Откуда есть пошло комплексное число

В современной математике комплексное число является одним из фундаментальнейших понятий, находящее применение и в «чистой науке», и в прикладных областях. Понятно, что так было далеко не всегда. В далекие времена, когда даже обычные отрицательные числа казались странным и сомнительным нововведением, необходимость расширения на них операции извлечения квадратного корня была вовсе неочевидной. Тем не менее, в середине XVI века математик Рафаэль Бомбелли вводит комплексные (в данном случае точнее сказать, мнимые) числа в оборот. Собственно, предлагаю посмотреть, в чем была суть затруднений, доведших в итоге солидного итальянца до подобных крайностей.

Существует распространенное заблуждение, что комплексные числа потребовались для того, чтобы решать квадратные уравнения. На самом деле, это совершенно не так: задача поиска корней квадратного уравнения никоим образом введение комплексных чисел не мотивирует. Вот совершенно.

Давайте убедимся сами. Всякое квадратное уравнение можно представить в виде:
.
Геометрически, это означает, что мы хотим найти точки пресечения некоторой прямой и параболы
Я тут даже картинку сделал, для иллюстрации.

square
Как нам всем хорошо известно из школы, корни квадратного уравнения (в указанных выше обозначениях) находятся по следующей формуле:


Оказываются возможными 3 варианта:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Подкоренное выражение равно нулю.
3. Подкоренное выражение отрицательно.

В первом случае имеются 2 различных корня, во втором два совпадающих, в третьем уравнение «не решается». Все эти случаи имеют вполне наглядную геометрическую интерпретацию:
1. Прямая пересекает параболу (синяя прямая на рисунке).
2. Прямая касается параболы.
3. Прямая не имеет с параболой общих точек (сиреневая прямая на рисунке).

Ситуация проста, логична, непротиворечива. Пытаться извлекать квадратный корень из отрицательного числа нет совершенно никаких оснований. Никто и не пытался.

Обстановка существенно изменилась, когда пытливая математическая мысль добралась до кубических уравнений. Чуть менее очевидно, используя некоторую несложную подстановку, всякое кубическое уравнение можно свести к виду: . С геометрической точки зрения ситуация похожа на предыдущую: мы ищем точку пересечения прямой и кубической параболы.
Взгляните на картинку:
cube

Существенное отличие от случая квадратного уравнения в том, что какую бы прямую мы не взяли, она всегда пересечет параболу. Т.е., уже из чисто геометрических соображений, кубическое уравнение всегда имеет хотя бы одно решение.
Найти его можно воспользовавшись формулой Кардано:

где
.
Немного громоздко, но пока, вроде бы, все в порядке. Или нет?

Вообще, формула Кардано — это яркий пример «принципа Арнольда» в действии. И что характерно, Кардано никогда на авторство формулы не претендовал.

Вернемся, однако, к нашим баранам. Формула замечательная, без преувеличение великое достижение математики начала-середины XVI века. Но есть у нее один нюанс.
Возьмем классический пример, который рассматривал еще Бомбелли:
.
Внезапно,
,
и, соответственно,
.
Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая. Тупик. При том, что решение у уравнения, безусловно, есть.

Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте прикинемся шлангом и сделаем вид, что корень из отрицательного — это какое-то число. Мы, конечно, знаем, что таких чисел нет, но тем не менее, давайте представим, что оно существует и его, как обычные числа, можно складывать с другими, умножать, возводить в степень и т.п.

Используя подобный подход, Бомбелли установил, в частности, что
,
и
.
Давайте проверим:
.
Заметьте, в выкладках никаких предположений о свойствах квадратных корней из отрицательных чисел не предполагалось, кроме упомянутого выше допущения, что они ведут себя как «обычные» числа.

В сумме получаем . Что вполне себе правильный ответ, который элементарно проверяется прямой подстановкой. Это был настоящий прорыв. Прорыв в комплексную плоскость.

