Ссылка на Часть1: «Предварительный анализ» (ру / eng )
Ссылка на Часть2: «Эксперименты на торе» (ру / eng )
Cсылка на «Часть3: Практически значимые решения» (ру / eng )
Cсылка на «Summary» (ру / eng )

1 Игра в дипломатию


1.1 О чем эта работа


Перед вами третья и последняя публикация в цикле статей, посвященных таким схемам движения микроавтобусов, которые позволили бы достаточно быстро, достаточно дешево, а главное безо всяких пересадок доехать от любого перекрестка до любого другого перекрестка внутри большого города. Ниже вы увидите много графиков, формул и цифр, однако, перед тем как перейти к технической части, я хотел бы обсудить с вами проблему претворения всего этого замысла в жизнь и предложить вам поучаствовать в ее решении.

1.2 Головоломка для талантливых и смелых (чудаки приветствуются: ?)


Я предлагаю вам приключение,
я предлагаю вам игру,
я предлагаю вам стать причастными к позитивному изменению образа жизни почти миллиарда людей на всей планете,
одному мне с этим не справится.
Для начала мне потребуется ваша помощь вот в каком деле:

Один из пионеров кибернетики и доктор медицины Росс Эшби выдвинул идею, что основная задача интеллекта — это борьба с разнообразием. Живые существа и общественные институты пытаются сузить до желаемого возможные варианты будущего, пытаются препятствовать либо компенсировать поток направленной в них информации, в частности, создают информационные барьеры (от панциря черепахи до антиспам-программ). Если вы хотите оказать влияние на что-то интеллектуальное, то вам придется преодолеть его информационное противодействие. Это правили естественно, оно — почти что математический закон и его существование в нашем мире стоит принимать как данность.

Сейчас у меня есть, пусть и модельное, но достаточно хорошее решение и следующий шаг я вижу в том, чтобы попытаться преодолеть информационный барьер. Нужно сделать так, чтобы тема беспересадочного общественного транспорта стала предметом общественной дискуссии, объектом внимания потенциально заинтересованных в его реализации групп лиц. Дальше уже можно будет говорить о создании исследовательской группы, которая займется поиском решений для реальных городов и о ее финансировании.

Если у вас есть идеи, разумные советы — высказывайте их в комментариях. Если вы готовы поучаствовать лично — напишите мне письмо со своими предложениями на мой электронный адрес: magnolia@bk.ru.

Я не смогу заплатить за вашу работу сразу, но могу дать следующее публичное обещание. В случае успеха ко мне наверняка обратятся за техническими консультациями. Я не дам ни одной, пока та ваша работа, которая имеет рыночную стоимость и была направлена на результат, не будет оплачена в пятикратном размере. Если мы потерпим неудачу, то труд каждого из нас останется неоплаченным. Риск требует награды!

Я уважаю вашу потребность в самореализации. Если вы присоединитесь к проекту, то ваше участие и ваш труд будут настолько публичными, насколько вы того пожелаете.

Теперь позвольте мне высказать свое, пусть и не очень зрелое виденье того, с чем предположительно предстоит поработать.

1.3 Игровое по��е и расстановка сил (?)


Начнем с хорошей новости.

Объем рынка.
Оценки, которые я привожу в этой статье, показывают, что беспересадочную схему движения уже можно пытаться реализовать в городах с населением в 1 миллион человек. По всему миру в городах-миллионниках проживает порядка 1 миллиарда человек. Если ежедневные транспортные расходы их усредненного жителя оценить в 3 $, то мы имеем подходящий для внедрения рынок объемом примерно 1 000 000 000 000 (1трл) $/год — это примерно треть всего ВВП Франции за 2021 год. У меня есть скромное предположение, что капитал такой величины является достаточным стимулом для изменений в экономиках целых стран и отраслей мировой промышленности. Обсудим теперь наш маленький зоопарк интересантов.

Жители крупных городов.
Наверное, самая заинтересованная и одновременно наименее влиятельная группа. В случае внедрения автобусного такси получат несколько десятков минут личного времени в сутки, комфорт и простоту перемещения по городу, свободные дороги, меньше шума и загрязнения воздуха. Имеют коллективное политическое влияние на муниципалитеты. На саму эту группу могут влиять СМИ и действия муниципалитетов.

Муниципалитеты крупных городов.
Ключевой элемент мозаики, по всей видимости, наиболее влиятельный и наименее заинтересованный. Именно администрации городов дают доступ к исследовательским данным и принимают решения о реформе транспорта. В идеальном мире от всего этого могут получить только политические очки. В реальном надо учитывать различные лобби и неформальные договоренности, которые могут как способствовать (например, со стороны фирм-производителей микроавтобусов), так и препятствовать (владельцы прежнего общественного транспорта) внедрению технологии. Возможен и крайне позитивный сценарий, когда мэр и его команда окажутся идейными новаторами.

Фирмы-производители автомобилей и автобусов.
Здесь складывается очень интересная игровая ситуация. Если появится комфортное автобусное такси, то с одой стороны оно создаст конкуренцию автомобилю и эти фирмы неминуемо потерпят убытки, а с другой — образуется новый достаточно объемный рынок по производству и обслуживанию огромного количества микро��втобусов особого типа. Потенциально, действуй автомобильные производители как единое целое, они могли бы заблокировать внедрение автобусного такси. Однако если они так поступят, то у каждого из них будет огромный стимул сжульничать и занять новый рынок раньше остальных. Первый, кто начнет массово производить микроавтобусы для совместного такси, весь бонус от захвата нового рынка получит сам, а убытки от сокращения старого — поделит между всеми. Блокирование — неустойчивая ситуация и представители автопрома попытаются ее избежать, а я — помогу им это сделать :).

Фирмы и стартапы на рынке городских пассажироперевозок.
Тоже интересная группа. Игровая ситуация для старых игроков напоминает игровую ситуацию для фирм-производителей автомобилей, но только в этот раз она значительно благоприятней. Отличие состоит в том, что автобусное такси потенциально может переманить значительную часть тех, кто раньше водил автомобиль сам, а значит изменения дают выгоду. С другой стороны, так же как и для фирм-производителей автомобилей, если фирма-оператор пассажирских перевозок решит продолжить работать по старинке, то имеет огромный риск быть вытесненной из ее старой ниши. Огромный потенциал роста для быстрых и пластичных в организаторских решениях стартапов.

Являются теми, кто непосредственно будет использовать технологию маршрутизации автобусного таки, поэтому всячески будут пытаться перетянуть одеяло на себя, все запатентовать и сделать тайной. Влияют через лобби на муниципалитеты и через рабочие места на настроение жителей города.

Исследовательские группы и университеты.
“В основном безвредны”. Как о структуре, способной на что-то влиять и быть восприимчивой к влиянию, я думаю об университетских исследовательских группах с очень большим скепсисом. Нынешняя политика вынуждает их на публикацию количества статей, а не на достижение практического результата. В то же время я допускаю, что существуют отдельные выдающиеся коллективы и личности, с которыми стоит наладить двусторонний контакт.

1.4 Образ будущего и мои личные цели: вариант 0


То решение, которое есть сейчас, подходит только для клеточных городов и вопрос о его обобщении на города других типов требует исследований. Я предполагаю, что такие обобщения существуют и даже понимаю в каком направлении двигаться. Но все это — объемный кропотливый труд, и с моей стороны было бы глупо пытаться выполнить его в одиночку. Нужна исследовательская группа. Даже если мы говорим о внедрении уже разработанной схемы автобусного такси в реальные клеточные города, а такие существуют, то “на земле” обязательно всплывет миллион мелких нюансов и проблем, для решения которых тоже нужна исследовательская группа. Я думаю, что мне интересно будет взять на себя задачу создания и координации такой группой, а мое присутствие в ней ускорит ход исследований.

