Как отсекали выражения вроде ? Если делимое можно по модулю 10958 легко посчитать, то с частным такое не выйдет. Или вы только простые лесенки вида … рассматривали?
Всё зависит от того, как вы определяете понятие близости для двух математических проблем))
Задача Танежи как таковая проще проблемы Коллатца хотя бы потому, что требует разложения с использованием конкретного количества бинарных операций (а именно 8-и). Если же думать о Collatz как о сужении понятия конечной-трансцендентности для некоторого числа как принадлежность этого числа замыканию единичного множества относительно унарных операций , то можно как минимум показать что всякому элемента из множества (натуральных чисел) можно сопоставить элемент множества , но такое соответствие не обязательно является взаимно-однозначным. Пример:
Возьмем натуральное число 12. Запишем его в двоичной системе исчисления: . Тогда длину двоичной записи, уменьшенную на единицу (3) будем интерпретировать как количество операций, используемых при выводе соответствующего элемента из , а вектор цифр двоичного представления, записанных в обратном порядке без старшей цифры — как номера соответствующих операторов. Тогда для любого натурального числа количество операций может быть однозначно интерпретировано как длина единственного возможного двоичного представления и любой набор операций представим соответствующим натуральным числом (запись в обратном порядке и удаление старшей цифры были необходимы для того, чтобы такие выводы, как: и были представимы и различимы). Так число 12 производит элемент:
Дальнейшие перспективы решения проблемы Коллатца туманны. Так из факта существования ПДП для задачи Танежи следует её алгоритмическая разрешимость, в то время как для задачи Коллатца доказана её неразрешимость на некотором полном по Тьюрингу языке программирования (а именно, Fractran).
*10958
Есть такое замечательное понятие: Гильбертова интуиция. Оно поможет вам понять, что происходит.
Давид Гильберт — немецкий математик XIX-XX веков. На втором международном математическом конгрессе 1900 года он предложил 23 «фундаментальные» задачи современной (ему) математики и обосновал их значимость весьма оригинальным образом.
Рассмотрим поведение профессионального математика при решении некоторой задачи. На первом этапе решения математик пытается получить наиболее простую (так называемую «рабочую версию») формулировку задачи. Речь не всегда идёт о простоте в научно-популярном смысле, как это происходит сейчас с проблемой Гольдбаха-Виноградова и проблемой Эрдеша. Математик ищет простую для себя формулировку. Так не секрет, что без ограничения общности некоторой геометрической задаче можно поставить в соответствие алгебраическую модель. А задачу из теории чисел, наоборот решать в топологиях. И если наш герой более компетентен в геометрии, он будет искать наиболее понятную геометрическую трактовку для большинства задач, вне зависимости от раздела-источника задачи.
На втором этапе происходит процесс «эвристического поиска уязвимостей». Решая однотипные задачи математик не развивается — такие упражнения полезны при подготовке к ЕГЭ, выступлении на олимпиадах — не более. Но рассматривая задачи с принципиально разным подходом к решению, относящиеся к некоторой узко специальной области, ученый формирует ряд ложных корреляций, которые составляют математическую интуицию. Так, имея на начальном этапе несколько путей анализа задачи, математик с опытом может «наугад» выбрать тот путь, который с большей вероятностью приведёт к стройному решению.
Наряду с интуицией отдельного математика, Гильберт рассматривает коллективное «ощущение важности» некоторых задач для всего математического сообщества. Так, диофантово уравнение уже на тот момент не являлось единственным нерешаемым неопределённым уравнением в целых числах, однако «математическое чутьё» подсказывало, что при решении именно этого уравнения возникнет необычайно ценный математический аппарат, который будет применяться в различных областях науки.
Гильбертова интуиция — это способность отобрать из числа бесполезных задач как таковых (ибо нахождение корней для уравнения не несёт ничего полезного) — те, с решением которых престиж математики, возможности теоретического аппарата и уровень влияния на другие науки возрастут.