Тем не менее, подобные выкладки выглядят как некоторая магия, математический фокус. Отношение к ним, как к некоему трюку, сохранялось среди математиков еще очень долго. Собственно, придуманное Рене Декартом для корней из отрицательных название «мнимые числа» вполне отражает отношение математиков тех времен к таким развлечениям.

Однако, время шло, «трюк» применялся с неизменным успехом, авторитет «мнимых чисел» в глазах математического общества рос, сдерживаемый, однако, неудобством их использования. Лишь получение Леонардом Эйлером (кстати, это именно он ввел ныне общеупотребительное обозначение для мнимой единицы) знаменитой формулы

открыло комплексным числам дорогу в самые различные области математики и ее приложений. Но это уже совсем другая история.
AdBlock has stolen the banner, but banners are not teeth — they will be back

More
Ads

Comments 59

    +25
    Приплыли. А формулу жалко, а формула-то хорошая.

    Тождество Эйлера как по мне так еще замечательней

    image
      +25
      Отличный комикс про тождество Эйлера: img0.joyreactor.com/pics/post/comics-SMBC-math-nsfw-629982.gif
        +17
        У меня до сих пор в голове не укладывается, как пять фундаментальных математических констант, включая два трансцендентных числа, оказываются связаны между собой.
          +4
          Да, если бы кто-нибудь тут статейку написал об этом было бы здорово
            +3
            Интересно, какая геометрическая интерпретация этой связи.
              +8
              Никак они не связаны в данном выражении. Уже обсуждали это в одном из подобных топиков.

              Данное выражение гласит буквально следующее: «если взять единичный вектор и повернуть его на полоборота, получим -1», что логично, но никак не связывает никакие константы кроме 1 и -1.

              Единственная известная мне связь между pi и e — через дзета-функцию Римана. Может ещё есть, не искал специально.

              Хотя с другой стороны, если разложить экспоненту в ряд… Может и получится что-то интересное. Надо попробовать.
                0
                Думаю, надо немного пояснить свою мысль.
                Пусть выражение e^(i*pi) + 1 = 0 связывает e и pi, и пусть нам известно значение числа pi = 3,14159265358979323. Вопрос: как вычислить e?
                  +3
                  Для начала извлечём из обеих частей e^(i*pi) = -1 корень 6-й степени: e^(i*pi/6)=(sqrt(3)+i)/2=1+(sqrt(3)-2+i)/2. Потом возведём (1+x), где x=(sqrt(3)-2+i)/2, в степень -i*6/pi по формуле бинома Ньютона.
                  Только что проверил — ответ правильный.
                  +3
                  Если разложить exp(i*x) в ряд, то мы увидим 1+i*x-x^2/2!-i*x^3/3!+x^4/4!+i*x^5/5!+..., т.е. как раз cos(x)+i*sin(x). Другой способ увидеть эту связь — заметить, что exp(x) — решение уравнения dy/dx=y(x), значит, для y=exp(i*x) выполняется dy/dx=i*y. Если мы разложим exp(i*x)=p(x)+i*q(x), где p и q вещественны, то получим dp/dx=-q, dq/dx=p, решением чего будет, опять же, косинус и синус.
                    0
                    Да, я был неправ.
                    0
                    Посмотрел в Википедии, в статье Пи_(число) приводится несколько красивых примеров соотношения между pi и e. Особенно красив т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса».
                    +10
                    image
                    Был один индус
                    0
                    разве не такая интерпретация?: алгебраический плюс на имеет смысл операции сложения двух ортогональных векторов в декартовой плоскости действительных и мнимых чисел — синуса и косинуса (катеты треугольника с гипотенузой, совпадающей с радиусом единичной окружности), а экспонента туда попадает только из связи сложения двух рядов, в которые раскладываются синус и косинус, это и есть глубинная связь геометрии с матанализом и алгеброй..,
                      +1
                      А вы знаете что на нашей планете система СИ удобна еще и тем что pi^2~g и в результате они замечастельно сокращаются в уравнениях :)
                    –1
                    del
                      +10
                      Никак не могу разобраться, как вставить красивую формулу, как у вас в тексте, поэтому пишу словами.