Моя позиция в том, чтобы результаты исследований были открытыми, а технология общедоступной. Мне не нужен миллиард, моя жизнь стоит дороже и в ней есть еще много загадок, которые я хотел бы успеть разгадать. Конечно, такую установку трудно вписать в современный мир капитала, где промышленное знание пытаются либо превратить в собственность, либо засекретить. Но кажется, я придумал способ, как можно решить эту проблему.

Скорее всего, главными заинтересованными субъектами в результатах исследований станут фирмы, способные производить нового типа автобусы, и фирмы, которые непосредственно будут заниматься пассажирскими перевозками. Как заставить их финансово содержать независимую исследовательскую группу без передачи прав на результаты исследований?
Моя идея состоит в том, чтобы продавать этим фирмам право посольства. Я вижу это так.

Независимая исследовательская группа имеет костяк своих постоянных сотрудников с полностью прозрачными и открытыми для всех ее участников исследовательскими задачами. Периодически, скажем раз в полгода или год, результаты исследований публикуются для остального мира. Если некоторая фирма заинтересована получении более свежей информации, а заодно и подготовке своих кадров, то она может купить у независимой исследовательской группы право посольства для всоих представителей. С этим правом фирме позволяется разместить внутри независимой исследовательской группы 3-5 своих собственных сотрудников, которые автоматически получат доступ ко всей информации внутри и смогут по желанию сами присоединиться к исследовательским проектам.

Я не самый большой специалист в теории игр, но кажется в описанной только что схеме все ключевые фирмы-интересанты предпочтут купить право посольства.

1.5 Ближайшие необходимые действия


Среди первоочередного я вижу:
a) перевод на английский;
b) рецензирование;
c) поиск какого-то минимального источника денег;
d) вопрос об англоязычных площадках, где можно опубликовать переведенные статьи.
f) адаптация текста для обычных СМИ;
g) поиск контактов с сообществом архитекторов и урбанистов.

Если у вас есть какие-то соображения по поводу любого из пунктов, обязательно делитесь.

Что касается перевода, я знаю переводчицу с хорошим знанием математики и экономики, которая достаточно долгое время живет в Великобритании и поэтому хорошо понимает особенности западной культуры. Она переводила для меня “Город без пробок”. Тогда ее работу: перевод вместе с редактурой я оплатил сам.
Теперь я нуждаюсь в меценатах.
Стоимость перевода одной статьи около 20 тыс. руб.
В качестве благодарности имя мецената (или название организации-спонсора) будет указано в английской и русской версиях статьи перед авторской подписью.

Ну что же, хватит на сегодня дипломатии, давайте перейдем технической части статьи. Эта часть не является самостоятельной и чтобы ее понять, вам понадобится познакомиться с двумя предыдущими. Если формулы отображаются не корректно, попробуйте несколько раз обновить страницу.

Практически значимые решения.


В чем собственно задача


Предположим, что внутри некоторого прямоугольного клеточного города на плоскости нужно спроектировать схему автобусного сообщения. Как это сделать наилучшим способом?

Пройдя круг, мы вернулись ровно к тому же вопросу, с которого начали Часть1, однако теперь у нас есть новые знания и благодаря им мы сможем построить для автобусов такую сеть маршрутных коридоров что:

1) остановочные пункты этих автобусов покроют весь город квадратной решеткой с ячейкой размера $d \times d$, где $d$ — это размер квартала;
2) от любого остановочного пункта к любому другому можно будет доехать без пересадок;
3) перемещаться по городу на автобусе в среднем будет не более чем в $(1 + \lambda)$ раз времязатратнее, чем на личном автомобиле или персональном такси;
4) среднее число пассажиров в салоне будет таково, что себестоимость поездок на нашем автобусном такси будет близка к себестоимости поездок на обычном городском автобусе.

2 Автобусное такси с сетью из простых уголковых коридоров


2.1 Сеть из верхних уголков


Пусть наш город имеет размер $L_h \times L_w$ и уже разбит решеткой $\{S_{h,w}\}$, $1 \leq h \leq H$, $1 \leq w \leq W$ на квадраты размера$ \Delta l$. Между любыми двумя клетками $S_{h’,w’}$ и $S_{h’’,w’’}$ решетки $\{S_{h,w}\}$ такими, что они не лежат в одной и той же строке или в одном и том же столбце, можно построить в точности два $\Gamma$ -образных кратчайших клеточных пути из $S_{h’,w’}$ в $S_{h’’,w’’}$. Что, если продолжить эти пути вплоть до границ решетки $\{S_{h,w}\}$?
image

рис 1

“Уголковым” мы будем называть всякий $\Gamma$ -образный клеточный путь, который начинается и заканчивается на границе $\{S_{h,w}\}$. Легко проверить, что каждый отрезок уголкового пути является его геодезическим отрезком. В свою очередь через любую пару клеток $S_{h’,w’}$, $S_{h’’,w’’} in\ \{S_{h,w}\}$ проходит по крайней мере два уголковых пути: по крайней мере один из них упирается в верхнюю границу города и по крайней мере один — в нижнюю. Из этих двух фактов например следует, что множество $“Uppercorners”$ всех тех уголковых клеточных путей, чьи вертикальные сегменты упираются в верхний край города, и множество $“Lowercorners”$ всех тех уголковых клеточных путей, чьи вертикальные сегменты упираются в нижний край, оба являются геодезически связными сетями маршрутных коридоров. Индексы конкуренций у обеих этих сетей близки к 1: конкуренция в них присутствует только за перевозку пассажиров между теми парами клеток, которые находятся в одном и том же столбце или одной и той же строке.

Построим и исследуем характеристики автобусного такси с сетью $“Uppercorners”$.

2.2 Число пассажиров в автобусе в зависимости от его положения внутри назначенного ему маршрутного коридора


Когда на торе мы рассматривали автобусное такси с прямоугольными маршрутами (глава 3 части 2), то имели дело с почти постоянным во времени ожидаемым числом пассажиров в салоне каждого автобуса. Для автобусного такси с сетью из уголковых маршрутов все немного иначе. Пусть $\pi$ — это коридор из $“Uppercorners”$ с началом в клетке $S_{y,0}$ и концом в $S_{0,x}$ (отсчет строк решетки в данном случае ведется сверху вниз). Угловой точкой для $\pi$ будет служить клетка $S_{y,x}$. Как и в случае сети из больших прямоугольников тора, мы можем пренебречь пассажирами, чьи маршруты путешествий лежать в пределах одной стоки или одного столбца, поскольку их в целом мало и за них идет большая конкуренция. При таком рассмотрении все клиенты автобуса, следующего по маршруту $\pi$ из $S_{y,0}$ в $S_{0,x}$ сядут в него в первых $(х-1)$-ной клетках горизонтального участка $\pi$ и выйдут в последних $(y-1)$ клетках вертикального
image

рис 2

В модели города с равномерным доступом средний поток путешествий из каждой клетки горизонтального участка в каждую клетку вертикального будет одинаковым. Одинаковость потока означает, что на горизонтальном участке $\pi$ ожидаемое число пассажиров в салоне автобуса будет линейно расти, а на вертикальном — линейно падать. Как следствие зависимость ожидаемой загрузки автобуса от времени будет описываться графиком примерно треугольной формы.