Задача Танежи как таковая не несёт пользы, но для её решения (как оказалось при детальном рассмотрении, результаты которого частично приведены в этой статье) потребуется развить трансцендентологию и расширить современную дискретную математику теорией ПДП. То, как сильно современные астрофизика, нейробиология и ряд других прикладных дисциплин зависят от дискретки думаю пояснять не требуется.
Для задач, при решении которых приходится выполнять операции с комплексными алгебраическими числами и некоторыми трансцендентными, являющимися линейной комбинацией алгебраических чисел и числа , тип данных Complex как структуру можно считать ПДП минимальным для некоторых из таких задач.
это поворот на , а его проекции на координатные оси равны .
Интересная идея! Действительно, некоторые комплексные величины, целая и мнимая часть которых являются целыми числами, либо для которых существует тригонометрическая форма записи с рациональными углами (в градусном их измерении), в точности представляют такие иррациональные значения, как и позволяют выполнять некоторые операции над этими значениями без погрешности.
Часто следствия из теорем, доказательство которых было необходимо при решении некоторой задачи, оказываются ценнее, чем сама задача.
При аналитическом подходе к решению задачи Танежи в восходящем порядке естественным образом возникает понятие конечно-трансцендентного числа. И за это мы благодарны Индеру Танеже. Но сам он никакой классификацией трансцендентных действительных величин не занимался. Об этом идёт речь. Мы ценим не саму возможность представления целых при помощи замыкания над множеством чисел от 1 до 9, а ту математическую теорию, которая благодаря изучению этой возможности возникает.
Потому что в int, double, Complex и даже BigInteger он не переберёт…
В статье дан ответ на этот вопрос. Если коротко и на примерах, то с такими числами как и работать на компьютере проблематично, а в теории то что — неочевидно и требует строгой проверки. И такие варианты, с которыми нельзя справится даже на суперкомпьютерах — составляют порядка 15% от общего числа выводов. Помимо этого, работа с иррациональными числами на компьютере как правило ограничена работой с их вещественным приближением. И для некоторого выражения: на компьютере можно получить лишь приближение: . Отсюда вытекает проблема полного дискретного представления для иррациональных и трансцендентных величин.
Интересно, это как нибудь связано с мерой рациональности числа?
Если вы имеете в виду «меру иррациональности», то она является оценкой возможности приближения некоторого действительного числа конечным набором целых значений. ПДП же предполагает точное представление иррациональных и трансцендентных чисел на компьютере и выполнение операций над ними без погрешности. Поэтому прямая связь отсутствует. Если же будет доказана связь между мерой иррациональности и qtrans, то тогда можно будет подискутировать.
Также, мне кажется тема «нормальных» чисел более фундаментальна
Для математики — да. Для прикладной информатики — тема «конечно-трансцендентных» сегодня важнее. К тому же, в работах математиков 2010-2020 годов слишком часто стали появляться высказывания о «беспомощности» современной алгебры при работе с трансцендентными величинами. Пока даже доказательство факта трансцендентности является нерешаемой задачей для большинства классов действительных величин. Например: трансцендентность десятичных логарифмов целых, отличных от степени десятки, чисел была доказана, однако вопрос о трансцендентности логарифма числа, взаимно простого с основанием этого логарифма является открытой математической проблемой, не уступающей по «безнадёжности» ABC-гипотезе.
Речь не всегда идёт о перепаковке данных с целью уменьшения сложности по памяти. Для некоторых задач реализация алгоритма решения с типом double будет некоректна из-за громадных погрешностей. И когда вам нужно проверить равенство значения функции в точке некоторой константе, а на выходе получаете: , тогда приходится описывать сложную структуру данных, чтобы минимизировать погрешность или вовсе организовать работу с точными численными значениями величин, непредставимых конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. В таких ситуациях ПДП (полное дискретное представление) — важный ориентир для программиста.
