neelts May 23 2009 at 22:53

0! = 1? или почему факториал нуля равен единице

2 min

232K

Mathematics*

+95

Comments 80

Bobby May 23 2009 at 23:02

Перенесите в блог «Я умный», там его увидит и оценит большее количество человек.
Доказательство действительно необычное. Жаль я не математик, и не могу оценить его «легитимность» ^__^

neelts May 23 2009 at 23:05

спасибо, перенес)

slesar May 23 2009 at 23:03

Тонкое место — там где начинаете вдруг возводить в степени, а потом резко необъяснимо отнимать. Если докажете почему этот ход верен, будет очень здорово.

А вообще очень интересно.

Alaunquirie May 23 2009 at 23:31

Поддерживаю. Я потом этим в универе математика озадачу, пусть голову поломает на старость лет, ему полезно мозг размять :)

WebPeople Jan 24 at 02:55

Это называется интуиция. Автор же пишет, игрался с числами. Но он зря пишет, что не математик. Примерно так математики и открывают свои формулы, через фантазию.

Я первый раз столкнулся с подобным при доказательстве, почему деление на правильную дробь превращается в умножение в обратную дробь.

В моем доказательстве выходило, что надо привести оба числа к виду правильной дроби, а потом привести их к общему знаменателю, тогда останется поделить числители и деление готово. Все как в сложении или вычитании дробей.

Доказать же исходное утверждение не получалось. Фантазии не хватало. Пока не подглядел. Оказалось все просто. Сначала надо делитель перенести к его частному. А потом обе части уравнения умножить на обратную дробь делителя. В таком случае, дробь делитель справа от знака равно сокращается, и получается итоговое выражение, что надо делимое умножить на обратную дробь от делителя. Вот как мне можно было додуматься до того, зачем мне умножать обе части уравнения на обратную дробь? Ведь все решалось нормально через приведение к общему знаменателю как в сложении! Я полагаю, что кто-то тоже поигрался с цифрами, интуитивно, попробовал сократить дроби через умножение. Зря автор в математику не пошел. С фантазией тут все замечательно.

P.s. Я в курсе, что отвечаю на комментарий 2009 года)) Но не смог пройти мимо.

Kron0S May 23 2009 at 23:04

это не доказательство — это просто пример вычислений. обобщите до формулы из n чисел — и будет четкое доказательство

neelts May 23 2009 at 23:08

Формулы подобные я составлял, самый трудный участок это как изобразить в формуле последовательность разностей.

0lympian May 23 2009 at 23:10

Рекуррентным соотношением

bobermaniac May 23 2009 at 23:42

Это называется «индукция».

neelts May 23 2009 at 23:14

в общем я буду рад, если кто-то разбирающийся поможет составить подобную формулу

0lympian May 23 2009 at 23:27

fact(x) = f(x, 0, x)

f(a, b, c) =
| (b + 1) ^ c / a==0

0lympian May 23 2009 at 23:29

fact(x) = f(x, 0, x)

f(a, b, c) =
| (b + 1) ^ c [a==0]
| f(a — 1, b + 1, c) — f(a — 1, b, c) [a > 0]

либо математически:
fact(x) = f(x, 0, x)
f(a, b, c) = (1 — sign(a)) * (b + 1) ^ c + sign(a) * (f(a — 1, b + 1, c) — f(a — 1, b, c))

p.s. Упс, случайно нажал ctrl+enter

ilzheev May 24 2009 at 11:12

Да, с помощью метода мат. индукции я думаю можно доказать

0lympian May 23 2009 at 23:08

Осталось по аналогии доказать про 0^0 (часто на форумах поднимается вопрос среди «недалеких» в математике) :D

k_s May 24 2009 at 00:21

если записать определение степени в таком виде, то не нужно никакое доказательство

Dragonizer May 24 2009 at 14:32

Можно записать и так, а можно пользоваться элементарным вполне логичным правилом: сумма нуля элементов равна нулю (ноль относительно сложения не меняет чисел), а произведение нуля элементов равно единице (единица относительно умножения не меняет чисел).

Dragonizer May 24 2009 at 14:35

0^0 не определено по определению, потому что это нельзя согласовать (доопределить по непрерывности). А конкретно: возьмем два предела при x -> +0 от следующих функций:
1) 0^x
2) x^0

В первом случае предел равен 0, а во втором — 1.

shai_xylyd May 23 2009 at 23:10

Прикольно.
Но факт, что факториал можно вычислить по вашей схеме, доказан?

С другой стороны вы продолжаете определение, оно является настолько же доказательством, как и следующая программка:

def Factorial(num)
{
  | 1 => 1
  | _ => num*Factorial(num-1)
}

shai_xylyd May 24 2009 at 00:00

Фак. Поспешил.