Для дальнейшего анализа нам понадобятся некоторые дополнительные обозначения. Пусть $n_{pass}(x,y)(t)$ — это ожидаемое число пассажиров в момент $t$ внутри автобуса, приписанного уголковому коридору размера $ x \times y $. Далее $n_{pass}(x,y)$ — это значение $n_{pass}(x,y)(t)$ усредненное по большому периоду времени $T$, наконец $n_{pass}$ — усреднённая по всем автобусам в городе величина $n_{pass}(x,y)$.

Максимум ожидаемое числа $n_{pass}(x,y)(t)$ пассажиров в автобусе приходится на тот момент (моменты) $t^0$, когда автобус уже собрал всех своих пассажиров на горизонтальном участке, но еще никого не высадил на вертикальном (или наоборот при поездке в обратную сторону). Другими словами, максимум $n_{pass}(x,y)(t)$ достигается, когда проходит проходит угловую зону $\pi$:

$max_t n_{pass}(x,y)(t) = \Delta T xy \sigma (\Delta l)^4/L^2 \ \ \ \ \ (1)$

где $\sigma$ — это число новых путешественников которые появляются в области города единичной площади за единичное время.

Поскольку график $n_{pass}(x,y)(t)$ имеет треугольную форму, то его среднее по времени составляет половину от максимума, то есть:

$n_{pass}(x,y) = 1/2\ max_t n_{pass}(x,y)(t) = 1/2\ \Delta T xy \sigma (\Delta l)^4/L^2 \ \ \ \ \ (2)$


2.3 Анализ загрузки автобусов внутри отдельного уголкового коридора


Постараемся сделать так, чтобы среднее число пассажиров внутри автобуса, следующего вдоль $\pi$ было максимальным. Будем пока считать, что размер клетки $\Delta l$ уже выбран. В этом случае единственным контролируемым нами параметром является интервал между автобусами $\Delta T$. Понятно, что чем больше $\Delta T$, тем больше $n_{pass}(x,y)$, однако мы возьмем $\Delta T$ слишком большим, то путешествия на автобусном такси станут слишком долгими по сравнению с путешествиями на личном автомобиле. Выразим, чему равна разница по времени между средним путешествием на автомобиле и в автобусном такси.

Среднее количество времени, которое путешественник тратит на ожидание следующего автобуса равно $\Delta T/2$. Далее, мы будем считать, что автобус использует тот же алгоритм обхода, что и в параграфе 4.3 части 2. В таком случае каждая остановка автобуса сопряжена с боковым маневром, который удлиняет путь каждого пассажира в среднем на $\Delta l/3$. В среднем пассажир станет участником половины всех остановок, на которых автобус подбирает и в среднем половины всех остановок, на которых автобус высаживает своих клиентов в течении одного рейса. Если мы пренебрегаем временем разгона/торможения и временем посадки/высадки, то ездка на автобусе будет дольше поездки на личном автомобиле в среднем на

$\Delta T/2 + max_t n_{pass}(x,y)(t) \cdot \Delta l/3v = \Delta T/2 + 2/3\ n_{pass}(x,y)\Delta l/v \ \ \ \ \ (3)$

Если бы поездки между клетками уголкового коридора $\pi$ путешественники совершали на личном автомобиле, то среднее время в пути составило бы:

$1/2\ (x + y) \Delta l/v \ \ \ \ \ (4)$

Потребуем чтобы в среднем дополнительные потери времени в поездке на автобусном такси не превышали $\lambda$ от среднего времени путешествия на автомобиле. Это требование устанавливает ограничение на максимальное значение $\Delta T$:

$\Delta T/2 + 2 n_{pass}(x,y) \cdot \Delta l/3v = \lambda (x + y) \Delta l/2v \ \ \ \ \ (5)$

используя $(2)$, получаем:

$\Delta T/2 + \Delta T xy \sigma (\Delta l)^4/L^2 \cdot \Delta l/3v = \lambda (x + y) \Delta l/2v \ \ \ \ \ (6) $

откуда

$\Delta T = \lambda \frac {С_1 (x+y)}{1 + C_2xy} \ \ \ \ \ (7)$

где

$C_1 = \Delta l/v \ \ \ \ \ (8)$
$C_2 = 2/3\ \sigma (\Delta l)^5/L^2v \ \ \ \ \ (9)$

С этими сокращениями

$n_{pass}(x,y) = 1/2\ \Delta T xy \sigma (\Delta l)^4/L^2 = 3/4\ \lambda \frac {C_2xy(x+y)}{1 + C_2xy} \ \ \ \ \ (10)$

Из формулы $(7)$ мы видим, что асимптотически при пропорциональном росте $x$ и $y$ оптимальная величина $\Delta T$ становится меньше, то есть чем длиннее и обширнее коридор, тем с меньшим интервалом по нему должны ходить автобусы.

2.4 Общее число автобусов во всем городе


Пусть как и прежде $\pi \in “Uppercorners”$ — это коридор размера $x \times y$ клеток. Число автобусов движущихся по $\pi$ в каком-либо одном из двух его направлении обозначим как $N_{bus}(x,y)$. Если бы эти автобусы нигде не останавливались, то за один проход $\pi$ они должны были бы преодолевать расстояние величиной $\approx (x+y)\Delta l$. Каждая остановка удлиняет путь в среднем на $\Delta l/3$. Всего за один проход таких остановок должно быть примерно $ 4n_{pass}(x,y)$, то есть эффективная длина маршрута автобуса получается равной примерно

$l_{ef}(x,y) = (x+y + 4/3\ n_{pas}(x,y))\Delta l \ \ \ \ \ (11) $

Чтобы временной интервал между автобусами в коридоре $\pi$ был равен $\Delta T$, их число должно удовлетворять уравнению:

$N_{bus}(x,y) v \Delta T = l_{ef}(x,y) \ \ \ \ \ (12) $

откуда

$N_{bus}(x,y) = \left (\frac {(x+y)}{\Delta T} + 4/3\ \frac {n_{pas}}{\Delta T} \right ) \Delta l/v \ \ \ \ \ (13)$

или

$N_{bus}(x,y) = \frac {1 + C_2xy}{\lambda} + C_2xy= \frac {1}{\lambda} + \frac {1+\lambda}{\lambda}C_2xy \ \ \ \ \ (14) $

Ради простоты вычислений будем считать наш город квадратным:$ L_h = L_w = L$, $H = W = N$. Для каждой пары допустимых x и y в сети “Uppercorners” есть в точности два (без учета направлений) коридора с горизонтальным размером $x$ и вертикальным $y$. Далее, у каждого коридора $\pi \in “Uppercorners”$ имеется ровно два направления движения, откуда следует, что общее число автобусов в городе:

$N_{bus} = 4 \sum_{x=1}^N \sum_{y=1}^N N_{bus}(x,y) = 4 \sum_{x=1}^N \sum_{y=1}^N \frac {1}{\lambda} + \frac {1+\lambda}{\lambda}C_2xy \approx \frac {1}{\lambda} (4N^2 + (1 +\lambda)C_2N^4) \ \ \ \ \ (15)$

Подставляя в $(15)$ $N = L/\Delta l$ и $C_2 = 2/3\ \sigma (\Delta l)^5/L^2v$ имеем:

$N_{bus} = \frac {L^2}{\lambda} \left [\frac {4}{(\Delta l)^2} + 2/3\ (1 + \lambda) \Delta l \frac {\sigma}{v} \right ] \ \ \ \ \ (16)$

