Пространства с иным числом Пи

    Недавно на Хабре в одной статье упомянули про вопрос «Что было бы с миром, если бы число Пи равнялось 4?» Я решил слегка поразмышлять на эту тему, используя некоторые (пусть и не самые обширные) знания в соответствующих областях математики. Кому интересно – прошу под кат.




    Чтобы представить такой мир, нужно математически реализовать пространство с иным соотношением длины окружности к ее диаметру. Это я и попытался сделать.

    Попытка №1.

    Оговорим сразу, что рассматривать я буду только двумерные пространства. Почему? Потому что окружность, собственно, определена в двумерном пространстве (если рассмотреть размерность n>2, то отношение меры (n-1)-мерной окружности к ее радиусу даже не будет константой).
    Так что для начала я попытался придумать хоть какое-то пространство, где Пи не равно 3.1415… Для этого я взял метрическое пространство с метрикой, в которой расстояние между двумя точками равно максимуму среди модулей разности координат (т.е. расстояние Чебышева).
    image
    Какой же вид будет иметь единичная окружность в этом пространстве? Возьмем точку с координатами (0,0) за центр этой окружности. Тогда множество точек, расстояние (в смысле заданной метрики) от которых до центра равно 1, есть 4 отрезка, параллельных осям координат, образующих квадрат со стороной 2 и с центром в нуле.

    Да, в некоторой метрике это — окружность!

    Посчитаем здесь Пи. Радиус равен 1, тогда диаметр, соответственно, равен 2. Можно также рассмотреть определение диаметра как наибольшего расстояния между двумя точками, но даже так оно равно 2. Осталось найти длину нашей «окружности» в данной метрике. Это сумма длин всех четырех отрезков, которые в данной метрике имеют длину max(0,2)=2. Значит, длина окружности равна 4*2=8. Ну а тогда Пи здесь равно 8/2=4. Получилось! Но нужно ли сильно радоваться? Результат этот практически бесполезен, ведь рассматриваемое пространство абсолютно абстрактно, в нем даже не определены углы и повороты. Вы можете представить себе мир, где по факту не определен поворот, и где окружностью является квадрат? Я пытался, честно, но у меня не хватило воображения.

    Попытка №2.

    Осознав, что я получил хоть и интересный, но абсолютно бесполезный (в смысле понимания строения мира с иным числом Пи) результат, я решил попытаться построить модель пространства с определенными понятиями углов и поворотов (то есть пространство с заданным невырожденным скалярным произведением). Разумеется, мне хотелось, чтобы метрика осталась метрикой в классическом понимании этого слова (т.е. чтобы расстояние между двумя точками было вещественным и неотрицательным). Но тогда скалярное произведение должно быть положительно определено, откуда вытекает, что пространство должно быть евклидовым. Или хотя бы локально евклидовым, то есть многообразием. Можно не забивать себе голову всеми этими понятиями, а просто читать дальше :)
    Признаюсь, я убил некоторое время, пытаясь придумать хитрую евклидову метрику с нехорошим числом Пи. Я считал длины получившихся «окружностей», вспоминая различные интегральные формулы, пока до меня не дошел очевидный факт: если пространство евклидово, то заменой координат можно получить наше обычное пространство , в котором число Пи известно. Значит и в другом евклидовом пространстве оно не изменит своего значения. Печаль.

    Попытка №3.

    Раз нам по-прежнему желательно наличие углов и поворотов, но евклидово пространство нас не устраивает, попробуем рассмотреть псевдоевклидово типа (1,1) (т.к. нас интересуют только двумерные). От обычного евклидового пространства оно отличается тем, что в нем квадрат расстояния между двумя точками (а, как следствие, и скалярное произведение двух векторов) может быть отрицательным. Чтобы особо не мучиться, я взял метрику в которой скалярное произведение в декартовых координатах будет иметь вид . Какой же вид примет окружность единичного радиуса? Это будет множество точек, задаваемых уравнением , то есть… Гипербола.

    Да-да! В определенном пространстве и это — окружность.

    Радиус равен 1, а вот с нахождением длины этой «окружности» есть некоторые сложности. После некоторых поисков информации в интернете, я пришел к выводу, что в псевдоевклидовом пространстве такое понятие как «число Пи» вообще не может быть определено, что, безусловно, плохо.

    Если кто-нибудь в комментариях расскажет мне, как формально считать длину кривой в псевдоевклидовом пространстве, я буду очень рад, ибо моих познаний в дифференциальной геометрии, топологии (а также усердного гугления) для этого не хватило.

    Выводы:

    Не знаю, можно ли писать о выводах после таких не сильно продолжительных исследований, но кое-что сказать можно. Во-первых, попытавшись представить пространство с иным числом Пи, я понял, что оно будет слишком абстрактно, чтобы быть моделью реального мира. Во-вторых, когда если попытаться придумать более удачную модель (похожую на наш, реальный мир), выходит, что число Пи останется неизменным. Если принять за данность возможность отрицательного квадрата расстояния (что для обычного человека — просто абсурд), то Пи не будет определено вовсе! Все это и наводит на мысль, что, возможно, мира с другим числом Пи и вовсе быть не могло? Ведь не зря же Вселенная именно такая, какая она есть. А может быть, это и реально, только обычной математики, физики и человеческого воображения для этого недостаточно. А вы как считаете?