Хотел сказать, что если рассмотреть факториал 5, как функцию от последовательности чисел от 1 до 5, то её можно записать в виде сверки:

f([1,2,3,4,5]) = [1,2,3,4,5].Fold(1,(e,acc)=>e*acc)

Тогда факториал нуля это функция от последовательности длинны 0 целых чисел, следовательно

f([]) = [].Fold(1,(e,acc)=>e*acc) = 1

mr_idiot May 23 2009 at 23:12

А в чем тут изобретение? Если раскрыть скобки в вашей «схеме» в итоге и получится, что просто вычисляете 1*2*3...n. А что 0!=1 можно «доказать» совершенно элементарным способом:

mr_idiot May 23 2009 at 23:17

n = (n+1)! / n! =>
1! / 0! = 1 =>
0! = 1

UFO just landed and posted this here

mr_idiot May 23 2009 at 23:29

Первая строчка должна быть такой:
n+1 = (n+1)! / n!

Собственно, чуть пониже это уже написали)

isea May 24 2009 at 01:52

А с чего вы взяли, что при n=0 можно делить на n!, если вы заранее не знаете, чему равно 0!? Вдруг оно будет равно нулю? Тогда, что бы вы там в дальнейшем ни доказывали, доказательство будет некорректным. Вы должны заранее ввести некоторые ограничения на 0! В данном случае такое ограничение вводится самим определением 0! как равным 1. Но тогда нет смысла ни подсчитывать, ни доказывать то, что уже задано в своем определении. Вопросом дискуссии может лишь быть обсуждение того, а почему 0! по определению задали равным 1. Наверное, для удобства, гармоничности и согласованности математического аппарата там, где используются факториалы, и далее можно приводить примеры такого использования, а также разумности именно такого определения.

Эдак я тоже могу «доказать», что 2=1:

1=1 | прибавляем 1 и вычитаем 1 из левой части:
1-1+1=1 | раскладываем в левой части разницу квадратов (1-1) на множители: (1+1)(1-1)
(1+1)*(1-1)+1=1 | переносим 1 правую часть:
(1+1)*(1-1)=1-1 | выносим общий множитель 1 в правой части:
(1+1)*(1-1)=1*(1-1) | сокращаем на (1-1) обе части:
(1+1)=1 | итого:
2=1

debacle May 24 2009 at 09:59

У вас тут софизм закрался)))

(1+1)*(1-1)=1*(1-1) | сокращаем на (1-1) обе части:

Сокращаем — значит делим на (1-1)… 1-1=0, а на ноль делить нельзя…

isea May 24 2009 at 13:51

Конечно, об этом речь и шла.

Dragonizer May 24 2009 at 14:42

Смысл в том, что мы не не знаем функцию, а мы ее еще не определили. И данный способ — не способ доказательства, а способ обобщения, чтобы дать согласованное определение.

То есть давайте назовем факториалом целого неотрицательного n функцию n!, удовлетворяющую этим свойствам. Ну а потом можно показать, что это определение эквивалентно общепринятому, где факториал определяется отдельно для положительных чисел и нуля.

magmoro May 23 2009 at 23:12

n!=(n-1)!*n
1!=0!*1
0!=1

0lympian May 23 2009 at 23:44

следовательно
0! = (-1)! * 0 = 1
(-1)! = INF :)

Kukalyakin May 23 2009 at 23:14

Вот и вечер субботы прошел ))

UFO just landed and posted this here

sol_linux May 23 2009 at 23:24

Да… Вы начали необъяснимо возводить в степень никак это не доказывая.
Из темы про Нибиру:
>
хм… а мне 24.12.12 будет 24…

24 = 12 + 12

в итоге получаем: 24 + 12 + 12 + 24 = 12 + 12 + 12 +12 +12 + 12 = 72

666 / 72 = 9.25 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1

12 * 12 * 12 * 12 * 12 * 12 = 2985984

2985984 / 666 = 4483,4594594594594594594594594595!!!

459 459 459 459 четырестапятьдесятдевять!!!!!11

вам уже страшно?

0lympian May 23 2009 at 23:36

Тебе страшно? Мне нет! (с) карлсон :D

KF_NEXUS May 23 2009 at 23:27

Просто всё дело в том что факториал имеет более глубокое комбинаторное значение, то есть это не просто некое произведение, а количество перестановок множества из n элементов. Например, элементы множества {A,B,C,D} можно линейно упорядочить 4!=24 способами. А вот множество из нуля элементов, имеет по определению один НУЛЕВОЙ эллемент, поэтому и перестановка там только одна. Хотя и множество из одного эллемента тоже имеет один — ненулевой эллемент, поэтому она там тоже одна. зы Я с матфака :P

KF_NEXUS May 23 2009 at 23:30

Вернее я немного неточно сказал, множество из нуля эллементов — в комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов, другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество. Вот так точнее.