Проблема в том, что некоторые люди не осознают как сильно решение «практически полезных» задач той же физики зависит от математического аппарата. Без производных не были бы запущены на орбиту спутники, которые обеспечивают беспроводной интернет вам и позволяют написать этот комментарий. Поверьте, сотни компаний — производственников сегодня ждут решения открытых математических проблем. И если для вас связь между «составлением из цифр» и выходом нового поколения электроники не очевидна — это говорит лишь о недостатке образования. Пишу искренне, не желая никого обидеть. Спасибо!
Она и не стала. Перечитайте статью. Речь идёт о новом математическом аппарате и связанном с ним подходе к решению переборных задач на ПК — подходе, без которого вывод для числа 10958 нереально построить. Фундаментальность самой задачи Танежи нигде не утверждается. Цитата из заключения:
Сама задача Танежи обнажает проблему полного дискретного представления и показывает несостоятельность популярных методов описания структуры данных при решении математических задач на ПК
Спасибо за ответ!
В моём понимании, решение задачи Брокара разбивается на 2 части: увеличение нижней границы для новых корней уравнения 1 и доказательство его (уравнения) неразрешимости для достаточно больших n.
1. Временная сложность О от количества цифр в числе для алгоритма, проверяющего любое из необходимых условий: «квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей», «квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1» «квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1», «Сумма цифр у любого квадрата есть 9n,9n+1,9n+4,9n+7» будет больше, чем временная сложность алгоритма, реализующего 2-тест. При прямом переборе всех значений m^2-1 из промежутка (ai, bi) можно комбинировать несколько необходимых условий. Например для каждых восьми последовательных чисел подвергать p-тесту те три, которые делятся на 4 или дают остаток 1 при делении на 8. Но комбинирование известных свойств квадрата между собой не даёт такой средней скорости проверки значений n, как 2-тест в чистом виде. Это связано, прежде всего, со средней длиной цепочки последних цифр, необходимой для того, чтобы заключить, что число m не обладает P-свойством. Статистические данные опубликую, когда закончу эффективную реализацию 2-теста.
2. С теоретической точки зрения, я считаю утверждение об отсутствии корней уравнения 1 для n>7 недостаточно сильным и предполагаю в своей работе, что для целых m>71 множество M1 чисел вида m^2-1 не пересекается с некоторым множеством целых чисел M2, включающим n! для всех n>7 и «некоторые другие» числа, имеющие вид k1j 00..001 при записи с системах исчисления с основаниями 2..c, где с — константа. По этой причине числа вида "(цифра 9, повторённая n-1 раз) 8 (цифра 0, повторённая n-1 раз) 1" не исключаются из рассмотрения.
«Тогда понятно, что вам нужен хороший критерий на проверку k1j 00..001 на то, что это — полный квадрат», «Теорема доказана, за изъятием случаев из вашей статьи» — рассмотрите ту же задачу за пределами десятичной системы исчисления. С интересом жду следующего комментария!
Здравствуйте! Нельзя. В целых:
1. Квадратных чисел вида k1 00..001, имеющих ровно k2 нулей в десятичной записи, бесконечно много. Так, квадрат числа, оканчивающегося k2 нулями и единицей будет также оканчиваться на k2 нулей и единицу. Суть в том, что ни один из таких квадратов, вероятно, не попадает в промежуток (ai, bi), содержащий факториал некоторого числа.
2. Учитывая свойства факториала, достаточно большое значение m^2, претендующее на выполнение равенства 1, будет иметь вид k1j 00..001 с k2j нулями в системах исчисления с основаниями 2..c, где j — основание системы исчисления, c — константа. Акцент на десятичную систему исчисления в работе не делается. Более того, для программной реализации рекомендован 2-тест.
Здравствуйте!
1. Да
2. Опечатка, поправил
3. Потому что рассматривается необходимое условие для постоянного p. В общем виде, действительно можно исследовать некоторую функцию G(n,p). Пока не считаю необходимым менять этот пункт в статье.