Эксплуатация каждого дополнительно автобуса стоит денег и, если мы хотим сделать цену поездки как можно меньше, то должны сделать как можно меньше и число $N_{bus}$. Дифференцируя $N_{bus}$ по единственному подконтрольному нам параметру $\Delta l$, мы получаем условие экстремума:

$- \frac {8}{(\Delta l)^3} + 2/3\ (1 + \lambda)\frac {\sigma}{v} = 0 \ \ \ \ \ (17)$

откуда:

$\Delta l = \left (\frac {12}{1 + \lambda} \right )^{1/3} \cdot \left (\frac {\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (18)$

и

$N_{bus} = \frac {L^2 12^{1/3} (1+\lambda)^{2/3}}{\lambda} \cdot \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{2/3} \ \ \ \ \ (19)$

2.5 Среднее приведенное число пассажиров в автобусе


Само по себе среднее число пассажиров в салоне в действительности не является той переменной, к которой должен стремиться бизнес. Почему? Все дело в том, что на среднюю заполняемость автобусов (машин такси) влияет не только то, насколько хорошо алгоритм находит попутчиков, но и то, насколько этот алгоритм удлиняет длину пути каждого из пассажиров. Простой пример:

Предположим, что вы нашли способ, как в персональном такси возить в среднем сразу по два клиента, но при этом увеличили путь каждого клиента в среднем в два раза. Легко сообразить, что на тот же самый город при том же самом спросе на поездки вам понадобится то же самое количесво машин такси, что и прежде. То есть в описанной только что ситуации никакой “выгоды” от совмещения поездок пассажиров вы не получили.

Хорошо, если среднее число попутчиков — это плохой показатель, к чему же тогда стоит стремиться. Очевидно, что к сокращению числа автобусов. Но как тогда сравнивать эффективность совместных поездок в разных городах? Чтобы это делать мы будем использовать “приведенное” средне число пассажиров в салоне $n_{pass}^*$. По своему смыслу $n_{pass}^*$ показывает, как много пассажиров в среднем вез бы один автобус, если бы алгоритм подбора попутчиков вовсе не увеличивал путь ни одного из них.

При условии, что средняя скорость $\bar {v}$ движения вдоль коридоров, одинакова для всех автобусов во всем городе, обычное среднее $n_{pas}$ выражается формулой (параграф 4.2 часть 2):

$ n_{pass} = \frac {P}{N_{bus} \bar {v}} \ \ \ \ \ (20)$

где P — это полная транспортная нагрузка, создаваемая городом (параграф 4.2 часть 2). В нашей модели средняя скорость $\bar {v}$ движения автобуса вдоль назначенного ему коридора лишь потому меньше максимальной разрешенной скорости v, что его маршрут из-за боковых маневров к точкам остановок оказывается длиннее оптимального. Чтобы “вычесть” влияние неоптимальности пути, мы заменим в предыдущей формуле $\bar {v}$ на $v$ и будем считать, что

$n_{pass}^* = \frac {P}{N_{bus} v} \ \ \ \ \ (21)$

В прямоугольном городе размера $L\times L$ средняя длина поездки по кратчайшему пути равна $2/3\ L$, соответственно транспортная нагрузка $P = 2/3\ \sigma L^3$. Отсюда мы получаем, что для сети $“Uppercorners”$ среднее приведенное число пассажиров, которое везет автобус, имеет вид:

$\frac {2}{3 \cdot 12^{1/3}} \cdot \frac {\lambda L}{(1 + \lambda)^{2/3}} \cdot \left ( \frac {\sigma}{v} \right )^{1/3} \approx 0.29 \frac {\lambda L}{(1+\lambda)^{2/3}} \cdot \left ( \frac {\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (22)$

2.6 Самый долгий интервал движения


Внутри разных маршрутных коридоров мы установили разные интервалы движения автобусов. Это было сделано из следующих соображений. Выбирая автобусное такси путешественник получает некоторый разрешенный излишек времени. В нашей модели этот излишек тратится на ожидание автобуса и неидеальность маршрута совместной поездки. Внутри малых по размеру коридоров интенсивность путешествий ниже и соответственно путь автобусов “прямее”. Отсюда следует, что при том же значении $\lambda$ мы можем заставить путешественника ждать автобус дольше, другими словами — увеличить интервал движения между автобусами и тем самым хоть немного поднять их загрузку. Раз интервал $\Delta T = \Delta T(x,y)$ является переменной величиной, давайте тогда определим, чему равно его самое большое значение.

Согласно формуле $(7)$

$\Delta T = \lambda (\Delta i/v) \frac {(x+y)}{1 + C_2xy} \ \ \ \ \ (23)$

где

$C_2 = 2/3\ \sigma (\Delta l)^5/(L^2v) \ \ \ \ \ (24)$

Сделаем замену $p = x \Delta l/L$, $q = x \Delta l/L$, $p,q \in [0,1]$:

$\Delta T = \lambda L/v \frac {(p+q)}{1 + pq C_2 (L/\Delta l)^2} \ \ \ \ \ (25)$

Поскольку:

$C_2 (L/\Delta l)^2 = 2/3\ \sigma (\Delta l)^3/v \ \ \ \ \ (26)$

и мы нашли, что

$- \frac {8}{(\Delta l)^3} + 2/3\ (1 + \lambda)\frac {\sigma}{v} = 0 \ \ \ \ \ (27)$

то

$C_2 (L/\Delta l)^2 = \frac {8}{1+\lambda} \ \ \ \ \ (28)$

и

$\Delta T = \lambda L/v \frac {(p+q)}{1 + \frac {8}{1+\lambda}pq} \ \ \ \ \ (29) $

В точке максимума дифференциал $\Delta T (p,q)$ должен быть равен нулю, это требование дает нам два уравнения:

$\left ( 1+ \frac {8}{1+\lambda}pq \right) - (p + q) \cdot \frac {8}{1+\lambda}p = 0 \ \ \ \ \ (30)$

$\left ( 1+ \frac {8}{1+\lambda}pq \right) - (p + q) \cdot \frac {8}{1+\lambda}q = 0 \ \ \ \ \ (31)$

откуда:

$p = q = \left ( \frac {1 + \lambda}{8} \right )^{1/2} \ \ \ \ \ (32)$

и

$\Delta T = \frac {\lambda L}{v} \cdot \left ( \frac {1 + \lambda}{8} \right )^{1/2} \ \ \ \ \ (33)$


2.7 Численные оценки для почти реальных городов


Выпишем все наши формулы вместе:

$n_{pass}^* \approx 0.29 \frac {\lambda L}{(1+\lambda)^{2/3}} \cdot \left ( \frac {\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (34)$

$\Delta T \leq \frac {\lambda L}{v} \cdot \left ( \frac {1 + \lambda}{8} \right )^{1/2} \ \ \ \ \ (35)$

$\Delta l = \left (\frac {12}{1 + \lambda} \right )^{1/3} \cdot \left ( \frac {\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (35)$

Возьмем наше стандартное $\lambda = 1/2$, и посчитаем, чему были бы равны $n_{pass}^*$, $\Delta T$ и $\Delta l$ в реальных городах, если бы те были клеточными, имели квадратную форму и реализовывали миграционную модель равномерного доступа.