    Upd. Узнал точно. Длина кривой в псевдоевклидовом пространстве может быть определена только на каком-либо его евклидовом подпространстве. То есть, в частности, для получившейся в попытке N3 «окружности» вовсе не определено такое понятие как «длина». Соответственно, Пи там тоже посчитать нельзя.
    Share post

    Similar posts

    AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

    More
    Ads

    Comments 164

      +72
      π = 4
      image
        +3
        Помню этот старый прикол :) как-то в школе минут 10 в ступоре просидел, пока не понял, в чем подвох :)
          +55
          Прошло лет 10, а я до сих пор подвоха не понял.
            +8
            Даже при равномерной сходимости последовательности кривых их длина не обязана иметь предел. Возьмите какие-нибудь частые колебания вблизи окружности — кривая может иметь какую угодно длину, при этом лежать в наперед заданном \epsilon-коридоре.
              +6
              неудачный пример
                +5
                Длина этой ломаной линии, охватывающей окружность, вообще никуда не сходится, а просто не меняется
                  +1
                  image
                  Я про что-то такое. Кажется, проблема в том, что такая последовательность не будет сходиться к кривой, хоть я и не знаю этого наверняка. Так что зачем мне ставят плюсы, я не знаю. В любом случае, содержательный пример сходящихся кривых с длиной, сходящейся не туда, является именно эта картинка из первого комментария.
                    0
                    А каким именно образом вы устремляете эту синусоиду к окружности?
                    Если будете менять только «частоту», то никуда она сходиться не будет, а длина стремиться к бесконечности.
                      0
                      Вот тут уже все написано: habrahabr.ru/post/201452/#comment_6958886
                      Все эти примеры входят в стандартные курсы, я не понимаю, откуда взялось столько обсуждения простых вещей.
                        +1
                        Не успеваю читать все комментарии
              +11
              Данное «доказательство» представляет собой софизм. Кажется, что фигура, которая получается из квадрата, и в самом деле будет в точности повторять круг: ведь все отрезки, из которых состоит фигура, будут находиться сколь угодно близко к окружности.

              Несмотря на это, фигура кругом никогда не станет, потому что сколь малыми бы ни были её элементы, они представляют собой «угловатую» ломаную линию, периметр которой не меняется.

              Подсмотрено здесь
                +11
                Вот еще интересный момент — получается, число Пи для круга, изображенного на мониторе тоже будет равно 4-м? Ведь если брать за минимальную единицу площади этой окружности один пиксель(являющийся чаще всего логически квадратным), то окружность будет состоять из конечного числа этих элементов для которых будет справедливо утверждение из первого комментария?
                  +23
                  соответственно, на любом дискретном пространстве с евклидовой метрикой пи будет равно 4 :)
                    +3
                    Согласно современным представлениям о пространстве, оно дискретно с уровнем кватования равным длинне Планка. Если это правда, в чем я сильно сомневаюсь, то число Пи должно быть равно таки 4 ;)
                      +4
                      На таких масштабах пространство еще и многомерно, и свернуто по нескольким измерениям, так что неясно, какое «пи» на самом деле
                        –1
                        Это лишь одна из многочисленных теорий, которую я воспринимаю аки алхимию.
                          +1
                          Да, что-то вроде эзотерических знаний, только на современном научном уровне. Однако около тысячи людей, занимающихся теорией струн во всем мире, считают ее самой перспективной «общей теории всего»
                            –1
                            Сложно предтавить как теория струн соотносится с космологией и позволит решить фундаментальную проблему разницы «космической» и квантовой механик. Разумеется если такая проблема есть. Однако же теорию струн искуственно пытаются представить как решение проблемы «теории всего», во многом, ввиду ее крайней необычности и изящности (будем откровенны, теория действительна не лишена изящества).
                            Вообще, если говорить о теории струн, то я не совсем понимаю физический смысл интерпретации элементарного кванта как закольцованной микроструны. Это сделано лишь удобства ради. Роди подобную теорию я, то я бы использовал представление некого осцилятора. Что по моему, более логично и автоматом исключает такие вопросы, как: почему именно струны, что собой представляет материя струны, делима ли она. Однако вопрос источника осциляции, точнее его физического и иных смылов, разумеется, остается открытым.
                            Однако ж я вообще не являюсь приверженцом данной теории, насколько бы изящна она не была
                              +2
                              Как раз слияние космологии и квантов — главное достижение струнной теории. Гравитон в ней появляется чуть ли не автоматически, как одна из базовых мод струны.
                              Насчет «удобства» вы ошибаетесь, математика там гораздо сложнее, чем для точечных структур. Физический смысл, насколько я понимаю, состоит именно в переходе к описанию элементарных взаимодействий не как точечных, а как протяженных. Поэтому всякие бесконечности при вычислениях пропадают и все такое прочее.
                              А струна ни из чего не состоит, по определению, элементарный объект, она и есть вся материя
                                –1
                                Если не ошибаюсь, в базовой теории струн, речь о гравитонах не шла вообще, ее потом искуственно притянули. Однако даже притянув ее искуственно, все равно базовые вопросы гравитации так и остались не решенными, просто гравитация удобно легла рядом.
                                Насчет «удобства» вы ошибаетесь, математика там гораздо сложнее, чем для точечных структур.
                                В этом и проблема, чем «базовее», тем сложнее выходит. Хотя конечно это не аргумент для отметания теории. Однако я говорил не о математическом описании, а о представлении базового вещества, как физической струны.
                                А струна ни из чего не состоит, по определению, элементарный объект, она и есть вся материя
                                Это не научно))
                                  +1
                                  Из чего «научно» состоит электрон? Можете внятно объяснить?
                                    0
                                    Согласно теории струн, электрон — это частный случай осциляции)
                                    Ну а если серьезно, то на этапе становления теории, этими вопросами нарочно пренебрегают, оставляя их на потом. Я сейчас говорю о струне как о «элементарном обьекте и всей материи».
                                      +1
                                      Для электродинамики (вполне установившейся теории) электрон — бесструктурная точка
                                        –1
                                        А потом придумали теорию струн, дабы объяснить физический смысл «бесструктурной точки».
                                          +1
                                          Именно так, разве плохо?
                                            –1
                                            Вобщем то нет. Другое дело, что с каждым новым уровнем, приходится городить массу новых теорий. Сегодняшняя ситуация в области фундаментальной квантовой физики, напоминает мне блуждание ученых в темной комнате. Наткнулись лбом о что-то твердое, тыкнули пальцем в это самое «твердое», и сделали вывод — холодильник! Значит есть ручка, нащупали ручку — теория подтверждена. А дверь в комнату с включателем света стоит себе и думает: «Вот блин! Я теперь холодильник((»
                                              0
                                              Всегда так было, начиная с античности
                                                0
                                                На сим и остановимся. Ато невинная шутка, переросла в диспут, где иерархическая структура комментариев, плачет горькими слезами :)
                        0
                        А откуда Вы знаете, что пространство квантуется именно на квадраты? Всё от метрики зависит.

