Comments 17
Возможно книга Клиффорда читается легко и понятно, но ваша статья полная противоположность. Вводите сигма 0, 31, 1, 3 а в разложении используете 0, 3, 1, 13. Откуда взялось 13 и почему перед ней минус t а не просто t? Почему такая странная нумерация?
И если вы считаете, что ваше определение изоморфизма более понятно, чем в википедии, то нет, совсем не понятноее - оно только туману нагоняет.
В алгебре Клиффорда R - обычно означает ротор.
Ну не знаю, не знаю... Мне кажется, проще заходить обычным образом через группы и представления. Тем более вы молча используете понятие представления, не упомянув что это такие, хотя даёте определение оператора и изоморфизма.
Математически точно описать происходящее не пытался, цель всего цикла - хоть на маленький шаг приблизиться к тому, чтобы выпускник обычного вуза, при наличии мотивов, мог попробовать понять направление куда копать, на очень приблизительно понятном ему языке матриц. А группы и тензоры это стоп-слова для 90+% инженеров, даже если это не правильно с чьей то точки зрения.
Я еще не видел ни одного учебника физики, который бы давал осмысленное определение спинора
Спинор описывает как вектор поворачивается в пространстве за один период, прежде чем вернётся в исходное состояние. На примере ленты Мёбиуса если мы нарисуем вектор поперёк ленты ему придётся сделать два оборота прежде чем он вернётся в исходное состояние. Полный спин свободного электрона J состоит из орбитальной части L и собственного спина S. Допустим изменение фазы волновой функции связано с прецессией спина, тогда изменяя скорость прецессии можно выразить любой спин, например если в два раза больше тогда спин вернётся в исходное состояние за пол периода 180°. Спинор это такой вектор с ротором. Четырёхкомпонентный спинор Дирака можно попробовать объяснить так: два компонента спин вперёд- спин назад движутся в одну сторону по ленте Мёбиуса или орбитали, а два компонента спин вперёд- спин назад движутся в другую сторону по ленте, Эти компоненты будут соответствовать частице и античастице с разными проекциями спина, матрицы описывают такое преобразование Вот визуализация https://www.youtube.com/watch?v=VNsi-9GqSz8
Похожее описание есть у Пенроуза зигзаг представление электрона. За один период спин электрона испытывает колебания, но в системе покоя спин всегда имеет определённую проекцию на скорость. Пенроуз также предложил описывать вакууму с помощью спиноров — каких-то фундаментальных спиноров (частиц со спином 1/2), при конденсации они могли бы представлять поля со спином 1 - векторные поля фотоны и со спином 0 (+1/2-1/2) - скалярное поле. @flx0 может быть тоже прояснит ситуацию
Вот как раз такое объяснение мне не нравится :)
Оно очень на пальцах. "Элементы, лежащие в минимальном идеале алгебры Клиффорда" - куда лучше, но видимо в книжках про физику не хотят ударяться в алгебру. А зря, по некоторым данным, там можно всю(*) Стандартную модель описать как комплексную 
. Которая в свою очередь изоморфна действительной 
, а та - четной подалгебре 
. Что очень круто, поскольку 
- особенная: во-первых в силу периодичности Ботта, во-вторых триальности (triality): у Spin(8) есть 3 существенно разных представления, что намекает на 3 поколения частиц.
(*) - таки только одно поколение.
У меня, кстати, есть своё объяснение "на пальцах": свободная сфера обладает симметрией SO(3). Точки на ее поверхности можно описывать векторами. Точно такая же сфера, но привязанная, к примеру ремнём, украденным у Дирака, имеет другую группу симметрии: Spin(n). Описать точки на ее поверхности можно при помощи спиноров.
Это, кстати, намекает и на поведение "свободных" бозонов, которых существование других бозонов не волнует, и "привязанных" фермионов, жестко огражденных друг от друга принципом Паули.
Четырёхкомпонентный спинор Дирака можно попробовать объяснить так
Алгебра Дирака - 
изоморфна алгебре матриц 4 на 4. Если действовать на матрицу слева - столбцы преобразуются независимо друг от друга. Каждый столбец соответствует своему пространству (левых) спиноров. Именно эти столбцы и есть четырехкомпонентные спиноры Дирака. А дальше уже и спиральность (zig-zag Пенроуза) вывести несложно.