$n_{pass}^*(\lambda = 1/2) \approx 0.089 L \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (36)$
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 0.22 L/v \ \ \ \ \ (37)$
$\Delta l (\lambda = 1/2) = 2 \left ( \frac {\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (38)$


Условный квадратный Нью-Йорк (Лондон, Москва):
эффективный диаметр $L \approx 28$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$\sigma \approx 33$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.089 \cdot 28 (33/0.8)^{1/3} \approx 8.6$ чел.
$\Delta l (\lambda = 1/2) \approx 2 \cdot (0.8/33)^{1/3} \approx 0.58$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 0.22 \cdot 28/0.8 \approx 7.7$ мин

Условный квадратный Берлин:
эффективный диаметр $L \approx 30$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$\sigma \approx 13$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.089 \cdot 30 (13/0.8)^{1/3} \approx 6.8$ чел.
$\Delta l (\lambda = 1/2) \approx 2 \cdot (0.8/13)^{1/3} \approx 0.79$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 0.22 \cdot 30/0.8 \approx 8.3$ мин

Условный квадратный Париж:
эффективный диаметр $L \approx 10$ км,
разрешенная скорость $v = 0.5$ км/мин
$\sigma \approx 70$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.089 \cdot 10 (70/0.5)^{1/3} \approx 4.6$ чел.
$\Delta l (\lambda = 1/2) \approx 2 \cdot (0.5/70)^{1/3} \approx 0.39$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 0.22 \cdot 10/0.5 \approx 4.4$ мин


Условная квадратная Прага:
эффективный диаметр $L \approx 23$ км,
разрешенная скорость v = 0.8 км/мин
$\sigma \approx 8.3$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.089 \cdot 23 (8.3/0.8)^{1/3} \approx 4.5$ чел.
$\Delta l (\lambda = 1/2) \approx 2 \cdot (0.8/8.3)^{1/3} \approx 0.92$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 0.22 \cdot 23/0.8 \approx 6.3$ мин


Ус��овный стандартный квадратный полумиллионный город.
население $P = 500K$ чел,
плотность $\rho = 5000$ чел/кв км,
эффективный диаметр $L = 10$ км,
разрешенная скорость $v = 1$ км/мин
$\sigma \approx 17$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.089 \cdot 10 (17/1)^{1/3} \approx 2.3$ чел.
$\Delta l (\lambda = 1/2) \approx 2 \cdot (1/17)^{1/3} \approx 0.78$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 0.22 \cdot 10/1 \approx 2.2$ мин.

Упражнение: покритикуйте только что представленное решение сами.

3 Автобусное такси с сетью из уголковых коридоров адаптивной ширины


3.1 Еще одна возможность для улучшения


Сейчас мы модифицируем сеть $“Uppercorners”$ так, что эффективная загрузка курсирующих вдоль автобусов станет распределена чуть более однородно, а ее среднее значение немного возрастет.

Пусть автобус курсирует по уголковому коридору $\pi$ размера $x \ times y$.
Величина эффективной загрузки этого автобуса пропорциональна произведению площадей вертикального и горизонтального сегментов $\pi$ и выражается формулой

$n_{pass} \approx xyA$, где $A = 1/2 \Delta T \sigma (\Delta l)^4/L^2 \ \ \ \ \ (1)$

Эта формула показывает, что если интервал движения $\Delta T$ во всех коридорах сделать одинаковым, то чем меньше у уголкового коридора размеры $x$ и $y$, тем меньшую загрузку будут иметь курсирующие по нему автобусы. В прошлой главе, чтобы хоть как-то компенсировать уменьшение величины загрузки автобусов при уменьшении $x$ и $y$, мы разрешили интервалу движения $\Delta T$ быть неодинаковым в разных коридорах. Почему бы нам не пойти дальше и не позволить быть различными в разных коридорах ширине их вертикальных и горизонтальных сегментов. Чтобы это сделать разрешим вертикальному и горизонтальному сегменту уголкового коридора иметь в ширину не одну, а сразу несколько клеток. Такие уголковые коридоры мы будем называть “обобщенными”
image

рис 3

Выраженную в клетках ширину горизонтального сегмента обобщенного коридора $\gamma$ мы будем обозначать как $\Delta y$, а вертикального — как $\Delta x$. Как и прежде мы будем предполагать, что через центр каждой клетки проходит горизонтальная и вертикальная уличные дороги, а посадка и высадка пассажиров осуществляется исключительно на перекрестах. Максимальная загрузка автобуса, курсирующего по $\gamma$ будет выражаться формулой:

$max_t \ n_{pass}(x,y,t) \approx A xy\Delta x\Delta y \Delta T(x,y) \ \ \ \ \ (2)$,

где коэффициент

$A = \sigma (\Delta l)^4/L^2 \ \ \ \ \ (3)$

не зависит от $x$ и $y$.

Из $(1)$ видно, что уменьшение $x$ и $y$ можно попытаться компенсировать увеличением $\Delta y$ и $\Delta x$.

3.2 Анализ работы автобусного такси внутри одного обобщенного коридора


Как и в прошлой схеме, если автобус начинает свое движение с горизонтального сегмента коридора $\gamma$, то почти все его пассажиры сядут в клетках горизонтального, а выйдут в клетках вертикального сегмента. Как и на прошлой схеме функция ожидаемого числа пассажиров в салоне автобуса $n_{pass}(x,y,t)$ от времени в пути будет иметь примерно треугольный график с максимумом в момент прохождения углового участка. В качестве следствия мы имеем:
1) среднее число пассажиров рейса подчиняется формуле

$n_{pass}(x,y) = 1/2/ max_t n_{pass}(x,y,t) =1/2\ \Delta T(x,y) xy\Delta x\Delta y \sigma (\Delta l)^4/L^2 \ \ \ \ \ (4)$

2) в среднем пассажир автобуса за одно путешествие станет участником примерно $n_{pass}(x,y)$ остановок на горизонтальном и примерно $n_{pass}(x,y)$ остановок на вертикальном участке $\gamma$.

Каждая остановка автобуса внутри \gamma сопряжена с его предварительным боковым маневром и становится причиной дополнительного пройденный пути. Если остановка совершается на горизонтальном участке, то предварительный маневр обходится избыточным путем величиною в среднем $\Delta y \Delta l/3$ единиц длины, а если на вертикальном, то — $\Delta y \Delta l/3$ единиц длины. В итоге горизонтальный сегмент $\gamma$ автобус проедет примерно за примерно $(x\Delta l + n_{pass}(x,y)\Delta y \Delta l)/v$ единиц времени, а вертикальный — за $(y\Delta l + n_{pass}(x,y)\Delta x \Delta l)/v$. Отсюда мы имеем, что средняя скорость продвижения автобуса вдоль горизонтального участка $\gamma$ будет равна:

$\bar {v}_{hor} \approx v \frac {x}{x + n_{pass}(x,y)\Delta y} \ \ \ \ \ (5)$

а средняя скорость вдоль горизонтального:

$\bar {v}_{ver} \approx v \frac {y}{y + n_{pass}(x,y) \Delta x} \ \ \ \ \ (6)$

По отношению к путешественникам будет честно, если средние скорости на обоих участках окажутся равными. Последнее условие это приводит нас к уравнению:

$\frac {\Delta y}{x} = \frac {\Delta x}{y} \ \ \ \ \ (7)$

Откуда в свою очередь вытекает, что:

$n_{pass}(x,y) = 1/2\ \Delta T(x,y) \frac {x^2}{y} (\Delta x)^2 \sigma (\Delta l)^4/L^2 \ \ \ \ \ (8)$


