Я всегда был поклонником Lego Technic, особенно моделей с шестернями, кривошипами и всякими движущимися частями. Но похоже, что фокус серии Technic начинает всё дальше уходить от функциональных моделей, поэтому мне пришлось взять дело в свои руки. По‑моему, планетарная установка — идеальный проект для сборки из деталей Lego Technic. Это классный демонстрационный набор и вполне себе функциональная штука.

Введение

Модель солнечной системы (Оррери) — это научный инструмент, моделирующий движение небесных тел. Обычно это период обращения и период вращения тела вокруг своей оси. Например, время, за которое Луна совершает один оборот вокруг Земли, примерно в 27 раз превышает время, необходимое Земле для вращения вокруг своей оси (сутки). Модель солнечной системы точно показывает это соотношение. Однако она не моделирует расстояния или относительные размеры небесных тел.

Я очень воодушевился, когда увидел проект планетарной модели Земли, Луны и Солнца от JK Brickworks в 2016 году:

Это вдохновило меня на создание аналогичной планетарной модели с такими же сферами для Солнца, Земли и Луны, но механизм я разработал свой собственный:

Работая над этим проектом, я экспериментировал с 3D‑печатью нестандартных креплений для шестерёнок Lego, но в конечном итоге перешёл к созданию планетарной установки только из деталей Lego. Она не так уж сильно отличается от проекта JK Brickworks, её особенность только в том, что она спроектирована мной с нуля. Устройство моделирует орбиту Земли вокруг Солнца, орбиту Луны вокруг Земли и вращение Солнца, Земли и Луны вокруг своей оси.

Луна вращается синхронно с Землёй, то есть за один оборот вокруг Земли она делает только один оборот вокруг своей оси. Одна половина Луны всегда обращена к Земле, а другая всегда направлена в противоположную от неё сторону. Это также означает, что если вы находитесь на поверхности Луны, Земля всегда будет занимать на небе одно и то же положение. Благодаря синхронному вращению (приливный захват) вращение Луны легко реализовать на модели. Луна будет двигаться правильно, как только её прикрепят к рычагу, который вращается вокруг Земли с правильным орбитальным периодом. Вы моделируете только орбитальный период и в качестве бонуса получаете ещё и период вращения.

Чтобы улучшить свою модель, я хотел добавить ещё две функции: осевой наклон Земли и наклон орбиты Луны.

Осевой наклон

Ось вращения Земли наклонена на 23,5° относительно плоскости её орбиты. Для планетарной модели это означает, что ось вращения Земли не направлена строго вверх. Что ещё хуже, ось всегда имеет одно и то же направление. Она не вращается относительно звёзд или стола, на котором стоит модель, но должна вращаться относительно основного рычага, удерживающего землю. Таким образом, вращается не только сама Земля. Та часть, которая удерживает Землю, также должна вращаться, чтобы компенсировать вращение рычага.

Моделирование этой особенности позволяет нам использовать устройство для объяснения происхождения времён года.

Чтобы сконструировать наклонный держатель для земной сферы, я использовал угловой соединитель с углом 22,5°, что всего на один градус отличается от правильного угла.

Наклон орбиты Луны

Второе явление, которое я хотел смоделировать, — это наклон плоскости лунной орбиты относительно плоскости земной орбиты. Реальный угол наклона составляет 5,15°, и если точно воспроизвести это значение, вы бы его едва заметили. Однако наклон орбиты Луны играет важную роль в объяснении причины затмений, поэтому я посчитал, что будет уместно немного преувеличить наклон орбиты.

Кроме того, нужно заставить Луну подниматься и опускаться во время её путешествия вокруг Земли. Это видео вдохновило меня на механическое решение проблемы. Рычаг Луны оснащён колесом, которое движется по наклонной круглой зубчатой рейке. Крепление в форме параллелограмма удерживает Луну в вертикальном положении. Как и точка крепления Земли, этот узел опирается на звезды, то есть его необходимо вращать относительно основного рычага.

На заземляющем рычаге есть четыре части, которые должны вращаться с правильной скоростью:

Земля,
основание для Земли (для обеспечения правильного направления осевого наклона),
Луна,
кольцо наклона Луны.