                      Формула «i равно корень из -1» некорректна. Корень из -1 имеет два значения. Поэтому поправьте на «i квадрат равно -1».
                        +7
                        Берётся «LATEX» (ЛаТеХ), собирается уравнение, рендерится в картинку и вставляется как картинка. Есть и онлайн варианты:
                        www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
                          +2
                          Вы, безусловно, правы.
                          Здесь историческая точка зрения вступает в спор с современным определением комплексных чисел. Поправил, чтобы убрать противоречие.
                          +1
                          Каждый раз, когда мне после прочтения обоснования формулы Эйлера, мне казалось, что я её понимаю, неделю спустя я обнаруживал, что снова не могу ничего вспомнить. Доктор, что со мной?
                            0
                            Может обоснование было не очень?
                              0
                              Память отбрасывает неиспользующуюся информацию. Вот если бы Вы кажный день использовали ее — тогда другое дело.
                                +7
                                Синдром Эйлера. Он тоже долго не мог поверить, в то что это правда его формула!
                                +1
                                Проблема в том, что извлечь кубический корень из комплексного числа можно либо подбором, либо вернувшись к исходному кубическому уравнению (и найдя его корень альтернативным способом). Непонятно, чем же помогали комплексные числа.
                                Такие уравнения (с тремя корнями) проще решать с помощью трисекции угла. Интересно, когда открыли этот способ?
                                  +3
                                  Как раз формула Эйлера делает извлечение корней из комплексных чисел чисто механическим процессом.
                                    +2
                                    Но формулу Эйлера придумали гораздо позже.
                                      +1
                                      В последнем абзаце про это написано.
                                        +1
                                        В таком случае, какая польза была от комплексных чисел во время между Бомбелли и Эйлером, если задача решения кубического уравнения сводилась к не менее сложной (в то время) и более непонятной задаче извлечения кубического корня из комплексного числа?
                                          +1
                                          Новый подход. Деление чисел, до введения в оборот позиционных систем счисления, тоже было весьма не подарок.
                                    +2
                                    Сужу по L'Algebra Opera товарища Бомбелли и моему абсолютному незнанию итальянского (надеюсь, более сведущие в языке поправят, если я не прав).

                                    Бомбелли по сути приравнял

                                    image

                                    и сказал, что x и y нужно искать подбором с ограничениями

                                    image
                                    image

                                    Причём либо я дурак, либо он так и не объяснил, откуда ограничения собственно взялись.

                                    И затем он рассуждает в духе
                                    теперь нужно найти такой x, квадрат которого не больше 5, а куб не меньше 2; если мы примем x равным 1, то y непременно должен быть равен 2, при этом второе условие не выполняется, значит, x больше 1; x меньше 3, так как квадрат 3-х больше 5; примем x равным 2, тогда y равен 1, оба условия выполняются, значит

                                    image

                                    И да, это всё одним предложением на полстраницы.
                                      0
                                      Если «упростить все действия», то окажется, что он просто перебирает все x до sqrt(4/3*k), и проверяет для них условие x^3=k*x+b. Выигрыш мог бы быть, если бы из-под корня вынесли полный квадрат: sqrt(-121)=11*sqrt(-1), и стали искать корень в виде x+y*sqrt(-1). Тогда значений x надо проверять гораздо меньше. Правда, если мы ищем целый корень, то x должен быть полуцелым… Осталось понять, быстрее ли это, чем перебирать все делители b, не превосходящие sqrt(4/3*k).
                                        0
                                        Бомбелли еще предположил, что (в современных терминах) операции извлечения кубического корня и комплексного сопряжения коммутируют друг с другом, после чего умножил исходный корень на его сопряженную версию. Отсюда сразу же получается первая формула.

                                        Ну а вторая из странных формул — это просто исходная формула в кубе, с упрощениями.
                                        0
                                        Наверное, когда получили формулу косинуса (синуса) тройного угла.
                                        +3
                                        Спасибо!