Займемся теперь подсчетом времени, которое пассажир проводит в пути. Если человек, путешествующий вдоль $\gamma$, выбрал автобусное такси, то в среднем с учетом ожидания автобуса его поездка займет:

$\Delta T/2 + [(x + y)/2 + n_{pass}(x,y)(\Delta x + \Delta y)/3] \Delta l/v \ \ \ \ \ (9)$

единиц времени. Средняя поездка внутри $\gamma$ на личном автомобиле отняла бы в среднем:

$1/2\ (x + y)\Delta l/v \ \ \ \ \ (10)$

единиц времени. Потребуем, чтобы наше автобусное такси внутри любого \gamma в среднем было не более чем $(1 + \lambda)$ раз медленнее автомобиля. В пределе это требование приводит к уравнению:

$1/2\ \Delta T + 1/3\ n_{pass}(x,y)(\Delta x + \Delta y)\Delta l/v =1/2\ \lambda (x + y)\Delta l/v \ \ \ \ \ (11)$

Пусть $p,q$ – произвольные действительные числа из отрезка $[0, 1]$ такие, что $p + q = 1$. Положим

$1/2\ \Delta T = p [1/2\ \lambda (x + y)\Delta l/v] \ \ \ \ \ (12)$

и

$1/3\ n_{pass}(x,y)(\Delta x + \Delta y)\Delta l/v = q [1/2\ \lambda (x + y)\Delta l/v] \ \ \ \ \ (13)$

тогда:

$\Delta T = p \lambda (x + y)\Delta l/v \ \ \ \ \ (14)$

$\frac {n_{pass} (x,y)}{\Delta T}(\Delta x + \Delta y)\Delta l/3v =q/2p \ \ \ \ \ (15)$

Подставляя в $(15)$ $\Delta y = (\Delta x) \ x/y$ и выражение для $n_{pass}(x,y)$, имеем:

$\frac {x^2(x + y)}{y}(\Delta x)^3 \sigma (\Delta l)^5/L^2v = 3q/p \ \ \ \ \ (16)$

откуда:

$\Delta x = (3)^{1/3} \frac {y^{1/3}}{x^{2/3}(x + y)^{1/3}} (L)^{2/3} \left ( \frac {q}{p} \right )^{1/3} \left ( \frac {v}{\sigma} \right )^{1/3} (\Delta l)^{-5/3} \ \ \ \ \ (17)$

и

$n_{pass}(x,y) = 1/2\ \lambda p (x + y) x^2 (\Delta x)^2 \sigma (\Delta l)^5/L^2v \ \ \ \ \ (18)$

Используя $(16)$ из $(18)$ получаем:

$n_{pass}(x,y) = 1/2\ \lambda p \frac {y}{\Delta x} [(x + y) \frac {x^2}{y} (\Delta x)^3 \sigma (\Delta l)^5/L^2v] = 3/2\ \lambda q \frac {y}{\Delta x} \ \ \ \ \ (19)$

и окончательно:

$n_{pass}(x,y) = \frac {3^{2/3}}{2} \lambda L^{-2/3} p^{1/3}q^{2/3} x^{2/3}y^{2/3}(x + y)^{1/3} \ \ \ \ \ (20)$

3.3 Среднее приведенное число пассажиров в автобусе


Будем действовать по шаблону предыдущей главы. Проезжая в одном направлении обобщенный уголковый коридор $\gamma$ c размерами $x$, $y$, $\Delta x$, $\Delta y$ автобус проходит эффективный путь:

$l_{ef}(x,y) \approx (x + y)\Delta l + 2n_{pass}(x,y) \left ( \frac {\Delta x \Delta l}{3} + \frac {\Delta x \Delta l}{3} \right) = (x + y)\Delta l + 2/3\ \frac {n_{pass}(x,y) \Delta x}{y}(x + y)\Delta l \ \ \ \ \ (21) $

Используя $(19)$, получаем:

$l_{ef}(x,y) \approx (1 + \lambda q)(x + y)\Delta l \ \ \ \ \ (22)$

Упражнение: получите $(22)$ логически без вычислений.

Зная эффективную длину маршрута и временной интервал между автобусами, мы можем вычислить, как много таких автобусов приписано к $\gamma$

$N_{bus}(x,y) = \frac {l_{ef}(x,y)}{v \Delta T(x,y)} = \frac {1 + \lambda q}{\lambda p} \ \ \ \ \ (23)$

Чтобы найти число автобусов $N_{bus}$ во всем городе пойдем на хитрость: мысленно заменим каждый обобщенный уголковый коридор $\gamma$ на $\Delta x \Delta y$ лежащих внутри него простых уголковых клеточных путей.
image

рис 4

На каждый такой путь придется

$ N_{bus}^*(x,y) \approx \frac {N_{bus}(x,y)}{\Delta x \Delta y} = \frac {y N_{bus}(x,y)}{x (\Delta x)^2} \ \ \ \ \ (24) $

автобусов, из тех, что приписаны к $\gamma$. Подставив в $(24)$ выражение для $\Delta x$ и $N_{bus}(x,y)$, получаем:

$N_{bus}^*(x,y) \approx \frac {1 + \lambda q}{\lambda p} \cdot (3)^{- 2/3} y^{1/3}x^{1/3}(x + y)^{2/3} (L)^{- 4/3} \left ( \frac {p}{q} \right )^{2/3} \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{2/3} (\Delta l)^{10/3} \ \ \ \ \ (25)$

или после упрощений:

$N_{bus}^*(x,y) \approx = (3)^{- 2/3} \frac {1 + \lambda q}{\lambda p^{1/3}q^{2/3}} y^{1/3}x^{1/3}(x + y)^{2/3} \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{2/3} (L)^{- 4/3} (\Delta l)^{10/3} \ \ \ \ \ (26)$

Полное число автобусов в городе теперь можно найти как:

$N_{bus} = 4 \sum_{x = 1}^{N} \sum_{y = 1}^{N} N_{bus}^*(x,y) \approx 4 \cdot (3)^{- 2/3} \frac {1 + \lambda q}{\lambda p^{1/3}q^{2/3}} \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{2/3} \int_{1}^{N} \int_{1}^{N} y^{1/3}x^{1/3}(x + y)^{2/3} (L)^{- 4/3} (\Delta l)^{10/3} dxdy \ \ \ \ \ (27)$

Чтобы в последнем выражении вычислить интеграл сделаем замену $\alpha = x \Delta l/L$, $\beta = y \Delta l/L$ и учтем, что $N = L/\Delta l$:

$\int_{1}^{N} \int_{1}^{N} y^{1/3}x^{1/3}(x + y)^{2/3} (L)^{- 4/3} (\Delta l)^{10/3} dxdy \approx L^2 \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \alpha ^{1/3} \beta^{1/3}(\alpha + \beta)^{2/3} d\alpha d\beta \ \ \ \ \ (28)$

Онлайн калькулятор двойных интегралов дает ответ $\approx 0.61$. Если сильно не оптимизировать и взять $p=1/3$ и $q = 2/3$, то

$N_{bus} \approx 2.21 \frac {1 + 2/3\ \lambda}{\lambda} L^2 \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{2/3} \ \ \ \ \ (29)$

Транспортная нагрузка $P$, которую генерирует город, как мы знаем, равна $2/3 L^3 \sigma$, следовательно приведенная средняя загрузка автобусов

$n_{pass}^* = \frac {P}{vN_{bus}} \approx 0.30 \frac {\lambda L}{1 + \lambda/2} \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (30)$