Теоретически основание Земли и кольцо наклона Луны могут быть единой частью (оба должны вращаться с одинаковой скоростью). Но сделать наклонное кольцо из деталей Лего достаточно сложно, мне не удалось добиться того, чтобы на нём «ехала» Луна, при этом приводя его в движение снаружи. Таким образом, проблему можно решить, сделав кольцо наклона Луны отдельным блоком.

Благодаря тому, что наклонённое кольцо перемещается самостоятельно, можно реализовать дополнительное астродинамическое явление — Лунную процессию. Оказывается, направление верхней и нижней частей орбиты всё‑таки не фиксировано. Они медленно вращаются вокруг Луны, совершая полный оборот за 18,6 лет.

Концентрические оси

Одна из проблем, специфичных для создания планетарной модели из Lego, — это достижение концентрического вращения. В традиционной планетарной модели у вас может быть неограниченное количество деталей, вращающихся вокруг одной оси. Для этого можно просто поместить трубочки увеличивающегося размера друг в друга. Но в LEGO нет таких деталей. Для системы Земля‑Луна мне нужны четыре сборки, независимо вращающиеся вокруг одной оси.

Вот как я этого добился для узла Земля-Луна:

Первая ось (1) — это обычная ось Lego Technic. Она управляет вращением Земли.
Вторая ось (2) собрана с помощью поворотной платформы Lego Technic. Она отвечает за орбиту Луны.
Третья ось (3) представляет собой круговую зубчатую рейку. Она выполняет ту же роль, что и поворотная платформа, только её внутренний радиус достаточно велик, чтобы внутри него поместилась другая поворотная платформа. Эта часть представляет собой наклонное кольцо, необходимое для моделирования наклона орбиты Луны.
Теперь не хватает только одной оси — вращающегося держателя земли (4). Помните, что он должен вращаться относительно основного рычага так, чтобы ось вращения Земли сохраняла постоянное направление. Это делается с помощью второй поворотной платформы, установленной поверх первой.

Чтобы управлять ей, я использую простой трюк: деталь «корпус дифференциала» имеет круглое отверстие и шестерни на обоих концах. Это означает, что внутри него можно разместить ось и вращать её независимо. Это можно использовать для передачи крутящего момента путём соединения шестерней на обоих концах. Конструкция заменяет вышеупомянутые трубки, которых нет среди деталей Lego. Корпус приводит в движение некоторые шестерни первой поворотной платформы, которые, в свою очередь, приводят в движение вторую поворотную платформу.

Последовательность передач

Подсборка Земля‑Луна имеет четыре оси, которые должны вращаться с правильным периодом, а именно: Земля, Луна, основание Земли и кольцо наклона Луны. У всей планетарной модели есть ещё два: вращение Солнца вокруг собственной оси и вращение главного рычага, заставляющего Землю совершать оборот вокруг Солнца за 365,25 дней.

Солнце не является твёрдым телом и вращается с разной скоростью в зависимости от широты. Для конструкции планетарной установки это означает, что любой период вращения между 24 и 38 днями можно считать правильным, поскольку существует широта Солнца, на которой поверхность вращается в этот период.

Из‑за этого возникает проблема поиска последовательности передач для заданного передаточного числа. В моём понимании один оборот кривошипа соответствует одному дню. Таким образом, чтобы главный рычаг вращался один раз каждые 365,25 дней, его необходимо соединить с кривошипом, используя последовательность передач с передаточным числом, максимально близким к 365,25.

Передаточное число зубчатой передачи — это произведение долей чисел зубьев для каждой пары шестерней в последовательности. При поиске последовательности шестерён Lego, появляются некоторые дополнительные ограничения. Самое главное, мы ограничены механизмами, которые на самом деле производит Lego:

Обратите внимание на червячную передачу, изображённую выше. Она особенная, потому что ведёт себя как однозубая шестерня, т. е. в сочетании с шестернёй с 24 зубьями она создаёт передаточное число 1:24. Но это может быть только ведущая шестерня в паре, а не ведомая.

