Comments 26
Я закурил. Как же повезло вашим ученикам.
Можно порадоваться за Асю, что у неë такой учитель.
Спвсибо, добавлю, что искусство оригами, основанное на треугольнике, используется для развертывания космических парусов.
Интересно, вот таким способом придти к решению, попутно объясничтпростым языком кучу базовых вещей, правда урезанно, но для решения задачи хватит. Браво!
Урезано, конечно, поскольку при взгляде на вторую страницу университетского учебника по алгебре или топологии у ребят возникают сомнения, а точно ли они хотят стать математиками. При этом молодость берет своë и они туда, всë равно, лезут. Очень хочется им помочь, но не спугнуть при этом.
Сам был таким, учась в физматшколе при НГУ. И когда нам на допзанятии через аксиоматику Пеано через семь лемм и через полтора часа доказали, что a+b=b+a, я пришëл одновременно в восторг и в ужас и в недоумение, но понял, что хочу уметь также.
Стал физиком ?
Вот почему у меня не было такого преподавателя?
Давайте ещё раз перечислим классы треугольников и топологические отношения между ними, то есть, отношения подпространство/граница
Вот это место не понятно описано. Начиная с "еще раз", которое на самом деле в первый раз. В общем, отношения подпространств и их границ весьма непонятно.
А вот тут, наоборот, очень понятно:
Говоря об этих параметрах, можно вспомнить ещё один термин, помогающий характеризовать размерность пространства: количество степеней свободы, или количество числовых параметров, однозначно определяющих точку пространства. У произвольного треугольника три степени свободы — мы их перечислили. У равнобедренного — две, ими могут быть, например, длина основания и угол при вершине. У прямоугольного треугольника тоже две степени свободы: пара катетов, гипотенуза и один из углов... Наконец, равносторонний и равнобедренный прямоугольные треугольники имеют лишь одну степень свободы — масштаб.
Не видны в этом месте:
На карте хорошо видны все отношения между классами треугольников. Они не образуют иерархию вложенных подмножеств, как иногда показывается на страницах учебников, а формируют области, граничащие друг с другом.
Наверное, где-то дальше видны, но пока еще не видны.
Зачем это написано, если не объяснено? Графомания?
Благодаря великому русскому математику Андрею Колмогорову, мы можем перевести язык площадей на язык вероятностей и сказать, что вероятность встретить равнобедренный треугольник, выбирая их наугад из общего множества треугольников, равна нулю.
Благодарю за внимательное прочтение!
"Ещё раз" -- потому что эта классификация всем хорошо знакома, и на иллюстрации с подмножествами она приведена. Но вы правы в том, что если это вводное слово убрать, смысл не изменится.
Про степени свободы очень понятно физикам, инженерам, прикладникам. При исследовании сложных и неочевидных топологий, далëких от многообразий, эта интуиция не работает. Моей задачей в этой заметке было дать представление о том, как математики подходят к определению чего-то невидимого, находя постепенно связи с привычным физическим миром там, где это оправданно.
Странно, мне кажется, карта с легендой вполне справляется со свой ролью.
Про меру, как вероятность я добавил потому, что это точнее всего отражает ситуацию. Настоящую формальную меру (лебеговскую) вводить я не собирался, это сложно и не нужно. А нулевая, мера в прикладном, физическом смысле, чаще всего, встречается именно в образе вероятностей. При этом упомянуть автора строгой концепции вероятностной меры, лежащей в основе современной теории вероятностей, я считаю не лишним.
Так много слов. Мне кажется, что Ася могла потеряться ещё в начале рассуждений, в итоге так ничего и не поняв.
Ведь можно было просто нарисовать систему координат x,y,z где x и y 2 стороны треугольника, а z угол между ними. А потом нарисовать плоскость x=y и сказать - видите дети какую малую часть из всех треугольников составляют равнобедренные.
Гениальное объяснение! Супер.
Конечно же вы правы! Но.. а поговорить?
Смысл таких длительных экскурсов вокруг как бы очевидных вещей: сделать их глубокими и позволить ребятам дать ваш ответ самостоятельно.
Надо сказать, что с параметризации треугольников я и начат настоящий урок, но само понятие "пространство треугольников" оказалось весьма интригующим и понеслось... Мне же интересным показалось показать, как можно исследовать нечто незримое, опираясь не только на интуицию, но и на математические принципы.
Наконец, не забывайте, что это не конспект урока, и не методическое пособие для педагогов, а материал скомпилированный под формат статьи, расширенный и дополненный. А основная тема статьи вовсе не ответ на вопрос, а знакомство с некоторыми базовыми понятиями математики: пространство, факторизация, эквивалентность, симметрия, мера. Отсюда и пальба из пушки по воробьям.
