Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат

Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.


*квадраты до сотни

Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

Правило 1 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 0.
Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей.
70 * 70 = 4900.

В таблице отмечены красным.

Правило 2 (отсекает 10 чисел)

Для чисел, оканчивающихся на 5.
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.

В таблице отмечены зеленым.

Правило 3 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 40 до 50.
XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2

Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.

В таблице отмечены светло-оранжевым.

Правило 4 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 50 до 60.
XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)^2

Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.

В таблице отмечены темно-оранжевым.

Правило 5 (отсекает 8 чисел)

Для чисел от 90 до 100.
XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 - вторая цифра)^2

Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.

В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

Правило №6 (отсекает 32 числа)

Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел. Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения :)
В таблице отмечены синим.

Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам. Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

Формулы (осталось 24 числа)

Для чисел от 25 до 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2

Например:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369


Для чисел от 50 до 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2

Например:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489


Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136. 


UPDATE
Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»:

Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».

Для квадратов, соответственно, еще проще.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464

(от sielover)

Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга.

Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024.
Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности.

Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней.

Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.
Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.
Share post

Comments 38

    +4
    Может быть все же для чисел, оканчивающиеся на..., а не для цифр? Не стоит путать цифры и числа. Цифры — это только те, которые от 0 до 9.
      0
      Да, точно, спасибо за правку.
        +5
        Если уж на то пошло, то цифра — это просто абстракция, знак, используемый для представления чисел :) Числа от нуля до девяти — в десятичной системе имеют представление из одной цифры.
          +1
          A, B, C, D, E и F тоже цифры.
            –1
            Не придирайтесь. Все же мы с Вами сейчас о десятичной системе исчисления говорим
          +3
          Произведения числе, близких к 100, и, в частности, их квадраты, гораздо проще выполнять по принципу «недостатков до 100»:



          Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков».

          Для квадратов, соответственно, еще проще.
          92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
            +1
            74*74 = (74-26)*100 + 26*26 = 4800 + 676 = 5476
            

            Интересный способ, я о нем раньше не знал, спасибо. Добавлю в топик.
            +43
            Мне кажется, я быстрее выучу таблицу квадратов до сотни, чем все эти правила и формулы.
              +4
              Действительно, быстрее помножить в уме два двузначных числа, чем вспоминать подходящее правило.
              –2
              Уже не первый раз встречаю новый способ возведения числа, которые заканчиваются на 5. В мое время был другой способ, который для меня намного удобнее. Умножить первую цифру на себя и прибавить эту же цифру. К результату приписать 25
              25*25: 2*2+2=6 + 25 = 625 и т.д.
                +2
                Ну так это ничем не отличается от способа, описанного в статье.
                  –4
                  Вы правы. Это сила привычки с 70-х годов. Новый способ, пожалуй, даже удобнее.
                    +3
                    он не новый. он такой же…
                0
                В реальном приложении будет использоваться зараннее посчитанная таблица.
                  +1
                  Безусловно, для приложений подойдет и таблица, и простое вычисление. Статья же об устном счете, тренировке памяти, быстром вычислении.
                  +6
                  вместо того, чтобы запоминать кучу правил, лучше запомнить одно:
                  (10 * a + b) ^ 2 = (a^2 * 100 + b^2) + a * b * 2 * 10
                  оно легко выводится из школьной формулы
                  (a + b) ^ 2 = a^2 + 2 * a * b + b ^2

                  примеры:
                  25^2 = (2 * 2 * 100 + 5 * 5) + 2 * 5 * 2 * 10 = 425 + 200 = 625
                  43^2 = (4 * 4 * 100 + 3 * 3) + 4 * 3 * 2 * 10 = 1609 + 240= 1849
                  97^2 = (9 * 9 * 100 + 7 * 7) + 9 * 7 * 2 * 10 = 8149 + 1260 = 9409

                  попробуйте, это проще, чем кажется.
                    +7
                    Вообще, у меня двузначные числа в уме в столбик быстрее умножаются.
                      +5
                      Мне это напомнило методику, по которой учат умножать японских детей:
                      Картинка 310кб

                        0
                        Что-то новенькое… не соображу, какая у нее граница применимости?
                      +4
                      Слишком много правил. Если постоянно в уме возводить числа в квадраты, то был бы смысл, а если это надо раз в неделю — куда как проще посчитать в столбик ну или по базовой формуле (а+б)^2

                      > Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024

                      А вот и нет. Я знаю, что будет примерно столько, то ли 1024, то ли 2048 то ли 4096, но сколько конкретно — хз.
                      Поэтому 64^2 = (2^6)^2 = 2^12=4096
                        +1
                        > Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 64^2 = 4096, а 32^2 = 1024
                        > А вот и нет. Я знаю, что будет примерно столько, то ли 1024, то ли 2048 то ли 4096, но сколько конкретно — хз.