Предположим, мы хотим добиться передаточного числа 17:23. Это можно легко сделать с помощью пары шестерён с 17 и 23 зубьями в традиционной планетарной модели. Но среди шестерней Lego нет деталей с таким числом зубьев, поэтому нам придётся найти другой способ.

Я сделал приложение для поиска последовательности передач Lego для заданного передаточного числа. В нашем примере с соотношением 17/23 приложение находит множество решений с немного разными соотношениями, например, соотношение 20/27, которое всего на 0,22% отличается от целевого соотношения:

Проблема поиска последовательности передач для заданного передаточного числа связана с некоторыми интересными идеями теории чисел. Она тесно связана с разложением на простые множители. На самом деле, точное решение возможно только в том случае, если все простые множители целевого отношения также присутствуют в простых множителях доступных шестерён.

Приложение начнёт с целевой дроби (или немного отличающихся дробей при поиске приблизительных решений) и пройдёт по списку расширений этой дроби, возможных с простыми множителями, заданными доступными шестернями. Для каждой дроби он вычислит все последовательности шестерён, у которых числитель или знаменатель этой дроби является их произведением.

Учитывая такую пару последовательностей ведущих и ведомых шестерён, приложению все равно необходимо решить, какая ведущая шестерня с какой ведомой шестернёй соединена. Это важно в контексте шестерёнок Lego, потому что некоторые пары в проекте Lego более практичны, чем другие. В частности, если пара шестерён имеет сумму зубьев, кратную 16, расстояние между осями составляет целое число деталей Лего. Эту комбинацию проще всего построить.

Вот пример соединения шестерни с 24 и 40 зубьями. Сумма зубьев равна 64 = 4 * 16, что говорит нам о том, что шестерни будут находиться на расстоянии четырёх единиц Lego друг от друга.

Если сумма зубьев делится на 8, расстояние можно получить, разместив ось со смещением на половину единицы, что возможно при использовании различных методов построения:

В приложении есть вкладка «Подогнать шестерни», где показаны возможные способы соединения любой пары шестерён. Например, это то, что я называю «2D‑соединением». Эти шестерни подходят друг к другу, если сместить их на 1 единицу в одну сторону и на 2 единицы во вторую, так как расстояние между ними довольно близко к sqrt(1² + 2²):

Кроме того, существуют шестерни, которые Лего называет «коническими шестернями», они имеют n * 8 + 4 зубьев и могут соединяться перпендикулярно, позволяя менять плоскость механизма.

Таким образом, для любой пары ведущей и ведомой шестерни существуют потенциальные способы их соединения, но некоторые комбинации проще построить, а некоторые сложнее. Мое приложение присваивает «стоимость» каждой возможной паре ведущей и ведомой шестерни, исходя из того, как они могут быть соединены. Если количество зубьев суммируется до кратного 16, их соединить легче всего, это значит, что «стоимость» минимальна. Как только инструмент имеет набор ведущих и ведомых шестерен, он использует венгерский алгоритм для создания соответствия с минимальной стоимостью.

Вот пример результата при поиске последовательности с коэффициентом π:

Есть ещё одно интересное математическое явление, о котором я хочу упомянуть. Дифференциальные шестерни Lego обладают свойством, при котором корпус дифференциала вращается со скоростью, равной среднему значению скоростей двух подключённых осей. Например, если одна ось вращается один раз в секунду, а другая три раза в секунду, то корпус будет вращаться два раза в секунду ((1 + 3) / 2). Мы можем использовать это для достижения простых множителей, которые невозможны с шестерёнками Lego.

Например, не существует шестерён Lego с числом зубьев, кратным 13, поэтому передаточные числа, включающие 13 в качестве главного коэффициента, при стандартном подходе невозможны. Чтобы добиться передаточного числа 13, калькулятор передаточных чисел даёт нам следующую последовательность:

Входящие оси вращаются со скоростью 1 и 25, а результирующая скорость равна (1 + 25) / 2 = 13. Вот как можно построить эту последовательность:

В этом примере синяя ось вращается в 13 раз быстрее, чем красная.