Спасибо за отзыв! На архив готовится дополненная статья с программной реализацией 2-теста и проверкой корней упомянутого в работе уравнения минимум до n<=10^11
Всё зависит от того, как вы определяете понятие близости для двух математических проблем))
Задача Танежи как таковая проще проблемы Коллатца хотя бы потому, что требует разложения с использованием конкретного количества бинарных операций (а именно 8-и). Если же думать о Collatz как о сужении понятия конечной-трансцендентности для некоторого числа как принадлежность этого числа замыканию
Возьмем натуральное число 12. Запишем его в двоичной системе исчисления:
Дальнейшие перспективы решения проблемы Коллатца туманны. Так из факта существования ПДП для задачи Танежи следует её алгоритмическая разрешимость, в то время как для задачи Коллатца доказана её неразрешимость на некотором полном по Тьюрингу языке программирования (а именно, Fractran).
Есть такое замечательное понятие: Гильбертова интуиция. Оно поможет вам понять, что происходит.
Давид Гильберт — немецкий математик XIX-XX веков. На втором международном математическом конгрессе 1900 года он предложил 23 «фундаментальные» задачи современной (ему) математики и обосновал их значимость весьма оригинальным образом.
Рассмотрим поведение профессионального математика при решении некоторой задачи. На первом этапе решения математик пытается получить наиболее простую (так называемую «рабочую версию») формулировку задачи. Речь не всегда идёт о простоте в научно-популярном смысле, как это происходит сейчас с проблемой Гольдбаха-Виноградова и проблемой Эрдеша. Математик ищет простую для себя формулировку. Так не секрет, что без ограничения общности некоторой геометрической задаче можно поставить в соответствие алгебраическую модель. А задачу из теории чисел, наоборот решать в топологиях. И если наш герой более компетентен в геометрии, он будет искать наиболее понятную геометрическую трактовку для большинства задач, вне зависимости от раздела-источника задачи.
На втором этапе происходит процесс «эвристического поиска уязвимостей». Решая однотипные задачи математик не развивается — такие упражнения полезны при подготовке к ЕГЭ, выступлении на олимпиадах — не более. Но рассматривая задачи с принципиально разным подходом к решению, относящиеся к некоторой узко специальной области, ученый формирует ряд ложных корреляций, которые составляют математическую интуицию. Так, имея на начальном этапе несколько путей анализа задачи, математик с опытом может «наугад» выбрать тот путь, который с большей вероятностью приведёт к стройному решению.
Наряду с интуицией отдельного математика, Гильберт рассматривает коллективное «ощущение важности» некоторых задач для всего математического сообщества. Так, диофантово уравнение
Гильбертова интуиция — это способность отобрать из числа бесполезных задач как таковых (ибо нахождение корней для уравнения
Задача Танежи как таковая не несёт пользы, но для её решения (как оказалось при детальном рассмотрении, результаты которого частично приведены в этой статье) потребуется развить трансцендентологию и расширить современную дискретную математику теорией ПДП. То, как сильно современные астрофизика, нейробиология и ряд других прикладных дисциплин зависят от дискретки думаю пояснять не требуется.
Интересная идея! Действительно, некоторые комплексные величины, целая и мнимая часть которых являются целыми числами, либо для которых существует тригонометрическая форма записи с рациональными углами (в градусном их измерении), в точности представляют такие иррациональные значения, как
При аналитическом подходе к решению задачи Танежи в восходящем порядке естественным образом возникает понятие конечно-трансцендентного числа. И за это мы благодарны Индеру Танеже. Но сам он никакой классификацией трансцендентных действительных величин не занимался. Об этом идёт речь. Мы ценим не саму возможность представления целых при помощи замыкания над множеством чисел от 1 до 9, а ту математическую теорию, которая благодаря изучению этой возможности возникает.