                        Вообще, Пи (если следовать определению — отношение длины окружности к диаметру) привязано к метрике, и существует в нашем мире как константа с в принципе известным (опуская далёкие знаки после запятой) числовым значением лишь постольку, поскольку метрика примерно евклидова.
                          –1
                          Я вообще не согласен с подобной интерпретацией, о чем я и написал выше. Сие лишь вариант интерпретации определенного явления. Очень сложно рассуждать о проблематике, используя выводы проистекающие из теории, которая не является единственной и научно доказанной. Выше, я лишь пошутил «втему» ;)
                      +9
                      Так ведь и круг на мониторе — не круг, а многоугольник с зубчатыми краями из пикселей.
                        +9
                        И круг, напечатанный на бумаге по сути тоже не круг, а многоугольник, состоящая из огромного количества капелек краски различной формы. А если посмотреть под микроскоп — так вообще волокнистая структура бумаги на краях круга превращается в огромный забор из хаотичных абстрактных раскидистых острых фигур.

                        Получается что «Circle is a Lie!»
                          +18
                          Кругов же не существует в реальности, так что вы абсолютно правы.
                            +1
                            Получается, тогда и число Пи для моделей кругов из реальности тоже будет всегда разным?
                              +13
                              >моделей кругов
                              Число пи вычисляется для математических абстракций типа тех, что приведены в статье. Если говорить о том, чтобы посчитать длину нарисованной на бумаге или мониторе окружности, то все упирается в то, насколько вы готовы пренебречь подробностями и точностью. Вы можете взять ниточку и натянуть ее на кружку; можете взять штангенциркуль и как-нибудь посчитать это с инженерной точностью; можете привлечь физику и сказать, что кружка — просто группа атомов, для которой все эти понятия лишены смысла.
                                +23
                                Мой мир уже никогда не будет прежним.
                                • UFO just landed and posted this here
                                  0
                                  а отсюда мы выходим на множества Мандельброта и дробную размерность :)
                                –1
                                Кругов же не существует в реальности, так что вы абсолютно правы.

                                Существуют траектории.
                                  +1
                                  Траектория — воображаемая линия, про которую вы ничего не можете говорить объективно в силу квантовых эффектов. Так что траекторий не существует :)
                                    0
                                    Разумеется не существует. Зато расчеты для траекторий различных искуственных космических объектов (и не только), вполне себе существуют и требуют точных математических расчетов :)
                                      +3
                                      Это работа с моделью.
                                        –3
                                        А разница?
                              0
                              Это если не учитывать сглаживания. Нарисуйте окружность в виде растровой картинки маленького разрешения и увеличьте картинку при просмотре. Вы увидите, что картинка состоит не только из 100% чёрных и 100% белых пикселей, но и различной степени серых.
                              Если же сглаживание отключить, получится не кружок а именно многоугольник, что видно при внимательном рассматривании даже без увеличения.
                            • UFO just landed and posted this here
                              • UFO just landed and posted this here
                                  0
                                  Какие клеточки? У вас последовательность кривых с длиной 4, которые сходятся к кривой с длиной 3,14. Вопрос: почему длина сошлась не туда? Ответ: потому что она вовсе не обязана куда-либо сходиться.
                                  • UFO just landed and posted this here
                                    • UFO just landed and posted this here
                                  +2
                                  Чак Норрис может нарисовать идеальный круг.
                                    +15
                                    Не только он
                                    Смотреть можно с 1:00
                                      +1
                                      Обалденный видос :)
                                        +3
                                        Для тех, кто учится акемическому рисунку и живописи есть упражнение — наклееный на стену большой лист или кусок старых обоев заполнять ровными параллельными линиями, штриховкой, кругами и различными овалами. Делать ежедневно, максимально быстро и без каких-то приспособлений, естественно. Если это всё несколько лет вытерпеть, то можно вполне впечатлять окружающих встроенной линейкой и циркулем.
                                          –9
                                          Вспомнил про тралик из хлеба…
                                            0
                                            А можно просто заняться рисованием и получить эти способности как бонус…
                                          +23
                                          Это он наверное, как в старом анекдоте, в армии 2 года мясорубку крутил
                                            0
                                            Что за анекдот?
                                          0
                                          А в стартовой картинке поста — Джеки Чан, который не смог ?)
                                          0
                                          После прочтения «Алисы в Зазеркалье» я нашел, что в мире, где все происходит на шахматной доске, а единственная мера расстояния — клетка, гипотенуза будет равна катету.
                                          +6
                                          Длина кривой — это ∫√(1+y'²)dx и потому для сходимости длины недостаточно сходимости в прямоугольной метрике (норма = максимум модуля) или в Lp (норма = [∫ypdx]1/p. Например, годится сходимость в пространстве W21 (норма = √∫(y² + y'²)dx).
                                            0
                                            P.S. Я для простоты написал в терминах y(x), хотя окружности и ломаные лучше задавать параметрически: x(t), y(t).
                                            +4
                                            Это довольно легко. Для примера возьмем вот такой график.
                                            Image #1986619, 167.8 KB
                                            Хотя на мониторе эта фигура неотличима от круга, но правило, что все точки графика находятся на равном удалении от центра для него не выполняются.
                                            И если увеличить участок этого графика то увидим
                                            Image #1986628, 187.3 KB
                                            Я думаю понятно, что двина окружности созданной нашим графиком (красный) будет больше чем правильным кругом (зеленый).
                                            А теерь попробуем выполнить следующую операцию. Тут надо понимать, что в изначальном варианте с квадратом, с каждым следующим приближением растет число зубцов, и пропорционально ему уменьшается размер одного зубца… Подправляем коэффициенты и видим
                                            Image #1986643, 183.6 KB
                                            Тоесть мы можем сколь угодно много раз повторять такие увеличения, у нас на каждом шаге все равно будут зубцы которые будут давать дополнительную длину периметра.
                                              +4
                                              Красивые графики, в чем рисовали?
                                                +13
                                                Втроенный в макось Grapher.
                                              0
                                              Необходимо нарисовать точно такой же квадрат внутри окружности, чтобы получить правильную оценку. А лучше — многоугольник, скажем, восьми или шестнадцати сторон будет достаточно, чтобы получить более-менее похожий на правду результат.