На этом мы заканчиваем часть о последовательности передач. Если хотите попробовать приложение, оно доступно здесь. Также доступен исходный код Typescript.

Вот все шестерни в окончательном дизайне устройства:

Это периоды вращения и орбиты планетарной модели в сравнении с реальными значениями:

Механизм был в основном спроектирован с использованием физических частей и моего приложения для поиска последовательности передач. Это фото в процессе работы:

Одной из главных задач при проектировании планетарной модели, помимо того, чтобы она вообще работала, было обеспечение именно бесперебойной работы. В окончательной конструкции 70 шестерней, и каждая дополнительная шестерня добавляет немного трения. Другим источником сопротивления является вес Земли, поскольку она вращается относительно быстро и, таким образом, вносит большой вклад в крутящий момент, необходимый для запуска планетарной установки. Я приложил много усилий, чтобы всё работало гладко. Но механизм может легко застрять, например, если какая‑либо подвижная часть будет установлена слишком туго или если на устройстве будет собираться пыль. При сборке важно следить за тем, чтобы каждая движущаяся часть имела некоторый люфт.

Один из способов обойти эту проблему — немножко брызнуть силиконом на деталь. Это позволит установке работать без каких‑либо проблем. Но всё же, когда речь идёт о наборе Lego, лучше смотреть, насколько хорошо он работает сам по себе, без вспомогательных манипуляций.

Проектирование основания

Я сделал это фото, когда мне впервые удалось заставить работать весь механизм. Здесь находится первая версия разработанного мной основания с двигателем Lego, приводящим в движение планетарную установку.

Оказывается, мотор очень сильно шумит, что портит впечатление от использования планетарной модели. По моей задумке она могла быть использована для объяснения и демонстрации астродинамических явлений. Но какие уж тут объяснения, когда шум мотора заглушает разговор, поэтому я решил снять его.

Спроектировать основание оказалось довольно сложно, это скорее художественная задача, чем техническая. Я выбрал 12-сегментный дизайн, который является отсылкой к двенадцати месяцам и является традиционным в дизайне планетарных установок.

Большую часть основания я спроектировал в цифровом формате с помощью Bricklink Studio. Эта часть больше подходит для цифрового проектирования, так как она неподвижна. Из‑за 12-кратной симметрии проверка любой идеи требует большого количества деталей.

Вот несколько итераций дизайна основания:

Вы можете увидеть, что каждая конструкция имеет небольшой рычаг для отключения приводного механизма от основного рычага. Это позволяет свободно перемещать рычаг, что на практике весьма полезно.

Финальный дизайн:

Инструкции

Я использовал Bricklink Studio, чтобы создать цифровую модель своей установки. В процессе проектирования переключался между сборкой физических деталей и цифровым проектированием.

Я также использовал программу для создания цифровых инструкций по сборке. Мой вывод: она отлично работает для небольших моделей, но для более крупных моделей подходит хуже. Когда вы вносите изменения в модель или меняете один из ранних этапов, инструкция нарушается сразу во многих местах, поэтому большую часть приходится переделывать. Это была очень утомительная работа, но в итоге у меня получился 264-страничный PDF‑файл с инструкцией в 436 шагов.

Я продавал цифровые инструкции за 20€ на Rebrickable, но в конечном счёте этот проект не стал коммерчески успешным. Сейчас я думаю, что лучше бы раздавал инструкции бесплатно.

Для продвижения на Rebrickable я сделал анимацию, показывающую движение шестерёнок в планетарной модели. Я использовал Mecabricks, чтобы преобразовать дизайн Bricklink Studio в файл сцены, содержащий 3D‑модели всех деталей. Затем этот файл можно было открыть в Blender, где я создал все анимации и движение камеры. Так же, как и создание инструкций, это относительно просто, но осложнилось большим количеством деталей в дизайне. Вот получившаяся анимация (на 45-й секунде структурные части исчезают, чтобы показать механизм):

Конструкция с меньшим количеством деталей

Вышеупомянутая конструкция предлагает максимальную версию планетарной модели Lego с минимумом компромиссов. Для её создания требуется большое количество деталей, некоторые из которых трудно достать. Я сделал модифицированную конструкцию с меньшим количеством деталей, изменив дизайн основания.