Да, было предложено множество вариантов различных симметрий, в том числе перебор на суперкомпьютерах. Мы должны в первую очередь смотреть на экспериментальные данные, было установлено что кварки внутри протона обращаются на орбиталях, оси этих орбитарий примерно коллинеарны спину протона (тензорный заряд), сейчас специально для этого строится ускоритель. Это явный намёк на свёрнутое измерение, в такой модели мировые линии зарядов и калибровочных полей свёрнуты в окружность, так называемое условие цилиндричности. Саскинд в лекции показывает нулевое колебание это движение по окружности. Обычно приводят в пример сферу где радиальная степень свободы отвечает за массу частицы это мода Хиггса (чем меньше радиус тем больше масса, фиксированный радиус будет находиться на дне ложбинки сомбреро ), ей ортогонально, на поверхности сферы располагаются две взаимно поперечные степени свободы Голдстоуна (они не связаны с изменением энергии /массы, это движение вдоль ложбинки сомбреро). Кстати аналогичное скалярное поле было раньше предсказано в теории Калуцы-Клейна, теперь мы рассматриваем не сферу а цилиндр— заряд (солитон) удерживается на внутренней поверхности измерение, движется по спирали если есть компонент скорости, его спин прецессируют под наклоном 45°. Что даёт эта модель? Эта модель объясняет множество наблюдаемых явлений — различия киральности частиц и античастиц, дробные заряды кварков объясняются отношением скорости процессии к периоду, отсутствие у нейтрино орбитали объясняет отсутствие заряда и массы, но присутствие слабого заряда. Если задать такую геометрию заряда и переносчиков на компьютере мы получим картину тождественную электродинамике Максвелла во всех подробностях
Кмк, наоборот проще заходить в теорию представлений через алгебры Клиффорда. Потому что более понятно откуда эти матрицы вообще берутся. Я еще не видел ни одного учебника физики, который бы давал осмысленное определение спинора. И гамма-матрицы у них преподносятся в формате "вот тут Дирак так подобрал, там Вейль подобрал в другом базисе, a теперь заткнись и считай".
У математиков, впрочем, другая крайность: я недавно прикупил книжку Мейнренкена, и у меня просто глаза вытекают от того, насколько все абстрактно и оторвано от хоть каких-то применений.
Согласен. Но я больше про вопрос, что делать тем, кто не понял еще АК, но с матрицами +- уже работает.
Чтобы понимать откуда это так, следует быть знакомым с историей математики и физики и уметь немного сопоставлять материал книг и эту самую историю.
Уж не в период ли фашизма в Европе разрабатывалась квантовая физика? Уж не учеными ли враждующих государств? Уж не в период ли подготовки ко Второй мировой войне? Уж не работали ли американские отцы-основатели квантовой механики на оборонку США, немецкие - на оборонку Германии, а английские - на оборонку Англии? Уж не они ли там создавали бомбы, способные развернуть ход войны вспять? Уж не началась ли "холодная" война сразу после "горячей"?