                                              Aрхимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления pi. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку.
                                                +3
                                                lXT2ZC.png

                                                Периметр «верхнего» квадрата — 400px, «нижнего» — 280, таким образом периметр окружности (то есть её длина) находится в пределах от 280 до 400px, путём нехитрых вычислений (400+280)/2 мы получаем число 340. А если взять за 100px просто «единицу» — то получаем 3.4, что уже куда ближе к заветным 3.14, чем 4.0, которые на картинке в комменте выше. Можете повторить для восьмиугольника сами.
                                              +6
                                              Делал эту картинку год назад для лепры. Нужно ее как можно более широко распространить, если до сих пор у людей непонятки по поводу возникают.

                                              image
                                                +2
                                                При бесконечном увеличении, фрагмент круга должен быть не дугой, а линией
                                                  0
                                                  Вы, наверное, хотели сказать «прямой». Да, и эта прямая будет гипотенузой прямоугольного треугольника (см.рис.выше). На каждом из участков окружности будут разные прямоугольные треугольники. Т.е. мы можем посчитать длину опять-таки не круга, а многоугольника.
                                              +3
                                              Какие-то тривиальные примеры. Можно было взять какие-нибудь функциональные пространства или хотя бы поверхности каких-нибудь милых многообразий.
                                                –2
                                                Я пытался придумать что-то, что можно хотя бы попытаться интерпретировать как возможный реальный мир. Пространства функций под это дело не катят.
                                                • UFO just landed and posted this here
                                                    +2
                                                    Лишь согласно копенгагенской интерпретации.
                                                      +1
                                                      И как вы мыслите такими сложными абстракциями? Это же какую фантазию же надо иметь. Зависть.
                                                • UFO just landed and posted this here
                                                    +10
                                                    Вечера занимательной науки на хабре
                                                      +1
                                                      В попытке номер один:
                                                      сложно рассматривать понятия радиуса и диаметра.
                                                      + если за диаметр принять макс. расстояние между точками, оно будет не 2, а 2*sqrt(2).
                                                        +3
                                                        В той метрике — 2.
                                                          +2
                                                          На меня напало математическое затмение. Разумеется 2. Спасибо.
                                                            0
                                                            Более того, расстояние между двумя точками окружности ни в одном метрическом пространстве не может быть больше двух радиусов, иначе нарушалось бы неравенство треугольника.
                                                        +2
                                                        Непонятно, а что с геометрией Римана? Там круг имеет конечную длину.
                                                          0
                                                          Во, как раз хотел написать. В теории относительности если человек находится во вращающейся системе координат, то для него число π будет отличаться от обычного. Если правильно помню, в сторону увеличения.
                                                            +1
                                                            Если минусы означают, что я ошибаюсь, пожалуйста, не молчите, а поправьте. Не дайте помереть неучем.
                                                            0
                                                            Пока ждал ответа :) Сам посчитал, похоже в геометрии Римана отношение длины окружности к радиусу переменно.