Основание в этой версии намного легче, имеет меньше декора и использует детали Technic вместо традиционных блоков. У него один кривошип вместо двух. Чтобы достать детали для этой модели было проще, я изменил конструкцию так, чтобы в ней использовалось как можно больше деталей от Lego Rough Terrain Crane. Я выбрал этот набор, потому что он получил хорошие отзывы, имел низкую стоимость за деталь и он есть у многих. К сожалению, Lego сейчас прекратила его продажу.

Многие детали в моем первом дизайне Orrery используют «традиционную» цветовую схему, в которой шестерни, штифты и оси в основном серого и чёрного цвета. Эта цветовая схема использовалась Lego в прошлом, и фанаты часто предпочитают её. В новом дизайне я использую те же цвета, которые Lego использует в своих текущих продуктах, а это значит, что детали легче достать, и их можно взять с красного крана. Новая, более красочная палитра упрощает выполнение инструкций по сборке, но цвета могут выглядеть неуместно в саду.

Другие планетарные модели

Я опубликовал инструкции для своей планетарной модели в сентябре 2021 года. Несколько месяцев спустя, в 2022 году, CaDA выпустила модель, разработанную JK Brickworks. Это дизайнер «оригинального» Lego Orrery 2016 года, который вдохновил меня на свой проект.

Набор функций этой планетарной модели аналогичен моим, за исключением того, что он не моделирует наклон орбиты Луны. Как видите, отсутствие этой функции значительно снижает сложность и позволяет создать гораздо более простую и надёжную конструкцию. Меньшее количество частей делает этот проект более доступным для широкой аудитории. Меня очень впечатлил этот дизайн, и я думаю, что это лучший вариант из всех, если вы хотите сделать свою модель.

Два года спустя, в 2024 году, Lego выпустила собственную конструкцию планетарной модели. Поначалу я обрадовался, но исполнение разочаровало.

Эта планетарная модель имеет тот же набор функций, что и модель CaDA: она учитывает наклон земной оси, орбиту Луны, но не её наклон. По сравнению с конструкцией CaDA в ней меньше деталей, но она дороже. Я думаю, что Lego слишком агрессивно сократила количество деталей. Конструкция получилось хрупкой и шаткой. Для Солнца и Земли они использовали специальные полусферы. Мне нравится эта идея, поскольку она позволяет телам быть идеально сферическими. Но детали имеют очень заметные соединительные отверстия, которые не нужны и портят внешний вид. На Земле напечатаны континенты, и это хорошая идея, но в моей модели изображения были плохо совмещены.

В общем, вместо этого я бы порекомендовал CaDA Orrery. Но я рад, что конструкции из блоков достигают более широкой аудитории, и я надеюсь, что такие компании, как CaDA и Lego, будут предлагать более сложные конструкции в будущем.

Перспективы

А вот набросок идеи смоделировать все планеты Солнечной системы без вертикального совмещения (ну, кроме внутренних планет, но это в основном плоский дизайн). Четыре внешние планеты будут двигаться по четырём гусеницам, которые удерживаются на месте вертикальными полюсами (цепи не показаны на рендере). Гусеницы будут приводиться в движение шестерней, прикрепленной к основанию, а планета будет прикреплена к одному из звеньев гусеницы. Обратите внимание, что в этой схеме планеты движутся только вокруг Солнца, но не вращаются вокруг своих собственных осей.

Эта концепция вдохновлена дизайном часов от Акиюки. Трудно сказать, выдержит ли гусеница вес планеты, построенной из кубиков. В любом случае эта сборка будет сумасшедшей с точки зрения размеров, количества деталей и стоимости. На данный момент я не планирую продолжать работу над этой концепцией.

Мой следующий проект — планетарная установка из акриловых листов, вырезанных лазером. Это снимает множество ограничений на используемые шестерни и детали, которые были с Lego, но создает дополнительную трудность — мне приходится изготавливать эти детали самостоятельно.

Спасибо за внимание!

Проект модели солнечной системы из LEGO