Ну от моего объясннения тоже можно оттолкнутся, чтобы поговорить. Можно порассуждать о том, что сравнивать два получившихся множества можно разными способами. Сравнить их объемы, т.е. мерой Лебега, или же сравнить мощности множеств. И на удивление объемы получатся совсем разные, а мощности множеств одинаковые. Т.е. меньше их или нет, зависит от выбора меры. Ибо, как сказано в писании, "Какой мерою меряете, такой и вам отмеряно будет..." - об этом детям можно не говорить ))
Разумеется о мере говорить можно и нужно. Но эта тема, как болото, способна затянуть и увести. Конечно, в приведенной задаче все просто, но теория мер на редкость непростая штука, требующая большого опыта и аккуратности.
Очень легко заключить, как это прозвучало в комментариях, что тупоугольных треугольников должно быть втрое больше чем остроугольных. Очень легко начать сравнивать бесконечности, незаметно от меры скатываясь к канторовому пониманию мощности, и начать строить отображения, которые приводят к каким-то парадоксам. Наконец, нам привычно мыслить метриками, а не мерами, но даже при удачной метризации пространства, всплывают тонкости в виде не равных единице коэффициентов Ламе, и определителей матриц, описывающих преобразования координат. Это я уже, как вузовский препод, читавший геофизикам теорию поля и матфизику, понимаю, что тут ошибиться проще простого!
Вот я и решил ограничиться упоминанием подмножеств нулевой меры и сосредоточиться на размерности пространства.
(Только в этом комментарии я упомянул меру, метрику, размерность и мощность — разные понятия, в которых легко "утопить" и старшекурсника)
Треугольные координаты
А на тетраэдр эти свойства распространяются?
Именно эти — нет, но есть очень близкая по смыслу теорема Вивиани, оперирующая высотами. Она тоже классно доказывается. Вот она-то работает и в тетраэдре и в симплексах более высоких размерностей.
Кстати, с помощью этой теоремы можно легко доказать, что точка Торричелли является той самой точкой, от которой сумма расстояний до вершин минимальна, если у треугольника все углы не более 120 гр. Ставим эту точку (т. Т) в треугольнике АВС, вписываем АВС в правильный треугольник DEF (с высотой h) так, что отрезки ТА, ТВ и ТС перпендикулярны сторонам последнего. Сумма длин |ТА| + |ТВ| + |ТС| = h, в то же время для любой другой точки T' сумма |Т'А| + |Т'В| + |Т'С| > h, потому как у T' будут другие проекции на стороны DEF
Даже если не докапываться до маразматического тупоконечного треугольника.
Математики тут ровно одна строка А+B+С = 180
Равнобедренный 2A+B = 180 и т.д. и т.п.
получается, что тупоугольных треугольников в 3 раза больше чем, остроугольных?
Чтобы так говорить вы должны указать, каким случайным способом вы получаете треугольники. Мне не приходит на ум никакого естественного. Даже выбрать 3 точки на плоскости "случайным" образом нет никакого "предпочтительного" способа: любое распределение вероятности будет таким одним из них. Другое дело треугольники на сфере!
Вы знаете, для облегчения статьи я выкинул рассуждения на эту тему. Но, как вижу, напрасно. Спасибо за повод поговорить об этом!
Действительно, глядя на треугольную карту мы можем заметить, что площадь, которую занимают остроугольные треугольники втрое меньше что площади тупоугольных. Значит ли это, что выбирая наугад треугольники из общего множества треугольников, мы будем втрое чаще встречать треугольники, имеющие тупой угол? В каком‑то смысле, да, но не более чем «в каком‑то смысле». Результат будет очень сильно зависеть от того, как именно мы выбираем треугольники. Если мы будем строить их, выбирая два угла (или разбрасывая случайным образом три точки на окружности), то тупоугольные треугольники, действительно, будут попадаться в три раза чаще. Если же мы станем строить три случайные отрезка из которых возможно собрать треугольник, то отношение изменится и тупоугольных будет уже почти в четыре раза больше. Впрочем, можно нарисовать три произвольные точки на плоскости, и тогда вероятность построить тупоугольный треугольник станет примерно равной 64%... или 82%, смотря как считать. Эта неразбериха говорит лишь о том, что вероятность построить тупо‑ или остроугольный треугольник условна и существенно зависит от метода построения. Одним из тех, кто занимался такими подсчётами был математик Чарльз Доджсон, более известный как Люис Кэролл.
спасибо, не встречала у Кэролла задачи про треугольники, интересно, в какой книге он об этом писал
Эта задача о вероятности нарисовать остроугольный треугольник была опубликована Люисом Кэррелом в 1985 году в книге "Задачи на подушке" (Pillow problems) а нашел я это упоминание в этой статье, дающий весьма глубокий ее разбор.
Здорово. А про категории и функторы такого текста нет, случайно?
Замечательный рассказ про не самые простые вещи!
Математическая продлёнка. Мир треугольников