3.4 Численные оценки для почти реальных городов


Снова возьмем $\lambda = 1/2$, тогда

$n_{pass}^*(\lambda = 1/2) \approx 0.11 L \left ( \frac{\sigma}{v} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (31)$

Максимальный интервал между автобусами будет внутри двух самых больших коридоров с x = y = N:

$max_{x,y}\Delta T (\lambda = 1/2) = L/3v \ \ \ \ \ (32)$

Ширина горизонтальных и вертикальных сегментов обобщенных коридоров зависит от $x$, $y$ и вообще не зависит от $\lambda$. Чтобы составить о ней представление, вычислим ее при значениях $x \Delta l = y \Delta l = L/2$, тогда

$\Delta r^*= (\Delta x \Delta l) = (\Delta y \Delta l) = (3)^{1/3} \frac {1}{(x\Delta l/L)^{1/3}((x +y)\Delta l/L)^{1/3}} \left ( \frac {2/3}{1/3} \right )^{1/3} \left ( \frac {v}{\sigma} \right )^{1/3} \approx 2.3 \left ( \frac {v}{\sigma} \right )^{1/3} \ \ \ \ \ (33)$


Условный квадратный Нью-Йорк (Лондон, Москва):
эффективный диаметр $L \approx 28$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$\sigma \approx 33$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.11 \cdot 28 (33/0.8)^{1/3} \approx 10.6$ чел ($21.2$ в пике).
$\Delta r^* \approx 2.3 \cdot (0.8/33)^{1/3} \approx 0.67$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 1/3\ \cdot 28/0.8 = 11.7$ мин (в среднем $\sim 6$ мин).

Условный квадратный Берлин:
эффективный диаметр $L \approx 30$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$\sigma \approx 13$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.11 \cdot 30 (13/0.8)^{1/3} \approx 8.4$ чел ($16.8$ в пике).
$\Delta r^* \approx 2.3 \cdot (0.8/13)^{1/3} \approx 0.91$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 1/3\ \cdot 30/0.8 = 12.5$ мин (в среднем $\sim 6$ мин).

Условный квадратный Париж:
эффективный диаметр $L \approx 10$ км,
разрешенная скорость $v = 0.5$ км/мин
$\sigma \approx 70$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.11 \cdot 10 (70/0.5)^{1/3} \approx 5.7$ чел ($11.4$ в пике).
$\Delta r^* \approx 2.3 \cdot (0.5/70)^{1/3} \approx 0.45$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 1/3\ \cdot 10/0.5 = 6.7$ мин (в среднем $\sim 3.5$ мин).

Условная квадратная Прага:
эффективный диаметр $L \approx 23$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$\sigma \approx 8.3$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.11 \cdot 23 (8.3/0.8)^{1/3} \approx 5.5$ чел ($11$ в пике).
$\Delta r^* \approx 2.3 \cdot (0.8/8.3)^{1/3} \approx 1.1$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 1/3\ \cdot 23/0.8 = 9.6$ мин (в среднем $\sim 5$ мин).


Условный стандартный квадратный полумиллионный город.
население $P = 500K$ чел,
плотность $\rho = 5000$ чел/кв км,
эффективный диаметр $L = 10$ км,
разрешенная скорость $v = 1$ км/мин
$\sigma \approx 17$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* (\lambda = 1/2) \approx 0.11 \cdot 10 (17/1)^{1/3} \approx 2.8$ чел ($5.6$ в пике).
$\Delta r^* \approx 2.3 \cdot (1/17)^{1/3} \approx 0.90$ км
$\Delta T (\lambda = 1/2) \leq 1/3\ \cdot 10/0.5 = 6.7$ мин (в среднем $\sim 3.5$ мин).

Упражнение: рассуждения этой главы неявно предполагают, что обобщенными уголковыми коридорами адаптивной ширины можно без нахлестов “накрыть” все “простые” уголковые коридоры из $“Uppercorners”$. Выясните, существует ли на самом деле сеть “Adaptivecorners” уголковых коридоров адаптивной ширины такая, что:
1) зависимость $\Delta x$ и $\Delta y$ от $x$, $y$ описывается формулой $(17)$ и $(7)$
2) каждый простой уголковый маршрут из $“Uppercorners”$ как область на карте лежит внутри единственного обобщенного уголкового маршрута из $“Adaptivecorners”$.

Если вдруг сети $“Adaptivecorners”$ с указанными свойствами нет, подумайте, насколько и как нужно ослабить требования 1) и 2), чтобы получить достаточно хороший ее эквивалент?

4 Ближе к реальности


4.1 Нарушение границ применимости и необходимость уточнения модели


В плоть до этого момента во всех построенных нами моделях совместного такси мы считали, что издержки времени, связанные с неидеальностью маршрута и ожиданием подходящей машины будут много больше временных издержек разгона/торможения возле остановок и погрузки.выгрузки пассажиров на них. Оправданны ли такие предположения? На самом деле нет!

Возьмем нашу последнюю модель с сетью $“Adaptivecorners”$ проанализируем ее результат для условного Берлина. Модель предсказывает, что при $\lambda = 1/2$ среднее число пассажиров в автобусе такси будет равно примерно $8.5$. Поскольку график ожидаемого числа пассажиров внутри автобуса имеет треугольную форму, то “$\sim 8.5$ в среднем” означает $\sim 17$ в максимуме (в угловой точки коридора). Если так, то в среднем автобус сделает $\sim 17$ остановок, чтобы подобрать пассажиров и еще $\sim 17$, чтобы их высадить: всего $\sim 34$ остановки. Поскольку наш условный клеточный Берлин имеет форму квадрата со стороной $L \approx 30$ км, то средняя длина путешествия в нем равна $2/3\ L = 20$ км. В этом “среднем” путешествии пассажир нашего автобуса станет участником примерно половины, то есть примерно $17$ остановок, таким образом одна остановка автобуса такси приходится на $20/17 \approx 1.2$ километра его пути. Теперь давайте вспомним (параграф 3.2 часть 1), что даже для транзитного автобуса, который едет только по прямой и никуда не сворачивает, чтобы не быть медленнее автомобиля более чем в $1 + 1/2$ раз, нужно совершать остановки не чаще чем одну на $\approx 2.5$ км.

Выходит, что мы пренебрегли чуть ли не главным. Давайте скорректируем наши вычисления.

4.2 Вычисления на пальцах


По причине громоздкости мы не буду здесь проводить точных вычислений и удовлетворимся почти точными оценками. Давайте для начала попробуем получить такие оценки для нашего условного Берлина, когда нам это удастся, мы сможем обобщить их на все мо��ельные города.

Средний путь, который путешественник должен был бы преодолеть, если бы он использовал личный автомобиль, равен $2/3\ L = 20$ км. Средняя продолжительность путешествия на автомобиле составила бы $2/3\ L/v = 20/0.8 = 25$ мин. В расчетах прошлой главы мы предполагали, что среднее путешествие на автобусном такси будет примерно в $(1 + \lambda) = (1 + 1/2)$ раза дольше среднего путешествия на личном автомобиле, следовательно $(2\lambda /3)\ L/v = 12,5$ мин пассажир автобусного такси может потратить на ожидание автобуса и преодоление избыточной длины неидеального маршрута. При средней загрузки $в n_{pass}^* = 8.5$ человек, пассажир в среднем становится участником примерно $17$ остановок автобуса, то есть, его потери времени без учета длительности остановок и замедлнения автобуса на участках разгона/торможения составляют примерно

$T_{exra} = \frac {lambda L}{3vn_{pass}^*} \approx 0.74 \ \ \ \ \ (1)$ мин/остановку

Каждая остановка требует двух участков разгона\торможения: в окрестности поворота к остановке и в окрестности самой остановки, это приводит к задержке примерно на $34$ секунды (параграф 3.2 часть 1). За одну остановку в автобус садится или покидает его примерно $1$ человек, дадим ему на это щедрые $8$ секунд (исследования показывают, что для простого городского автобуса это время составляет $\sim 4$ секунды). Получается, что не учтенные раннее потери времени составляют примерно $T_{stop} = 42$ секунды = $0.7$ мин, а значит вместо $\lambda = 1/2$ фактически мы будем иметь дело с $\lambda = 1$. Существует простой способ вернуть $\lambda$ на место.

