В геометрии для описания параметров геометрических фигур в обычной Евклидовой геометрии используются такие параметры, как длина и угол. Но как только мы переходим из плоскости нашей Евклидовой геометрии в другие модели описания точек в пространстве, то замечаем, что для описания параметр длины описывается через понятия метрики или нормы. И именно метрические параметры дают нам более общие связи, хотя для их описания применяются более сложные модели.
В геодезии очень важной моделью определения местоположения в пространстве является метод триангуляции, который использует как метрические параметры, так и угловые параметры. Но можем ли мы описать положение точки с помощью только метрических параметров?
Начнем с описание задачи:
Есть у нас метрические параметры треугольника (стороны) a,b,c. Есть у нас расстояния от точки до вершин f,g,h. Опишите связь между метрическими координатами точек между собой
Предварительный анализ
Рассмотрим задачу с точки зрения Геометрических Мест Точек(ГМТ). В классической задаче геометрии про пересечении двух окружностей можем точно сказать, что ГМТ находящихся на расстоянии f и g от точек A и B - это точки пересечения окружностей (A, f) и (B, g), а это всего 2 точки, симметричные относительно соединяющей центры прямой. Ещё одна метрическая координата задает в случае треугольника положение точки однозначно. Но это также говорит о том, что существует формула, связывающая все 3 метрические координаты.
Теперь стоит выбрать стратегию решения. Варианты такие:
Через формулу Герона и сумму площадей
Через теорему Ван-Обеля и теорему Стюарта
Через косинуса суммы углов и теоремы косинусов
через задачу о пересечении окружностей
Описание решения будет по 3-му пункту. По остальным пунктам готов поделиться описанием в комментариях.
Вспомогательная лемма
Начнем решение с известной нам формулы:
Перенесем косинусы на левую часть, а синусы на правую. Преобразуем синусы:
или:
Как видим здесь есть радикал. Значит придется обе части возводить в квадрат. Посмотрим что происходит с косинусами:
Приравнивая обе части мы получаем формулу выше.
P.S.: Нам важно в этой формуле то, что исходная формула косинуса суммы углов работает и в этой формуле, не смотря на то, что и другое соотношение работает в этой формуле
Основная задача
Теперь применим теорему косинусов. Для упрощения восприятие формул квадраты длин заменим на заглавные буквы (в дальнейшем убедимся, что строчных букв не останется):
Теперь приводим к общему знаменателю:
И раскрываем скобки и группируем:
Как видим одночлены 3-ей степени сокращаются и остается многочлен 3-ей степени (если A, B и C - константы). Теперь надо представить многочлен в каноническом виде:
Теперь для упрощения попробуем заменить константы:
И обратная замена:
Теперь можем посмотреть что получится (умножив обе части на 8):
Теперь раскроем скобки и сгруппируем для того, чтобы получить сумму квадратов:
Или преобразуем так:
И пока это наиболее красивый вариант в представлении зависимости. Возможно можно ещё больше упростить, если подобрать такую формулу для зависимости косинусов углов треугольника.
P.S. Эта формула работает и для точек снаружи треугольника. Почему? Рисунок объяснит визуально, а с формулой попробуйте разобраться):