                                                            Возьмем сферу и экватор, это равноудаленные точки от полюса. Отношение расстояния от полюса до экватора равно PI/2, а сама окружность равна 2*PI. Отсюда получаем, что отношение «PI» равно 4, ч.т.д.
                                                            +6
                                                            Давно на хабре какой-то умный человек приводил ссылку на статью, в которой математик хорошо объяснял природу чисел π и e. К сожалению, не могу нагуглить эту статью снова. Может быть кто-нибудь помнит о той статье?
                                                            +3
                                                            Возьмем шарообразный (выпуклый) мир и проведем циркулем (обычным) на нем окружность.
                                                            У нее Пи (длина к диаметру) будет меньше 3.14
                                                            У «впуклого» мира (я затрудняюсь себе это представить, это не «внутренность чашки», а нечто иное) Пи будет больше 3.14
                                                            Давайте еще порассуждаем как будет выглядеть окружность на поверхности бутылки Клейна, а?
                                                              +1
                                                              Я бы так смело не брался считать Пи в модели мира, являющегося поверхностью сферы. Как минимум, сначала нужно задать метрику. И в ней я даже не уверен что окружность будет выглядеть так, как мы привыкли. Не говоря уже о том, что значение расстояния тоже изменится.
                                                                +2
                                                                Причем «пи» в сферическом мире нетривиально будет зависеть от радиуса, точнее от отношения радиусов нашей окружности и радиуса этого «мира». А выглядеть будет так же
                                                                  0
                                                                  О, господи! Модель мира на поверхности сферы — это то, где мы с вами живем.
                                                                  Метрика? Ну берем эталонный метр «с Парижу» и откладываем им как линейкой растояния
                                                                  Некоторыми аксиомами евклидовой геометрии придется пожертвовать (то, что через точку вне данной прямой можно провести параллельную прямую и только одну), но все наглядно и красиво.
                                                                  Пи зависит от радиуса окружности и не равно 3.14.
                                                                  Сумма углов треугольника тоже отличается от 180 градусов. Вас это коробит?
                                                                  Нарисуйте на глобусе треугольник и измерьте его углы.
                                                                  +1
                                                                  Шарообразный мир. Меня пугают миры, где у треугольника может быть три прямых угла…
                                                                    +7
                                                                    В некотором смысле мы живем на поверхности такого шарообразного мира, где у треугольника может быть три прямых угла…
                                                                      –1
                                                                      Лишь теория.
                                                                        +5
                                                                        Вроде-бы тот факт, что Земля имеет форму шарагеоида известен не одну сотню лет или что-то изменилось?
                                                                          0
                                                                          Упс, извините, подумал о том, что вы рассуждаете о вселенной ;)
                                                                        0
                                                                        Если бы мы были двумерными существами, то да, было бы три прямых угла. А так, всё же, не совсем :)
                                                                      +3
                                                                      У «впуклого» мира (я затрудняюсь себе это представить, это не «внутренность чашки», а нечто иное)
                                                                      Видимо, под «выпуклым» имеется в виду пространство положительной кривизны, а под «впуклым» — отрицательной. Второе можно представить в виде седловидной поверхности.
                                                                      Картинка
                                                                      image
                                                                      +1
                                                                      Помню, как мы задались на теорфизе вопросом различных форм уравнений максвелла: начиная от классических дифференциальных, заканчивая тензорным видом 2-формы Фарадея. Нам хотелось избавиться от множителей Пи, входящих в уравнение. Если избавиться от них в одном месте (например, переходя к другим системам единиц), Пи возникало в других уравнениях, определениях и т.д. В итоге мы уже решили на это дело забить, потому как выяснялось, что Пи возникает как площадь круга с радиусом 1. И тогда нам пришла идея поставить это утверждение под сомнение.

                                                                      Далее идет немного бреда, который можно не воспринимать всерьез.

                                                                      Действительно, то, что площадь круга радиусом 1 равна Пи вытекает из школьной планиметрии, одна из аксиом которой гласит, что площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Эта аксиома связана с тем, что люди выделили квадрат как фигуру более удобную для построений, нежели, допустим, треугольник или шестиугольник. Почему именно квадрат должен быть таким особенным? Возможно, дело в симметрии человека. Если бы люди обладали не просто зеркальной симметрией, а какой-нибудь более сложной группой, если бы мы имели тело сходное, например, с морской звездой и у нас было 6 одинаковых конечностей, в нашем мире был бы популярен более треугольник, а не квадрат. Или шестиугольник. И, тогда его площадь можно было принять за 1. В каком-нибудь очень странном мире, более популярной фигурой был бы круг, и именно его площадь приняли за 1. Тогда законы максвелла поменялись, как и многие формулы геометрии (например, формулы в теоремах о вычетах в тфкп).
                                                                        0
                                                                        При использовании разных систем единиц физических величин (например, СИ или СГС) так и происходит — пропадают и появляются разные константы.
                                                                          +1
                                                                          Выбор квадрата вовсе не в «симметрии человека». Есть более объективное объяснение. Задолго до зарождения интегрального исчисления людям показался интуитивно понятными и естественным принцип Кавальери — площадь фигуры равна суммарной площади ее частей (аналогично про объем). Этот принцип можно считать определением меры. Квадрат же удобен тем, что им можно замощать плоскость, так что мы сразу из определения можем вывести отношение площади прямоугольника с целыми сторонами к площади эталонного квадрата. Продолжая дальше, можно научиться измерять площади всё более сложных фигур. С кругом (в качестве эталона) такой фокус не пройдет, потому что неудобно замощать произвольные фигуры кругами.
                                                                            0
                                                                            Вопрос из области… мммм… Даже и не знаю из какой области, но. Общаясь с разными психологами, нейрологами и людьми хорошо разбирающимися в математике, точнее задавая определенный вопрос, ответа я так и не получил. Собственно сам вопрос: почему людям удобно использовать десятичную систему отсчета? Не в том смысле что нам легко сложить 2 000 000 и 3 000 000 (здесь то все понятно), а в том, что мы четко разделяем и властвуем десятичными порядками в сложных числах.
                                                                              +2
                                                                              Считается, что это потому, что у нас по пять пальцев на руках. Шумеры вот по фалангам считали, использовали двенадцатеричную систему и горя не знали (разве что, быть может, о нуле мечтали). Потом смешали счёт по пальцам и по фалангам и вообще в 60-ричной системе считали.