В статье дан ответ на этот вопрос. Если коротко и на примерах, то с такими числами как
Если вы имеете в виду «меру иррациональности», то она является оценкой возможности приближения некоторого действительного числа конечным набором целых значений. ПДП же предполагает точное представление иррациональных и трансцендентных чисел на компьютере и выполнение операций над ними без погрешности. Поэтому прямая связь отсутствует. Если же будет доказана связь между мерой иррациональности и qtrans, то тогда можно будет подискутировать.
Для математики — да. Для прикладной информатики — тема «конечно-трансцендентных» сегодня важнее. К тому же, в работах математиков 2010-2020 годов слишком часто стали появляться высказывания о «беспомощности» современной алгебры при работе с трансцендентными величинами. Пока даже доказательство факта трансцендентности является нерешаемой задачей для большинства классов действительных величин. Например: трансцендентность десятичных логарифмов целых, отличных от степени десятки, чисел была доказана, однако вопрос о трансцендентности логарифма числа, взаимно простого с основанием этого логарифма является открытой математической проблемой, не уступающей по «безнадёжности» ABC-гипотезе.
В моём понимании, решение задачи Брокара разбивается на 2 части: увеличение нижней границы для новых корней уравнения 1 и доказательство его (уравнения) неразрешимости для достаточно больших n.
1. Временная сложность О от количества цифр в числе для алгоритма, проверяющего любое из необходимых условий: «квадрат не может оканчиваться нечётным количеством нолей», «квадрат либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1» «квадрат либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1», «Сумма цифр у любого квадрата есть 9n,9n+1,9n+4,9n+7» будет больше, чем временная сложность алгоритма, реализующего 2-тест. При прямом переборе всех значений m^2-1 из промежутка (ai, bi) можно комбинировать несколько необходимых условий. Например для каждых восьми последовательных чисел подвергать p-тесту те три, которые делятся на 4 или дают остаток 1 при делении на 8. Но комбинирование известных свойств квадрата между собой не даёт такой средней скорости проверки значений n, как 2-тест в чистом виде. Это связано, прежде всего, со средней длиной цепочки последних цифр, необходимой для того, чтобы заключить, что число m не обладает P-свойством. Статистические данные опубликую, когда закончу эффективную реализацию 2-теста.
2. С теоретической точки зрения, я считаю утверждение об отсутствии корней уравнения 1 для n>7 недостаточно сильным и предполагаю в своей работе, что для целых m>71 множество M1 чисел вида m^2-1 не пересекается с некоторым множеством целых чисел M2, включающим n! для всех n>7 и «некоторые другие» числа, имеющие вид k1j 00..001 при записи с системах исчисления с основаниями 2..c, где с — константа. По этой причине числа вида "(цифра 9, повторённая n-1 раз) 8 (цифра 0, повторённая n-1 раз) 1" не исключаются из рассмотрения.
«Тогда понятно, что вам нужен хороший критерий на проверку k1j 00..001 на то, что это — полный квадрат», «Теорема доказана, за изъятием случаев из вашей статьи» — рассмотрите ту же задачу за пределами десятичной системы исчисления. С интересом жду следующего комментария!
1. Квадратных чисел вида k1 00..001, имеющих ровно k2 нулей в десятичной записи, бесконечно много. Так, квадрат числа, оканчивающегося k2 нулями и единицей будет также оканчиваться на k2 нулей и единицу. Суть в том, что ни один из таких квадратов, вероятно, не попадает в промежуток (ai, bi), содержащий факториал некоторого числа.
2. Учитывая свойства факториала, достаточно большое значение m^2, претендующее на выполнение равенства 1, будет иметь вид k1j 00..001 с k2j нулями в системах исчисления с основаниями 2..c, где j — основание системы исчисления, c — константа. Акцент на десятичную систему исчисления в работе не делается. Более того, для программной реализации рекомендован 2-тест.
1. Да
2. Опечатка, поправил
3. Потому что рассматривается необходимое условие для постоянного p. В общем виде, действительно можно исследовать некоторую функцию G(n,p). Пока не считаю необходимым менять этот пункт в статье.
Спасибо за редактуру!