И после этого вы находите, что в "ведущих" книгах от "ведущих" физиков "чОрт ногу сломит"?! Хммм... обоснованно полагаю, что все эти книги прошли такую цензуру, проверки и своеобразное "рецензирование" их материала в "заинтересованных ведомствах", что не специалист даже не поймет где там деза, где тонкий стёб тавтологий B=B (логика), а где хотя бы слово по делу написано. То же касалось этого вопроса и в СССР. :)
Перефразирую знаменитое "если звезды зажигают": Коль "глаза вытекают, оторвано от хоть каких-то применений, не видел ни одного учебника физики, который бы давал осмысленное определение..." - значит - "это кому-нибудь нужно". ;)
PS Для разнообразия почитайте хотя бы биографию отца американской космической программы. Какие "знания" вы хотите почерпнуть из публичных книг таких людей?! :))))
https://ru.wikipedia.org/wiki/Браун,_Вернер_фон
Разве что знания о бударажащих умы домохозяйкам, научно-фантастических "парадоксах", традиционного богато освещаемых "желтой" прессой. Над ними, к слову, похохатывали уже сами их создатели, и не убеждён, что подобные "знания" где-то идут в зачёт. :)))
PPS
Думаю, я смело могу сказать, что квантовой механики никто не понимает. (с) Ричард Фейнман
(эпиграф)
Кстати, не отчаивайтесь: не только Вы, но и ученики аж (!) Нобелевских Лауреатов не находят смысла в формулах разглагольствованиях своих Учитилей . Вон, русский миллиардер - Юра Бенционовичь Мильнеръ, проучившись у Вити Лазаревича Гинзбурга (по совместительству друга физиков В. А. Цукермана и Л. В. Альтшулера см. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гинзбург,_Виталий_Лазаревич ) перефразировал то ли крылатую фразу
Когда мне было десять лет, я спросил своего отца – профессора математического факультета ЛГУ: «Папа, а сколько человек на Земле понимают то, чем ты сейчас занимаешься?». – Может человек пять. (с) Академик РАН Людвиг Фаддеев
то ли крылатую фразу
Говорили, что едва ли шесть современников Эйнштейна понимали его теорию.
так:
Меня очаровал Мильнер. С ним была фантастическая история знакомства. Я считал его банкиром до мозга костей — он же во Всемирном банке в начале 1990-х работал.
А когда компания переехала в новый офис, и мы все начали знакомиться, он однажды попросил рассказать о себе. Я рассказал, а между делом упомянул, что программист и математик по образованию, закончил факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ.
Он как-то зацепился за это, а потом взял листок бумаги и написал такую штуку. Это интеграл Эйлера — Пуассона из теории вероятностей, который описывает плотность нормального распределения. После этого моё отношение к Мильнеру изменилось на 180 градусов — я-то его считал банкиром и «новым русским», который ездит на «мерседесе» и любит побрякушки.
Потом выяснилось, что он занимался квантовой физикой и был очень умным человеком, который разбирался в предмете до глубин. Как-то раз я у него поинтересовался, почему он бросил карьеру учёного.
Он мне ответил: «Виктор, мне кажется, в мире есть 10 человек, которые действительно понимают, что там происходит на квантовом уровне. Но я — не из их числа. И мне кажется, что они врут».
Я думаю, это была большая удача для всех, что он бросил квантовую физику и начал заниматься бизнесом.
и отправился "изменять мир к лучшему" впаривая домохозяйкам "рекламу" и барыжа "акциями" на т.н. "фондовой бирже". :)
Справочно:
Юрий Бенционович Мильнер. В 1985 году окончил физический факультет МГУ по специальности «теоретическая физика». После окончания университета работал в Физическом институте Академии наук, в Отделении теоретической физики под руководством будущего Нобелевского лауреата Виталия Гинзбурга.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Мильнер,_Юрий_Борисович
И немного околонаучных баек в тему:
Однажды в частной переписке с Чарли Чаплином Альберт Эйнштейн восхищенно заметил: «Ваш фильм „Золотая лихорадка“ понятен во всём мире, и Вы непременно станете великим человеком». Чаплин ответил ему: «Я Вами восхищаюсь ещё больше. Вашу теорию относительности никто в мире не понимает, а Вы всё-таки стали великим человеком».
Теория — это когда все известно, но ничего не работает. Практика — это когда все работает, но никто не знает почему. Мы же объединяем теорию и практику: ничего не работает… и никто не знает почему! (с) Приписывают Тому Самому Альберту
Так что не относитесь слишком серьёзно к "теориям", а главное - думайте не телИвизором, а своими головами. :)
Я тоже прочитал Клиффорда и все понял.
Скрытый текст
Умели почему-то 100 лет назад просто объяснять сложное, а сейчас...
Сейчас тоже умеют. Просто нужно знать где смотреть. :)
Сравните Ваше определение изомофизма и то, как это же определение дают школьникам за 7 минут 50 секунд на первой же лекции по дискретной математике с разъяснением зачем это понятие нужно, где его применять. :)
Олег Кузнецов, Дискретная математика.
Лекция 1: Изоморфизм, гомоморфизм. Алгебры
Про соотношения между ℝ^2, ℂ и матрицами Паули