естественен, а где нет.
Ну чтобы читать "Introduction to Linear Algebra" требуется намного более высокий начальный уровень подготовки, чем чтобы эту статью читать. Поэтому на эту книгу совсем нет никакого смысла ориентироваться, всё-таки это принципиально иной уровень сложности - там вузовская программа, а здесь лишь школьная планиметрия и алгебра.
Преимущество определения через косинус в том, что оно очень наглядное, хорошо заходит детям в 8-м классе. А через сумму координат как-то слишком абстрактно.
Да, это мой релиз от мая 2025. Я этих релизов с лета 2024го написал очень много и продолжаю писать по работе, сюда по одному в день выкладываю свои, и до выкладывания того, что пишу непосредственно, дойду где-то к февралю.
Каждый месяц пишу по 10 штук новых релизов в среднем.
Параллельная, но я собираюсь с ними впервые связаться в ближайшие пару недель для одной совместной активности внутри ВШЭ.
Так что была параллельная, но в этом месяце начнем пересекаться.
Да, целиком мультивектор на мультивектор - вычислительно затратно. Нужно разбивать на подвиды и искать наиболее оптимальные представления.
В поиске оптимальных вычислений очень много нюансов.
Например, 2 комплексных числа умножить - достаточно 3 умножения вещественных использовать вместо 4, это серьезный выигрыш в производительности.
Я имею в виду
А еще оптимальность формул зависит от таких мелочей, например, как использование битового сдвига для умножения на степень двойки, а также того, числа там целые или вещественные используются.
Зависит от угла между векторами. Если угол между ними есть рациональная часть окружности, то они дадут конечное число отражений, если иррациональная - бесконечное.
Да, не оценивает и не гарантирует.
Кстати по ссылке на публикацию там разместили неверный DOI для ссылки на англоязычную версию статью. Вот правильная ссылка на англоязычную версию Sample Size Determination: Likelihood Bootstrapping | Computational Mathematics and Mathematical Physics
Я сейчас также прикрепил ее ссылкой к слову "журнал" в первом абзаце.
Они всё выложили на гитхабе в открытом доступе https://github.com/kisnikser/Likelihood-Bootstrapping?tab=readme-ov-file
Кватернионы дают только повороты в 3D. Тут не только повороты описываются, но и произвольные движения, в том числе несобственные, а формулы совершенно одинаково в общей форме пишутся в любой размерности пространства.
Кроме того, можно метрику изменить (например, пространство Минковского рассмотреть) и нет никакой проблемы те же бусты Лоренца описывать, и тому подобное.
Наконец, если изменить формулу скалярного произведения, можно описывать это всё в пространствах с произвольными квадратичными формами, не только диагональными.
Есть книга Иванов М. Г. Как понимать квантовую механику, в интернете легко находится. Там он посвящает много внимания всем эти вопросам. В первую очередь - вопросу о линейности квантовой механики.
Если мультивектор состоит из слагаемых одного ранга, то обратный элемент как раз так и находится (плюс минус сам элемент делить на его квадрат). А в общем случае мультивектора его может вообще не быть. В этой алгебре есть делители нуля.