                                                                              Ну будь мы четырёхпалыми — использовали бы мы восьмеричную систему, ну были бы у нас восьмеричные порядки. В чём разница-то, по большому счёту?
                                                                                0
                                                                                На руке у нас пальцев 5, на двух руках 10, на ногах еще 5+5. Уже имеем четыре порядковых величины размерностью 5. Однако используем лишь одну. Слишком маловероятно
                                                                                  0
                                                                                  Так вышло. Некоторые племена использовали пятеричную систему, некоторые — двадцатеричную, но из Индии вместе с математикой европейцы позаимствовали десятичную систему. Так и повелось.
                                                                                    0
                                                                                    Я и об этом слышал, но «физику» процесса, его психолгоию, это не объясняет.
                                                                                      +1
                                                                                      Физика, психология. Так уж исторически сложилось. Так уж случилось, что Ближний Восток продвинулся в математике дальше, чем Европа. Так уж сложилось, что индийская математика пришла в арабские страны. Так уж сложилось, что Индия выбрала десятичную систему счисления. Так уж сложилось, что у нас по пять пальцев на руках. <...>

                                                                                      А в параллельных вселенных я так же защищаю пятеричную, двенадцатеричную, двадцатеричную системы.
                                                                                        –1
                                                                                        То есть вы считате таки, что все дело в пальцах? )
                                                                                        PS Самый распространенный ответ, кстати.
                                                                                          0
                                                                                          В том числе. Произошла цепочка событий, которая привела к тому, что мы сейчас имеем. Если бы, к примеру (при прочих равных), Индия решила, что считать надо в дюжинной системе, в ней бы мы сейчас и считали, скорее всего (это не учитывая побочные эффекты, например, становление Индии как сверхдержавы, подавление авраамических религий и прочие труднопредсказываемые последствия).
                                                                                            0
                                                                                            Возможно вы и правы, но, учитывая побочные эффекты и иные факторы, мне сложно с этим согласиться.
                                                                                              0
                                                                                              Ладно, опустим эффект бабочки. Неужели вы не допускаете даже мысли о том, что существует цепочка событий, ведущая к хотя бы приблизительно такому же положению дел, что и сейчас, но с общеиспользуемой двенадцатеричной системой?
                                                                                                0
                                                                                                Почему же не допускаю, как раз таки я написал о том что это вполне возможно. Другое дело, что при более глубоком рассмотрении, я нахожу нестыковки.
                                                                                                  0
                                                                                                  Например?
                                                                                                    0
                                                                                                    Те же самые руки о пяти пальцев. Исследования в области нейрологии (вот это не стоит принимать как аргумент, ибо ссылку я уже не найду).
                                                                                                  0
                                                                                                  В Англии довольно долго считали на дюжины — даже в фунте было 144 пенса. А в футе до сих пор 12 дюймов. А в дюжине — 12 устриц :)
                                                                                                    0
                                                                                                    В США до сих пор используют ярды/футы. Однако они сами испытывают серьезные трудности при перемножении подобных величин.
                                                                                                      +5
                                                                                                      Так основой-то при таком перемножении всё равно является десятичная система счисления, потому и неудобно. Была бы двенадцатеричная, получили бы просто 10*10=100. А то, что A*A=84, пришлось бы запоминать по таблице умножения, и возмущались бы, как неудобно считать эти дурацкие некруглые количества квадратных сантиметров в квадратных метрах.

                                                                                                      image
                                                                                                        0
                                                                                                        Есть всего 10 категорий людей — те кто понимает двоичную систему счисления и те, кто ее не понимает
                                                                                      0
                                                                                      Нужно учитывать, что позиционные системы счисления появились уже значительно позже зарождения счета. Так что использовать 4 разряда по 5 не получилось бы, если я вас правильно понял.
                                                                                      0
                                                                                      Ну будь мы четырёхпалыми — использовали бы мы восьмеричную систему, ну были бы у нас восьмеричные порядки. В чём разница-то, по большому счёту?
                                                                                      Перевод в двоичную систему и обратно был бы проще. Пальцами двух рук можно было бы кодировать ровно 1 байт. В килобайте было бы ровно 1024 байта, «кило» везде было бы равно «киби». Зато пользоваться клавиатурой было бы сложнее.
                                                                                        0
                                                                                        Это всё в очень узком секторе IT. Глобально мало что бы поменялось.

                                                                                        Зато пользоваться клавиатурой было бы сложнее.
                                                                                        Почему? Придумали бы какой-нибудь восьмипальцевый метод печати, да и всё.
                                                                                      +1
                                                                                      Психологи и нейрологи здесь ни при чем. Десятеричная система не имеет особых преимуществ перед другими, за исключением того, что она привычна большинству ныне живущих людей. Но так было не всегда — когда-то 12-ричная была популярной. Также в современной культуре сохранились следы 20- и 60-ричной систем.

                                                                                      Вообще можно поговорить и об объективном удобстве той или иной системы. Например, слишком большое основание неудобно тем, что придется запоминать много цифр и большую таблицу умножения; слишком малое — числа будут длинными. Некоторые считают, что основание должно иметь побольше множителей (что отчасти обосновывает существование 60-ричной системы, пережитки которой мы наблюдаем до сих пор). Еще хорошо, когда особенности строения человеческого тела помогают счету: 10 пальцев на руках для 10-ричной, 12 фаланг плюс большой палец как указатель — для 12-ричной.

                                                                                      почему людям удобно использовать десятичную систему отсчета?