                        Из этих вариантов легко выбрать:
                        2 * 2 = 4 => 32 * 32 заканчивается на 4, поэтому 32 * 32 = 1024
                        4 * 4 = 16 => 64 * 64 заканчивается на 6, поэтому 64 * 64 = 4096
                        0
                        Есть вариант с опорным числом. Выбираем достаточно близкое число, на которое легко умножать.
                          0
                          Рано отправил (для примера возводим 46):
                          (50) 462 =
                          До опорного не хватает 4:
                          (50) 462 =
                          (-4) (избыток записывается со знаком +)
                          Прибавляем недостаток/избыток к нашему числу и умножаем на опорное, затем прибавляем квадрат недостатка:
                          (50) 462 = (46-4)*50+(-4)2 = 42*50+16=2100+16=2116
                          (-4)
                            0
                            Это как раз правило №3, но записанное по-другому.
                              +1
                              Правило 3 (4,5) написано для чисел от 40 до 50 и без объяснений. Это можно использовать для любых чисел вообще.
                              (1000) 9122 = 824*1000+882 = 824000+7744 = 831744
                              (-88)

                              (100) 882 = 76*100 + 122 = 7744
                              (-12)
                                0
                                Этот способ в комментариях указал sielover. Я добавил этот способ в топик.
                                  0
                                  Опять же, только частный случай. С опорным числом — общий. Даже не надо заучивать квадраты чисел до 40.
                          0
                          . Например, я легко запомнил 88^2 = 7744, из-за одинаковых чисел.


                          Ну вот, теперь и я запомнил это…
                            0
                            «Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48. Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2) и применяем формулу
                            (а+b)(а—b) = а^2—b^2:
                            (50+2)*(50—2)=50^2—2^2= 2496
                            Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:
                            69*71=(70—1)*(70+1)=4899
                            33*27=(30+3)*(30—3)=891
                            53*57=(55—2)*(55+2)=3021
                            84*86=(85—1)*(85+1)=7224»
                            Яков Исидорович Перельман

                            У Перельмана интересные методы, но как по мне трудоемкие. Больше всего мне понравились методы Билла Хэндли в его книге «Считайте в уме как компьютер».
                              0
                              Да, методы быстрого счета очень интересны. Все сводится к тому, что очень много вариантов отсеивается и не нужно решать. Например, как в вашем примере: Если два числа находятся в соседних разрядах или в том же разряде, тогда можно выполнить по формуле a^2 — b^2.

                              Кстати, для этого способа нужно уметь быстро находить квадраты таких чисел, как 85, а это второе правило в топике ;)
                              0
                              10*10=100
                              11*11=121 или 10*10+10+11=100+10+11=121
                              12*12=144 или 11*11+11+12=121+11+12=224
                              и т.д.
                              Вывод: достаточно знать квадрат предыдущего числа. Даже одного единственного :) и от него можно всегда посчитать.
                                0
                                У вас опечатка: не 224, а 144.
                                А вообще да, правильно. Можно более универсально записать так:
                                Квадрат числа = квадрат предыдущего + 2 * текущее — 1.
                                  0
                                  Ну сам факт что данный метод прост и универсален, а квадраты на Х5 и Х0 знают многие, соответственно счету на пару минут максимум.
                                  Ну и у вас данный метод не описан.
                                    0
                                    Ну так ведь проблема в этом методе: нужно знать предыдущий корень. Например, быстро посчитать 87*87?
                                    85*85 = 7225 (по второму правилу).
                                    86*86 = 7225 + 86*2 -1 = 7396
                                    87*87 = 3796 + 87*2 -1 = 7569.

                                    А по моему способу:
                                    87-50 = 37
                                    37 * 200 = 7400
                                    13^2 = 169
                                    7400 + 169 = 7569.
                                      0
                                      85*85=7225(2е правило) + (86*2) + (87*2) — 2 =7569 Способ тем и универсален, а квадрат 13ти ну да я помню :) а другие?
                                        0
                                        Ну и не надо забывать про графическое умножение о котором было упомянуто в первых же ответах.
                                          0
                                          Графическое я не пробовал. Не знаю, удобно ли рисовать «в голове».

                                Only users with full accounts can post comments. Log in, please.