                                        Благодаря вашей статье кроме интересных подробностей истории комплексных чисел узнал ещё и то, что мой провайдер заблочил доступ к луркморю.
                                          –10
                                          Кстати, про «мнимые» числа. Они противопоставляются вещественным(действительным) числа. Если брать на англ. «мнимое» — Imaginary, «действительное» — Real. И отображаются они на комплексной плоскости, где ось x — Real, а ось y — Imaginary.
                                            +1
                                            На самом интересном месте. Будет ли продолжение?
                                              +2
                                              А что бы вы хотели узнать?
                                                +2
                                                Было бы интересно про комплексную меру.
                                                  +1
                                                  Переход к геометрической интерпретации и расширение до нескольких мнимых единиц
                                                    0
                                                    Хочется узнать как продолжали функции вещественного переменного на поле комплексных чисел. Не конечный результат, это известно, а именно процесс. Наверняка хватало холиваров, что считать логарифмом или, скажем, синусом комплексного числа?
                                                      0
                                                      На самом-то деле не то чтобы, там достаточно внятная процедура была.
                                                    +1
                                                    Если вы про про доказательство формулы Эйлера — оно есть в википедии. А вот каким путем к ней пришел к ней Эйлер — мне б тоже было интересно посмотреть.
                                                      +1
                                                      Кажется, простое формальное сложение рядов довольно интуитивно и могло быть подходом, которым Эйлер додумался до ответа.
                                                        0
                                                        Так и есть, если без подробностей.
                                                    +3
                                                    Где-то читал, что в средние века можно было купить алгоритм решения уравнения для какого-нибудь частного случая, чтобы потом отличиться во время математического турнира, этакий готовый «рецепт». Когда учился в школе, было ощущение, что нам преподают математику в виде готовых рецептов, не рассказывая о том, для каких целей потребовался тот или иной метод. Возможно, эта традиция пришла из средних веков.
                                                      +3
                                                      Курс алгебры неспециализированных средних школ — это тоска-печаль, да. Что у нас, что у них, в общем-то.
                                                      0
                                                      Об этом немного есть в данном топике.
                                                        +5
                                                        Обожемой, у меня математический оргазм!

                                                        Так и хочется сказать: «Продолжайте, продолжайте же, чёрт побери!»

                                                        Серьёзно, расскажите что дальше было! Мне комплексные числа мозг взорвали ещё на втором курсе, когда с их помощью считались цепи в электротехнике, а никто при этом нифига не объяснял даже на курсе матана. Дескать вот вам корень из -1, он есть. Как хотите, так и понимайте.
                                                          0
                                                          Мне повезло теорию комплексных чисел узнать сначала на матане. Тогда это показалось какой-то математической схоластикой для мучения студентов. А позже на электротехнике всё стало на свои места — инструмент работает, задачи решаются :)
                                                          +2
                                                          Ahiin
                                                          Млин. Наткнешься на хорошую статью. Но при ее беглом просмотре не видно картинок. Аж обидно! ;( Автор: не могли бы что-нибудь сделать с картинками, а то они теперь доступны с кодом 503! ;(
                                                            0
                                                            Извиняюсь за замедленную реакцию: я тут, между делом, женился и был немного занят.

                                                            Некий добрый самаритянин, пожелавший остаться неизвестным, уже перезалил изображения и отредактировал мою статью. Спасибо ему.
                                                              0
                                                              Никто ничего не перезаливал — просто сайт latex.codecogs.com поднялся…
                                                                0
                                                                Обе крупных иллюстрации сменили прописку в мое отсутствие.
                                                                  0
                                                                  Это бот. (Кстати, было бы неплохо сразу заливать картинки куда следует).
                                                                  Но исходная жалоба была все-таки на формулы — а они никуда не переезжали.
                                                                    0
                                                                    Добрый самаритянский бот — тоже неплохо. Жаль, что он не в состоянии заодно и формулы подтянуть.
                                                            0
                                                            Все формулы поломатые :(
                                                              0
                                                              В ссылке на картинку есть формула. Так что при желании, их можно восстановить.

                                                            Only users with full accounts can post comments. Log in, please.