unicast May 23 2009 at 23:57

Вот это больше похоже на истину.
В топике описан один из алгоритмов вычисления факториала.

devaka May 24 2009 at 06:56

Точно, ведь это смысл факториала (кол-во перестановок)! Нуль элементов можно представить только одним образом, так же, как и один элемент. И почему этого в школе не рассказывают? :(

hellt May 23 2009 at 23:43

субботним вечером особенно приятно почитать такие комменты)

gnmb May 24 2009 at 00:06

(n+1)! = (n+1)*n!
n! = (n+1)!/(n+1)
0! = 1!/1 = 1

indalive May 24 2009 at 15:43

выше уже написали такое же доказательство
habrahabr.ru/blogs/i_am_clever/60306/#comment_1645417

isea May 24 2009 at 00:11

С вопросом доказательства равенства факториала нуля единице я сталкивался дважды.

Один раз это был кандидат технических наук, «не математик», как и автор поста — вот он тоже как то на лекции приводил доказательство равенства факториала нуля единице.

А второй раз — «чистый» математик, кандидат физ.-мат. наук. Так вот, наука математика утверждает — факториал нуля равен единице не потому, что это можно как-то доказать, а потому, что таково определение самого факториала. Факториал нуля равен единице по определению, и попытка доказательства того, что введено в математический аппарат как аксиома — это просто демонстрация своего дилетантизма в математике.

Другими словами, 0! — это всего лишь другая форма записи числа 1, они тождественны и эквивалентны. И доказывать то, что первое равно второму — это примерно то же, самое что доказывать, будто римская I равна арабской 1.

k_s May 24 2009 at 00:22

Я кстати поэтому пост даже читать не стал, ибо зачем доказывать фактически аксиому

KF_NEXUS May 24 2009 at 00:47

Это фармалистский подход, на самом деле все определения в математике не с потолка взялись, и имеют свой смысл, но многим формалистам проще принять это за аксиому, чем попытаться объяснить истинную природу явления… Хотя в математике конечно много вещей является «договорённостями», но это всётаки не значит что не стоит искать в них смысл или какие-то параллели. Ведь именно в поиске параллелей придумали например триганометрическую фору комплексного числа. кто знает что ещё так, как-бы случайно обнаружат?

ZIJ May 24 2009 at 00:57

по-моему, все приведенные выше доказательства — скорее «понимательства», помогающие осмыслить аксиому

isea May 24 2009 at 02:02

Именно так. Можно приводить предпосылки и примеры разумности, обоснованности, гармоничности, а порой и красоты определения математического аппарата именно в том виде, в котором он определен. Но не надо их называть математическими доказательствами.

ganqqwerty May 24 2009 at 03:04

Вот прямо над вами комментарий, показывающий, что «определение самого факториала» избыточно

DirectX May 24 2009 at 20:23

Чистый математик мог бы упомянуть про гамма-функцию (http://ru.wikipedia.org/wiki/Гамма-функция).
Для целых чисел n! = Г(n-1), при том что Г(1)=1 и Г(2)=1

ttim May 24 2009 at 00:14

Вот еще вариант доказательства:
Факториал по определению — это количество различных расстановок N предметов.
0 предметов можно расставить только в одном порядке. Поэтому факториал — 1.

cosmonaft May 24 2009 at 00:35

Да уж, на первом же шаге «доказательства» идет необъяснимое возведение в 4-ую степень ряда чисел.

GeniyZ May 24 2009 at 00:52

в четвёртую — потому что высчитывается факториал именно от этого числа, ты не заметил, что когда считается факториал числа 3, то и числа возводятся в куб??
Будь внимательнее

cosmonaft May 24 2009 at 00:55

Да хоть в 100500 степень. Необъяснимость это не объяснеят. Это же ни равенство, ни сравнение, а просто ряд чисел.

UFO just landed and posted this here

georgthegreat May 24 2009 at 00:42

Нужно брать ровно (n + 1) число. Иначе возьмем вощьведем два числа в нулевую степень и получим две единицы. Вычтя одну из другой получим 0. И доказательство летит к чертям.

neelts May 24 2009 at 00:45

внимательней: 'пока не останется одно число (или ряд одинаковых чисел, если кол-во больше чем n + 1)'

apple_fan May 24 2009 at 00:42

Ловите мысль: факториал на множестве натруральных чисел можно рассматривать как частный случай гамма-функции. Гамма-функция определена практически везде, а в точках 0, -1, -2,… у неё полюса.
То, что 0! удобно считать единицей, скорее всего, продиктовано либо комбинаторными соображениями, либо так исторически сложилось.