                                                                                      Когда я поработаю еще пару лет в области HDL, не исключено, что 16-ричная система покажется мне самой удобной. ;)
                                                                                        –2
                                                                                        Психологи и нейрологи здесь ни при чем.
                                                                                        Вообще то именно их проблема. Точнее решить могут ее только они. Но в данном случае, важно понять то, что это действительно проблема. Уже не найду источник, но где-то читал о исследовании, которое подтвердило «физическое» наличие смысла именно в десятичной системе. То есть в случае с 16-ричной (или иной другой) системой, в голове возникают одни реакции, а в случае с 10-ричной, все «красиво и изящно». То есть именно 10-ричная система выделяется на фоне остальных. Как-то так…
                                                                                          +6
                                                                                          Все просто, чтобы считать в 16-ричной системе нужно напрягаться и думать, что, очевидно, задействует другие участки мозга, чем доведенная до автоматизма 10-ричная.
                                                                                          Учили бы вас с младенчества считать в 12-ричной системе — было бы тоже самое с ней.
                                                                                          Кстати есть мнение, что было бы куда удобнее в быту т.к. в 12-ричной системе проще проводить базовые операции в связи с тем, что у 10 — всего 3 полных делителя(2-5-10), а у 12 — 5(2-3-4-6-12)
                                                                                            –2
                                                                                            Учили бы вас с младенчества считать в 12-ричной системе — было бы тоже самое с ней.

                                                                                            Довольно распространенное заблуждение.
                                                                                            PS Выше, я пояснил по данному вопросу.
                                                                                              +1
                                                                                              Не вижу внятных достоинств у 10 системы. Кроме того что делить страшно неудобно
                                                                                                0
                                                                                                Восмеричная всяко удобнее, у римлян, кажется, идея восмеричной продвигалась. И с пальцами всё в порядке, в отличие от шестнадцатиричной.
                                                                                            +1
                                                                                            Мои размышления. Более старой системой счета являлась 12-ричная (принятая у Ассирийцев, Шумеров и т.д.). К нам она дошла в виде 12 часов, 12 месяцев, дюжины во многих языках. До 12 можно досчитать по пальцем одной руки пересчитывая фаланги — не выпуская оружия из второй руки. Этот вид счета более сложный, но более эффективный. У него есть ряд ограничений — довольно большое основание. Дело в том, что объем оперативной памяти человека около 7. При этом у многих он не превышает 5. Соответственно посчитать до 5 объектов можно просто окинув взглядом, а вот до 12 так нереально. А вот 6 в отличие от 5 не имеет физиологического основания (у нас ничего нет в количестве 6 штук). В десятичной системе основание долго время фактически было 5 (вспомните римские цифры) — это пальцы на одной руке. До тех пор, пока цифры не стали слишком большими, а арабы не принесли из Индии нынешнюю систему счисления с разрядами и нулем. Не совсем понимаю, почему не было как основание выбрано 4 — оставив большой палец как указатель…
                                                                                              –1
                                                                                              Очень любопытные мысли с точки зрения историка) Но они, увы, несостоятельны когда речь заходит о числах свыше 30. Я данный вопрос давно уже поднимаю, все никак не могу найти внятного ответа/ов.
                                                                                                0
                                                                                                Числами больше 30 в обычной жизни древнего человека считать в общем-то нечего )

                                                                                                Все-таки система счета в первую очередь была нужна для именно «подсчета», и для простейших операций
                                                                                                  +1
                                                                                                  Скот считать нужно более чем до 30.
                                                                                        • UFO just landed and posted this here
                                                                                          0
                                                                                          То, что площадь аддитивна — это никакой не принцип Кавальери. Это просто очередная аксиома из планиметрии. И, кстати, шестиугольниками тоже можно замостить плоскость.

                                                                                          Да, действительно, с кругом такое не пройдет.
                                                                                            0
                                                                                            Посчитал шестиуголный участок, запостив его мелкими шестиугольниками. Потом конфликт, пришлось поделить его пополам. Как его делить и как каждая сторона будет считать свою территорию?
                                                                                              0
                                                                                              Посчитал квадратный участок, замостив его мелкими квадратами. Потом конфликт, пришлось поделить его на три части. Как его делить и как каждая сторона будет считать свою территорию?

                                                                                              Кстати, шестиугольник вроде нельзя замостить шестиугольниками, но можно шестиугольниками и ромбами.
                                                                                                0
                                                                                                Потом конфликт, пришлось поделить его на три части. Как его делить и как каждая сторона будет считать свою территорию?

                                                                                                На три прямоугольника, каждый состоит из трёх квадратов. Сложить три числа технически возможно. С шестиугольниками такой фокус не пройдёт. Зато пройдёт с правильными треугольниками — они тоже бесконечно делятся.
                                                                                                  0
                                                                                                  Зато пройдёт с правильными треугольниками — они тоже бесконечно делятся.

                                                                                                  Но не пополам., части будут разрознены.
                                                                                                    0
                                                                                                    Если разрезать на 16 треугольников, из них несложно собрать два связных кусочка по 8.
                                                                                        +5
                                                                                        Физики развлекаются иначе: они представляют Вселенную с другим набором фундаментальных констант (причем для достижения интересного результата достаточно изменить несколько констант не сильно (проценты и десятки процентов) и начинают описывать как интересно бы все это выглядело.

                                                                                        Астрономы при этом впадают в ступор: оказывается, что мы живем во Вселенной, в которой весь набор констант таков, что именно с ними возможна такая сложная стркутура Вселенной и, следовательно, существование как минимум одной цивилизации.

                                                                                        Креационисты ухмыляются: ну так Он именно так все задумал и сотворил.

                                                                                          0
                                                                                          вот на такие вычисления интесно было бы поподробнее посмотреть…
                                                                                            +1
                                                                                            ну для начала в Вики: Антропный принцип
                                                                                          • UFO just landed and posted this here
                                                                                            0
                                                                                            если рассмотреть размерность n>2, то отношение меры (n-1)-мерной окружности к ее радиусу даже не будет константой

                                                                                            Не вполне правомерное рассуждение. Разумеется, нелепо ожидать, что мера в многомерном пространстве будет линейна по радиусу (или какому-либо линейному размеру фигуры). В n-мерном евклидовом пространстве мера шара («объем») зависит от радиуса как r^n, а мера поверхности шара («площадь») — как r^(n-1). Кстати, коэффициенты пропорциональности в обоих случаях имеют вид произведения пи на рациональное число.