Заметим следующее:
1) потери времени на ожидание автобуса пропорциональны интервалу их движения $\Delta T$:
2) среднее приведенное число пассажиров внутри салона $n_{pass}^*$ тоже пропорционально $\Delta T$;
3) средние потери времени пассажира от каждой остановки складываются из $T_{stop}$ и времени движения автобуса вбок, которые вместе есть константа. Последнее означает, что суммарные потери времени пассажира автобусного такси от пережитых им остановок будут пропорциональны числу последних, следовательно пропорциональны $n_{pass}^*$, следовательно пропорциональны $\Delta T$.
4) выходит, что не только $T_{stop}$ но и $T_{exra}$ является константой (не зависит от $\Delta T$)

Перечисленные выше утверждения показывают, что избыточное время, которое отнимает поездка на автобусном такси по сравнению с поездкой на личном автомобиле, пропорциональна интервалу движения автобусов $\Delta T$. Чтобы сделать $\lambda$ снова равной $1/2$ изменим во всех ��аршрутных коридорах интервал $\Delta T$ в

$\eta = \frac {T_{exra}}{T_{exra} + T_{stop}} = 0.74/1.44 = 0.51\ \ \ \ \ (2)$

раз. Приведенное число пассажиров $n_{pass}^*$ тоже домножится на $\eta$ и станет равным

$n_{pass}^{true} \approx \eta n_{pass}^* \approx 4.3 \ \ \ \ \ (3)$

пассажирам для условного Берлина. Это результат куда хуже, чем мы имели в прошлой главе, но есть один

4.3 Кролик из шляпы: участок пешего пути


Уж если мы решили приблизить модель к условиям реальности, то должны учесть, что путешествие на общественном транспорте имеет два участка пешего пути внутри кварталов (рис). Среднее время, которое путешественник тратит на их преодоление, обозначим как $T_{ped}$. Путь до места парковки личного автомобиля и очень медленная езда внутри квартала тоже занимают время, для простоты будем считать, что оно тоже равно $T_{ped}$.

image

рис 5

Суммарная длина пеших путей в начале и в конце путешествия в среднем равна длине квартала. При длине квартала в $0.5$ км и средней скорости пешехода в $5$ км/ч величина $T_{ped}$ равна $0.1$ часа то есть $6$-ти минутам.


С поправкой на пеший путь среднему путешествию на автобусном такси будет разрешено по длительности превосходить путешествие на личном автомобиле уже на время, равное

$\lambda (2/3\ L/v + T_{ped}) \ \ \ \ \ (4)$

Если $n_{pass}^{true}$ — это среднее число пассажиров в автобусе, то среднее путешествие будет сопряжено с $2 n_{pass}^{true}$ остановками, на каждой из которых путешественник потеряет в среднем $(T_{stop} + T_{extra})$ единиц времени. Эти рассуждения приводят нас к уравнению баланса:

$2 n_{pass}^{true} (T_{stop} + T_{extra}) = \lambda (2/3\ L/v + T_{ped}) = 2 n_{pass}^* T_{extra} + \lambda T_{ped} \ \ \ \ \ (5)$

откуда

$n_{pass}^{true} = n_{pass}^* \frac {T_{extra}}{T_{stop} + T_{extra}} + 1/2\ \lambda\frac {T_{ped}}{T_{stop} + T_{extra}} \ \ \ \ \ (6) $

и

$\eta = n_{pass}^{true}/ n_{pass}^* \ \ \ \ \ (7) $

Соответственно для Берлина:

$ n_{pass}^{true} \approx 4.3 + 1/4\ \cdot 6/1.44 = 5.3$ чел

$\eta = 5.3/8.4 = 0.63$

Как видите, у нас появился “экстрапассажир”. Ниже приведены результаты пересчета для всех использованных нами раннее модельных городов.

Условный квадратный Нью-Йорк (Лондон, Москва):
эффективный диаметр $L \approx 28$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$n_{pass}^*\approx 10.6$ чел.
$T_{extra} = 0.55$ мин
$n_{pass}^{true} \approx 5.9$ чел (в пике $\sim 11.8$)
$\Delta T^{true} \leq 11.7 \cdot 5.9/10.6 = 6.5$ мин.

Условный квадратный Берлин:
эффективный диаметр $L \approx 30$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$n_{pass}^* \approx 8.4$ чел.
$T_{extra} = 0.74$ мин
$n_{pass}^{true} \approx 5.3$ чел (в пике $\sim 10.6$)
$\Delta T^{true} \leq 12.5 \cdot 5.3/8.4 = 7.9$ мин.

Условный квадратный Париж:
эффективный диаметр $L \approx 10$ км,
разрешенная скорость $v = 0.5$ км/мин
$n_{pass}^* \approx 5.7$ чел.
$T_{extra} = 0.58$ мин
$n_{pass}^{true} \approx 3.75$ чел (в пике $\sim 7.5$)
$\Delta T^{true} \leq 6.7 \cdot 3.75/5.7 = 4.0$ мин.

Условная квадратная Прага:
эффективный диаметр $L \approx 23$ км,
разрешенная скорость $v = 0.8$ км/мин
$n_{pass}^* \approx 5.5$ чел.
$T_{extra} = 0.87$ мин
$n_{pass}^{true} \approx 4.0$ чел (в пике $\sim 8$)
$\Delta T^{true} \leq 9.6 \cdot 4/5.5 = 7.0$ мин

Условный стандартный квадратный полумиллионный город.
население $P = 500K$ чел,
плотность $\rho = 5000$ чел/кв км,
эффективный диаметр $L = 10$ км,
разрешенная скорость $v = 1$ км/мин
$\sigma \approx 17$ чел/мин кв км
$n_{pass}^* \approx 2.8$ чел.
$T_{extra} = 0.74$ мин
$n_{pass}^{true} \approx 2.5$ чел (в пике $\sim 5$)
$\Delta T^{true} \leq 6.7 \cdot 2.5/2.8 = 6.0$ мин

Как вы видите, правдивое число пассажиров — это не золотые горы, но все же кое-что. Можно ли улучшить результат? Пусть это останется нашей с вами маленькой интригой (?).
.
.
.
.

5 Для тебя


Маленькому Спящему Дракону,
Юной Воспламенительнице сердец (?),
Мне повезло увидеть ваши чары —
Они прекрасны.
Я буду по ним скучать (?).
.
.
.
.
Сергей Коваленко
magnolia@bk.ru
(Это была прекрасная)
весна 2023 года.

Ссылка на Часть1: «Предварительный анализ» (ру / eng )
Ссылка на Часть2: «Эксперименты на торе» (ру / eng )
Cсылка на «Часть3: Практически значимые решения» (ру / eng )
Cсылка на «Summary» (ру / eng )