Короче, то, что Вы интересуетесть математикой — это клёво!

ttim May 24 2009 at 03:32

Однако 0! это Гамма-функция от 1 где полюса у нее нет и она прекрасна равна 1 :-)

apple_fan May 24 2009 at 07:58

Тфу! Ваша правда. Вот поэтому мне в мат. анализе не хватает юнит-тесов :)

Kastrulya May 24 2009 at 00:46

навеяно рекламой мтс? 0! рублей… бла-бла. =)))

GeniyZ May 24 2009 at 00:47

А нам именно так и объясняли факториал.
А потом сказали, что нашолся кто-то умный и заметил, что это похоже на произведение ряда простых чисел — и стали все считать его по-новому.
Но почем факториал нуля равен единице я всёравно не понимал =( видимо потому что на примере нуля нам ни чего не показывали, а самому просчитать в голову не пришло.

vittore May 24 2009 at 01:17

есть еще гамма функция с помощью которой можно посчитать факториал не только для нуля но и для любого рационального числа )

garvarg May 24 2009 at 02:03

И для иррационально можно. Да и для комплексного никто не помешает.

Centro May 24 2009 at 12:26

Ещё бы доказательство такое же простое почему 0 в 0-й степени равно 1 :)

denver May 24 2009 at 14:27

Как нибудь так:
n⁰ = n¹*n^-1 = n/n = 1 (потому что n встречается в n ровно один раз)
По аналогии 0⁰ = сколько раз «ничего» встречается в «ничего» = тоже лишь 1 раз.

garvarg May 24 2009 at 15:58

$0^0=0^0\cdot 1=1$

Centro May 24 2009 at 17:34

Кстати, есть альтернативная точка зрения, при которой принято считать что значение 0 в 0-й степени неопределено. Это даже отражено в некоторых приложениях, например Microsoft Excel при попытке посчитать 0^0 возвращает ошибку.

Sannis May 24 2009 at 21:42

Это не альтернатива, а единственно верная точка зрения ;)

vladon May 25 2009 at 14:49

0^0 не определено.

Более того, пределы функций 0^x и x^0 при x→0 разбегаются.

UFO just landed and posted this here

boykover Jun 26 2009 at 18:22

Если кто-то не математик (хотя тогда вопросы, а как научился программировать и т.п.), то достаточно курса высшей математики ВУЗа, т.е. гамма-функции для действительных чисел.

Факториал же сам по себе — это частный случай, когда удобно для натуральных чисел найти физическое объяснение. ясно, что оно не годится вычисления 0! или 0.5!

Dragonizer May 24 2009 at 14:49

Пожалуйста, прекратите писать «доказательство равенства 0! = 0»!!! Все, чем вы тут занимаетесь — способы понять, почему в определении так говорится, почему функция определена именно так.

indalive May 24 2009 at 15:44

ппц, не позорьтесь, такую «научную работу» опубликовали, Вам что 10 лет?

neelts May 24 2009 at 18:41

тогда мне было лет 13, так что не считаю это позором =)

aspect May 24 2009 at 16:07

Напомнило Умберто Эко
… высота пирамиды Хеопса равняется квадратному корню из цифры площади каждой из сторон. Натурально, все меры снимаются в футах, более приближенных к египетскому и древнееврейскому локтю, а не в метрах, потому что метр есть абстрактная величина, изобретенная в современную эпоху. Древнеегипетский локоть составляет 1,728 фута. При отсутствии точных измерений, мы можем обратиться к пирамидиону, таково название маленькой пирамиды, расположенной на вершине большой, образовывавшей ее верхушку. Пирамидион выполнялся либо из золота, либо из какого-то другого металла, блестевшего на солнце. Так вот, снявши высоту пирамидиона, надо ее умножить на высоту всей пирамиды, умножить результат на десять в пятой степени, и у нас выйдет длина окружности экватора. Более того, измерив периметр основания, умножив его на двадцать четыре в третьей степени и разделив на два, получаем средний радиус земли. Мало этого: площадь основания пирамиды, умноженная на девяносто шесть на десять в восьмой степени, дает сто девяносто шесть миллионов восемьсот десять тысяч квадратных миль, то есть поверхность земного шара…

vittore May 24 2009 at 21:00

а это мне напомнило вот это

madnut May 24 2009 at 18:38

TimTim May 24 2009 at 20:06

Завтра на хабре будем великую теорему Ферма доказывать. Кто за?

vladon May 25 2009 at 14:50

Не понимаю, зачем вы пытаетесь доказать определение?

0! = 1 по определению.

izzik May 26 2009 at 14:15

www33.wolframalpha.com/input/?i=0!

ivlis May 26 2009 at 14:51

Ого, и никто не откомментил про гамма функцию? O_o

Факториал это частный случай гамма-функции для натуральных n. Ноль не является натуральным числом, поэтому определение факториала для него бессмыслено, однако гамма-функция имеет значение в точке ноль, поэтому факториалу «приписали» значение от нуля. Вы удивитесь, но бывает факториал и от (-3.87+2*I)! :)

en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function