                                                                                            Можно было сказать, что мы ограничиваемся двумерным случаем, потому что он и так достаточно интересен.
                                                                                              0
                                                                                              Допустим даже, что гипотетическая вселенная имеет такую геометрию пространства-времени, что отношение длины окружности к ее диаметру не равно «пи». Все равно в такой вселенной число «пи» возникнет в других местах. Взять хотя бы линейные дифуры, такие как y'' = -y. Их решения являются комбинацией синусов, косинусов и экспонент, а где есть синус — там есть и привычное в нашей Вселенной число «пи».
                                                                                                0
                                                                                                Всегда было интересно, при π ≠ 3,14… ведут себя всякие штуки вроде ряда Лейбница, сходящегося к π/4. Будет ли у нас другая арифметика, если мы будем жить в пространстве Чебышева?
                                                                                                  0
                                                                                                  А как они должны себя вести? Числа-то останутся числами, просто будет ряд сходиться не к красивому π/4, а к непонятному трансцендентному 0,7853981633974483096156608458198…
                                                                                                    0
                                                                                                    Т.е. мы уходим от числа Пи только как от отношения длины окружности к диаметру, но уйти от магической константы 3,14… полностью не можем. А в исходном вопросе имеется в виду именно это? Про окружность?
                                                                                                      +1
                                                                                                      Почему магическая? Трансцендентных чисел бесконечно много, например, image даёт нам трансцендентное 0.011010100010100010100010..., никак не связанное с π или е.

                                                                                                      Иногда число — это просто число.
                                                                                                  0
                                                                                                  Хе, а пространство с отрицательными расстояниями вы легко можете себе представить? Я вот как-то не сильно преуспел в этом.

                                                                                                  Ввели б тогда манхеттеновскую метрику на двумерном вещественном пространстве. Окружность в нем выглядит ромбом (который на неё, имхо, больше похож, чем гипербола), пи — два корня из двух. Представить пространство, которое от привычного двумерного евклидова отличимо только тем, что из точки в точку в нём можно перемещаться исключительно параллельно осям координат (любой «правильный» город вам предоставит такую модель, не зря ж метрика названа манхеттеновской) и нельзя «срезать» тоже, вроде, несложно.
                                                                                                    0
                                                                                                    Или 4… Я засомневался
                                                                                                      0
                                                                                                      4. Максимальное расстояние между точками ромба окружности — 2, периметр — 8.
                                                                                                        0
                                                                                                        4, да
                                                                                                    0
                                                                                                    Вот еще немного магии с числом Пи

                                                                                                      +2
                                                                                                      ru.wikipedia.org/wiki/Тождество_Эйлера_(комплексный_анализ)
                                                                                                      +4
                                                                                                      Эх, ностальгия… Не вспомню точно, но в году этак 1998-1999-м на «Бейсик-Вильнюс-БК0010-01» рисовал вращающийся кубик. FPS был около 2-3, но сам факт! Так вот, в какой-то момент, эта мысль посетила мой неокрепший мозг: «А что если Pi <> 3.1415...»? Проверил. Охренел. Потом — загнал Pi в цикл. И кубик начал, что называется, «в динамике», в реалтайме, выворачиваться наизнанку.
                                                                                                        +1
                                                                                                        Сдаётся, всем любопытным, в своё время, приходится натягивать на пи цифру 3 и 4, получая при этом шестигранник и квадрат.
                                                                                                        А гифку эту я бы посмотрел.
                                                                                                        0
                                                                                                        >>>Если кто-нибудь в комментариях расскажет мне, как формально считать длину кривой в псевдоевклидовом пространстве, я буду очень рад, ибо моих познаний в дифференциальной геометрии, топологии (а также усердного гугления) для этого не хватило.
                                                                                                        Для бесконечной кривой длину можно попробовать определить как предел сумм длин кусочков кривой при уменьшении кусочков, если всё это счастье вдруг сходится.
                                                                                                          0
                                                                                                          интеграл от квадратичной формы по координатам с коэффициентами, равными компонентам метрики, как в любом пространстве
                                                                                                            0
                                                                                                            Может быть, интеграл квадратного корня из квадратичной формы? Но это при условии, что метрика выражается через квадратичную форму. А в общем случае — предел суммы длин отрезков, как и в евклидовом пространстве…
                                                                                                              0
                                                                                                              А, да. Это будет квадрат интервала. В общем случае — вряд ли. Вдруг пространство не непрерывное, или предел не существует
                                                                                                          0
                                                                                                          -
                                                                                                            0
                                                                                                            Я тут тоже поразмышлял, как получается значение числа pi в евклидовом пространстве. С одной стороны (как было замечено выше), по формуле длины кривой оно вычисляется через определенный интеграл. С другой, впервые было получено Лейбницем (чуть ранее Мадхавой) из разложения арктангенса в ряд Тейлора. Само разложение обратных тригонометрических функций получается через нахождение их производных, а первую производную обратных тригонометрических функций можно получить или через производные прямых тригонометрических функций, или через следствие из первого замечательного предела (ну, первая производная sin(x) тоже через зам. предел выводится). Таким образом, число pi (как вариант) уходит корнями к первому замечательному пределу.

                                                                                                            Вообще, из всех книг по числу pi мне нравится книга А.В. Жукова «Вездесущее число Пи». На мой взгляд, на русском языке самая полная монография.

                                                                                                            Only users with full accounts can post comments. Log in, please.